1、第13章 轴对称一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（2021江苏省天一中学九年级三模）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A B C D2（2021河南省实验中学八年级月考）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜如果将A、B、C三名同学所在位置看作ABC的三个顶点，那么凳子应该放在ABC的（ ）A三边中线的交点 B三条角平分线的交点 C三边上高的交点 D三边垂直平分线的交点3（2021重庆南开中学八年级期末）下列对三角形ABC的判断，错误的是（ ）A若A：B：
2、C=1：2：3，则ABC是直角三角形B若AB=BC，A=60，则ABC是等边三角形C若A=20，C=80，则ABC是等腰三角形D若AB=BC，C=50，则B=504（2021河南省安阳市八年级期末）如图，若是等边三角形，是边上的高，延长到E，使，则（ ）A7B8C9D10 5（2021河北保定市八年级期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，若的周长为，则的周长为（ ）ABCD6（2021广州市八年级期中）如图，与关于直线对称，点为上任一点，下列结论中错误的是（ ）A是等腰三角形B垂直平分C与面积相等D直线，的交点不一定在上 7（2021江苏汇文实验初中八年级月考）如图是一个台球桌面的示意图
3、，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（ ）A1 号袋B2 号袋C3 号袋D4 号袋8（2021河北中考真题）如图，直线，相交于点为这两直线外一点，且若点关于直线，的对称点分别是点，则，之间的距离可能是（ ）A0 B5 C6 D79（2021贵州印江初二月考）如图，已知 ，若A70，则的度数为（ ） ABCD10（2021重庆八年级期末）如图，在中，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接则的最小值是（ ）AB1CD 11（2021江苏九年级一模）如图，RtABC中，C=90，
4、AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则DEF的周长的最小值是（ ）A2.5B3.5C4.8D612（2021黑龙江甘南初二期末）如图，分别以RtABC的直角边AC、BC为边，在RtABC外作两个等边三角形ACE和BCF，连接BE、AF分别交AC、BC边于H、D两点下列结论：AFBE；AFCEBC；FAE90；BDFD，其中正确结论的个数是（）A4个B3个C2个D1个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13（2020无锡市积余实验学校八年级月考）小明站在河岸边看见水中的自己胸前球衣的号码是，则实际的号码为_14（
5、2021江苏九年级二模）顶角是的等腰三角形叫做黄金三角形如图，是正五边形的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_ 15（2021河南驻马店市八年级期末）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换在自然界和日常生活中，存在着很多这种图形变换（如图）结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图）的对应点所具有的性质是_16（2021辽宁九年级二模）如图，在中，垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心
6、，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；作射线AF，射线AF与直线PQ相交于点G，则的度数为_度 17（2021四川）如图，已知，点、在射线上，点、在射线上，、均为等边三角形，若，则的边长为_18（2021陕西交大附中分校九年级其他模拟）如图，在四边形ABCD中，AB6，ADBC3，E为AB边中点，且CED120，则边DC长度的最大值为_三、解答题（本大题共8小题，共66分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（2021山东八年级期末）某地有两所大学和两条相交的公路，如图所示（点M，N表示大学，OA，OB表示公路）现计划修建一座物资仓库到两所大学的距离相等，到
7、两条公路的距离也相等请你用尺规确定仓库所在的位置20（2021江苏八年级期末）图1、图2、图3都是33的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，、均为格点.在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图1中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且、为格点；（2）在图2中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且、为格点；（3）在图3中，画一个，使与关于某条直线对称，且、为格点，符合条件的三角形共有_个 21（2020佛山市顺德区北滘镇碧江中学八年级月考）如图，直角坐标系中，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，点，的坐标分别是， （1）请在图中画出关于轴的对称，点的坐标为 ，点
