1、2021 年山东省青岛市黄岛区中考数学一模试卷年山东省青岛市黄岛区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的. 1的倒数是（ ） A2021 B C2021 D 2第 24 届冬季奥林匹克运动会，将于 2022 年 2 月在我国北京市和张家口市联合举行，在会微的图案设计 中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称 图形的是（ ） A B C D 3清代袁枚的一首诗苔中
2、的诗句： “白日不到处，青春恰自来苔花如米小，也学牡丹开 ”若苔花 的花粉直径约为 0.0000084 米，则数据 0.0000084 用科学记数法表示为（ ） A8.410 5 B8.410 6 C8410 7 D8.4106 4将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ） A B C D 5如图，在平面直角坐标系中，ABC 位于第二象限，点 A 的坐标是（2，3） ，先把ABC 向右平移 5 个单位长度得到A1B1C1， 再作A1B1C1关于 x 轴对称的A2B2C2， 则点 A 的对应点 A2的坐标是 （ ） A （3，3） B （3，3） C
3、（2，3） D （3，3） 6如图，四边形 ABCD 内接于O，连接 BD若，BDC50，则ADC 的度数是（ ） A125 B130 C135 D140 7如图，矩形 ABCD 中，点 G，E 分别在边 BC，DC 上，连接 AG，EG，AE，将ABG 和ECG 分别沿 AG， EG 折叠， 使点 B， C 恰好落在 AE 上的同一点， 记为点 F 若 CE3， CG4， 则 DE 的长度为 （ ） A B C3 D 8在同一平面直角坐标系中，一次函数 yax+b 和二次函数 yax2+bx+c 的图象可能为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小
4、题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9计算： （） 10 在学校的卫生检查中， 规定各班的教室卫生成绩占 30%， 环境卫生成绩占 40%， 个人卫生成绩占 30% 八 年级一班这三项成绩分别为 85 分，90 分和 95 分，求该班卫生检查的总成绩 11若二次函数 yx2+6xm 的图象与 x 轴没有交点，则 m 的取值范围是 12如图，平面直角坐标系中，OB 在 x 轴上，ABO90，点 A 的坐标为（1，2） ，将AOB 绕点 A 顺时针旋转 90，点 O 的对应点 D 恰好落在双曲线 y上，则 k 的值为 13四边形 ABCD 是矩形，点 E 在线段 CB 的延长线上，连接
5、DE 交 AB 于点 F，AED2CED，点 G 是 DF 的中点BE1，AG4，则 CD 14如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，切点为 A，BC 交O 于点 D，直线 DE 是O 的切线， 切点为 D，交 AC 于 E，若O 半径为 1，BC4，则图中阴影部分的面积为 三、作图题（本大题满分三、作图题（本大题满分 4 分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 15 （4 分）已知：如图，M，N 分别是BAC 两边 AB，AC 上的点，连接 MN 求作：O，使O 满足以线段 MN 为弦，且圆心 O 到BAC 两边的距离相
6、等 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 74 分）分） 16 （8 分） （1）化简： （x）； （2）解不等式组： 17 （6 分）4 张相同的卡片分别写有数字 1，2，3，4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取 1 张，将 卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为 1，2，3 的 3 个小球，这些球除标号外都相 同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数 （1）求这两个数的差为 0 的概率； （用列表法或树状图说明） （2）如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，则甲获胜；否则，乙获胜你认为这样的 规则公平吗？如果不公平，请设
