1、2021 年广东省惠州市惠城区中考数学二模试卷年广东省惠州市惠城区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确 的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑. 1的绝对值是（ ） A20 B20 C D 2 随着科技不断发展， 芯片的集成度越来越高， 我国企业中芯国际已经实现 14 纳米量产， 14 纳米0.000014 毫米，0.000014 用科学记数法表示为（ ） A1410 6 B1.410
2、5 C1.410 7 D0.1410 4 3下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 4下列运算正确的是（ ） A3a+2b5ab B8a2（4a）2a C （2a2）38a6 D4a33a212a3 5从 1，3，5，7 中任取两个数，则下列事件中是随机事件的是（ ） A两个数的和为奇数 B两个数的和为偶数 C两个数的积为偶数 D两个数的积为 3 的倍数 6在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇 7 个村的得分如下：10，7，6，9，8，9，5，这组数据的中位数和 众数分别是（ ） A7，9 B9，9 C8，9 D9，8 7如图，在ABCD 中，AB5，BC8，以 D
3、为圆心，任意长为半径画弧，交 AD 于点 P，交 CD 于点 Q， 分别以 P、Q 为圆心，大于PQ 为半径画弧交于点 M，连接 DM 并延长，交 BC 于点 E，连接 AE，恰好 有 AEBC，则 AE 的长（ ） A3 B4 C5 D 8如图，已知 ADBECF，那么下列结论正确的是（ ） A B C D 9如图，正方形 ABCD 边 AB1，和都是以 1 为半径的圆弧，阴影两部分的面积分别记为 S1和 S2， 则 S1S2等于（ ） A1 B1 C1 D1 10如图，正方形 ABCD 的边 AB3，对角线 AC 和 BD 交于点 O，P 是边 CD 上靠近点 D 的三等分点，连 接 PA
4、，PB，分别交 BD，AC 于点 M，N，连接 MN有下列结论：OMMD；MN ；SMDP，其中正确的是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）请将下列各题正确答案填在答题卡相应的位置上分）请将下列各题正确答案填在答题卡相应的位置上 11 （4 分）因式分解：4a316a2+16a 12 （4 分）若 b+5，则 ab 13 （4 分）已知点 P（2m+4，m1）在第一象限，到 x 轴的距离为 2，则 m 14 （4 分）已知 a2+3a+10，求 63a29a 的值为 15 （4 分）如图，正五边形 ABCD
5、E 的边长为 5，分别以点 C、D 为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点 F，则的长为 16 （4 分）如图，ABC 中，BD 平分ABC，CDBD，垂足为 D，E 为 AC 中点若 AB10，BC6， 则 DE 的长为 17 （4 分）如图，半径为 4 的O 中，CD 为直径，弦 ABCD 且过半径 OD 的中点，点 E 为O 上一动 点，CFAE 于点 F当点 E 从点 B 出发逆时针运动到点 C 时，点 F 所经过的路径长 为 三、解答题（一） （本大题共三、解答题（一） （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）先化简，再求值：，其中
6、 19 （6 分）如图，AB 为O 的直径，PD 切O 于点 C，交 AB 的延长线于点 D，且D2A （）求D 的度数； （）若O 的半径为 m，求 BD 的长 20 （6 分）对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用，减少污染，保护环境为了了解同 学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校数学 兴趣小组的同学们设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷 测试根据测试成绩分布情况，他们将全部测试成绩分成 A、B、C、D 四组，绘制了统计图表 “垃圾分类知识及投放情况”问卷测试成绩统计表 组别 分数/分 频数