8、的坐标为 （2）请写出点关轴的对称点坐标为 22（2021广东清远市八年级期中）如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点（1）求的度数；（2）若，求的长23（2021石家庄市第四十中学九年级二模）如图，在中，D为BC中点，交的平分线AE于E，于F，交AC的延长线于G（1）求证：；（2）若，求AF的长24（2021浙江八年级月考）台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球的方向，因此，台球既复杂又有趣，台球运动被称为智慧和技能的较量问题1：如图（1），如果母球P击中桌边点A，经桌边反弹击中相邻另
9、一条桌边，再次反弹，那么母球P经过的路线BC与PA平行吗？证明你的判断问题2：在一张简易球桌ABCD上，如图（2）所示，目标球F、母球E之间有一个G球阻挡，击球者想通过击打母球E先撞球台的CD边，过一次反弹后再撞击F球，他应将E球打到CD边上的哪一点？请用尺规作图在图（2）中作出这一点问题3：如图（3），在简易球台ABCD上，已知AB=4，BC=3母球P从角落A以45角击出，在桌子边缘回弹若干次后，最终必将落入 （填A、B、C、D）角落的球袋，在它落入球袋之前，与桌子边缘共回弹了 次；若AB=100，BC=99，母球P还终将会落入某个角落的球袋，则它在落入球袋之前，在桌子边缘总共回弹了 次 2
10、5（2021上海八年级期末）如图，在ABC中，BC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BECF，AD+ECAB（1）试说明：DEEF；（2）当A40时，求DEF的度数；（3）请你猜想：当A为多少度时，EDF+EFD120，并请说明理由 26（2021南师附中树人学校九年级月考）如图1，若DEF的三个顶点D，E，F分别在ABC各边上，则称DEF是ABC的内接三角形（1）如图2，点D，E，F分别是等边三角形ABC各边上的点，且ADBECF，则DEF是ABC的内接 A等腰三角形 B等边三角形 C等腰三角形或等边三角形 D直角三角形（2）如图3，已知等边三角形ABC，请作出ABC的边长最小的内
11、接等边三角形DEF（保留作图痕迹，不写作法）（3）问题：如图4，ABC是不等边三角形，点D在AB边上，是否存在ABC的内接等边三角形DEF？如果存在，如何作出这个等边三角形？探究1：如图5，要使DEF是等边三角形，只需EDF60，DEDF于是，我们以点D为角的顶点任作EDF60，且DE交BC于点E，DF交AC于点F我们选定两个特殊位置考虑：位置1（如图6）中的点F与点C重合，位置2（如图7）中的点E与点C重合在点E由位置1中的位置运动到位置2中点C的过程中，DE逐渐变大而DF逐渐变小后再变大，如果存在某个时刻正好DEDF，那么这个等边三角形DEF就存在（如图8）理由： 是等边三角形探究2：在B
12、C上任取点E，作等边三角形DEF（如图9），并分别作出点E与点B、点C重合时的等边三角形DBF和DCF连接FF，FF，证明：FF+FFBC探究3：请根据以上的探究解决问题：如图10，ABC是不等边三角形，点D在AB边上，请作出ABC的内接等边三角形DEF（保留作图痕迹，不写作法）第13章 轴对称一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（2021江苏省天一中学九年级三模）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A B C D【答案】D【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴
13、对称图形进行分析即可【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D【点睛】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键2（2021河南省实验中学八年级月考）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜如果将A、B、C三名同学所在位置看作ABC的三个顶点，那么凳子应该放在ABC的（ ）A三边中线的交点B三条角平分线的交点C三边上高的交点D三边垂直平分线的交点【答案】D【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个
14、人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上【详解】三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，凳子应放在ABC的三条垂直平分线的交点最合适，故选：D【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用，理解基本性质是解题关键3（2021重庆南开中学八年级期末）下列对三角形ABC的判断，错误的是（ ）A若A：B：C=1：2：3，则ABC是直角三角形B若AB=BC，A=60，则ABC是等边三角形C若A=20，C=80，则ABC是等腰三角形D若AB=BC，C=50，则B=50【答案】D【分析】根据直角三角形的定义、等边三角形的判定、等腰三