7、计一个你认为公平的规则，并说明理由 18（6 分） 垃圾分类有利于对垃圾进行分流处理， 能有效提高垃圾的资源价值和经济价值， 力争物尽其用 为 了解同学们对垃圾分类相关知识的掌握情况，增强同学们的环保意识，某校对八年级甲，乙两班各 60 名学生进行了垃圾分类相关知识的测试，并分别抽取了 15 份成绩，整理分析过程如下，请补充完整 【收集数据】 甲班 15 名学生测试成绩统计如下： （满分 100 分） 68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，78，85，69，76，80 乙班 15 名学生测试成绩统计如下： （满分 100 分） 86，89，83，76，73，78，67，8
8、0，80，79，80，84，82，80，83 【整理数据】 （1）按如下分数段整理、描述这两组样本数据 组别 65.570.5 70.575.5 75.580.5 80.585.5 85.590.5 90.595.5 甲 2 2 4 5 1 1 乙 1 1 a b 2 0 在表中，a ，b （2）补全甲班 15 名学生测试成绩的频数分布直方图 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 80 x 80 47.6 乙 80 80 y 26.2 （3）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：在表中：x ，y （4）若规定得分在 80 分及以上（含 80 分）为合格，请估计乙班 6
9、0 名学生中垃圾分类及投放相关知识 合格的学生有 人 （5）你认为哪个班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好，说明理由 19 （6 分）某住宅小区有平行建设的南、北两栋高层建筑冬至日正午，南楼在北楼墙面上形成的影子 AF 的高度为 42 米，此时太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）CAB35，夏至日正午，南楼 在水平地面形成的影子与北楼的距离 DF 为 80 米， 此时太阳高度角CDE80 求两楼间的距离 （参 考数据：sin350.57，cos350.82，tan350.7，sin800.98，cos800.175，tan805.6） 20 （8 分）春节是我国的传统节日，人们素有
10、吃水饺的习俗某商场在年前准备购进 A、B 两种品牌的水 饺进行销售， 据了解， 用 3000 元购买 A 品牌水饺的数量 （袋） 比用 2880 元购买 B 品牌水饺的数量 （袋） 多 40 袋，且 B 品牌水饺的单价（元/袋）是 A 品牌水饺单价（元/袋）的 1.2 倍 （1）求 A、B 两种品牌水饺的单价各是多少？ （2）若计划购进这两种品牌的水饺共 220 袋销售，且购买 A 品牌水饺的费用不多于购买 B 品牌水饺的 费用，写出总费用 w（元）与购买 A 品牌水饺数量 m（袋）之间的关系式，并求出如何购买才能使总费 用最低？最低是多少？ 21 （8 分）如图 1，已知矩形 ABCD，连接
11、 AC，将ABC 沿 AC 所在直线翻折，得到AEC，AE 交 CD 于 点 F （1）求证：DFEF； （2）如图 2，若BAC30，点 G 是 AC 的中点，连接 DE，EG，求证：四边形 ADEG 是菱形 22 （10 分）某公司销售一种商品，成本为每件 20 元，经过市场调查发现，该商品的日销售量 y（件）与 销售单价 x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价 x（元） 40 60 80 日销售量 y（件） 80 60 40 （1）求 y 与 x 的关系式； （2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过 100%，求公司销售该商品获得的最大日利润；
12、（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过 a 元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的 2 倍，在日销售量 y（件）与销售单价 x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最 大利润是 1500 元，求 a 的值 23 （10 分） 【问题提出】 ：将一个边长为 n（n2）的菱形的四条边 n 等分，连接各边对应的等分点，则该 菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？ 【问题探究】 ：要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律 探究一：将一个边长为 2 的菱形的四条边分别 2 等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格 中的平行四边形的
