1、2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 24.1 圆的有关性质 24.1.1 24.1.1 圆圆 人教版人教版 数学数学 九九年级年级 上册上册 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形. . 导入新知导入新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 骑车运动骑车运动 看了此画看了此画, ,你有何想法你有何想法? ? 导入新知导入新知 【思考】【思考】车轮为什么做成圆形车轮为什么做成圆形? ?做成三角形、正方形做成三角形、正方形 可以吗？可以吗？ 2 24
2、4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 2. 掌握掌握弦弦、弧弧、半圆半圆、优弧优弧、劣弧劣弧、同心同心 圆圆、等圆等圆、等弧等弧等与圆有关的概念，并了等与圆有关的概念，并了 解它们之间的区别和联系解它们之间的区别和联系. 1. 认识认识圆圆，理解，理解圆的定义圆的定义. 素养目标素养目标 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 一些一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排 开这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当开这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当 排成什么样的队形？排成什么样的队形？ 探究新知探究新知 圆的定义圆的定
3、义 知识点 1 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 甲 丙 乙 丁 为了使游戏公平，在目标周围围成一个圆为了使游戏公平，在目标周围围成一个圆排队排队. . 因为圆上各点到圆心的距离都等于半径因为圆上各点到圆心的距离都等于半径. 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / r O A 圆的旋转定义（描述性定义） 在一个平面内，线段在一个平面内，线段OA绕它固绕它固 定的一个端点定的一个端点O旋转旋转一周一周，另一个，另一个 端点所形成的图形叫做端点所形成的图形叫做圆圆以点以点O 为圆心的圆，记作“为圆心的圆，记作“O”，读作”，读作 “圆“圆
4、O”. 有关概念 固定的端点固定的端点O叫做叫做圆心圆心，线段线段OA叫叫 做做半径半径，一般用，一般用r表示表示 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？ 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 一是一是圆心圆心，圆心确定其位置，圆心确定其位置；二是二是半径半径，半径确定其大小，半径确定其大小 确定一个圆的要素 同心圆 等圆 半径相同，圆心不同 圆心相同，半径不同 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 圆可以看成圆可以看成到定点距离等于定长的到定点距离等于定长的所有点组成
5、的所有点组成的. . 满足什么条件的？满足什么条件的？ 有间隙吗？有间隙吗？ 圆也可以看成是由多个点圆也可以看成是由多个点组成组成的的 到定点的距离等于定长到定点的距离等于定长 的点都在同一个圆上吗？的点都在同一个圆上吗？ 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / （1）圆上各点到定点（圆心）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于）的距离都等于 （2）到定点的距离等于定长的点都在）到定点的距离等于定长的点都在 圆心为圆心为O、半径为、半径为r的圆可以看成的圆可以看成 是所有到定点是所有到定点O的距离等于定长的距离等于定长r的的 点的集合点的集合 O A C E
6、r r r r r D 定长定长r 同一个圆上同一个圆上 圆的集合定义圆的集合定义 【想一想想一想】从画圆的过程可以看出什么呢？从画圆的过程可以看出什么呢？ 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 圆的基本性质圆的基本性质 o 同圆半径相等同圆半径相等. . 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 【想一想想一想】 圆圆是一条曲线是一条曲线, ,还是一个曲面还是一个曲面? ? 提示提示: :圆是一条封闭的曲线圆是一条封闭的曲线, ,它是由到圆心的它是由到圆心的 距离等于半径的点组成的曲线距离等于半径的点组成的曲线, ,而而
7、不是不是曲面曲面. . 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 例例1 矩形矩形ABCD的对角线的对角线AC、BD相交于相交于O. 求证：求证：A、B、C、D在以在以O为圆心的同一圆上为圆心的同一圆上. A B C D O 证明：证明：四边形四边形ABCD是矩形，是矩形， AO=OC，OB=OD. 又又AC=BD， OA=OB=OC=OD. A、B、C、D在以在以O为圆心，以为圆心，以OA为半径的圆上为半径的圆上. 圆的定义的应用圆的定义的应用 素养考点素养考点 1 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 1.如如图图,O