15、角形的性质和判定逐一进行判定即可；【详解】解：A、A：B：C=1：2：3，则设A=x，B=2x，C=3x，A+B+C=1806x=180，x=30，C =3x=90，ABC是直角三角形，选项A正确，不符合题意；B、AB=BC，A=60，则ABC是等边三角形，选项B正确，不符合题意；C、A=20，C=80，B =80=C，AB=AC, ABC是等腰三角形， 选项C正确，不符合题意；D、AB=BC，A=C=50，B=180-100=80，选项D错误，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了直角三角形的定义、等边三角形的判定、等腰三角形的性质和判定，熟练掌握相关的性质是解题的关键4（2021河南省安阳市
16、八年级期末）如图，若是等边三角形，是边上的高，延长到E，使，则（ ）A7B8C9D10【答案】C【分析】因为ABC是等边三角形，所以ABC=ACB=60，BD是AC边上的高，则DBC=30，AD=CD=AC，再由题中条件CE=CD，即可求得BE【详解】解：ABC是等边三角形，ABC=ACB=60，AB=BC=6，BD是AC边上的高，AD=CD=AC=3，DBC=ABC=30，CE=CD，CE=AC=3，BE=BC+CE=6+3=9故选：C【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD=CD=AC是正确解答本题的关键5（2021河北保定市八年级期
17、末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，若的周长为，则的周长为（ ）ABCD【答案】B【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，即可得到、的周长为，即可求解【详解】解：DE为BC的垂直平分线，的周长为，的周长为，故选：B【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的定义与性质是解题的关键6（2021广州市八年级期中）如图，与关于直线对称，点为上任一点，下列结论中错误的是（ ）A是等腰三角形B垂直平分C与面积相等D直线，的交点不一定在上【答案】D【分析】据对称轴的定义，ABC与关于直线MN对称，P为MN上任意一点，可以判断出图中各点或线段之间的关系【详解】解：ABC与关于直线MN对称，
18、P为MN上任意一点，AP是等腰三角形，MN垂直平分A，C，这两个三角形的面积相等，故A、B、C选项正确，直线AB，关于直线MN对称，因此交点一定在MN上，故D错误，故选：D【点睛】本题考查了轴对称的性质与运用，掌握对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等是解题的关键7（2021江苏汇文实验初中八年级月考）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（ ）A1 号袋B2 号袋C3 号袋D4 号袋【答案】B【分析】根据轴对称的性质画出图
19、形即可得出正确选项【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：最后落入2号球袋,故选B.【点睛】本题考查轴对称图形的定义与判定，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形折痕所在的这条直线叫做对称轴；画出图形是正确解答本题的关键8（2021河北中考真题）如图，直线，相交于点为这两直线外一点，且若点关于直线，的对称点分别是点，则，之间的距离可能是（ ）A0 B5 C6 D7【答案】B【分析】连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论【详解】解：连接，如图，是P关于直线l的对称点，直线l是的垂直平分线，是P关于直线m的对称点，直线m是的垂直平分线，当不在同
20、一条直线上时，即当在同一条直线上时，故选：B【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键9（2021贵州印江初二月考）如图，已知 ，若A70，则的度数为（ ） ABCD【答案】C【分析】根据等边对等角可得AA1B=A=70，然后根据三角形外角的性质和等边对等角可得A1A2B1=AA1B=35，同理可得：A2A3B2=A1A2B1=，A3A4B3=A2A3B2=，找出规律即可得出结论【解析】，AA1B=A=70 A1A2B1=A1 B1A2AA1B=A1A2B1A1 B1A2A1A2B1=AA1B=35同理可得：A2A3B2=A1A2B1= A3A4B3=A2A3B
21、2= 故选C【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质和三角形外角的性质，掌握等边对等角和三角形外角的性质是解决此题的关键10（2021重庆八年级期末）如图，在中，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接则的最小值是（ ）AB1CD【答案】B【分析】以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，由题意易得PDC=QDE，PD=QD，进而可得PCDQED，则有PCD=QED=90，然后可得点Q是在QE所在直线上运动，所以CQ的最小值为CQQE时，最后问题可求解【详解】解：以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，如图所示：是等边三角形，CDQ是公共角，PDC=QDE，PCDQ
