1、 2019-2020 学年安徽省淮北市五校联考九年级（上）第三次月考数学试卷学年安徽省淮北市五校联考九年级（上）第三次月考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 40 分）分） 1 （4 分）计算 sin45的结果是（ ） A B1 C D 2 （4 分）如图，在ABC 中，DEBC，AD2，BD4，CE3，那么 AE 的值是（ ） A B1 C D2 3 （4 分）已知二次函数 yax2+bx+c 的 x、y 的部分对应值如表： x 0 1 2 3 y 5 5 9 17 则该函数的对称轴为（ ） Ay 轴 B直线 x C直线
2、x1 D直线 x 4 （4 分）如图，反比例函数 y（k0）的图象与经过原点的直线相交于 A，B 两点，已知 A 点坐标为 （2，1） ，那么 B 点的坐标为（ ） A （1，2） B （2，1） C （1，2） D （2，1） 5 （4 分）下列各式中，不成立的是（ ） Acos602sin30 Bsin15cos75 Ctan30tan601 Dsin230+cos2301 6 （4 分）在ABC 中，sinAcos（90C），则ABC 的形状是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定 7 （4 分）如图，点 D，E 分别在ABC 的边 BA，CA 的延长线上，DEBC若
3、 EC3EA，AED 的周长 为 3，则ABC 的周长为（ ） A3 B6 C9 D12 8 （4 分）在 RtABC 中，C90，若 tanA，则 sinA（ ） A B C D 9 （4 分）在 RtABC 中，C90，若 tanB，则锐角 A 满足（ ） A0A30 B30A45 C45A60 D60A90 10（4 分） 如图， 一次函数 y1x 与二次函数 y2ax2+bx+c 的图象相交于 P， Q 两点， 则函数 yax2+ （b+1） x+c 的图象可能为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20
4、分）分） 11 （5 分）如图，在 RtABC 中，C90，AC4，AB5，则 sinB 12 （5 分）已知二次函数图象可由与抛物线 yx2平移得到，且这个二次函数顶点为（1，2） ，则该 二次函数的解析式为 13 （5 分）我们把顶角是 36的等腰三角形叫作“黄金等腰三角形” 如图，在ABC 中，A36，AB AC， ABC 就是 “黄金等腰三角形” ， 此时 BCAC， 过点 B 作ABC 的角平分线交 AC 于点 D， 若 AC2，则 CD 14 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC4，点 P 是对角线 AC 上一动点，若以点 P，A，B 为顶 点的三角形是以 AB 为腰
5、长的等腰三角形，则PAB 的面积是 三、 （本大题共三、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 15 （8 分）计算：sin60cos245sin30cos30 16 （8 分）如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，BC5m，CD20m，斜坡 AB 的坡度 i1：2.5，斜 坡 CD 的坡度 i1：2，求坝底宽 AD 的长 四、 （本大题共四、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 17 （8 分）黄金塔建于公元 998 年，为安徽省现存年代最早的古塔建筑某校数学社团的同学对此塔的高 度进行了测量如图，他们在
6、A 处仰望塔顶，测得仰角为 30，再往塔的方向前进 60m 至 B 处，测得 仰角为 60，若学生的身高忽略不计，则该塔的高度 CD 为多少米？（结果保留根号） 18 （8 分） 如图， 在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 810 网格中， 点 A， B， C 均为网格线的交点 （1）用无刻度的直尺作 BC 边上的中线 AD（不写作法，保留作图痕迹） ； （2）在给定的网格中，以 A 为位似中心将ABC 缩小为原来的，得到ABC，请画出ABC 填空：tanABC 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题，毎小题小题，毎小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 19 （10 分）如图
7、，A，B 两地被大山阻隔，C 地在 A 地的北偏东 60的方向上，在 B 地西北方向上，且 A， C 两地间距离为 20km， 若要从 A 地到 B 地， 现只能沿着的公路先从 A 地到的 C 地， 再由 C 地到 B 地 计 划开凿隧道，使 A，B 两地直线贯通，求隧道开通后与隧道开通前相比，从 A 地到 B 地的路程将缩短多 少？（结果精确到 0.1km，参考数据1.414，1.732） 20 （10 分）在矩形 ABCD 中，DC2，CFBD 分别交 BD、AD 于点 E、F，连接 BF （1）求证：DECFDC； （2）当 F 为 AD 的中点时，求 BC 的长度 六、 （本满分六、
