1、2021 年山东省青岛市局属四校中考数学一模试卷年山东省青岛市局属四校中考数学一模试卷 一、选抒题（本题满分一、选抒题（本题满分 24 分，共有分，共有 8 道小题，佴小题道小题，佴小题 3 分）下列每小题都给出分）下列每小题都给出 A、B.C.D 四个结论，其中四个结论，其中 只有一个是正确的，每小题选对得分：不选、错选或选出的标号超过一个的不得分只有一个是正确的，每小题选对得分：不选、错选或选出的标号超过一个的不得分. 1的相反数是（ ） A8 B8 C D 2下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 3 某种计算机完成一次基本运算的时间约为 0.0000000017s 把
2、 0.0000000017s用科学记数法可表示为 （ ） A0.1710 8 B1.710 9 C1.710 8 D1710 9 4如图所示的几何体的俯视图是（ ） A B C D 5计算 aa5（2a3）2的结果为（ ） A3a6 Ba6 Ca64a5 Da62a5 6已知平面直角坐标系中两点 A（1，0） 、B（1，2） 连接 AB，平移线段 AB 得到线段 A1B1，若点 A 的 对应点 A1的坐标为（2，1） ，则 B 的对应点 B1的坐标为（ ） A （4，3） B （4，1） C （2，3） D （2，1） 7如图，在 RtACB 中，ACB90，A25，D 是 AB 上一点将 R
3、tABC 沿 CD 折叠，使 B 点 落在 AC 边上的 B处，则ADB等于（ ） A25 B30 C35 D40 8 已知一次函数 yx+c 的图象如图， 则二次函数 yax2+bx+c 在平面直角坐标系中的图象可能是 （ ） A B C D 二、填空愿（本题满分二、填空愿（本题满分 18 分，共有分，共有 6 道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分） 9计算： （+） 10如图，AB 是O 的直径，C，D 是O 上的两点，若BCD28，则ABD 11 某车间加工 120 个零件后， 采用了新工艺， 工效是原来的 1.5 倍， 这样加工同样多的零件就少用 1 小时， 采用新工艺前每小时加工
4、多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工 x 个零件，则根据题意可列方程 为 12如图，已知 AGBD，AFCE，BD、CE 分别是ABC 和ACB 的角平分线，若 BF2，ED3，GC 4，则ABC 的周长为 13如图，ACBC，ACBC4，以 BC 为直径作半圆，圆心为 O以点 C 为圆心，BC 为半径作弧 AB， 过点 O 作 AC 的平行线交两弧于点 D、E，则阴影部分的面积是 14一长方体容器（如图 1） ，长，宽均为 4，高为 16，里面盛有水，水面高为 10，若沿底面一棱进行旋转 倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图 2 所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则 CD 的长 为 三、作
5、图题（本题满分三、作图题（本题满分 4 分）分） 15 （4 分）已知：如图，在ABC 中，A 为钝角 求作：P，使圆心 P 在ABC 的边 AC 上，且P 与 AB、BC 所在的直线都相切 （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 9 道小题，滿分道小题，滿分 74 分）分） 16 （8 分）计算： （1）已知关于 x 的一元二次方程 kx2+5x100 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围 （2）先化简，再求值：（a+2） ，其中，a 满足 a240 17 （6 分）为了规范业主摆放机动车，某小区画出了一些停车位如图，四个空停车位，标号分别为
6、 1，2， 3，4，如果有两辆机动车要随机停在这四个停车位中的两个里边，小明认为这两辆机动车停在“标号是 一个奇数和一个偶数”停车位，跟这两辆机动车都停在“标号同是奇数或同是偶数”停车位的可能性相 等小明的想法对吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由 18 （6 分）某地区为了解该区八年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了该区部分八年级学生第一学 期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图 请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）在扇形统计图中， “6 天”对应的圆心角度数为 度； （2）补全条形统计图：在这次抽样调查中，众数为 ，中位数为 ； （3）如果该区共有八年级学
