1、目 录第11.1节 与三角形有关的线段1第11.2节 与三角形有关的角12第11.3节 多边形20第12.1节 全等三角形的概念和性质25第12.2节 全等三角形判定一（SSS，SAS）32第12.4节 全等三角形判定二（ASA，AAS）41第12.5节 直角三角形全等判定50第12.6节 角的平分线的性质58第13.1节 轴对称69第13.2节 作轴对称图形76第13.3节 等腰三角形性质及判定84第13.4节 等边三角形95第14.1节 幂的运算104第14.2节 整式的乘法110第14.3节 整式的除法117第14.4节 乘法公式124第14.5节 提公因式法131第14.6节 平方差公
2、式138第14.7节 完全平方公式145第14.8节 十字相乘法及分组分解法153第15.1节 分式的概念和性质161第15.2节 分式的乘除169第15.3节 分式的加减176第15.4节 分式的混合运算，整数指数幂183第15.5节 分式方程的解法及应用189第11.1节 与三角形有关的线段【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；毛2. 理解并会应用三角形三边间的关系；3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1.
3、 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 要点诠释：（1）三角形的基本元素：三角形的边：即组成三角形的线段；三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； 三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.(3) 三角形的表示：三角形用符号“”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的没有意义；ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示2三角形的分类(1
4、)按角分类：要点诠释：锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.(2)按边分类：要点诠释：等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;等边三角形：三边都相等的三角形.要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的的差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形当已知三角形两边长，可求第三边长的取
5、值范围（3）证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线1三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高三角形的高的数学语言：如下图，AD是ABC的高，或AD是ABC的BC边上的高，或ADBC于D，或ADBADC90.注意：AD是ABC的高ADBADC90(或ADBC于D)；要点诠释：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：()锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；()钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(
6、)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线三角形的中线的数学语言：如下图，AD是ABC的中线或AD是ABC的BC边上的中线或BDCDBC.要点诠释：（1）三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部；(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD是ABC的角平分线，或BADCAD且点D在BC上.注意：AD是ABC的角平分线
7、BADDACBAC (或BAC2BAD2DAC) .要点诠释：（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点四、三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就
8、可以使栅栏门不变形大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形【典型例题】类型一、三角形的定义及表示1若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则下图中以BC为公共边的“共边三角形”有（ ）. A2对； B3对； C4对； D6对； 【答案】B.【解析】以BC为公共边的“共边三角形”有：BDC与BEC、BDC与BAC、BEC与BAC三对【总结升华
9、】根据新定义和已学过的知识，全面准确的识图举一反三：【变式】根据下图所示的形、三个图所表示的规律，依次下去第n个图中的三角形的个数是( ). A6(n-1) B6n C6(n+1) D12n【答案】C.类型二、三角形的三边关系2.已知三角形的三边长分别是3，8，,若的值为偶数，则的值有 ( ) A6个 B5个 C4个 D3个【思路点拨】根据三角形的三边关系“第三边应大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是偶数这一条件，求得第三边的值【答案】D.【解析】的取值范围：，又为偶数，所以的值可以是6, 8, 10，故的值有3个.【总结升华】本题主要考查了三角形的三边关系，考
10、查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边还要注意偶数这一条件举一反三：【变式】三角形的三边长为2，x-3，4，且都为整数，则共能组成 个不同的三角形.当x为 时，所组成的三角形周长最大.【答案】三；8 (由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有4-2x-34+2，解得5xB.【答案与解析】证明：在ACE中，BAC 1（三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角）.同理在BCE中，2 B，因为1=2，所以BAC B.【总结升华】涉及角的不等关系的问题时，经常用到三角形外角性质：“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”.举一反三：【