13、个数和菱形个数分别是多少？ 如图 1，从上往下，共有 2 行，我们先研究平行四边形的个数： （1）第一行有斜边长为 1，底长为 12 的平行四边形，共有 2+13 个； （2）第二行有斜边长为 1，底长为 12 的平行四边形，共有 2+13 个； 为了便于归纳分析， 我们把平行四边形下面的底在第二行的所有平行四边形均算作第二行的平行四边形， 以下各行类同第二行因此底第二行还包括斜边长为 2，底长为 12 的平行四边形，共有 2+13 个 即：第二行平行四边形共有 23 个 所以如图 1，平行四边形共有 23+39（2+1）2 我们再研究菱形的个数： 分析：边长为 1 的菱形共有 22个，边长为
14、 2 的菱形共有 12个， 所以：如图 1，菱形共有 22+125235 个 探究二：将一个边长为 3 的菱形的四条边分别 3 等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格 中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？ 如图 2，从上往下，共有 3 行，我们先研究平行四边形的个数： （1）第一行有斜边长为 1，底长为 13 的平行四边形，共有 3+2+16 个； （2）第二行有斜边长为 1，底长为 12 的平行四边形，共有 3+2+16 个；底在第二行还包括斜边长为 2，底长为 13 的平行四边形，共有 3+2+16 个，即：第二行平行四边形共有 26 个 （3）第三行有斜边长为 1，底长为
15、 13 的平行四边形，共有 3+2+16 个； 底在第三行还包括斜边长为 2，底长为 13 的平行四边形，共有 3+2+16 个 底在第三行还包括斜边长为 3，底长为 13 的平行四边形，共有 3+2+16 个，即：第三行平行四边形 共有 36 个 所以如图 2，平行四边形共有 36+26+6（3+2+1）6（3+2+1）2 我们再研究菱形的个数：分析：边长为 1 的菱形共有 32个，边长为 2 的菱形共有 22个，边长为 3 的菱 形共有 12个所以：如图 2，菱形共有 32+22+1214347 个 探究三：将一个边长为 4 的菱形的四条边分别 4 等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖
16、分的网格 中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？ 如图 3，从上往下，共有 4 行，我们先研究平行四边形的个数： （1）第一行有斜边长为 1，底长为 14 的平行四边形，共有 4+3+2+110 个； （2）第二行有斜边长为 1，底长为 14 的平行四边形，共有 4+3+2+110 个；底在第二行还包括斜边 长为 2，底长为 14 的平行四边形，共有 4+3+2+110 个，即：第二行平行四边形共有 210 个 （3）模仿上面的探究，第三行平行四边形总共有 个 （4）按照上边的规律，第四行平行四边形总共有 个 所以，如图 3，平行四边形总共有 个 我们再研究菱形的个数： 分析：边长为 1
17、的菱形共有 42个，边长为 2 的菱形共有 32个，边长为 3 的菱形共有 22个，边长为 4 的 菱形共有 12个 所以：如图 3，菱形共有 42+32+22+12 个， （仿照前面的探究，写成三个整数相乘的形式） 【问题解决】将一个边长为 n（n2）的菱形的四条边 n 等分，连接各边对应的等分点，根据上边的规 律，得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数是 和菱形个数分别是 （用含 n 的代数式表示） 【问题应用】将一个边长为 n（n2）的菱形的四条边 n 等分，连接各边对应的等分点，若得出该菱形 被剖分的网格中的平行四边形的个数是 441 个，则 n 【拓展延伸】将一个边长为 n（n2
18、）的菱形的四条边 n 等分，连接各边对应的等分点，当该菱形被剖 分的网格中的平行四边形的个数与菱形个数之比是 135：19 时，则 n 24 （12 分）已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB24cm，BC16cm，点 E 为边 CD 的中点，连接 BE，EF BE 交 AD 于点 F点 P 从点 B 出发，沿 BE 方向匀速运动，速度为 2cm/s；同时，点 Q 从点 A 出发， 沿 AB 方向匀速运动，速度为 3cm/s当一个点停止运动时，另一个点也停止运动设运动时间为 t（s） （0t8） 解答下列问题： （1）当 t 为何值时，点 P 在线段 BQ 的垂直平分线上？ （2）连接 PQ，
19、设五边形 AFEPQ 的面积为 y（cm2） ，求 y 与 t 的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 S五边形AFEPQ：S矩形ABCD33：64？若存在，求出 t 的值； 若不存在，请说明理由； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使点 Q 在AFE 的平分线上？若存在，求出 t 的值；若不存 在，请说明理由 2021 年山东省青岛市黄岛区中考数学一模试卷年山东省青岛市黄岛区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项