22、ED（SAS），点D是边的中点，PCD=QED=90，点Q是在QE所在直线上运动，当CQQE时，CQ取的最小值，；故选B【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的性质、含30直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键11（2021江苏九年级一模）如图，RtABC中，C=90，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则DEF的周长的最小值是（ ）A2.5B3.5C4.8D6【答案】C【分析】如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM由MCA=DCA，BCN=
23、BCD，ACD+BCD=90，推出MCD+NCD=180，可得M、B、N共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，FM+EN+EFMN，可知当M、F、E、N共线时，且CDAB时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解决问题【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DMDF=FM，DE=EN，CD=CM，CD=CN，CD=CM=CN，MCA=DCA，BCN=BCD，ACD+BCD=90，MCD+NCD=180，M、C、N共线，DF+DE+EF=FM+EN+EF，FM+EN+EFMN，当M、F、E、N共
24、线时，且CDAB时，DE+EF+FD的值最小，最小值为MN=2CD，CDAB，ABCD=ABAC，CD=2.4，DE+EF+FD的最小值为4.8故选：C【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题12（2021黑龙江甘南初二期末）如图，分别以RtABC的直角边AC、BC为边，在RtABC外作两个等边三角形ACE和BCF，连接BE、AF分别交AC、BC边于H、D两点下列结论：AFBE；AFCEBC；FAE90；BDFD，其中正确结论的个数是（）A4个B3个C2个D1个【答案】C【分析】由等边
25、三角形的性质得出BC=CF，CE=AC，BCF=ACE=CFB=CBF=CAE=60，ACB=90，易证BCE=FCA=150，由SAS证得BCEFCA，得出AF=BE，AFC=EBC，由FCA=150，得出FAC30，则FAE=FAC+CAE90，由BFDBFC，得出BFDCBF，则DFBD，即可得出结果【解析】ACE和BCF是等边三角形，BC=CF，CE=AC，BCF=ACE=CFB=CBF=CAE=60，ACB=90，BCE=90+60=150，FCA=60+90=150，BCE=FCA在BCE和FCA中，BCEFCA（SAS），AF=BE，AFC=EBC，故、正确；FCA=60+90=
26、150，FAC30CAE=60，FAE=FAC+CAE90，故错误；BFDBFC，BFDCBF，DFBD，故错误故选：C【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、三角形三边关系等知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13（2020无锡市积余实验学校八年级月考）小明站在河岸边看见水中的自己胸前球衣的号码是，则实际的号码为_【答案】12【分析】画出轴对称图形得到实际的号码【详解】解：如图，根据轴对称图形，实际的号码应该是12故答案是：12【点睛】本题考
27、查轴对称图形，解题的关键是画出轴对称图形14（2021江苏九年级二模）顶角是的等腰三角形叫做黄金三角形如图，是正五边形的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_【答案】【分析】根据正五边形的内角和和黄金三角形的定义进行判断即可【详解】解：设BE与AC、AD交于M、N，ABCDE是正五边形，内角和为，每一个内角为，ABCBAEAEDBCDCDE108，ABBCAEED，BACBCA36，EADADE36，CAD36，ACDADC72，ACAD，ACD是黄金三角形，同理可求：BANANBAMEEAM72，CBMBMCDNEDEN72，AMN、DEN、EAM、CMB，ABN也是黄金三角形则图中黄金三角形
28、的个数有6个故答案为：6【点睛】此题考查了正五边形的性质和黄金三角形的定义注意：此图中所有顶角是锐角的等腰三角形都是黄金三角形15（2021河南驻马店市八年级期末）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换在自然界和日常生活中，存在着很多这种图形变换（如图）结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图）的对应点所具有的性质是_【答案】对应点到对称轴的距离相等【分析】由已知条件，根据轴对称的性质和平移的基本性质可得答案【详解】解：两个对应三角形的对应点所具有的性质是对应点到对称轴的距离相等故