7、 A 60 x70 38 B 70 x80 72 C 80 x90 60 D 90 x100 m 依据以上统计信息解答下列问题： （1）求得 m ，n ； （2）为了增强大家对垃圾分类的了解，学校组织每个班级学习相关知识，经过一段时间的学习后，再次 对原来抽取的这些同学进行问卷测试，发现 A 组的同学平均成绩提高 15 分，B 组的同学平均成绩提高 10 分，C 组的同学平均成绩提高 5 分，D 组的同学平均成绩没有变化，请估计学习后这些同学的平均成 绩提高多少分？若把测试成绩超过 85 分定为优秀，这些同学再次测试的平均成绩是否达到优秀，为什 么？ 四、解答题（二） （本大题共四、解答题（二
8、） （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k+1）x+2k0 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）记该方程的两个实数根为 x1和 x2，若以 x1，x2，3 为三边长的三角形是直角三角形，求 k 的值 22 （8 分）某种型号油电混合动力汽车，从 A 地到 B 地，只用燃油行驶，需用燃油 76 元；从 A 地到 B 地， 只用电行驶，需用电 26 元，已知每行驶 1 千米，只用燃油的费用比只用电的费用多 0.5 元 （1）若只用电行驶，每行驶 1 千米的费用是多少元？ （2）若要使从 A 地到 B
9、地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过 39 元，则至少需用电行驶多少千 米？ 23 （8 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，顶点 A，B 都在反比例函数 y（x0）的图象上，直 线 BCx 轴，垂足为 D，连接 OB，OC （1）若 OB4、BOD60，求 k 的值； （2）若 tanABC2，求直线 OC 的解析式 五、解答题（三） （本大题共五、解答题（三） （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24（10 分） 在平面直角坐标系中， 矩形 OABC 的顶点 A， C 分别在 x 轴、 y 轴上， 点 B 的坐标为， 将矩形 OABC 绕
10、点 A 顺时针旋转 ，得到矩形 O1AB1C1，点 O，B，C 的对应点分别为 O1，B1，C1 （）如图，当 45时，O1C1与 AB 相交于点 E，求点 E 的坐标； （）如图，当点 O1落在对角线 OB 上时，连接 BC1，四边形 OAC1B 是何特殊的四边形？并说明理 由； （）连接 BC1，当 BC1取得最小值和最大值时，分别求出点 B1的坐标（直接写出结果即可） 25 （10 分）如图，抛物线 yax2+6x+c 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，直线 yx5 经过点 B、C （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴 l 与直线 BC 相交于点 P，连接 AC、
11、AP，判定APC 的形状，并说明理由； （3）在直线 BC 上是否存在点 M，使 AM 与直线 BC 的夹角等于ACB 的 2 倍？若存在，请求出点 M 的 坐标；若不存在，请说明理由 2021 年广东省惠州市惠城区中考数学二模试卷年广东省惠州市惠城区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确 的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑. 1的绝对值是（ ）
12、A20 B20 C D 【分析】直接利用绝对值的意义求解 【解答】解：根据题意得，| 故选：C 2 随着科技不断发展， 芯片的集成度越来越高， 我国企业中芯国际已经实现 14 纳米量产， 14 纳米0.000014 毫米，0.000014 用科学记数法表示为（ ） A1410 6 B1.410 5 C1.410 7 D0.1410 4 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：将 0.000014 用科学记数法表示为 1.410 5