20、是符合题目分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的. 1的倒数是（ ） A2021 B C2021 D 【分析】直接利用倒数的定义得出答案 【解答】解：的倒数是：2021 故选：C 2第 24 届冬季奥林匹克运动会，将于 2022 年 2 月在我国北京市和张家口市联合举行，在会微的图案设计 中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称 图形的是（ ） A B C D 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可 【解答】解：A、是轴对称图形，本选项不合题意； B、是轴对称图形，本选项不合题意； C、是轴对称图形，本选项不合题意；
21、D、不是轴对称图形，本选项符合题意 故选：D 3清代袁枚的一首诗苔中的诗句： “白日不到处，青春恰自来苔花如米小，也学牡丹开 ”若苔花 的花粉直径约为 0.0000084 米，则数据 0.0000084 用科学记数法表示为（ ） A8.410 5 B8.410 6 C8410 7 D8.4106 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.00000848.410 6， 故选：B 4将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体
22、如图所示，则该几何体的左视图是（ ） A B C D 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的和看不到的棱都应表现在左视图中 【解答】解：从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个看不见的小正方形画为虚 线， 故选：D 5如图，在平面直角坐标系中，ABC 位于第二象限，点 A 的坐标是（2，3） ，先把ABC 向右平移 5 个单位长度得到A1B1C1， 再作A1B1C1关于 x 轴对称的A2B2C2， 则点 A 的对应点 A2的坐标是 （ ） A （3，3） B （3，3） C （2，3） D （3，3） 【分析】首先利用平移的性质得到A1B1C1，进而利用关于 x
23、 轴对称点的性质得到A2B2C2，即可得出 答案 【解答】解：如图所示：点 A 的对应点 A2的坐标是： （3，3） 故选：B 6如图，四边形 ABCD 内接于O，连接 BD若，BDC50，则ADC 的度数是（ ） A125 B130 C135 D140 【分析】连接 OA，OB，OC，根据圆周角定理得出BOC100，再根据得到AOC，从而得 到ABC，最后利用圆内接四边形的性质得到结果 【解答】解：连接 OA，OB，OC， BDC50， BOC2BDC100， ， BOCAOC100， ABCAOC50， ADC180ABC130 故选：B 7如图，矩形 ABCD 中，点 G，E 分别在边
24、BC，DC 上，连接 AG，EG，AE，将ABG 和ECG 分别沿 AG， EG 折叠， 使点 B， C 恰好落在 AE 上的同一点， 记为点 F 若 CE3， CG4， 则 DE 的长度为 （ ） A B C3 D 【分析】根据折叠的性质结合勾股定理求得 GE5，BCAD8，证得 RtEGFRtEAG，求 AE 的 长，再利用勾股定理得到 DE 的长 【解答】解：矩形 ABCD 中，GC4，CE3，C90， GE5， 根据折叠的性质：BGGF，GFGC4， CEEF3，AGBAGF， EGCEGF，GFEC90， BAFG90， BGGFGC4，AFG+EFG180， BCAD8，点 A，点
25、 F，点 E 三点共线， AGB+AGF+EGC+EGF180， AGE90， RtEGFRtEAG， ， 即， EA， DE 故选：B 8在同一平面直角坐标系中，一次函数 yax+b 和二次函数 yax2+bx+c 的图象可能为（ ） A B C D 【分析】本题可先由二次函数 yax2+bx+c 图象得到字母系数的正负，再与一次函数 yax+b 的图象相 比较看是否一致 【解答】解：A、由抛物线可知，a0，x0，得 b0，由直线可知，a0，b0，故本选项正 确； B、由抛物线可知，a0，由直线可知，a0，故本选项错误； C、由抛物线可知，a0，x0，得 b0，由直线可知，a0，b0，故本选