7、生 3500 人，请你估计该区“活动时间不少于 7 天”的学生人数大约有多少 人？ 19 （6 分）如图，为固定电线杆 CM，其自身需植入地下 1.5 米，且由两根互相垂直的拉线 AC 与 BC 协助 固定A、D、B 在同一直线上 （1）若电线杆地面上部分 CD 高为 h 米，CAB，请用 h 与 三角函数的代数式表示 BC 的长度 为 ； （2）若CAB25，电线杆 CM 为 11.5 米，求两处固定点 A、B 之间的距离是多少？（结果精确到 1 米） （sin25，cos25，tan25） 20 （8 分）如图，直线 y1k1x+b 与双曲线 y2在第一象限内交于 A、B 两点，已知 A（
8、1，m） ，B（2， 1） （1）分别求出直线和双曲线的解析式； （2）设点 P 是线段 AB 上的一个动点，过点 P 作 PDx 轴于点 D，E 是 y 轴上一点，当PED 的面积 最大时，请直接写出此时 P 点的坐标为 21 （8 分）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，分别过点 C、D 作 CFBD，DFAC， 连接 BF 交 AC 于点 E （1）求证：FCEBOE； （2）当ADC 满足什么条件时，四边形 OCFD 为菱形？请说明理由 22 （10 分）某商场销售一种小商品，进货价为 8 元/件当售价为 10 元/件时，每天的销售量为 100 件在 销售过程
9、中发现：销售单价每上涨 0.1 元，每天的销售量就减少 1 件 设销售单价为 x（元/件） （x10） ，每天销售利润为 y（元） （1）直接写出 y 与 x 的函数关系式为： ； （2）若要使每天销售利润为 270 元，求此时的销售单价； （3）若每件该小商品的利润率不超过 100%，且每天的进货总成本不超过 800 元，求该小商品每天销售 利润 y 的取值范围 23 （12 分）探究一，棋型再现：m 条直线最多可以把平面分割成多少个部分？ 如图 1，很明显，平面中画出 1 条直线时，会得到 1+12 个部分；所以，1 条直线最多可以把平面分割 成 2 个部分； 如图 2，平面中画出第 2
10、条直线时，新增的一条直线与已知的 1 条直线最多有 1 个交点，这个交点会把 新增的这条直线分成 2 部分，从而多出 2 个部分，即总共会得到 1+1+24 个部分，所以，2 条直线最多 可以把平面分割成 4 个部分； 如图 3，平面中画出第 3 条直线时，新增的一条直线与已知的 2 条直线最多有 2 个交点，这 2 个交点会 把新增的这条直线分成 3 部分，从而多出 3 个部分，即总共会得到 1+1+2+37 个部分，所以，3 条直线 最多可以把平面分割成 7 个部分； 平面中画出第 4 条直线时，新增的一条直线与已知的 3 条直线最多有 3 个交点，这 3 个交点会把新增的 这条直线分成
11、4 部分，从而多出 4 个部分，即总共会得到 1+1+2+3+411 个部分，所以，4 条直线最多 可以把平面分割成 11 个部分； 问题一：5 条直线最多可以把平面分割成 个部分； 问题二：m 条直线最多可以把平面分割成 个部分（用 m 的代数式表示） ； 探究二，类比迁移：n 个圆最多可以把平面分割成多少个部分？ 如图 4，很明显，平面中画出 1 个圆时，会得到 1+12 个部分，所以，1 个圆最多可以把平面分割成 2 个部分； 如图 5，平面中画出第 2 个圆时，新增的一个圆与已知的 1 个圆最多有 2 个交点，这 2 个交点会把新增 的这个圆分成 2 部分，从而多出 2 个部分，即总共
12、会得到 1+1+24 个部分，所以，2 个圆最多可以把平 面分割成 4 个部分； 如图 6，平面中画出第 3 个圆时，新增的一个圆与已知的 2 个圆最多有 4 个交点，这 4 个交点会把新增 的这个圆分成 4 部分，从而多出 4 个部分，即总共会得到 1+1+2+48 个部分， 平面中画出第 4 个圆时，新增的一个圆与已知的 3 个圆最多有 6 个交点，这 6 个交点会把新增的这个圆 分 成6部 分 ， 从 而 多 出6个 部 分 ， 即 总 共 会 得 到1+1+2+4+6 14个 部 分 ， 问题三：5 个圆最多可以把平面分割成 个部分； 问题四：n 个圆最多可以把平面分割成 个部分（用
