1、22.1 22.1 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质/ / 22.1 22.1 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质 22.1.1 22.1.1 二次函数二次函数 人教版人教版 数学数学 九九年级年级 上册上册 22.1 22.1 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质/ / 如如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后 落落到池中央到池中央，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度 h与它距离喷头的水平距离与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？之间有什么关系？ 上面问题中变量之间的关系上面问题中
2、变量之间的关系 可以用哪一种函数来表示？这种可以用哪一种函数来表示？这种 函数与以前学习的函数、方程有函数与以前学习的函数、方程有 哪些联系？哪些联系？ 导入新知导入新知 22.1 22.1 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质/ / 1.掌握掌握二次函数二次函数的定义，并能判断所给函的定义，并能判断所给函 数是否是二次函数数是否是二次函数. 2. 能能根据实际问题中的数量根据实际问题中的数量关关系系列出列出二次函数二次函数 解析式解析式，并能指出二次函数的项及各项系数，并能指出二次函数的项及各项系数. 素养目标素养目标 22.1 22.1 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质/ /
3、正方体正方体的六个面是全等的正方形（如下图）的六个面是全等的正方形（如下图）,设设 正方形的棱长为正方形的棱长为x,表面积为表面积为y,显然对于显然对于x的每一个值的每一个值, y都有一个对应值都有一个对应值,即即y是是x的函数的函数,它们的具体关系可它们的具体关系可 以表示为以表示为 y=6x2 二次函数的概念二次函数的概念 探究新知探究新知 知识点 1 问题问题1 22.1 22.1 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质/ / 多边形的对角线总条数多边形的对角线总条数d与边数与边数n有什么关系？有什么关系？ 如果多边形有如果多边形有n条边条边,那么它有那么它有 个顶点个顶点,从一个顶从
4、一个顶 点出发点出发,可以可以作作 条对角线条对角线. n (n-3) 多边形的对角线总数多边形的对角线总数 d= n(n-3) M N 即即d= n 2- n 式表示了多边形的对角线式表示了多边形的对角线 总条数总条数d与边数与边数n之间的关系之间的关系,对于对于 n的每一个值的每一个值,d都有一个对应值都有一个对应值, 即即d是是n的函数的函数. 探究新知探究新知 问题问题2 22.1 22.1 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质/ / 某工厂一种产品现在的年产量是某工厂一种产品现在的年产量是20件件,计划今后两年计划今后两年 增加产量增加产量.如果每年都比上一年的产量增加如果每年都
5、比上一年的产量增加x倍倍,那么那么 两年后这种产品的产量两年后这种产品的产量y将随计划所定的将随计划所定的x的值而确的值而确 定定,y与与x之间的关系应怎样表示？之间的关系应怎样表示？ 这种这种产品的原产量是产品的原产量是20件件, 一年后的产量是一年后的产量是 件件,再再 经过一年后的产量是经过一年后的产量是 件件,即两年后的产量即两年后的产量为为 y=20（1+x）2 20(1+x) 20(1+x)2 即即y=20 x2+40 x+20 式表示了两年后的产量式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数与计划增产的倍数x之间的关系之间的关系,对对 于于x的每一个值的每一个值, y都有一个对应值都有
6、一个对应值,即即y是是x的函数的函数. 探究新知探究新知 问题问题3 22.1 22.1 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质/ / 函数函数有什么共同点有什么共同点? ? y=6x2 d= n 2- n y=20 x2+40 x+20 探究新知探究新知 【思考【思考】 学生以小组形式讨论，并由每组代表总结。学生以小组形式讨论，并由每组代表总结。 22.1 22.1 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质/ / y=6x2 自变量自变量 函数函数 函数解析式函数解析式 y y d x x n 【分析】【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，认真观察以上出现的三个函数解析式， 分别说出哪
7、些是常数、自变量和函数分别说出哪些是常数、自变量和函数 这些函数有什这些函数有什 么共同点？么共同点？ 这些函数这些函数自变量自变量的最高次项都是的最高次项都是二次二次的！的！ 探究新知探究新知 22.1 22.1 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质/ / 一般地，形如一般地，形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数是常数,a 0)的的 函数，叫做函数，叫做二次函数二次函数。 （1）等号左边是变量）等号左边是变量y，右边是关于自变量，右边是关于自变量x 的的 （3）等式的右边最高次数为等式的右边最高次数为 ，可以没有一次，可以没有一次 项和常数项，但项和常数项，但不能没有二次项不能没有