26、项错误； D、由抛物线可知，a0，由直线可知，a0，故本选项错误 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9计算： （） 【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的混合运算法则计算即可 【解答】解：原式（3） 故答案为： 10 在学校的卫生检查中， 规定各班的教室卫生成绩占 30%， 环境卫生成绩占 40%， 个人卫生成绩占 30% 八 年级一班这三项成绩分别为 85 分，90 分和 95 分，求该班卫生检查的总成绩 90 分 【分析】根据加权平均数的计算公式求解即可 【解答】解：该班卫生检查的总成绩8530%+904
27、0%+9530%90（分） 故答案为 90 分 11若二次函数 yx2+6xm 的图象与 x 轴没有交点，则 m 的取值范围是 m9 【分析】利用判别式的意义得到624（1）（m）0，然后解不等式即可 【解答】解：二次函数 yx2+6xm 的图像与 x 轴没有交点， 624（1）（m）0， 解得 m9 故答案为 m9 12如图，平面直角坐标系中，OB 在 x 轴上，ABO90，点 A 的坐标为（1，2） ，将AOB 绕点 A 顺时针旋转 90，点 O 的对应点 D 恰好落在双曲线 y上，则 k 的值为 3 【分析】因为点 D 在双曲线 y上，求出点 D 的坐标即可，根据 A（1，2）和旋转，可
28、以求出相应 线段的长，根据相应线段的长转化为点的坐标，代入反比例函数的关系式即可 【解答】解：过点 D 作 DEx 轴，DFAB，垂足为 E、F，A（1，2） AOB 绕点 A 顺时针旋转 90 AOBADC，BAC90 又CABO90， 四边形 ACEB 是矩形， ACDFEBAB2，CDBCAF1， DEBFABAF211，OEOB+BE2+13， D（3，1） 点 D 恰好落在双曲线 y上， k（3）13 故答案为：3 13四边形 ABCD 是矩形，点 E 在线段 CB 的延长线上，连接 DE 交 AB 于点 F，AED2CED，点 G 是 DF 的中点BE1，AG4，则 CD 【分析】
29、根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出AGEADG+DAG2 DAG，然后求出AEDAGE，根据等角对等边可得 AEAG，再利用勾股定理列式求出 AB，进而得 出 CD 【解答】解：在ADG 中，AGEADG+DAG2DAG， 又AED2CED， AEDAGE， AEAG， AG4， AE4， 在 RtAEB 中，由勾股定理可求 AB， CD， 故答案为： 14如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，切点为 A，BC 交O 于点 D，直线 DE 是O 的切线， 切点为 D，交 AC 于 E，若O 半径为 1，BC4，则图中阴影部分的面积为 【分析】连接 OD、OE、AD
30、，AD 交 OE 于 F，如图，根据切线的性质得到BAC90，利用余弦的定 义可计算出B60，则根据圆周角定理得到ADB90，AOD120，于是可计算出 BD1， AD， 接着证明ADE 为等边三角形， 求出 OF， 根据扇形的面积公式， 利用 S阴影部分S四边形OAED S扇形AODSADE+SAODS扇形AOD进行计算 【解答】解：连接 OD、OE、AD，AD 交 OE 于 F，如图， AC 是O 的切线，切点为 A， ABAC， BAC90， 在 RtABC 中，cosB， B60， AOD2B120， AB 为直径， ADB90， BAD30， DAE60 在 RtADB 中，BDAB
31、1， ADBD， 直线 DE、EA 都是O 的切线， EAED， ADE 为等边三角形， 而 OAOD， OE 垂直平分 AD， 在 RtAOF 中，OFOA， S 阴影部分S四边形OAEDS扇形AOD SADE+SAODS扇形AOD （）2+ 故答案为 三、作图题（本大题满分三、作图题（本大题满分 4 分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 15 （4 分）已知：如图，M，N 分别是BAC 两边 AB，AC 上的点，连接 MN 求作：O，使O 满足以线段 MN 为弦，且圆心 O 到BAC 两边的距离相等 【分析】作线段 MN 的
32、垂直平分线 DE，作BAC 的角平分线 AP，AP 交 DE 于点 O，以 O 为圆心 OM 为半径作O 即可 【解答】解：如图，O 即为所求 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 74 分）分） 16 （8 分） （1）化简： （x）； （2）解不等式组： 【分析】 （1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则变形，同时利用除法法则变形，约分即 可得到结果； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可确定出不等式组的解集 【解答】解： （1）原式 ； （2）， 由得：x2， 由得：x1， 则不等式组的解集为1x2 17 （6 分）4 张相