8、的半径的半径OA,OB分别交弦分别交弦CD于点于点E,F, 且且CE=DF.求证求证:OEF是等腰三角形是等腰三角形. 巩固练习巩固练习 分析：分析：作辅助线构造作辅助线构造OCE和和ODF,然后证明两然后证明两 三角形全等三角形全等,最后根据全等的性质得出结论最后根据全等的性质得出结论. 解解：连接连接OC,OD,OC=OD,C=D, CE=DF. OCEODF, OE=OF, OEF是等腰三角形是等腰三角形. 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 弦: C O A B 连接圆上任意两点的线段（如图中的连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做）叫做弦弦. 经过圆心的弦（
9、如图中的经过圆心的弦（如图中的AB）叫做）叫做直径直径 1.弦和直径都是弦和直径都是线段线段. . 2.直径是弦直径是弦, ,是经过圆心的特殊弦，是圆中是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦最长的弦，但弦，但弦 不一定是直径不一定是直径. . 探究新知探究新知 圆的有关概念圆的有关概念 知识点 2 注注 意意 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / O A B O A B 探索：探索：圆中最长的弦是什么？为什么？圆中最长的弦是什么？为什么？ O A B C C D C D O A B C O A B C D O A B C D 【发现发现】直径是最长的弦直径是最长的弦 探究新知探
10、究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 弧: C O A B 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆半圆 劣弧与优弧 C O A B 半圆 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简弧以圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简弧以A、B 为端点的弧记作为端点的弧记作 AB，读作“圆弧，读作“圆弧AB”或“弧或“弧AB” ( 小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的AC ; ( 大于半圆的弧叫做优弧.如图中的ABC. ( 劣弧用两个字母表示，优弧用三个字母表示劣弧用两个字母表示，优弧用三个字母表示. 探究新知探究新知 2
11、 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 等圆: C O A 能够重合的两个圆叫做能够重合的两个圆叫做等圆等圆. . C O1 A 容易看出，等圆是容易看出，等圆是两个半径相等的圆两个半径相等的圆. . 等弧: 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫 做做等弧等弧. . 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 【结论结论】等弧仅仅存在于同圆或者等圆中等弧仅仅存在于同圆或者等圆中. . 可见这两条弧可见这两条弧不可能不可能完全重合完全重合 实际上这两条弧弯曲程度不同实际上这两条弧弯曲程度不同 “等弧”要区别于“长度相
12、等的弧”“等弧”要区别于“长度相等的弧” 如图，如果如图，如果AB和和CD的拉直长度都是的拉直长度都是10cm，平移并调整，平移并调整 小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？ D C A B 【想一想想一想】长度相等的弧是等弧吗？长度相等的弧是等弧吗？ 探究新知探究新知 A B C D 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 例例2 2 如图如图. ( (1) )请写出以点请写出以点A为端点的优弧及劣弧为端点的优弧及劣弧; ( (2) )请写出以点请写出以点A为端点的弦及直径为端点的弦及直径. 弦弦AF,AB,AC.其中弦其中弦AB又是直径
13、又是直径. （3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧. 答案不唯一，答案不唯一，如：弦如：弦AF,它所对的弧是它所对的弧是 和和 . A B C E F D O 劣弧劣弧： 优弧优弧： AF, ( AD, ( AC, ( AE. ( AFE, ( AFC, ( ADE, ( ADC. ( AF ( 圆的有关概念的识别圆的有关概念的识别 ABF ( 素养考点素养考点 2 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 2.2.在在以下所给的命题中以下所给的命题中: :半圆是弧半圆是弧; ;弦是弦是 直径直径; ;如图所围成的图形是半圆如
14、图所围成的图形是半圆. . 其中正确的命题有其中正确的命题有 . . 巩固练习巩固练习 解析：解析： 弧不但包括半圆，还包括优弧、弧不但包括半圆，还包括优弧、劣弧，劣弧， 所以所以正确正确, ,不不正确；正确； 弦包括经过圆心的弦弦包括经过圆心的弦( ( 即直即直 径径 ) )与不经过圆心的与不经过圆心的弦所以弦所以 不不正确；正确； 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 例例3 如图，如图，MN是半圆是半圆O的直径，正方形的直径，正方形ABCD的顶点的顶点A、D 在半圆上，顶点在半圆上，顶点B、C在直径在直径MN上。（上。（1）求证：）求证：OB=OC. 图4 D BO