13、故选：B 3下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义即可判断 【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意 故选：D 4下列运算正确的是（ ） A3a+2b5ab B8a2（4a）2a C （2a2）38a6 D4a33a212a3 【分析】利用合并同类项、单项式除法、积的乘方、单项式乘法的运算法则逐项判定即可 【解答】解：A、
14、3a 与 2b 不是同类项，不能合并，故 A 选项错误； B、8a24a2a，故 B 选项错误； C、 （2a2）38a6，故 C 选项正确； D、4a33a212a5，故 D 选项错误 故选：C 5从 1，3，5，7 中任取两个数，则下列事件中是随机事件的是（ ） A两个数的和为奇数 B两个数的和为偶数 C两个数的积为偶数 D两个数的积为 3 的倍数 【分析】根据从 1，3，5，7 中任取两个数的和、积的情况进行判断即可 【解答】解：由于 1，3，5，7 都是奇数，从中任取两个数，其和一定是偶数，不是奇数， 因此两个数的和为奇数是不可能事件，选项 A 不符合题意； 两个数的和为偶数是必然事件
15、，因此选项 B 不符合题意； 两个数的积为偶数是不可能事件，因此选项 C 不符合题意； 两个数的积可能是 3 的倍数，有可能不是 3 的倍数，因此两个数的积为 3 的倍数是随机事件，所以选项 D 符合题意； 故选：D 6在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇 7 个村的得分如下：10，7，6，9，8，9，5，这组数据的中位数和 众数分别是（ ） A7，9 B9，9 C8，9 D9，8 【分析】 中位数要把数据按从小到大的顺序排列， 位于最中间的一个数 （或两个数的平均数） 为中位数， 众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个 【解答】解：将数据从小到大排列：5，6，7，8，9，9，1
16、0，最中间的数是 8， 则中位数是 92； 9 出现了 2 次，出现的次数最多， 众数是 9； 故选：C 7如图，在ABCD 中，AB5，BC8，以 D 为圆心，任意长为半径画弧，交 AD 于点 P，交 CD 于点 Q， 分别以 P、Q 为圆心，大于PQ 为半径画弧交于点 M，连接 DM 并延长，交 BC 于点 E，连接 AE，恰好 有 AEBC，则 AE 的长（ ） A3 B4 C5 D 【分析】利用基本作图得到ADECDE，再根据平行四边形的性质得到 CDAB5，ADBC，接 着证明 CECD5，然后利用勾股定理计算 AE 【解答】解：由作法得 DE 平分ADC， ADECDE， 四边形
17、ABCD 为平行四边形， CDAB5，ADBC， ADBC， ADECED， CEDCDE， CECD5， BEBCCE853， AEBC， AEB90， AE4 故选：B 8如图，已知 ADBECF，那么下列结论正确的是（ ） A B C D 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可 【解答】解：ADBECF， ， 故 A、D、C 错误，B 正确 故选：B 9如图，正方形 ABCD 边 AB1，和都是以 1 为半径的圆弧，阴影两部分的面积分别记为 S1和 S2， 则 S1S2等于（ ） A1 B1 C1 D1 【分析】图中 S1、S2、S3、S4图形的面积和为正方形的面积，S1
18、+S3S1+S4扇形的面积，因此两个扇 形的面积的和正方形的面积S1S2，即11 【解答】解：如图：正方形的面积S1+S2+S3+S4； 两个扇形的面积2S1+S3+S4； ，得：S1S22S扇形S正方形11 故选：A 10如图，正方形 ABCD 的边 AB3，对角线 AC 和 BD 交于点 O，P 是边 CD 上靠近点 D 的三等分点，连 接 PA，PB，分别交 BD，AC 于点 M，N，连接 MN有下列结论：OMMD；MN ；SMDP，其中正确的是（ ） A B C D 【分析】由正方形的性质可得 ABBCCDAD3，ABCD，ACBD3，OAOBOCOD ，通过证明AMBPMD，可得，即