8、二次项。 注意注意 （2）a,b,c为常数，且为常数，且 （4）x的取值范围是的取值范围是 。 整式整式. a0. 2 任意实数任意实数 探究新知探究新知 二次函数二次函数的的定义定义 22.1 22.1 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质/ / 概念概念 一般地，形如一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0) 的函数，叫做的函数，叫做二次函数二次函数. 二次项二次项 系数系数 自变自变 量量 一次项系一次项系 数数 常数项常数项 探究新知探究新知 二次函数二次函数的的定义定义 22.1 22.1 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质/ / 二次函数的一般形式二
9、次函数的一般形式: : yax2bxc (其中其中a、b、c是常数是常数,a0) 探究新知探究新知 二次函数二次函数的的形式形式 当当b0时，时， yax2c（只含有二次项和常数项）（只含有二次项和常数项） 当当c0时，时， yax2bx（只含有二次项和一次项）（只含有二次项和一次项） 当当b0，c0时，时， yax2（只含有二次项）（只含有二次项） 二次函数的特殊形式二次函数的特殊形式: : 22.1 22.1 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质/ / 二次函数的识别二次函数的识别 22 222 2 42 2 2221 2 1 11 1 1 () () = () yxyxxx yxxy
10、x x xx y x xy x = = 例例1 1 下列函数中是二次函数的有下列函数中是二次函数的有 。 二次函数：二次函数：y=ax +bx+c（a，b，c为常数，为常数，a0） a=0 最高次数是最高次数是4 =x2 素养考点素养考点 1 探究新知探究新知 22.1 22.1 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质/ / 方法点拨 运用定义法判断一个函数是否为二次函数的运用定义法判断一个函数是否为二次函数的 步骤：步骤： （1 1）将函数解析式右边整理为含自变量的代将函数解析式右边整理为含自变量的代 数式，左边是数式，左边是函数函数（因变量）的形式（因变量）的形式； （2 2）判断右边含
11、自变量的代数式是否是判断右边含自变量的代数式是否是整式整式； （3 3）判断自变量的最高次数是否是判断自变量的最高次数是否是2； （4 4）判断二次项系数是否判断二次项系数是否不等于不等于0. . 探究新知探究新知 22.1 22.1 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质/ / 下列函数中下列函数中,哪些是二次函数？哪些是二次函数？ (1) y=3(x-1) +1 (3) s=3-2t (5) y=(x+3) -x (6) v =10r （是是） （否否） （是是） （否否） （否否） （是是） (7) y=x +x +25 (8) y =2 +2x （否否） （否否） (2) x xy
12、1 xx y 2 1 (4) 右边不是整式右边不是整式 右边不是整式右边不是整式 自变量的最自变量的最 高次数是高次数是1 整理后，自变量的最高次数是整理后，自变量的最高次数是1 自变量的最高次数是自变量的最高次数是3 巩固练习巩固练习 1. 22.1 22.1 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质/ / 例例2 关于关于x的函数的函数 是二次函数是二次函数, , 求求 m的值的值. . mm xmy 2 ) 1( 解解: : 由二次函数的定义得由二次函数的定义得m2-m=2,m+10 注意注意 二次函数的二次项系数不能为零二次函数的二次项系数不能为零. 利用二次函数的定义求字母的值利用二
13、次函数的定义求字母的值 解得解得 m=2. 因此当因此当m=2时，函数为二次函数时，函数为二次函数. . 素养考点素养考点 2 探究新知探究新知 22.1 22.1 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质/ / 1 1 () a yax 解解：根据二次函数的定义，得根据二次函数的定义，得 a a 12 10 解得解得a=-1. 巩固练习巩固练习 2. 2. 是是二次函数，求常数二次函数，求常数a的值的值. 22.1 22.1 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质/ / 根据实际问题确定二次函数解析式根据实际问题确定二次函数解析式 根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤：根据实际问题建立二
