1、21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ / 21.2 21.2 解解一元二次方程一元二次方程 21.2.3 21.2.3 因式分解法因式分解法 人教版人教版 数学数学 九九年级年级 上册上册 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ / 1. 解一元二次方程的解一元二次方程的方法有哪些？方法有哪些？ 2. 什么什么叫因式分解叫因式分解? ? 把把一个多项式分解成几个一个多项式分解成几个整式乘积整式乘积的形式叫做因式的形式叫做因式 分解，也叫把这个多项式分解因式分解，也叫把这个多项式分解因式. . 直接开平方法直接开平方法 配方法配方法 x2=a (a0) (x+m)2=n
2、 (n0) 公式法公式法 x= （b2-4ac0） 2 4 2 bbac a 导导入新知入新知 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ / 3. 分解分解因式的方法有那些因式的方法有那些? ? （1）提取公因式法提取公因式法: （2）公式法公式法: 【思考【思考】下面的下面的方程如何使解答简单呢？方程如何使解答简单呢？ am+bm+cm=m(a+b+c). a -b =(a+b)(a-b), a 2ab+b =(ab) . x2+25x=0 导入新知导入新知 （3）十字相乘法十字相乘法: 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ / 2.2.会应用会应用因式分解法因式分解
3、法解一元二次方程解一元二次方程 并解决有关问题并解决有关问题. . 3.3.会会灵活选择灵活选择合适的方法解一元二次合适的方法解一元二次 方程，并能解决相关问题方程，并能解决相关问题. . 素养目标素养目标 1.1.理解一元二次方程理解一元二次方程因式分解法因式分解法的概念的概念. . 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ / 根据根据物理学规律，如果把一个物体物理学规律，如果把一个物体 从地面从地面 10 m/s 的速度竖直上抛，那么经的速度竖直上抛，那么经 过过 x s 物体离地面的高度（单位：物体离地面的高度（单位：m）为）为 提示：提示：设设物体经过物体经过 x s 落回
4、地面，这时它离地面的高度落回地面，这时它离地面的高度 为为 0 ，即，即 2 104.9.xx 【思考【思考】根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？（精根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？（精 确到确到 0.01 s） 2 104.90.xx 因式分解法的概念因式分解法的概念 探究新知探究新知 知识点 1 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ / 2 104.90 xx 解：解： 2 100 0 49 xx 22 2 1005050 0 494949 xx 22 5050 4949 x 5050 4949 x 5050 4949 x 1 100 49 ，x 2 0 x 配方
5、法配方法 公式法公式法 2 104.90 xx 解：解： 2 4.9100 xx a = 4.9，b =10，c = 0 a acbb x 2 4 2 1010 24.9 b24ac= (10)20=100 1 100 49 ，x 2 0 x 探究新知探究新知 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ / 104.9x 09.410 x 2 104.90 xx 因式分解因式分解 如果如果a b = 0， 那么那么 a = 0或或 b = 0. x0 0 x , 0 1 x04.2 49 100 2 x 或或 降次，化为两个一次方程降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根
6、解两个一次方程，得出原方程的根 探究新知探究新知 这种解法是不是很简单？这种解法是不是很简单？ 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ / 可以发现，上述解法中，由到的过程，不是用开平可以发现，上述解法中，由到的过程，不是用开平 方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于等于0 的形式，再使这两个一次式分别等于的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，从而实现降次.这种这种解解 法叫做法叫做因式分解法因式分解法 【思考【思考】以上解方程以上解方程 10 x-4.9x2=0 的方法是如何使二次方程的方法是如何使二次方程
7、 降为一次的？降为一次的？ x(10-4.9x)=0 x=0或或10-4.9x=0 探究新知探究新知 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ / 1.用用因式分解法因式分解法的的条件条件是是:方程左边易于分解方程左边易于分解,而右边而右边 等于零等于零; 2.关键关键是熟练掌握因式分解的方法是熟练掌握因式分解的方法; 3.理论理论依据是“依据是“ab=0,则则a=0或或b=0 ”. 探究新知探究新知 【提示【提示】 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ / 探究新知探究新知 归纳总结归纳总结 分解因式法解一元二次方程的步骤是分解因式法解一元二次方程的步骤是: : 2.