19、可求 OMMD，由平行线分线段成比例 可求 ON 的长，即可求 SOMA，SONB，可判断，由 勾股定理可求 MN 的长，由三角形的面积关系可求 SMDP，即可求解 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，且正方形的边长为 3， ABBCCDAD3，ABCD，ACBD3，OAOBOCOD， P 是边 CD 上靠近点 D 的三等分点， DP1，PC2， ABCD， AMBPMD， ， ， MB3DM，且 DM+MBBD3， DM， OMODDM， OMMD，故正确； ABCD， ， ANCN， AN，CN， ON， SOMA，SONB， ，故正确； 在 RtMON 中，MN，故正确； ABCD，
20、 3， AM3MP， SADP13，且 AM3MP， SMDPSADP， SMDP，故正确； 综上所述：正确的说法有 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）请将下列各题正确答案填在答题卡相应的位置上分）请将下列各题正确答案填在答题卡相应的位置上 11 （4 分）因式分解：4a316a2+16a 4a（a2）2 【分析】直接提取公因式 4a，再利用公式法分解因式即可 【解答】解：4a316a2+16a 4a(a24a+4) 4a（a2）2 故答案为：4a（a2）2 12 （4 分）若 b+5，则 ab 7 【分析】利用二次根
21、式有意义的条件可求解 a，b 的值，再代入计算可求解 【解答】解：由题意得 2a0 且 a20， 2a0， 解得 a2， b5， ab2（5）7， 故答案为 7 13 （4 分）已知点 P（2m+4，m1）在第一象限，到 x 轴的距离为 2，则 m 3 【分析】直接利用第四象限点的坐标特点得出答案 【解答】解：点 P（2m+4，m1）在第一象限，且到 x 轴的距离是 2， m12， 解得：m3， 故答案为：3 14 （4 分）已知 a2+3a+10，求 63a29a 的值为 9 【分析】根据整式的运算法则即可求出答案 【解答】解：当 a2+3a+10 时， 原式63（a2+3a） 63（1）
22、9 故答案为：9 15 （4 分）如图，正五边形 ABCDE 的边长为 5，分别以点 C、D 为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点 F，则的长为 【分析】连接 CF，DF，得到CFD 是等边三角形，得到FCD60，根据正五边形的内角和得到 BCD108，求得BCF48，根据弧长公式即可得到结论 【解答】解：连接 CF，DF， 则CFD 是等边三角形， FCD60， 在正五边形 ABCDE 中，BCD108， BCF48， 的长， 故答案为： 16 （4 分）如图，ABC 中，BD 平分ABC，CDBD，垂足为 D，E 为 AC 中点若 AB10，BC6， 则 DE 的长为 2 【分析】 延长
23、 CD 交 AB 于 F， 证明BDCBDF， 根据全等三角形的性质得到 BFBC6， CDDF， 求出 AF，根据三角形中位线定理计算，得到答案 【解答】解：延长 CD 交 AB 于 F， 在BDC 和BDF 中， ， BDCBDF（ASA） ， BFBC6，CDDF， AFABBF4， CDDF，CEEA， DEAF2， 故答案为：2 17 （4 分）如图，半径为 4 的O 中，CD 为直径，弦 ABCD 且过半径 OD 的中点，点 E 为O 上一动 点，CFAE 于点 F当点 E 从点 B 出发逆时针运动到点 C 时，点 F 所经过的路径长为 【分析】连接 AC，AO，由 ABCD，利用
24、垂径定理得到 G 为 AB 的中点，由中点的定义确定出 OG 的 长，在直角三角形 AOG 中，由 AO 与 OG 的长，利用勾股定理求出 AG 的长，进而确定出 AB 的长，由 CO+GO 求出 CG 的长，在直角三角形 AGC 中，利用勾股定理求出 AC 的长，由 CF 垂直于 AE，得到三 角形 ACF 始终为直角三角形，点 F 的运动轨迹为以 AC 为直径的半圆，如图中红线所示，当 E 位于点 B 时，CGAE，此时 F 与 G 重合；当 E 位于 D 时，CAAE，此时 F 与 A 重合，可得出当点 E 从点 B 出 发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长，在直角三角形 A