8、（本满分 12 分）分） 21 （12 分）如图，已知直线 yx+1 与抛物线 yax2+2x+c 相交于点 A（1，0）和点 B（2，m）两点 （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点 P 是位于直线 AB 上方抛物线上的一动点，当PAB 的面积 S 最大时，求此时PAB 的面积 S 及点 P 的坐标 七、 （本題满分七、 （本題满分 12 分）分） 22 （12 分）我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函 数的意义：设有一个角 ，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为 x 轴的正半轴 Ox，建立平面直角 坐标系（如图所示） ，在角 的终边上任取一
9、点 P，它的横坐标是 x，纵坐标是 y，点 P 和原点的距离为 r（r 总是正的） ，把角 的三角函数规定为：sin，cos，tan很显然，图中 三个比值的大小仅与角 的大小有关，而与点 P 所在角 的终边位置无关 根据上述定义，解答问题： （1）若 270360，则角 的三角函数值 sin，cos，tan，其中取正值的是 ； （2）若角 的终边与直线 y2x 重合，求 sin+cos 的值； （3）若角 是钝角，其终边上一点 P（x，） ，且 cosx，求 tan 的值 八、 （本题满分八、 （本题满分 14 分）分） 23 （14 分）在边长为 1 的正方形 ABCD 中，点 E 从点 A
10、 沿 AD 向点 D 运动，以 BE 为边，在 BE 的上方作 正方形 BEFG，连接 CG （1）线段 AE 与 CG 是否相等？请说明理由； （2）若设 AEx，DHy，当 x 取何值时，y 最大？ （3）连接 BH，当点 E 运动到 AD 的什么位置时，BEHBAE？ 2019-2020 学年安徽省淮北市五校联考九年级（上）第三次月考数学试卷学年安徽省淮北市五校联考九年级（上）第三次月考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 40 分）分） 1 （4 分）计算 sin45的结果是（ ）
11、 A B1 C D 【解答】解：sin45 故选：A 2 （4 分）如图，在ABC 中，DEBC，AD2，BD4，CE3，那么 AE 的值是（ ） A B1 C D2 【解答】解：DEBC， ，即 解得：AE， 故选：C 3 （4 分）已知二次函数 yax2+bx+c 的 x、y 的部分对应值如表： x 0 1 2 3 y 5 5 9 17 则该函数的对称轴为（ ） Ay 轴 B直线 x C直线 x1 D直线 x 【解答】解：由表格可得， 该函数的对称轴是：直线 x， 故选：B 4 （4 分）如图，反比例函数 y（k0）的图象与经过原点的直线相交于 A，B 两点，已知 A 点坐标为 （2，1）
12、 ，那么 B 点的坐标为（ ） A （1，2） B （2，1） C （1，2） D （2，1） 【解答】解：正比例函数和反比例函数都是关于原点为对称中心的中心对称图形， 点 A 与点 B 关于原点对称， 又点 A（2，1） ， 点 B（2，1） ， 故选：D 5 （4 分）下列各式中，不成立的是（ ） Acos602sin30 Bsin15cos75 Ctan30tan601 Dsin230+cos2301 【解答】解：A、cos60sin30，错误； B、sin15cos75，正确； C、tan30tan601，正确； D、sin230+cos2301，正确； 故选：A 6 （4 分）在AB
13、C 中，sinAcos（90C），则ABC 的形状是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定 【解答】解：sinAcos（90C）， A45，90C45， 即A45，C45， B90， 即ABC 为直角三角形， 故选：B 7 （4 分）如图，点 D，E 分别在ABC 的边 BA，CA 的延长线上，DEBC若 EC3EA，AED 的周长 为 3，则ABC 的周长为（ ） A3 B6 C9 D12 【解答】证明：EC3EA， ， ， DEBC， AEDACB， ， ABC 的周长2AED 的周长236； 故选：B 8 （4 分）在 RtABC 中，C90，若 tanA，则 sin
14、A（ ） A B C D 【解答】解：C90， tanA， 设 BC5x，AC12x， AB13x， sinA 故选：D 9 （4 分）在 RtABC 中，C90，若 tanB，则锐角 A 满足（ ） A0A30 B30A45 C45A60 D60A90 【解答】解：tan300.58， tan451， tanB， 30B45， 45A60 故选：C 10（4 分） 如图， 一次函数 y1x 与二次函数 y2ax2+bx+c 的图象相交于 P， Q 两点， 则函数 yax2+ （b+1） x+c 的图象可能为（ ） A B C D 【解答】解：一次函数 y1x 与二次函数 y2ax2+bx+c