13、n 的代数式表示） ； 问题五：如果 n 个圆最多可以把平面分割成 508 个部分，求 n 的值（要求写出解答过程） ； 探究三，拓展延伸： 问题六：5 条直线和 1 个圆最多可以把平面分割成 个部分； 问题七：m 条直线和 n 个圆最多可以把平面分割成 个部分（用 m、n 的代数式表示） 24 （10 分）矩形 ABCD 中，ABCD3cm，ADBC4cm，AC 是对角线，动点 P 从点 A 出发沿 AC 方 向向点 C 匀速运动，速度为 1cm/s；动点 Q 从点 C 出发沿 CD 方向向点 D 匀速运动，速度为 2cm/s过 点 P 作 BC 的垂线段 PH，运动过程中始终保持 PH 与
14、 BC 互相垂直，连接 HQ 交 AC 于点 O若点 P 和 点 Q 同时出发，设运动的时间为 t（s） （0t1.5） ，解答下列问题： （1）求当 t 为何值时，四边形 PHCQ 为矩形； （2）是否存在一个时刻，使 HQ 与 AC 互相垂直？如果存在，请求出 t 值；如果不存在，请说明理由； （3）是否存在一个时刻，使矩形 ABCD 的面积是四边形 PHCQ 面积的，如果存在，请求出 t 值；如 果不存在，请说明理由； （4）如果COQ 是等腰三角形，请直接写出所有符合题意的时刻： 2021 年山东省青岛市局属四校中考数学一模试卷年山东省青岛市局属四校中考数学一模试卷 参考答案与试题解析
15、参考答案与试题解析 一、选抒题（本题满分一、选抒题（本题满分 24 分，共有分，共有 8 道小题，佴小题道小题，佴小题 3 分）下列每小题都给出分）下列每小题都给出 A、B.C.D 四个结论，其中四个结论，其中 只有一个是正确的，每小题选对得分：不选、错选或选出的标号超过一个的不得分只有一个是正确的，每小题选对得分：不选、错选或选出的标号超过一个的不得分. 1的相反数是（ ） A8 B8 C D 【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可 【解答】解：的相反数是， 故选：C 2下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项
16、所给图形进行判断即可 【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项正确； 故选：D 3 某种计算机完成一次基本运算的时间约为 0.0000000017s 把 0.0000000017s用科学记数法可表示为 （ ） A0.1710 8 B1.710 9 C1.710 8 D1710 9 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是
17、正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：0.0000000017s1.710 9， 故选：B 4如图所示的几何体的俯视图是（ ） A B C D 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案 【解答】解：从上边看是两个有公共边的矩形，如图所示： 故选：A 5计算 aa5（2a3）2的结果为（ ） A3a6 Ba6 Ca64a5 Da62a5 【分析】根据底数幂的乘法、积的乘方以及幂的乘方解决此题 【解答】解：aa5（2a3）2 a64a6 3a6 故选：A 6已知平面直角坐标系中两点 A（1，0） 、B（1，2） 连接 AB，平移线段 AB 得到线段 A1B1，若点 A 的
18、 对应点 A1的坐标为（2，1） ，则 B 的对应点 B1的坐标为（ ） A （4，3） B （4，1） C （2，3） D （2，1） 【分析】根据平移的性质，结合已知点 A，A1的坐标，知点 A 的横坐标加上了 3，纵坐标减小了 1，所 以 A 点的平移方法是：先向右平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位，则 B 的平移方法与 A 点相同，即可 得到答案 【解答】解：A（1，0）平移后对应点 A1的坐标为（2，1） ， A 点的平移方法是：先向右平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位， B 点的平移方法与 A 点的平移方法是相同的， B（1，2）平移后的坐标是： （4，1） 故选：B