25、CG 中，利用锐角三角函数定义求出 ACG 的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由 AC 的长求出半径，利用弧长公式即可求出的 长，即可求出点 F 所经过的路径长 【解答】解：连接 AC，AO， ABCD， G 为 AB 的中点，即 AGBGAB， O 的半径为 4，弦 ABCD 且过半径 OD 的中点， OG2， 在 RtAOG 中，根据勾股定理得：AG2， 又CGCO+GO4+26， 在 RtAGC 中，根据勾股定理得：AC4， CFAE， ACF 始终是直角三角形，点 F 的运动轨迹为以 AC 为直径的半圆， 当 E 位于点 B 时，CGAE，此时 F 与 G 重合； 当 E 位于 D
26、 时，CAAE，此时 F 与 A 重合， 当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长， 在 RtACG 中，tanACG， ACG30， 所对圆心角的度数为 60， 直径 AC4， 的长为， 则当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长为 故答案为： 三、解答题（一） （本大题共三、解答题（一） （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）先化简，再求值：，其中 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最 简结果，把 x 的值代入计算即可求出值
27、 【解答】解：原式 ， 当 x2+时，原式 19 （6 分）如图，AB 为O 的直径，PD 切O 于点 C，交 AB 的延长线于点 D，且D2A （）求D 的度数； （）若O 的半径为 m，求 BD 的长 【分析】 （）由 OAOC，得AACO，所以COD2AD，因为 PD 切O 于点 C，所以 OCD90，可得DCOD45； （）在等腰直角三角形 OCD 中，OCCDm，可求得 ODm，根据 BDODOB 可得出 BD 的 长 【解答】解： （）OAOC， AACO， CODA+ACO2A， D2A， DCOD， PD 切O 于点 C， OCD90， DCOD45 （）DCOD45，OCOB
28、m， CDOCm， ODm， BDODOB（1）m 20 （6 分）对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用，减少污染，保护环境为了了解同 学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校数学 兴趣小组的同学们设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷 测试根据测试成绩分布情况，他们将全部测试成绩分成 A、B、C、D 四组，绘制了统计图表 “垃圾分类知识及投放情况”问卷测试成绩统计表 组别 分数/分 频数 A 60 x70 38 B 70 x80 72 C 80 x90 60 D 90 x100 m 依据以上统计信
29、息解答下列问题： （1）求得 m 30 ，n 19% ； （2）为了增强大家对垃圾分类的了解，学校组织每个班级学习相关知识，经过一段时间的学习后，再次 对原来抽取的这些同学进行问卷测试，发现 A 组的同学平均成绩提高 15 分，B 组的同学平均成绩提高 10 分，C 组的同学平均成绩提高 5 分，D 组的同学平均成绩没有变化，请估计学习后这些同学的平均成 绩提高多少分？若把测试成绩超过 85 分定为优秀，这些同学再次测试的平均成绩是否达到优秀，为什 么？ 【分析】 （1）用 B 组人数除以其所占百分比求得总人数，再用总人数减去 A、B、C 组的人数可得 m 的 值，用 A 组人数除以总人数可得
30、 n 的值； （2）根据平均数的定义计算可得 【解答】解： （1）被调查的学生总人数为 7236%200 人， m200（38+72+60）30，n100%19%， 故答案为：30；19%； （2）依题意得：7.95 因为79.1，79.1+7.9587.0585， 所以学习后这些同学的平均成绩提高 7.95 分，再次测试成绩达到优秀 四、解答题（二） （本大题共四、解答题（二） （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k+1）x+2k0 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）记该方程的两个实数根为 x