29、答案为：对应点到对称轴的距离相等【点睛】本题主要考查了轴对称及平移的性质，正确把握对应点之间关系是解题的关键16（2021辽宁九年级二模）如图，在中，垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；作射线AF，射线AF与直线PQ相交于点G，则的度数为_度【答案】56【分析】根据直角三角形两锐角互余得BAC68，由角平分线的定义得BAG34，由线段垂直平分线可得AQG是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余即可求出AGQ【详解】解：ABC是直角三角形，C90，BBAC9
30、0，B22，BAC90B902268，由作法可知，AG是BAC的平分线，BAGBAC34，PQ是AB的垂直平分线，AGQ是直角三角形，AGQBAG90，AGQ90BAG903456，故答案为：56【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质等知识，熟知角平分线和中垂线的尺规作法是解题的关键17（2021四川）如图，已知，点、在射线上，点、在射线上，、均为等边三角形，若，则的边长为_【答案】22019【分析】根据等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出，得出，进而得出答案【详解】解：是等边三角形，、是等边三角形，同理可得：，则的边长为故答案为：22019【点
31、睛】本题主要考查了图形类规律探究，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型18（2021陕西交大附中分校九年级其他模拟）如图，在四边形ABCD中，AB6，ADBC3，E为AB边中点，且CED120，则边DC长度的最大值为_【答案】9【分析】将沿DE翻折到的位置，将沿EC翻折到的位置，连接，证明是等边三角形，得，再根据两点之间线段最短可得结论【详解】解：将沿DE翻折到的位置，将沿EC翻折到的位置，连接，如图，由翻折知， ，CED120， 是等边三角形， 由两点之间线段最短得，当在同一条直线时，取最大值为：3+3+3=
32、9，故答案为：9【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定以及两点之间线段最短的应用，证明是等边三角形是解答此题的关键三、解答题（本大题共8小题，共66分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（2021山东八年级期末）某地有两所大学和两条相交的公路，如图所示（点M，N表示大学，OA，OB表示公路）现计划修建一座物资仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等请你用尺规确定仓库所在的位置【答案】作图见解析【分析】根据题意，分别作的平分线和MN的垂直平分线即可求得【详解】解：分别作的平分线和MN的垂直平分线；作图步骤如下：以为圆心，任意长度为半径作弧，交于两点，分
33、别以为圆心，以大于为半径在角的内部分别作弧，交于一点，作射线；分别以为圆心，以大于为半径在的两侧分别作弧，交于,作直线；与的交点即为所求如图所示，P在的平分线和MN的垂直平分线的交点上，点P就是仓库应该修建的位置【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，以及角平分线和垂直平分线的作图，熟练作图步骤是解题的关键20（2021江苏八年级期末）图1、图2、图3都是33的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，、均为格点.在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图1中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且、为格点；（2）在图2中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且、为格
34、点；（3）在图3中，画一个，使与关于某条直线对称，且、为格点，符合条件的三角形共有_个【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；（3）图见解析，4【分析】（1）先画出一条33的正方形网格的对称轴，根据对称性即可在图1中，描出点A、B的对称点M、N，它们一定在格点上，再连接MN即可；（2）同（1）方法即可求解；（3）同（1）方法可解；【详解】解：（1）如图， 33的正方形网格的对称轴l，描出点A、B关于直线l的对称点M、N，连接MN即为所求；（2）如图，同理（1）可得， PQ即为所求；（3）如下图所示，同理（1）可得，DEF即为所求，符合条件的三角形共有4个【点睛】本题考查了作图轴对称变换，解决本
35、题的关键是找到图形对称轴的位置21（2020佛山市顺德区北滘镇碧江中学八年级月考）如图，直角坐标系中，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，点，的坐标分别是， （1）请在图中画出关于轴的对称，点的坐标为 ，点的坐标为 （2）请写出点关轴的对称点坐标为 【答案】（1）图见解析，；（2）【分析】（1）先根据轴对称的性质画出点，再顺次连接点即可得，然后根据点坐标关于y轴对称的变换规律即可得；（2）根据点坐标关于x轴对称的变换规律即可得【详解】（1）先画出点，再顺次连接点即可得，如图所示：点坐标关于y轴对称的变换规律：横坐标互为相反数，纵坐标相同，故答案为：；（2）点坐标关于x轴对称的变换规律：