19、7如图，在 RtACB 中，ACB90，A25，D 是 AB 上一点将 RtABC 沿 CD 折叠，使 B 点 落在 AC 边上的 B处，则ADB等于（ ） A25 B30 C35 D40 【分析】先根据三角形内角和定理求出B 的度数，再由图形翻折变换的性质得出CBD 的度数，再 由三角形外角的性质即可得出结论 【解答】解：在 RtACB 中，ACB90，A25， B902565， CDB由CDB 反折而成， CBDB65， CBD 是ABD 的外角， ADBCBDA652540 故选：D 8 已知一次函数 yx+c 的图象如图， 则二次函数 yax2+bx+c 在平面直角坐标系中的图象可能是
20、 （ ） A B C D 【分析】根据一次函数图象经过的象限，即可得出0、c0，由此即可得出：二次函数 yax2+bx+c 的图象对称轴 x0，与 y 轴的交点在 y 轴正正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论 【解答】解：观察函数图象可知：0、c0， 二次函数 yax2+bx+c 的图象对称轴 x0，与 y 轴的交点在 y 轴正正半轴 故选：C 二、填空愿（本题满分二、填空愿（本题满分 18 分，共有分，共有 6 道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分） 9计算： （+） 13 【分析】先把各二次根式化简为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的乘法运算即可 【解答】解：原式（2
21、+） 13 故答案为 13 10如图，AB 是O 的直径，C，D 是O 上的两点，若BCD28，则ABD 62 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到ACB90，求出BCD，根据圆周角定理解答即可 【解答】解：AB 是O 的直径， ACB90， BCD28， ACD62， 由圆周角定理得，ABDACD62， 故答案为：62 11 某车间加工 120 个零件后， 采用了新工艺， 工效是原来的 1.5 倍， 这样加工同样多的零件就少用 1 小时， 采用新工艺前每小时加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工 x 个零件，则根据题意可列方程为 【分析】由于某车间加工 120 个零件后，采用了新工艺，
22、工效是原来的 1.5 倍，设采用新工艺前每小时 加工 x 个零件，那么采用新工艺后每小时加工 1.5x 个零件，又同样多的零件就少用 1 小时，由此即可列 出方程解决问题 【解答】解：依题意得 故答案为： 12如图，已知 AGBD，AFCE，BD、CE 分别是ABC 和ACB 的角平分线，若 BF2，ED3，GC 4，则ABC 的周长为 30 【分析】由 AGBD，AFCE，BD、CE 分别是ABC 和ACB 的角平分线推出即ABG 和ACF 都 是等腰三角形根据三角形中位线定理可得 FG2DE6，即可解题 【解答】解：由 AGBD，BD 是ABC 的平分线， 可得ADBGDB90，ABDGB
23、D，BD 为公共边， ADBGDB，ABGB， AFCE，CE 是ACB 的角平分线， 同理可证；ACFC， 即ABG 和ACF 都是等腰三角形 又因 AGBD，AFCE，所以 E、D 分别是 AF 和 AG 的中点， 即 ED 是AFG 的中位线，FG2DE， 则ABC 的周长为：AB+BC+ACBF+FG+BF+FG+CG+FG+CG 由 BF2，ED3，GC4，FG2DE6 得则ABC 的周长为 30 故答案为：30 13如图，ACBC，ACBC4，以 BC 为直径作半圆，圆心为 O以点 C 为圆心，BC 为半径作弧 AB， 过点 O 作 AC 的平行线交两弧于点 D、E，则阴影部分的面
24、积是 2 【分析】如图，连接 CE图中 S阴影S扇形BCES扇形BODSOCE根据已知条件易求得 OBOCOD 2，BCCE4ECB60，OE2所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可 【解答】解：如图，连接 CE ACBC，ACBC4，以 BC 为直径作半圆，圆心为点 O；以点 C 为圆心，BC 为半径作弧 AB， ACB90，OBOCOD2，BCCE4 又OEAC， ACBCOE90 在直角OEC 中，OC2，CE4， CEO30，ECB60，OE2 S阴影S扇形BCES扇形BODSOCE22222， 故答案为：2 14一长方体容器（如图 1） ，长，宽均为 4，高为 16，里面盛有