15、 图象相交于 P、Q 两点， 方程 ax2+（b+1）x+c0 有两个不相等的根， 函数 yax2+（b+1）x+c 与 x 轴有两个交点， 0，a0 0 函数 yax2+（b+1）x+c 的对称轴 x0， a0，开口向上，与 y 轴交点在正半轴 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 11 （5 分）如图，在 RtABC 中，C90，AC4，AB5，则 sinB 【解答】解：在 RtABC 中，C90，AC4，AB5， sinB 故答案为： 12 （5 分）已知二次函数图象可由与抛物线 yx2平移得到，且这个二次
16、函数顶点为（1，2） ，则该 二次函数的解析式为 yx2+x 【解答】解：根据题意得：a，顶点坐标为（1，2） ， 则二次函数解析式为 y（x1）22x2+x 故答案为 yx2+x 13 （5 分）我们把顶角是 36的等腰三角形叫作“黄金等腰三角形” 如图，在ABC 中，A36，AB AC， ABC 就是 “黄金等腰三角形” ， 此时 BCAC， 过点 B 作ABC 的角平分线交 AC 于点 D， 若 AC2，则 CD 3 【解答】解：ABC 是“黄金等腰三角形” ，AC2， BCAC1， A36，ABAC， ABCACB（18036）72， BD 平分ABC， DBCABD36， ADBD，
17、 BDC72C， BDBC， ADBC1， CDACAD2（1）3， 故答案为：3 14 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC4，点 P 是对角线 AC 上一动点，若以点 P，A，B 为顶 点的三角形是以 AB 为腰长的等腰三角形，则PAB 的面积是 或 【解答】解：分两种情况： 当 ABAP 时，如图 1 所示，过点 P 作 PEAB， sinPAE，即 解得 PE 所以PAB 的面积为ABPE； 当 ABPB 时，如图 2 所示，过 B 点作 BHAP sinHPBsinBAP，即， 解得：BH HPBPcosHPB3， 所以 AP2HP 所以PAB 的面积为APBH 故答案
18、为或 三、 （本大题共三、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 15 （8 分）计算：sin60cos245sin30cos30 【解答】解：原式（）2 16 （8 分）如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，BC5m，CD20m，斜坡 AB 的坡度 i1：2.5，斜 坡 CD 的坡度 i1：2，求坝底宽 AD 的长 【解答】解：过 B 作 BEAD 于 E，过 C 作 CFAD 于 F，如图： 则四边形 BCFE 是矩形， EFBC5m，BECF， 设 BECFxm， 斜坡 CD 的坡度 i1：2CF：DF， DF2CF2xm， 由勾股定理得，CF2
19、+DF2CD2，即 x2+（2x）2（20）2， 解得，x20， BECF20m，DF40m， 斜坡 AB 的坡度 i1：2.5BE：AE， AE2.5BE2.52050（m） ， ADAE+EF+DF50+5+4095（m） ， 即坝底宽 AD 的长为 95m 四、 （本大题共四、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 17 （8 分）黄金塔建于公元 998 年，为安徽省现存年代最早的古塔建筑某校数学社团的同学对此塔的高 度进行了测量如图，他们在 A 处仰望塔顶，测得仰角为 30，再往塔的方向前进 60m 至 B 处，测得 仰角为 60，若学生的身高
20、忽略不计，则该塔的高度 CD 为多少米？（结果保留根号） 【解答】解：根据题意得：AB60m，A30，DBC60，DCAC， ADBDBCA30， ADBA， BDAB60m， CDBDsin606030（m） ， 即该塔的高度 CD 为 30米 18 （8 分） 如图， 在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 810 网格中， 点 A， B， C 均为网格线的交点 （1）用无刻度的直尺作 BC 边上的中线 AD（不写作法，保留作图痕迹） ； （2）在给定的网格中，以 A 为位似中心将ABC 缩小为原来的，得到ABC，请画出ABC 填空：tanABC 2 【解答】解： （1）如图所示，AD
21、即为所求； （2）如图所示，ABC即为所求； BC232+3218，AC262+6272，AB232+9290， BC2+AC2AB2， ABC 是直角三角形，且ACB90， ABCABC， tanABCtanABC2， 故答案为：2 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题，毎小题小题，毎小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 19 （10 分）如图，A，B 两地被大山阻隔，C 地在 A 地的北偏东 60的方向上，在 B 地西北方向上，且 A， C 两地间距离为 20km， 若要从 A 地到 B 地， 现只能沿着的公路先从 A 地到的 C 地， 再由 C 地到 B 地 计 划开凿隧道