11、变式】如图所示，用“”把1、2、A联系起来_.【答案】A 2 1.类型三、三角形的内角外角综合5.如图，BE与CD相交于点A，CF为BCD的平分线，EF为BED的平分线（1）试探求：F与B、D之间的关系？（2）若B：D：F=2：4：x求x的值【思路点拨】（1）先根据角平分线的定义得到1=2，3=4，再根据对顶角相等和三角形内角和定理得到D+1=F+3，B+4=F+2，然后把两式相加即可得到F与B、D之间的关系；（2）设B=2a，则D=4a，F=ax，利用（1）中的结论得到2ax=2a+4a，然后解关于x的方程即可【答案与解析】解：（1）CF为BCD的平分线，EF为BED的平分线，1=2，3=4
12、，D+1=F+3，B+4=F+2，B+D+1+4=2F+3+2，F=（B+D）；（2）当B：D：F=2：4：x时，设B=2a，则D=4a，F=ax，2F=B+D，2ax=2a+4a2x=2+4，x=3【总结升华】本题考查了三角形内角和定理：通过三角形内角和为180列等量关系也考查了角平分线的定义举一反三：【变式1】如图所示，五角星ABCDE中，试说明A+B+C+D+E=180. 【答案】解：因为AGF是GCE的外角，所以AGF=C+E.同理AFG=B+D.在AFG中，A+AFG+AGF=180.所以A+B+C+D+E=180.【变式2】一个三角形的外角中，最多有锐角( ).A1个 B2个 C3
13、个 D不能确定【答案】A (提示：由于三角形最多有一个内角是钝角，故最多有一个外角是锐角)多边形及其内角和（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形，这个多边形的边数为 ( )A5 B6 C7 D82一个多边形的内角和超过640，则此多边形边数的最小值是 ( ) A5 B6 C7 D83如果一个多边形的每一个外角都是锐角，那么这个多边形的边数一定不小于 ( ) A3 B4 C5 D64一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510，则这个多边形对角线的条数是（）A27B35C44D545利用边长相等的正三角形和正六边形的地砖镶嵌地面时，在每个
14、顶点周围有a块正三角形和b块正六边形的地砖(ab0)，同a+b的值为 ( )A3或4 B4或5 C5或6 D46(内蒙古鸟兰察布)如图所示，已知长方形ABCD，一条直线将该长方形ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N不可能是 ( ) A360 B540 C720 D6307(江苏扬州)两本书按如图所示方式叠放在一起，则图中相等的角是 ( ) A1与2 B2与3 C1与3 D三个内角都相等8.从一个边形中除去一个角后，其余个内角和是2580，则原多边形的边数是（ ）.A.15 B.17 C.19 D.13二、填空题9.一个多边形的内角中,锐角的个数最多有 个.10
15、.如图，国旗上的五角星的五个角的度数是相同的，每一个角的度数都是 .11若正多边形的一个内角等于140，则这个正多边形的边数是 12将一块正六边形硬纸片(如图(1)，做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面，如图(2)，需在每一个顶点处剪去一个四边形，如图(1)中的四边形，那么的度数是_13. 将一个宽度相等且足够长的纸条打一个结，如图(1)，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图(2)所示的正五边形ABCDE，其中BAC_14. 用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各板完全吻合，如果其中两块木板的边数都是5，则第三块木板的边数是_15.小勇制造了一个简单的机器人，小
16、勇遥控它每前行1m就向左转30，再向前行1m又向左转30，问它需要走 m才能走回原地.三、解答题16.(1)以AB20 mm，BC30 mm，CD18 mm，DA21 mm为边画四边形ABCD；(2)所画的四边形ABCD唯一吗？为什么？(3)添加什么条件，四边形ABCD的形状就唯一确定? 17.一个多边形除一个内角外，其余各内角之和是2570，求这一内角的度数18. 附加题：探究题：我们知道等腰三角形的两个底角相等，如下面每个图中的ABC中AB、BC是两腰，所以BAC=BCA利用这条性质，解决下面的问题：已知下面的正多边形中，相邻四个顶点连接的对角线交于点O它们所夹的锐角为a如图：正五边形=
17、； 正六边形= ； 正八边= ；当正多边形的边数是n时，= 【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D；2. 【答案】B；【解析】(提示：假设内角和是640的多边形的边数为n，则有(n-2)180640，解得，因为多边形的内角和越大，其边数也越大，故当多边形的内角和超过640时，其边数，因为n是正整数，所以其最小值是6)3. 【答案】C； 【解析】(提示：因为每个外角都是锐角，即小于90，设边数为n，则这些锐角的和一定小于n90，而外角和为360，所以360n90，即n不小于5)4. 【答案】C； 【解析】解：设这个内角度数为x，边数为n，（n2）180x=1510，180n=1870+x，n为
18、正整数，n=11，=44，故选：C5. 【答案】B； 【解析】(提示：根据正多边形镶嵌的条件，在每个顶点处各正多边形的内角之和为360，得60a+120b360，即a+2b6，即a6-2b，因ab0，且a，b均为正整数，所以当b1或2，b1时，a4，a+b5；当b2时，a2，a+b4，故选B)6. 【答案】D； 7. 【答案】B；8. 【答案】B；【解析】解：设除去的内角为，则，即，又为整数，.二、填空题9. 【答案】3个.10.【答案】36；【解析】将五角星的五个角转移到一个三角形中，由三角形内角和定理以及五角星的各个角都相等，即可求出各个角的度数.11.【答案】9；【解析】解：正多边形的一个内角是140，它的外角是：180140=40，36040=9故答案为：912【答案】60；13.【答案】36；14.【答案】10；15.【答案】12 【解析】机器人走过了一个外角为30的正多边形，由任意多边形的外角和均为360，所以有，得，所以它需要走12m才能走回原地.三、解答题16.【解析】解：(1)略 (2)不唯一，四边形具有不稳定性 (3)添加一个角的度数 17.【解析】解：设这一内角为x，多边形的边数为n，则257