14、次函数模型的一般步骤： 审题：审题：仔细审题，分析数量之间的关系，将仔细审题，分析数量之间的关系，将 文字语言转化为符号语言；文字语言转化为符号语言； 列式：列式：根据实际问题中的根据实际问题中的等量关系等量关系，列二次，列二次 函数关系式，并化成函数关系式，并化成一般形式一般形式； 取值：取值：联系实际，确定自变量的取值范围联系实际，确定自变量的取值范围. . 知识点 2 探究新知探究新知 22.1 22.1 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质/ / 例例3 一农民用一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜 园，和墙垂直的一边长为园，和墙垂直的
15、一边长为xm，菜园的面积为，菜园的面积为ym2，求，求y与与x 之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=12m 时，计算菜园的面积。时，计算菜园的面积。 xm y m2 xm （40-2x ）m 解：解： 由题意得由题意得： y=x(40-2x) 即即 y=-2x2+40 x (0 x0) (x0) (r0) 说一说以上二次函数解析式的各项系数。说一说以上二次函数解析式的各项系数。 巩固练习巩固练习 3. 3. 22.1 22.1 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质/ / 1.下列下列函数解析式中，一定为二次函数的是（函数解析式中，一定
16、为二次函数的是（ ） ） A.y=3x-1 B.y=ax2+bx+c C.s=2t2-2t+1 D.y=x2+ x 2 1 巩固练习巩固练习 连 接 中 考连 接 中 考 C 22.1 22.1 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质/ / 2.已知函数已知函数 y=（m m）x +（m1）x+m+1 （1）若这个函数是一次函数，求）若这个函数是一次函数，求m的值；的值； （2）若这个函数是二次函数，则）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？的值应怎样？ 解解：（1）根据一次函数的定义，得）根据一次函数的定义，得m2m=0， 解得解得m=0或或m=1，又，又m10即即m1； 当当m=0时，这
17、个函数是一次函数；时，这个函数是一次函数； （2）根据二次函数的定义，）根据二次函数的定义， 得：得：m2m0，解得，解得m10，m21； 当当m10，m21时，这个函数是二次函数时，这个函数是二次函数. 巩固练习巩固练习 连 接 中 考连 接 中 考 22.1 22.1 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质/ / 1 .下列函数中下列函数中，（x是自变量），是二次函数的为是自变量），是二次函数的为( ( ) ) A. y=ax2+bx+c B. y2=x2-4x+1 C. y=x2 D. y=22+ x+1 2. 函数函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是是二次函数的条
18、件是( ( ) ) A. m,n是常数是常数, ,且且m0 B. m,n是常数是常数, ,且且n0 C. m,n是常数是常数,且且mn D. m,n为任何实数为任何实数 C C 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 22.1 22.1 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质/ / 3. 一一个圆柱的高等于底面半径个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积写出它的表面积 s 与与 半径半径 r 之间的关系式之间的关系式. 4. n支球队参加比赛支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛每两队之间进行一场比赛,写写 出比赛的场次数出比赛的场次数 m与球队数与球队数 n 之间的关系式之间
19、的关系式. S=4r2 m= n(n-1) 即即m= n 2- n 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 22.1 22.1 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质/ / 解：解：由二次函数的定义得由二次函数的定义得 2 562 40 , , mm m 当当m为何值时，函数为何值时，函数y=(m-4)xm -5m+6+mx是关于是关于 x的二次函数的二次函数. 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 当当m=1时时，函数，函数y=(m-4)xm -5m+6+mx是关于是关于x的二次函数的二次函数. 解得解得m=1. 22.1 22.1 二次函数的图像和性质二
20、次函数的图像和性质/ / 探索二次关探索二次关 系式共同点系式共同点 总结二次总结二次 函数概念函数概念 二次函数二次函数y=ax +bx+c （a，b，c为常数，为常数，a0） 二次函数的判别二次函数的判别: : 含未知数的代数式为含未知数的代数式为整式整式； 未知数最高次数为未知数最高次数为2 2； 二次项系数二次项系数不为不为0 0. . 确定二次函数解确定二次函数解 析式及自变量的析式及自变量的 取值范围取值范围 课堂小结课堂小结 22.1 22.1 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质/ / 作业作业 内容内容 教材作业教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排自主安排 配套练习册练习配套练习册练习 课后作业课后作业