31、1和 x2，若以 x1，x2，3 为三边长的三角形是直角三角形，求 k 的值 【分析】 （1）先计算，化简得到（2k1）2，易得0，然后根据的意义即可得到结论； （2）利用因式分解法求出方程的两根 x12k，x21，然后讨论：当 3 为斜边时；当 2k 为斜边，利用勾 股定理即可求得 k 的值 【解答】 （1）证明：（2k+1）242k 4k2+1+4k8k 4k24k+1 （2k1）20， 无论 k 取何值，方程总有两个实数根； （2）解：x2（2k+1）x+2k0， （x2k） （x1）0， x12k，x21 以 x1，x2，3 为三边长的三角形是直角三角形， 当 3 为斜边时，则（2k）
32、2+1232，解得 k（负数舍去） ， 当 2k 为斜边时，则（2k）212+32，解得 k（负数舍去） 综上，k 的值为， 22 （8 分）某种型号油电混合动力汽车，从 A 地到 B 地，只用燃油行驶，需用燃油 76 元；从 A 地到 B 地， 只用电行驶，需用电 26 元，已知每行驶 1 千米，只用燃油的费用比只用电的费用多 0.5 元 （1）若只用电行驶，每行驶 1 千米的费用是多少元？ （2）若要使从 A 地到 B 地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过 39 元，则至少需用电行驶多少千 米？ 【分析】（1） 设只用电行驶， 每行驶 1 千米的费用是 x 元， 则只用燃油行驶， 每行
33、驶 1 千米的费用是 （x+0.5） 元，根据 A，B 两地间的路程不变，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）利用 A，B 两地间的路程只用电行驶的总费用用电行驶 1 千米所需费用，可求出 A，B 两地间 的路程，设用电行驶 m 千米，则用油行驶（100m）千米，根据从 A 地到 B 地油电混合行驶所需的油、 电费用合计不超过 39 元，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论 【解答】解： （1）设只用电行驶，每行驶 1 千米的费用是 x 元，则只用燃油行驶，每行驶 1 千米的费用 是（x+0.5）元， 依题意得：， 解得：x0.26，
34、经检验，x0.26 是原方程的解，且符合题意 答：只用电行驶，每行驶 1 千米的费用是 0.26 元 （2）A，B 两地间的路程为 260.26100（千米） 设用电行驶 m 千米，则用油行驶（100m）千米， 依题意得：0.26m+（0.26+0.5） （100m）39， 解得：m74 答：至少需用电行驶 74 千米 23 （8 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，顶点 A，B 都在反比例函数 y（x0）的图象上，直 线 BCx 轴，垂足为 D，连接 OB，OC （1）若 OB4、BOD60，求 k 的值； （2）若 tanABC2，求直线 OC 的解析式 【分析】 （1） 在 RtB
35、OD 中， BDOBsinBOD42，ODOB2，故点 B 的坐标为（2， 2） ，即可求解； （2）tanABC2，故设 AC2t，则 BCt，设点 B 的坐标为（m，n） ，则点 A 的坐标为（m2t，n t） 、点 C（m，nt） ，将点 A、B 的坐标代入函数表达式得： （m2t） （nt）mn，解得 tm+n，进 而求解 【解答】解： （1）在 RtBOD 中，BDOBsinBOD42，ODOB2， 故点 B 的坐标为（2，2） ， 将点 B 的坐标代入函数表达式得：2， 解得 k4； （2）tanABC2， 故设 AC2t，则 BCt， 设点 B 的坐标为（m，n） ，则点 A 的
36、坐标为（m2t，nt） 、点 C（m，nt） ， 将点 A、B 的坐标代入函数表达式得： （m2t） （nt）mn， 解得 tm+n， 则点 C 的坐标为（m，m） ， 设直线 OC 的表达式为 yrx， 将点 C 的坐标代入上式并解得：mrm，解得 r， 故直线 OC 的表达式为 yx 五、解答题（三） （本大题共五、解答题（三） （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24（10 分） 在平面直角坐标系中， 矩形 OABC 的顶点 A， C 分别在 x 轴、 y 轴上， 点 B 的坐标为， 将矩形 OABC 绕点 A 顺时针旋转 ，得到矩形 O1AB1