25、水，水面高为 10，若沿底面一棱进行旋转 倾斜， 倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示， 若倾斜容器使水恰好倒出容器， 则CD的长为 4 【分析】设 DEx，则 AD8x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出 DE，再由勾股定理 求出 CD 即可 【解答】解：如图所示： 设 DEx，则 AD16x， 根据题意得：（16x+16）444410， 解得：x12， DE12， E90， 由勾股定理得：CD4 即：CD 的长 4 故答案是：4 三、作图题（本题满分三、作图题（本题满分 4 分）分） 15 （4 分）已知：如图，在ABC 中，A 为钝角 求作：P，使圆心 P 在ABC 的边 AC
26、上，且P 与 AB、BC 所在的直线都相切 （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【分析】作ABC 的角平分线 BP，过点 P 作 PDBC 于 D，以 P 为圆心，PD 为半径作P 即为 【解答】解：如图，P 即为所求 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 9 道小题，滿分道小题，滿分 74 分）分） 16 （8 分）计算： （1）已知关于 x 的一元二次方程 kx2+5x100 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围 （2）先化简，再求值：（a+2） ，其中，a 满足 a240 【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义解答； （2）根据分式的混合运算法则把
27、原式化简，解方程求出 a，根据分式有意义的条件确定 a 的值，代入计 算即可 【解答】解： （1）524k（10）25+40k， 由题意得：k0，25+40k0， 解得：k且 k0； （2）原式（） ， 解方程 a240，得 a12，a22， a20， a2， 当 a2 时，原式 17 （6 分）为了规范业主摆放机动车，某小区画出了一些停车位如图，四个空停车位，标号分别为 1，2， 3，4，如果有两辆机动车要随机停在这四个停车位中的两个里边，小明认为这两辆机动车停在“标号是 一个奇数和一个偶数”停车位，跟这两辆机动车都停在“标号同是奇数或同是偶数”停车位的可能性相 等小明的想法对吗？请用列表或
28、画树状图的方法说明你的理由 【分析】画树状图，共有 12 种等可能的结果，这两辆机动车停在“标号是一个奇数和一个偶数”停车位 的结果有 8 种，这两辆机动车都停在“标号同是奇数或同是偶数”停车位的结果有 4 种，再由概率公式 分别求出概率，即可求解 【解答】解：小明的想法不对，理由如下： 画树状图如图： 共有 12 种等可能的结果，这两辆机动车停在“标号是一个奇数和一个偶数”停车位的结果有 8 种， 这两辆机动车都停在“标号同是奇数或同是偶数”停车位的结果有 4 种， 这两辆机动车停在“标号是一个奇数和一个偶数”停车位的概率为， 这两辆机动车都停在“标号同是奇数或同是偶数”停车位的概率为， ，
29、 小明的想法不对 18 （6 分）某地区为了解该区八年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了该区部分八年级学生第一学 期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图 请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）在扇形统计图中， “6 天”对应的圆心角度数为 72 度； （2）补全条形统计图：在这次抽样调查中，众数为 5 天 ，中位数为 6 天 ； （3）如果该区共有八年级学生 3500 人，请你估计该区“活动时间不少于 7 天”的学生人数大约有多少 人？ 【分析】 （1）根据活动 5 天的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出在扇 形统计图中， “6 天”对应的