33、同的卡片分别写有数字 1，2，3，4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取 1 张，将 卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为 1，2，3 的 3 个小球，这些球除标号外都相 同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数 （1）求这两个数的差为 0 的概率； （用列表法或树状图说明） （2）如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，则甲获胜；否则，乙获胜你认为这样的 规则公平吗？如果不公平，请设计一个你认为公平的规则，并说明理由 【分析】 （1）利用树状图法列举出所有可能，进而求出概率； （2）利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案 【解答】解： （1
34、）列表如下： 1 2 3 4 1 0 1 2 3 2 1 0 1 2 3 2 1 0 1 共有 12 种等可能的结果，其中两个数的差为 0 的情况占 3 种， P（两个数的差为 0） （2）两个数的差为非负数的情况有 9 种， P（甲获胜），P（乙获胜） P（甲获胜）P（乙获胜） ， 这样的规则不公平 可将规则改为：两个数的差为正数时，甲获胜，否则，乙获胜 此时 P（甲获胜）P（乙获胜） 18（6 分） 垃圾分类有利于对垃圾进行分流处理， 能有效提高垃圾的资源价值和经济价值， 力争物尽其用 为 了解同学们对垃圾分类相关知识的掌握情况，增强同学们的环保意识，某校对八年级甲，乙两班各 60 名学生
35、进行了垃圾分类相关知识的测试，并分别抽取了 15 份成绩，整理分析过程如下，请补充完整 【收集数据】 甲班 15 名学生测试成绩统计如下： （满分 100 分） 68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，78，85，69，76，80 乙班 15 名学生测试成绩统计如下： （满分 100 分） 86，89，83，76，73，78，67，80，80，79，80，84，82，80，83 【整理数据】 （1）按如下分数段整理、描述这两组样本数据 组别 65.570.5 70.575.5 75.580.5 80.585.5 85.590.5 90.595.5 甲 2 2 4 5 1 1
36、 乙 1 1 a b 2 0 在表中，a 7 ，b 4 （2）补全甲班 15 名学生测试成绩的频数分布直方图 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 80 x 80 47.6 乙 80 80 y 26.2 （3）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：在表中：x 85 ，y 80 （4）若规定得分在 80 分及以上（含 80 分）为合格，请估计乙班 60 名学生中垃圾分类及投放相关知识 合格的学生有 40 人 （5）你认为哪个班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好，说明理由 【分析】 （1）由收集的数据即可得； （2）根据题意不全频数分布直方图即可； （3）根据众数和
37、中位数的定义求解可得； （4）用总人数乘以乙班样本中合格人数所占比例可得； （5）甲、乙两班的方差判定即可 【解答】解： （1）乙班 75.580.5 分数段的学生数为 4，80.585.5 分数段的学生数为 5， 故 a7，b4， 故答案为：7，4； （2）补全甲班 15 名学生测试成绩频数分布直方图如图所示， （3）甲班 15 名学生测试成绩中 85 出现的次数最多，故 x85； 把乙班学生测试成绩按从小到大排列为：67，73，76，78，79，80，80，80，80，82，83，83，84，86， 89， 处在中间位置的数为 80，故 y80； 故答案为：85，80； （4）60100%
38、40（人） ， 答：乙班 60 名学生中垃圾分类及投放相关知识合格的学生有 40 人； 故答案为：40； （5）乙班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好， 甲班的方差乙班的方差， 乙班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好 19 （6 分）某住宅小区有平行建设的南、北两栋高层建筑冬至日正午，南楼在北楼墙面上形成的影子 AF 的高度为 42 米，此时太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）CAB35，夏至日正午，南楼 在水平地面形成的影子与北楼的距离 DF 为 80 米， 此时太阳高度角CDE80 求两楼间的距离 （参 考数据：sin350.57，cos350.82，tan350.7，s