37、C1，点 O，B，C 的对应点分别为 O1，B1，C1 （）如图，当 45时，O1C1与 AB 相交于点 E，求点 E 的坐标； （）如图，当点 O1落在对角线 OB 上时，连接 BC1，四边形 OAC1B 是何特殊的四边形？并说明理 由； （）连接 BC1，当 BC1取得最小值和最大值时，分别求出点 B1的坐标（直接写出结果即可） 【分析】 （）利用条件可说明OAO145，利用等腰直角三角形的性质即可求解； （）四边形 OAC1B 是平行四边形，先说明OAO1是等边三角形，得OAO160，求出 AC1与 x 轴的夹角180O1AOC1AO1180606060， 得 BOAC1， 又 BOAC
38、1， 得四边形 OAC1B 为平行四边形； （）探究出点 C1的运动路径是以 A 为圆心，AC1为半径的圆，分两种情形当点 C1在 AB 延长线上 时，BC1为最小值，过点 B1为作 B1Gx 轴 A 于点 G，在 RtB1AG 中，B1AG180903060， 求出，得当 BC1取得最小值时点 B1的坐标为；而当 点 C1在 A 延 A 长线上时，BC1为最大值，同理可得当 BC1取得最大值时点 B1的坐标为（，3） 【解答】解： （）矩形 OABC， OAB90 OAO145， O1AE45， AO1E90，O1AOA2， ， E； （）四边形 OAC1B 是平行四边形， 在 RtAOB
39、中， BOA60， 同理，O1AC160 OAO1A， OAO1是等边三角形， OAO160， AC1与 x 轴的夹角180O1AOC1AO1180606060， BOAC1， 又 BOAC1， 四边形 OAC1B 为平行四边形； （）点 C1的运动路径是以 A 为圆心，AC1为半径的圆， 当点 C1在 AB 延长线上时，BC1为最小值， 过点 B1为作 B1Gx 轴 A 于点 G， 在 RtB1AG 中，B1AG180903060， ， 当 BC1取得最小值时点 B1的坐标为； 当点 C1在 A 延 A 长线上时，BC1为最大值， 过点 B1为作 B1Hx 轴 A 于点 H， 在 RtB1A
40、H 中，B1AH180903060， ， 当 BC1取得最大值时点 B1的坐标为（，3） ， 综上所述当 BC1取得最小值和最大值时点 B1的坐标分别为， 25 （10 分）如图，抛物线 yax2+6x+c 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，直线 yx5 经过点 B、C （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴 l 与直线 BC 相交于点 P，连接 AC、AP，判定APC 的形状，并说明理由； （3）在直线 BC 上是否存在点 M，使 AM 与直线 BC 的夹角等于ACB 的 2 倍？若存在，请求出点 M 的 坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）由 yx5 可以求得
41、 C，B 两点坐标，再把两点坐标代入抛物线 yax2+6x+c，即可求解； （2）用两点间距离公式分别求出APC 三边长，根据勾股定理逆定理可得APC 是直角三角形； （3）把二倍角转化为相等关系，可得等腰三角形，利用等腰三角形得方程即可求解 【解答】解（1）由 yx5 得点 B 坐标（5，0） ，点 C 坐标为（0，5） ， 把 B（5，0） ，C（0，5）代入抛物线 yax2+6x+c 得， ，解得 a1，c5， 抛物线 yx2+6x5； （2）ACP 为直角三角形， 抛物线 yx2+6x5 得对称轴为 x3， 当 x3 时，yx52， 点 P 的坐标为（3，2） ， 当 y0 时，yx2
42、+6x50，得 x1 或 5， 点 A 的坐标为（1，0） ， 由两点间距离公式可得 AC2（10）2+（0+5）226； AP2（13）2+（0+2）28；CP2（03）2+（5+2）218； AP2+CP2AC2， ACP 为直角三角形； （3）存在点 M，使 AM 与直线 BC 的夹角等于ACB 的 2 倍， 分两种情况： 点 M 在 AP 左边时， AMB2ACB，AMBACM+CAM， ACMCAM， AMCM， 点 M 在直线 yx5 上， 设点 M 的坐标为（m，m5） ， 根据两点间距离公式， AM2（1m）2+（0m+5）22m212m+26， CM2（0m）2+（5m+5）22m2， 2m212m+262m2，解得 m， M 点的坐标为（） ， 点 M 在 PO 右边， 此时AM2CAM1B， AM1AM2， APBC， 点 P 是 M1M2的中点， 根据中点坐标公式得 M2（） ， M 点的坐标为（）或（）