22、，使 A，B 两地直线贯通，求隧道开通后与隧道开通前相比，从 A 地到 B 地的路程将缩短多 少？（结果精确到 0.1km，参考数据1.414，1.732） 【解答】解：过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D 也同样得：AC20km，CAD906030， CDAC10（km） AD10（km） ， 在 RtCDB 中，CBD45， CDB 是等腰直角三角形， BDCD10km， BC10（km） ， AC+BCABAC+BC（AD+BD） 20+10（10+10） 10+1010 6.8（km） ， 即从 A 地到 B 地的路程将缩短约 6.8km 20 （10 分）在矩形 ABCD 中
23、，DC2，CFBD 分别交 BD、AD 于点 E、F，连接 BF （1）求证：DECFDC； （2）当 F 为 AD 的中点时，求 BC 的长度 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， FDC90， FDE+CDE90， CFBD， FDE+DFE90， CDEDFE，又DECCDF90， DECFDC； （2）解：四边形 ABCD 是矩形， DFBC， ， DECFDC， CECFCD212， CF3， DF， BCAD2 六、 （本满分六、 （本满分 12 分）分） 21 （12 分）如图，已知直线 yx+1 与抛物线 yax2+2x+c 相交于点 A（1，0）和点 B（2，m）
24、两点 （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点 P 是位于直线 AB 上方抛物线上的一动点，当PAB 的面积 S 最大时，求此时PAB 的面积 S 及点 P 的坐标 【解答】解： （1）把 B（2，m）代入 yx+1 得 m3，则 B（2，3） ， 把 A（1，0） 、B（2，3）代入 yax2+2x+c 得，解得， 抛物线解析式为 yx2+2x+3； （2）过 P 点作 PCy 轴交 AB 于 C，如图， 设 P（t，t2+2t+3） （1t3） ，则 C（t，t+1） ， PCt2+2t+3（t+1）t2+t+2， SPABSPAC+SPBCPC|3（1）|2PC， SPAB2（t2+t+
25、2） 2（t2t+2） 2（t）2+， a10， 当 t时，SPAB有最大值，此时 P 点坐标为（，） 七、 （本題满分七、 （本題满分 12 分）分） 22 （12 分）我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函 数的意义：设有一个角 ，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为 x 轴的正半轴 Ox，建立平面直角 坐标系（如图所示） ，在角 的终边上任取一点 P，它的横坐标是 x，纵坐标是 y，点 P 和原点的距离为 r（r 总是正的） ，把角 的三角函数规定为：sin，cos，tan很显然，图中 三个比值的大小仅与角 的大小有关，而与点 P 所在角 的
26、终边位置无关 根据上述定义，解答问题： （1）若 270360，则角 的三角函数值 sin，cos，tan，其中取正值的是 cos ； （2）若角 的终边与直线 y2x 重合，求 sin+cos 的值； （3）若角 是钝角，其终边上一点 P（x，） ，且 cosx，求 tan 的值 【解答】解： （1）如图 1， 270360， 点 P（x，y）在第四象限， x0，y0， r0， sin0，cos0，tan0， sin、cos、tan 中的正值是 cos， 故答案为：cos （2）直线 y2x 经过原点和第一、第三象限，且角 的终边与直线 y2x 重合， 点 P（x，y）在第一象限或第三象限，
27、且可以表示为 P（x，2x） ， 作 PQx 轴于点 Q 如图 2，点 P 在第一象限，则 x0，y0， r|x|x， sin+cos+； 如图 3，点 P 在第三象限，则 x0，y0， r|x|x sin+cos+； 综上所述，sin+cos 的值为或. （3）如图 4， 角 是钝角，且点 P（x，）是角 终边上一点， 点 P 在第二象限， 作 PQx 轴于点 Q， cosx，且 cos， x， 解得，r2， OQ， Q（，0） ，P（，） ， tan 八、 （本题满分八、 （本题满分 14 分）分） 23 （14 分）在边长为 1 的正方形 ABCD 中，点 E 从点 A 沿 AD 向点
28、D 运动，以 BE 为边，在 BE 的上方作 正方形 BEFG，连接 CG （1）线段 AE 与 CG 是否相等？请说明理由； （2）若设 AEx，DHy，当 x 取何值时，y 最大？ （3）连接 BH，当点 E 运动到 AD 的什么位置时，BEHBAE？ 【解答】解： （1）AECG；理由如下： 在正方形 ABCD 和正方形 BEFG 中， ABE+EBC90，CBG+EBC90， ABECBG， 又ABBC，BEBG， ABECBG（SAS） ， AECG； （2）在正方形 ABCD 和正方形 BEFG 中， ADFEB90， DEH+AEB90，AEB+ABE90， DEHABE， ABEDEH， ， ， yx2+x（x）2+， 即当 x时，y 有最大值为； （3）当点 E 是 AD 中点时，BEHBAE，理由如下： E 是 AE 的中点， AE， DH， 又ABEDEH， ， 又， ， 又DABFEB90， BEHBAE