39、in800.98，cos800.175，tan805.6） 【分析】直接利用锐角三角函数关系表示出 BC，DE，EC 的长，进而得出答案 【解答】解：根据题意，设两楼之间的距离为 x 米， 由题意可得：四边形 ABEF 是矩形，CAB35，CDE80， FD80 米，AF42 米， 在 RtABC 中， BCxtan35， 在 RtDEC 中，CEDEtan80 （x80） tan80 又 BEAF42 米，BECECB， 所以（x80） tan80 xtan3542， 解得：x100， 答：两楼之间的距离为 100 米 20 （8 分）春节是我国的传统节日，人们素有吃水饺的习俗某商场在年前准
40、备购进 A、B 两种品牌的水 饺进行销售， 据了解， 用 3000 元购买 A 品牌水饺的数量 （袋） 比用 2880 元购买 B 品牌水饺的数量 （袋） 多 40 袋，且 B 品牌水饺的单价（元/袋）是 A 品牌水饺单价（元/袋）的 1.2 倍 （1）求 A、B 两种品牌水饺的单价各是多少？ （2）若计划购进这两种品牌的水饺共 220 袋销售，且购买 A 品牌水饺的费用不多于购买 B 品牌水饺的 费用，写出总费用 w（元）与购买 A 品牌水饺数量 m（袋）之间的关系式，并求出如何购买才能使总费 用最低？最低是多少？ 【分析】 （1）设 A 品牌水饺单价为 x 元/袋，则 B 品牌水饺单价为
41、1.2x 元/袋，由题意列出分式方程，解 方程即可； （2） 设购进 A 品牌水饺 m 袋， 则购进 B 品牌水饺 （220m） 袋， 先由题意得不等式 15m18 （220m） ， 解得 m120，再由题意得 w3m+3960，然后由一次函数的性质解答即可 【解答】解： （1）设 A 品牌水饺单价为 x 元/袋，则 B 品牌水饺单价为 1.2x 元/袋， 根据题意，得：40， 解得：x15， 经检验，x15 是原方程的解， 1.2x18； 答：A 品牌水饺单价为 15 元/袋，B 品牌水饺单价为 18 元/袋； （2）设购进 A 品牌水饺 m 袋，则购进 B 品牌水饺（220m）袋， 依题意
42、，得：15m18（220m） ， 解得：m120， 由题意得：w15m+18（220m）3m+3960， 当 m120 时，w 最小3600， 220120100， 答：A 品牌水饺购买 120 袋，B 品牌水饺购买 100 袋时，总费用最低，最低是 3600 元 21 （8 分）如图 1，已知矩形 ABCD，连接 AC，将ABC 沿 AC 所在直线翻折，得到AEC，AE 交 CD 于 点 F （1）求证：DFEF； （2）如图 2，若BAC30，点 G 是 AC 的中点，连接 DE，EG，求证：四边形 ADEG 是菱形 【分析】 （1）根据矩形的性质得到 ADBC，DB90，由折叠的性质得到
43、EB90，CE BC根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据折叠的性质得到AECB90，CEBC，根据直角三角形的性质得到 CEAC，CE AGEGAD，根据菱形的判定定理即可得到结论 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是矩形， ADBC，DB90， 将ABC 沿 AC 所在直线翻折，得到AEC， EB90， CEBC DE，ADCE， AFDCFE， ADFCEF（AAS） ， DFEF； （2）四边形 ABCD 是矩形， ADBC，ADCB90， 将ABC 沿 AC 所在直线翻折，得到AEC， AECB90，CEBC， CAB30， CAE30， CEAC， 点 G 是 AC 的
44、中点， CEAGEGAD， AEGEAG30， DAE30， DAEAEG， ADGE， 四边形 ADEG 是菱形 22 （10 分）某公司销售一种商品，成本为每件 20 元，经过市场调查发现，该商品的日销售量 y（件）与 销售单价 x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价 x（元） 40 60 80 日销售量 y（件） 80 60 40 （1）求 y 与 x 的关系式； （2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过 100%，求公司销售该商品获得的最大日利润； （3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过 a 元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的