8、 将方程将方程左边左边因式分解为因式分解为AB； 3. 根据“根据“ab=0,则则a=0或或b=0”,转化为两个一元一次方程；转化为两个一元一次方程； 4. 分别解这分别解这两个两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根一元一次方程，它们的根就是原方程的根. 1. 将方程将方程右边化为等于右边化为等于0的形式；的形式； 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ / 解解：（1）因式分解，得因式分解，得 于是得于是得 x20 或或 x1=0, x1=2，x2=1. ( (2) )移项、合并同类项，得移项、合并同类项，得 因式分解，得因式分解，得 ( 2x1)( 2x1 )=0. 于是得于
9、是得 2x1=0或或2x1=0, (x2)(x1)=0. 4x2-1=0 x1= ， x2= - . 1 2 1 2 探究新知探究新知 例例1 解下列方程解下列方程： （1）x(x-2)+x-2=0 （2）5x2-2x- =x2-2x+ 4 1 4 3 素养考点素养考点 1 因式分解法解一元二次方程因式分解法解一元二次方程 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ / 方法点拨 右化零右化零 左分解左分解 两因式两因式 各求解各求解 一一. .因式分解法简记歌诀：因式分解法简记歌诀： 二二. .选择解一元二次方程的技巧：选择解一元二次方程的技巧： 1.开平方法、配方法开平方法、配方法
10、适用于能化为完全平方形式的适用于能化为完全平方形式的 方程方程. 2.因式分解法因式分解法适用于能化为两个因式之和等于适用于能化为两个因式之和等于0的的 形式的方程形式的方程. 3.配方法、公式法配方法、公式法适用于所有一元二次方程适用于所有一元二次方程. 探究新知探究新知 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ / 解下列方程：解下列方程： 解解： 因式分解，得因式分解，得 （1） x2+x=0 x ( x+1 ) = 0. 于是得于是得 x = 0 或或 x + 1 =0， x1=0 , x2=1. 解解：因式分解，得因式分解，得 222 222 1 += 0; (2) -2
11、3 = 0; (3) 3-6 = -3; (4) 4-121= 0; (5) 3 (2 +1) = 4 +2; (6) ( -4) = (5-2 ) . （） xxxxxx xx xxxx （2）x2- 2 x=0 3 x（x-2 ）=0 3 于是得于是得 x=0 或或 x-2 =0 x1=0，x2=2 3 3 巩固练习巩固练习 1. 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ / 22 363,4121 0 xxx 解解：将方程化为将方程化为 因式分解，得因式分解，得 x22x+1 = 0. ( x1 )( x1 ) = 0. 于是得于是得 x 1 = 0 或或 x 1 = 0， x
12、1=x2=1. 解解：因式分解，得因式分解，得 ( 2x + 11 )( 2x 11 ) = 0. 于是得于是得 2x + 11 = 0 或或 2x 11= 0， x1=-5.5 ， x2=5.5 . 巩固练习巩固练习 （3） （4） 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ / 22 32142452xxxxx 解解：将方程化为将方程化为 因式分解，得因式分解，得 6x2 x 2 = 0. ( 3x 2 )( 2x + 1 ) = 0. 有有 3x 2 = 0 或或 2x + 1 = 0， 解解：将方程化为将方程化为 因式分解，得因式分解，得 ( x 4 ) 2 ( 5 2x )2
13、=0. ( x 4 5 + 2x )( x 4 + 5 2x ) = 0. ( 3x 9 )( 1 x ) = 0. 有有 3x 9 = 0 或或 1 x = 0， x1 = 3 , x2 = 1. x1= ， x2=- 2 3 1 2 巩固练习巩固练习 （5） （6） 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ / 灵活选择方法解一元二次方程灵活选择方法解一元二次方程 例例2 用适当方法解下列方程：用适当方法解下列方程： (2)x26x190； (3)3x24x1; (4)y2152y； (5)5x(x3)(x3)(x1)0； (6)4(3x1)225(x2)2. 素养考点素养考点
14、2 (1) 3 1 2 =27； 思路点拨：思路点拨：四种方法的选四种方法的选 择顺序是：直接开平方法择顺序是：直接开平方法 因式分解法因式分解法公式法公式法 配方法配方法 探究新知探究新知 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ / 解：解：(1)(1x)2 9，(x1)23，x1 3. x11 3，x21 3. (2)移项，得移项，得 x26x19. 配方，得配方，得 x26x(3)219(3)2.(x3)228. x3 2 7.x132 7，x232 7. (2)x26x190； (1) 3 1 2 =27； 探究新知探究新知 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程
15、/ / (3)移项，得移项，得 3x24x10. a3，b4，c1， (4)移项，得移项，得 y22y150. 把方程左边因式分解，把方程左边因式分解， 得得(y5)(y3)0. y50 或或 y30. y15，y23. x 4 4 243 1 23 2 7 3 . x12 7 3 ，x22 7 3 . (3)3x24x1; (4)y2152y； 探究新知探究新知 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ / (5)将方程左边因式分解，得将方程左边因式分解，得(x3)5x(x1)0. (x3)(4x1)0. (6)移项，得移项，得 4(3x1)225(x2)20. 2(3x1)25(
16、x2)20. 2(3x1)5(x2) 2(3x1)5(x2)0. (11x8)(x12)0. x30 或 4x10.x13，x21 4. 11x80 或 x120.x1 8 11，x212. (5)5x(x3)(x3)(x1)0； (6)4(3x1)225(x2)2. 探究新知探究新知 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ / (1)x2 0； 用适当的方法解下列方程：用适当的方法解下列方程： 1 4 解：解：(1)x21 4 0， x21 4，即 ，即 x 1 4. x11 2， ，x21 2. 巩固练习巩固练习 2. . 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ /
17、 解：解：原方程可变形为原方程可变形为 5(3x2)23x(3x2)0， (3x2)(15x103x)0. 3x20 或或 12x100. x12 3， ，x25 6. 巩固练习巩固练习 (2) 5(3x2)23x(3x2) 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ / 1.已知已知x=2是关于是关于x的一元二次方程的一元二次方程kx +（k 2） ） x+2k+4=0的一个根，则的一个根，则k的值为的值为 连接中考连接中考 巩固练习巩固练习 连 接 中 考连 接 中 考 3 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ / 2. 解方程：解方程：2（x3）=3x（x3） 解解
18、： 2（x3）=3x（x3），）， 移项得移项得 2（x3）3x（x3）=0， 因式分解因式分解得得（x3）（）（23x）=0， x3=0或或23x=0， 解得解得：x1=3, x2= 连接中考连接中考 巩固练习巩固练习 连 接 中 考连 接 中 考 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ / 1.解下列方程：解下列方程： （1）x2+4x-9=2x-11； （2）x(x+4)=8x+12. 解：解：x2+2x+2=0， (x+1)2=-1. 此方程此方程无解无解. . 解：解：x2-4x-12=0， (x-2)2=16. x1=6, x2=-2. 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固
19、 题基 础 巩 固 题 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ / 2.小华在解一元二次方程小华在解一元二次方程 x2x0 0 时，只得出时，只得出 一个根一个根 x1，则被漏掉的一个根是（则被漏掉的一个根是（ ） Ax4 Bx3 Cx2 Dx0 D 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ / 我们我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直已经学习了一元二次方程的四种解法：直 接开平方法、配方法、公式法和因式分解法请从接开平方法、配方法、公式法和因式分解法请从 以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当以下一元二次
20、方程中任选一个，并选择你认为适当 的方法解这个方程的方法解这个方程 x23x10； (x1)23； x23x0； x22x4. 我选择我选择_ _ 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ / 解：解：答案不唯一答案不唯一若选择，若选择， 适合公式法，适合公式法， x23x10， a1，b3，c1， b24ac9450.x3 5 2 . x13 5 2 ，x23 5 2 . 课堂检测课堂检测 x23x10； (x1)23； x23x0； x22x4. 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 21.21.2 2 解一元二次方程解一元
21、二次方程/ / 适合直接开平方法，适合直接开平方法， (x1)23， x1 3， x11 3，x21 3. 课堂检测课堂检测 若选择，若选择， x23x10； (x1)23； x23x0； x22x4. 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ / 适合因式分解法，适合因式分解法， x23x0， 因式分解，得因式分解，得 x(x3)0. 解得解得 x10，x23. 若选择若选择 ， 课堂检测课堂检测 x23x10； (x1)23； x23x0； x22x4. 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/
22、 / 适合配方法，适合配方法， x22x4， x22x1415， 即即(x1)25. 开方，得开方，得 x1 5. x11 5，x21 5. 课堂检测课堂检测 x23x10； (x1)23； x23x0； x22x4. 若选择，若选择， 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ / 解解方程：方程：(x23)24(x23)0. 【点拨【点拨】把把(x23)看作一个整体来提公因式，再利看作一个整体来提公因式，再利 用平方差公式，用平方差公式，因式分解因式分解. . 解：解：设设 x23y，则原方程化为，则原方程化为 y24y0. 分解因式，得分解因
23、式，得 y(y4)0，解得，解得 y0，或，或 y4. 当当 y0 时，时，x230，原方程无解原方程无解； 当当 y4 时，时，x234，即，即 x21.解得解得 x1. 所以原方程的解为所以原方程的解为 x11，x21. 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ / ax2+c=0 = ax2+bx=0 = ax2+bx+c=0 = 因式分解法因式分解法 公式法（配方法）公式法（配方法） 2.2.公式法虽然是万能的，公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用对任何一元二次方程都适用，但不一定，但不一定 是是 最简单的，因此
24、在解方程时我们首先考虑能否应用“最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方直接开平方 法法”、“”、“因式分解法因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当 也可考虑配方法）也可考虑配方法） 3.方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出 合适的方法时，则把它合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式去括号并整理为一般形式再选取合理的再选取合理的方法方法. 1. 直接开平方法直接开平方法 因式分解法因式分解法 课堂小结课堂小结 21.21.2 2 解一元二次方程解一元二次方程/ / 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习