36、横坐标相同，纵坐标互为相反数，故答案为：【点睛】本题考查了画轴对称图形、点坐标与轴对称变化，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键22（2021广东清远市八年级期中）如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点（1）求的度数；（2）若，求的长【答案】（1）30；（2）2【分析】（1）证明DCE中的三个角均为60，然后再求得F30，则可得出答案；（2）先证明是等边三角形，然后由EDDC进行求解即可【详解】解：（1）ABC是等边三角形，ABACB60DEAB，BEDC60，ACED60，EDCECDDEC60，EFED，DEF90，F30；（2）ABC是等边三角形，ABAC
37、B60DEAB，BEDC60，ACED60，EDCECDDEC60，是等边三角形，DEDC2【点睛】本题主要考查的是等边三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键23（2021石家庄市第四十中学九年级二模）如图，在中，D为BC中点，交的平分线AE于E，于F，交AC的延长线于G（1）求证：；（2）若，求AF的长【答案】（1）见解析；（2）4【分析】（1）连接BE、EC，证明即可；（2）证明，则，继而求得的长【详解】（1）证明：如图，连接BE、EC，D为BC中点，且AE平分，在和中，（HL）（2）解：在和中，（HL），【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，直
38、角三角形全等的证明，全等三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键24（2021浙江八年级月考）台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球的方向，因此，台球既复杂又有趣，台球运动被称为智慧和技能的较量问题1：如图（1），如果母球P击中桌边点A，经桌边反弹击中相邻另一条桌边，再次反弹，那么母球P经过的路线BC与PA平行吗？证明你的判断问题2：在一张简易球桌ABCD上，如图（2）所示，目标球F、母球E之间有一个G球阻挡，击球者想通过击打母球E先撞球台的CD边，过一次反弹后再撞击F球，他应将E球打到CD边上的哪一点？请用尺规
39、作图在图（2）中作出这一点问题3：如图（3），在简易球台ABCD上，已知AB=4，BC=3母球P从角落A以45角击出，在桌子边缘回弹若干次后，最终必将落入 （填A、B、C、D）角落的球袋，在它落入球袋之前，与桌子边缘共回弹了 次；若AB=100，BC=99，母球P还终将会落入某个角落的球袋，则它在落入球袋之前，在桌子边缘总共回弹了 次【答案】问题1 BCPA；问题2见解析；问题3比前一次的位置下移2格，所以要撞击边的次数为100+992=197次【详解】（1）类似于光线的反射问题，可通过计算同旁内角互补，得出平行的结论；（2）入射角等于反射角，找出E点关于AB的对称点E1，连接E1F交AB于H
40、根据对称图形的特点及对顶角相等得出BHF=E1HA=EHA，求出E1N及NF的长运用勾股定理求出E1F的长，因对应边EH=E1H，E1H即为所求；（3）根据当AB=4，AD=3时的例图及弹子的运行规律：每一条运行轨迹都是一个正方形的对角线，画出图形，即可得出结论解：（1）如图，PAD=BAE，PAB=180PADBAE，PAB=1802BAE同理，ABC=1802ABEBAE+ABE=90，PAB+ABC=3602（BAE+ABE）=180BCPA（2）可作点E关于直线AB的对称点E1，连接E1F，E1F与AB交于点H，球E的运动路线就是EHHF，过点F作AB的平行线交E1E的延长线于点N，；
41、（3）如图，母球P从角落A以45角击出，在桌子边缘回弹若干次后，最终必将落入B（填A、B、C、D）角落的球袋，在它落入球袋之前，与桌子边缘共回弹了5次；设由DC边反弹，弹子撞击BC边的位置距离C点为K格，从BC边反弹后，弹子撞击AB边的位置距离B点为（99k）格，距离A点为（k+1）格经过AB边反弹后，弹子撞击AD边的位置距离A点为（k+1）格，距离D点为99（K+1）格，经AD反弹，弹子撞击DC边的位置距离D点为99（k+1）格，距离C点为10099（K+1）=K+2格再撞击BC边的位置距离C点为k+2格，即比前一次的位置下移2格，所以要撞击边的次数为100+992=197次25（2021上海八年级期末）如图，在ABC中，BC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BECF，AD+ECAB（1）试说明：DEEF；（2）当A40时，求DEF的度数；（3）请你猜想：当A为多少度时，EDF+EFD120，并请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）70；（3）A=60，理由见解析【分析】（1）根据线段的和差关系可得BD=CE，利用可SAS证得DBEECF，由“全等三角形的对应边相等”即可得结论；（2）由等腰的性质求得BC70，根据三角形内角和定理推知BDE+DEB110；根据全等三角形的性质可得BDEFEC，根据平角的定义即可得答案；（3）由（2）知，DEFB，根