30、圆心角度数； （2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出活动 8 天的人数，然后即可写出众数和中 位数； （3）根据统计图中的数据，可以计算出该区“活动时间不少于 7 天”的学生人数大约有多少人 【解答】解： （1）本次调查的人数为：24040%600， 在扇形统计图中， “6 天”对应的圆心角度数为：36072， 故答案为：72； （2）参加活动 8 天的人数为：6002401201503060， 补全的条形统计图如右图所示， 众数为 5 天，中位数是（6+6）26（天） ， 故答案为：5 天，6 天； （3）35001400（人） ， 答：估计该区“活动时间不少于 7 天”的
31、学生人数大约有 1400 人 19 （6 分）如图，为固定电线杆 CM，其自身需植入地下 1.5 米，且由两根互相垂直的拉线 AC 与 BC 协助 固定A、D、B 在同一直线上 （1）若电线杆地面上部分 CD 高为 h 米，CAB，请用 h 与 三角函数的代数式表示 BC 的长度为 ； （2）若CAB25，电线杆 CM 为 11.5 米，求两处固定点 A、B 之间的距离是多少？（结果精确到 1 米） （sin25，cos25，tan25） 【分析】 （1）证明BCDCAB，再根据 cos求解即可 （2）分别求出 AD，DB，可得结论 【解答】解： （1）CDAB，ACB90， ADC90， C
32、AB+ACD90，ACD+BCD90， BCDCAB， 在 RtBCD 中，cos， BC 故答案为： （2）CM11.5 米，DM1.5 米， CD10（米） ， 在 RtADC 中，tan25， AD23（米） ， 在 RtCDB 中，tan25， BC10（米） ， ABAD+DB23+27（米） 20 （8 分）如图，直线 y1k1x+b 与双曲线 y2在第一象限内交于 A、B 两点，已知 A（1，m） ，B（2， 1） （1）分别求出直线和双曲线的解析式； （2）设点 P 是线段 AB 上的一个动点，过点 P 作 PDx 轴于点 D，E 是 y 轴上一点，当PED 的面积 最大时，请
33、直接写出此时 P 点的坐标为 （，） 【分析】 （1）依据反比例函数图象上点的坐标特征，即可得到 m 和 k2的值，再根据待定系数法即可得出 直线 AB 的解析式； （2）设点 P（x，x+3） ，用含 x 的代数式表示出PED 的面积，即可求解 【解答】解： （1）点 B（2，1）在双曲线上， k2212， 双曲线的解析式为 y2， A（1，m）在双曲线 y2， m2， A（1，2） 直线 AB：y1k1x+b 过 A（1，2） 、B（2，1）两点，则，解得， 直线 AB 的解析式为 yx+3； （2）设点 P（x，x+3） ，且 1x2， PED 的面积PDODx（x+3）（x）2+， 当
34、 x时，PED 的面积取得最大值， 此时点 P 的坐标为（，） ， 故答案为（，） 21 （8 分）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，分别过点 C、D 作 CFBD，DFAC， 连接 BF 交 AC 于点 E （1）求证：FCEBOE； （2）当ADC 满足什么条件时，四边形 OCFD 为菱形？请说明理由 【分析】 （1）证明四边形 OCFD 是平行四边形，得出 ODCF，证出 OBCF，即可得出FCEBOE （AAS） ； （2）证出四边形 ABCD 是矩形，由矩形的性质得出 OCOD，即可得出四边形 OCFD 为菱形 【解答】 （1）证明：CFBD，DFAC，
35、四边形 OCFD 是平行四边形，OBECFE， ODCF， 四边形 ABCD 是平行四边形， OBOD， OBCF， 在FCE 和BOE 中， ， FCEBOE（AAS） ； （2）解：当ADC 满足ADC90时，四边形 OCFD 为菱形；理由如下： ADC90，四边形 ABCD 是平行四边形， 四边形 ABCD 是矩形， OAOC，OBOD，ACBD， OCOD， 四边形 OCFD 为菱形 22 （10 分）某商场销售一种小商品，进货价为 8 元/件当售价为 10 元/件时，每天的销售量为 100 件在 销售过程中发现：销售单价每上涨 0.1 元，每天的销售量就减少 1 件 设销售单价为 x