45、 2 倍，在日销售量 y（件）与销售单价 x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最 大利润是 1500 元，求 a 的值 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）公司销售该商品获得的最大日利润为 w 元，则 w（x20）y（x20） （x+120）（x70） 2+2500，进而求解； （3）由题意得：w（x202） （x+120）x2+160 x4800（x80）2+1600，当 w最大1500 时，（x80）2+16001500，解得 x170，x290，而 40 xa，进而求解 【解答】解： （1）设函数的表达式为 ykx+b， 将（40，80） 、 （60，60）
46、代入上式得：，解得， 故 y 与 x 的关系式为 yx+120； （2）公司销售该商品获得的最大日利润为 w 元， 则 w（x20）y（x20） （x+120）（x70）2+2500， x200，x+1200，x2020100%， 20 x40， 10， 故抛物线开口向下， 故当 x70 时，w 随 x 的增大而增大， 当 x40（元）时，w 的最大值为 1600（元） ， 故公司销售该商品获得的最大日利润为 1600 元； （3）当 w最大1500 时，（x80）2+16001500， 解得 x170，x290， x2200， x40， 又xa， 40 xa 有两种情况， a80 时，即 4
47、0 xa， 在对称轴左侧，w 随 x 的增大而增大， 当 xa70 时，w最大1500， a80 时，即 40 xa， 在 40 xa 范围内 w最大16001500， 这种情况不成立， a70 23 （10 分） 【问题提出】 ：将一个边长为 n（n2）的菱形的四条边 n 等分，连接各边对应的等分点，则该 菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？ 【问题探究】 ：要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律 探究一：将一个边长为 2 的菱形的四条边分别 2 等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格 中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？ 如图 1，从
48、上往下，共有 2 行，我们先研究平行四边形的个数： （1）第一行有斜边长为 1，底长为 12 的平行四边形，共有 2+13 个； （2）第二行有斜边长为 1，底长为 12 的平行四边形，共有 2+13 个； 为了便于归纳分析， 我们把平行四边形下面的底在第二行的所有平行四边形均算作第二行的平行四边形， 以下各行类同第二行因此底第二行还包括斜边长为 2，底长为 12 的平行四边形，共有 2+13 个 即：第二行平行四边形共有 23 个 所以如图 1，平行四边形共有 23+39（2+1）2 我们再研究菱形的个数： 分析：边长为 1 的菱形共有 22个，边长为 2 的菱形共有 12个， 所以：如图
49、1，菱形共有 22+125235 个 探究二：将一个边长为 3 的菱形的四条边分别 3 等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格 中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？ 如图 2，从上往下，共有 3 行，我们先研究平行四边形的个数： （1）第一行有斜边长为 1，底长为 13 的平行四边形，共有 3+2+16 个； （2）第二行有斜边长为 1，底长为 12 的平行四边形，共有 3+2+16 个；底在第二行还包括斜边长为 2，底长为 13 的平行四边形，共有 3+2+16 个，即：第二行平行四边形共有 26 个 （3）第三行有斜边长为 1，底长为 13 的平行四边形，共有 3+2+16
50、 个； 底在第三行还包括斜边长为 2，底长为 13 的平行四边形，共有 3+2+16 个 底在第三行还包括斜边长为 3，底长为 13 的平行四边形，共有 3+2+16 个，即：第三行平行四边形 共有 36 个 所以如图 2，平行四边形共有 36+26+6（3+2+1）6（3+2+1）2 我们再研究菱形的个数：分析：边长为 1 的菱形共有 32个，边长为 2 的菱形共有 22个，边长为 3 的菱 形共有 12个所以：如图 2，菱形共有 32+22+1214347 个 探究三：将一个边长为 4 的菱形的四条边分别 4 等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格 中的平行四边形的个数和菱形个数