15、NM A C 连连OA,OD即可，即可， 同圆的半径相等同圆的半径相等. . 10 ？ x 2x 222 10 xx即(2 ) （2）设）设OB=x，则，则AB=2x， 在在RtABO中，中， 222 ABBOAO+= （2）设设O的半径为的半径为10，则正方形，则正方形ABCD的边长为的边长为 . 4 5 圆的有关概念的应用圆的有关概念的应用 解：解：（1）连接）连接OA，OD， 证明证明RtABORtDCO 解得解得： 2 5x= 素养考点素养考点 3 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 3. 3. CD为为O的直径的直径,EOD=72,AE交交O于
16、于B,且且 AB=OC,则则A=_. 24 解析：解析：OB=OC，AB=CO，AB=OB， A=BOA. 又又OB=OE，E=EBO， EBO=2A，E=2A， 又又EOD=E+A，3A=EOD， EOD=72，A=24 巩固练习巩固练习 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 1.对对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（ ） A把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点 之间线段最短”的原理之间线段最短”的原理 B木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的木匠
17、师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的 墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段最短”的原理垂线段最短”的原理 C将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳 定性”的原理定性”的原理 D将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理 巩固练习巩固练习 连 接 中 考连 接 中 考 B 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 连接中考 2.如图如图，O的半径为的半径为1，分别以，分别以O的
18、直径的直径AB上上 的两个四等分点的两个四等分点O1，O2为圆心，为半径作圆，则为圆心，为半径作圆，则 图中阴影部分的面积为（图中阴影部分的面积为（ ） A B0.5 C0.25 D2 巩固练习巩固练习 连 接 中 考连 接 中 考 B 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 1.填空：填空： （1）_是圆中最长的弦，它是是圆中最长的弦，它是_的的2倍倍 （2）图中有）图中有 条直径，条直径， 条非直径的弦，条非直径的弦， 圆中以圆中以A为一个端点的优弧有为一个端点的优弧有 条，条， 劣弧有劣弧有 条条 直径直径 半径半径 一一 二二 四四 四四 课堂检测课堂检测 基 础 巩
19、 固 题基 础 巩 固 题 A B C D O F E 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 2. 一点和一点和O上的最近点距离为上的最近点距离为4cm,最远的距最远的距 离为离为10cm, 则这个圆的半径是则这个圆的半径是 . 7cm或或3cm 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 3.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例判断下列说法的正误，并说明理由或举反例. (1)弦是直径；弦是直径； (2)半圆是弧；半圆是弧； (3)过圆心的线段是直径；过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径；过圆
20、心的直线是直径； (5)半圆是最长的弧；半圆是最长的弧； (6)直径是最长的弦；直径是最长的弦； (7)长度相等的弧是等弧长度相等的弧是等弧. 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 一根一根5m长的绳子，一端栓在柱子上，另一长的绳子，一端栓在柱子上，另一 端栓着一只羊，请画出羊的端栓着一只羊，请画出羊的 活动区域活动区域 5m 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 求证：直径是圆中最长的弦求证：直径是圆中最长的弦. 证明：证明：如图，在如图，在
21、O中，中，AB是是O的直径，半径是的直径，半径是r. CD是不同于是不同于AB的任意一条弦的任意一条弦. 连接连接OC、OD， 则则OA+OB=OC+OD=2r,即即AB=OC+OD. 在在OCD中，中，OC+ODCD， ABCD.即直径是圆中最长的弦即直径是圆中最长的弦. 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 圆圆 定义定义 旋转定义旋转定义 （描述性定义）（描述性定义） 要画一个确定的圆，关要画一个确定的圆，关 键是键是确定圆心和半径确定圆心和半径 集 合 定 义集 合 定 义 同圆半径相等同圆半径相等 有关有关 概念概念 弦弦（直径直径） 直径是圆中最长的弦直径是圆中最长的弦 弧弧 半圆是特殊的弧半圆是特殊的弧 劣弧劣弧 半圆半圆 优弧优弧 同心圆同心圆 等圆等圆 同圆同圆 等弧等弧 能 够 互 相 重 合 的 两 段 弧能 够 互 相 重 合 的 两 段 弧 课堂小结课堂小结 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习