36、（元/件） （x10） ，每天销售利润为 y（元） （1）直接写出 y 与 x 的函数关系式为： y10 x2+280 x1600 ； （2）若要使每天销售利润为 270 元，求此时的销售单价； （3）若每件该小商品的利润率不超过 100%，且每天的进货总成本不超过 800 元，求该小商品每天销售 利润 y 的取值范围 【分析】 （1）根据利润 y 等于每件的利润乘以销售量，列出 y 与 x 的函数关系式并化简； （2）令 y270 得关于 x 的一元二次方程，求得方程的解； （3）由每件该小商品的利润不超过 100%和每天的进货总成本不超过 800 元，求得 x 的范围，根据二次 函数的性质
37、可得答案 【解答】解： （1）由题意得： y（x8）10010（x10）10 x2+280 x1600， y 与 x 的函数关系式为 y10 x2+280 x1600（x10） ； 故答案为：y10 x2+280 x1600； （2）令 y270 得：10 x2+280 x1600270， 解得：x111，x217， 销售单价为 11 元或 17 元； （3）每件该小商品的利润不超过 100%， x8100%8，解得 x16， 每天的进货总成本不超过 800 元， 销售单价 x10， 故销售单价的范围是 10 x16， 由（1）得 y10 x2+280 x160010（x14）2+360， 当
38、 x14 时，利润最大是 360 元， 当 x10 时，利润 y200 元， 所以利润的取值范围是 200y360 23 （12 分）探究一，棋型再现：m 条直线最多可以把平面分割成多少个部分？ 如图 1，很明显，平面中画出 1 条直线时，会得到 1+12 个部分；所以，1 条直线最多可以把平面分割 成 2 个部分； 如图 2，平面中画出第 2 条直线时，新增的一条直线与已知的 1 条直线最多有 1 个交点，这个交点会把 新增的这条直线分成 2 部分，从而多出 2 个部分，即总共会得到 1+1+24 个部分，所以，2 条直线最多 可以把平面分割成 4 个部分； 如图 3，平面中画出第 3 条直
39、线时，新增的一条直线与已知的 2 条直线最多有 2 个交点，这 2 个交点会 把新增的这条直线分成 3 部分，从而多出 3 个部分，即总共会得到 1+1+2+37 个部分，所以，3 条直线 最多可以把平面分割成 7 个部分； 平面中画出第 4 条直线时，新增的一条直线与已知的 3 条直线最多有 3 个交点，这 3 个交点会把新增的 这条直线分成 4 部分，从而多出 4 个部分，即总共会得到 1+1+2+3+411 个部分，所以，4 条直线最多 可以把平面分割成 11 个部分； 问题一：5 条直线最多可以把平面分割成 16 个部分； 问题二：m 条直线最多可以把平面分割成 个部分（用 m 的代数
40、式表示） ； 探究二，类比迁移：n 个圆最多可以把平面分割成多少个部分？ 如图 4，很明显，平面中画出 1 个圆时，会得到 1+12 个部分，所以，1 个圆最多可以把平面分割成 2 个部分； 如图 5，平面中画出第 2 个圆时，新增的一个圆与已知的 1 个圆最多有 2 个交点，这 2 个交点会把新增 的这个圆分成 2 部分，从而多出 2 个部分，即总共会得到 1+1+24 个部分，所以，2 个圆最多可以把平 面分割成 4 个部分； 如图 6，平面中画出第 3 个圆时，新增的一个圆与已知的 2 个圆最多有 4 个交点，这 4 个交点会把新增 的这个圆分成 4 部分，从而多出 4 个部分，即总共会
41、得到 1+1+2+48 个部分， 平面中画出第 4 个圆时，新增的一个圆与已知的 3 个圆最多有 6 个交点，这 6 个交点会把新增的这个圆 分 成6部 分 ， 从 而 多 出6个 部 分 ， 即 总 共 会 得 到1+1+2+4+6 14个 部 分 ， 问题三：5 个圆最多可以把平面分割成 22 个部分； 问题四：n 个圆最多可以把平面分割成 （n2n+2） 个部分（用 n 的代数式表示） ； 问题五：如果 n 个圆最多可以把平面分割成 508 个部分，求 n 的值（要求写出解答过程） ； 探究三，拓展延伸： 问题六：5 条直线和 1 个圆最多可以把平面分割成 26 个部分； 问题七：m 条
42、直线和 n 个圆最多可以把平面分割成 （+2mn+n2n） 个部分（用 m、n 的代 数式表示） 【分析】问题一：平面中画出第 5 条直线时，新增的一条直线与已知的 4 条直线最多有 4 个交点，这 4 个交点会把新增的这条直线分成 5 部分，从而多出 5 个部分，即总共会得到 1+1+2+3+4+516 个部分； 问题二：寻找出规律得出结论，最后求和即可得出结论； 问题三：平面中画出第 5 个圆时，新增的一个圆与已知的 4 个圆最多有 8 个交点，这 8 个交点会把新增 的这个圆分成 8 部分，从而多出 8 个部分，即总共会得到 1+1+2+4+6+822 个部分； 问题四：寻找出规律得出结
43、论，最后求和即可得出结论； 问题五：根据问题四中结论列方程求解； 问题六：一条直线和一个圆最多将平面分成 2+214 个部分，两条直线和一个圆最多将平面分成 4+2 28 部分.五条直线和一个圆最多将平面分成 16+2526 个部分； 问题七：当 m0 时，m 条直线和 n 个圆最多可以把平面分割成（n2n+2）个部分；当 m0 时，m 条 直线和 n 个圆最多可以把平面分割成（+2mn+n2n）个部分 【解答】解：问题一：根据规律得，平面中画出第 5 条直线时，新增的一条直线与已知的 4 条直线最多 有 4 个交点，这 4 个交点会把新增的这条直线分成 5 部分，从而多出 5 个部分， 即总
44、共会得到 1+1+2+3+4+516 个部分， 5 条直线最多可以把平面分割成 16 个部分， 故答案为：16； 问题二：根据规律得，m 条直线最多可以把平面分割成 1+1+2+3+4+m1+， 故答案为：； 问题三：平面中画出第 5 个圆时，新增的一个圆与已知的 4 个圆最多有 8 个交点，这 8 个交点会把新增 的这个圆分成 8 部分，从而多出 8 个部分， 即总共会得到 1+1+2+4+6+822 个部分； 故答案为：22； 问题四：根据规律得，n 个圆最多可以把平面分割成 1+1+2+4+2（n1）（n2n+2）个部分； 故答案为： （n2n+2） ； 问题五：根据问题四中结论得：n2
45、n+2508， 解得：n123，n222（舍去） ， n 的值为 23； 问题六：一条直线和一个圆最多将平面分成 2+214 个部分，两条直线和一个圆最多将平面分成 4+2 28 部分.五条直线和一个圆最多将平面分成 16+2526 个部分， 故答案为：26； 问题七：当 m0 时，m 条直线和 n 个圆最多可以把平面分割成（n2n+2）个部分； 当 m0 时，m 条直线和 n 个圆最多可以把平面分割成（+2mn+n2n）个部分， 故答案为： （+2mn+n2n） 24 （10 分）矩形 ABCD 中，ABCD3cm，ADBC4cm，AC 是对角线，动点 P 从点 A 出发沿 AC 方 向向点
46、 C 匀速运动，速度为 1cm/s；动点 Q 从点 C 出发沿 CD 方向向点 D 匀速运动，速度为 2cm/s过 点 P 作 BC 的垂线段 PH，运动过程中始终保持 PH 与 BC 互相垂直，连接 HQ 交 AC 于点 O若点 P 和 点 Q 同时出发，设运动的时间为 t（s） （0t1.5） ，解答下列问题： （1）求当 t 为何值时，四边形 PHCQ 为矩形； （2）是否存在一个时刻，使 HQ 与 AC 互相垂直？如果存在，请求出 t 值；如果不存在，请说明理由； （3）是否存在一个时刻，使矩形 ABCD 的面积是四边形 PHCQ 面积的，如果存在，请求出 t 值；如 果不存在，请说明
47、理由； （4）如果COQ 是等腰三角形，请直接写出所有符合题意的时刻： 或或 【分析】 （1）利用相似三角形的性质求出 PH，CH（用 t 表示） ，再根据 PHCQ，构建方程求解即可 （2）证明HCQABC，可得，由此构建方程求解即可 （3）根据矩形 ABCD 的面积是四边形 PHCQ 面积的，构建方程求解即可 （4）分三种情形：COCQ，OCOQ，QOCQ，分别构建方程求解即可 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是矩形， B90， AB4，BC4， AC5， PHBC， CHPB90， PCHACB， PCHACB， ， ， PH（5t） ，CH（5t） ， 当 PHCQ 时，四边形
48、PHCQ 是矩形， （5t）2t， 解得 t， 当 t时，四边形 PHCQ 是矩形 （2）当 HQAC 时，QHC+ACB90， ACB+BAC90， HCQABC， ， （5t）432t， 解得 t， 当 t时，HQ 与 AC 互相垂直 （3）存在由题意 122t+（5t）（5t） ， 解得 t1 或（舍弃） ， t1 时，矩形 ABCD 的面积是四边形 PHCQ 面积的 （4）当 CQCO 时，PHCQ， ， ， 解得 t， 经检验，t是分式方程的解， 当 OCOQ 时，四边形 PHCQ 是矩形，此时 t 当 OQQC 时，OPPH（5t） ， OC5t（5t）2t， cosOCQ， ， 解得 t， 经检验，t是分式方程的解， 综上所述，满足条件的 t 的值为或或