1、目 录第1.1节 有理数的意义1第1.2节 数轴与相反数7第1.3节 绝对值13第1.4节 有理数的加减法20第1.5节 有理数的乘除27第1.6节 有理数的乘方及混合运算34第1.7节 科学记数法与近似数41第2.1节 整式的概念46第2.2节 整式的加减（一）合并同类项53第2.3节 整式的加减（二）去括号与添括号60第3.1节 方程的意义67第3.2节 一元一次方程的解法74第3.3节 实际问题与一元一次方程（一）82第3.4节 实际问题与一元一次方程（二）90第4.1节 几何图形96第4.2节 直线、射线、线段104第4.3节 角114第1.1节 有理数的意义【学习目标】1掌握用正负数
2、表示实际问题中具有相反意义的量；2理解正数、负数、有理数的概念；3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想【要点梳理】要点一、正数与负数像+3、+1.5、+584等大于0的数，叫做正数； 像3、1.5、584等在正数前面加“”号的数，叫做负数要点诠释：（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略.（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的“分水岭”要点二、有理数的分类 （1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与
3、0的关系分类： 要点诠释：（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数【典型例题】类型一、正数与负数1若把向北走7km记为7km，则10km表示的含义是（ ）A向北走10km B向西走10km C向东走10km D向南走10km 【答案】D【解析】 “正”和“负”相对，7km表示向北走7km，则10km表示向南走10 km，所以答案D【总结升华】正负数表示具有相反意义的量.如果一个量为“正
4、数”，则与其相反意义的量就是负数.反之，当如果一个量为“负数”，则与其相反意义的量就是正数，且这两个量的单位相同举一反三：【变式1】一种大米的质量标识为“（500.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（）A50.0千克 B50.3千克 C49.7千克 D49.1千克【答案】D解：“500.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用_ 表示，0元表示_ . (2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？【答案】(1)-500元；既没有收入也没有支出. (2)不是一对具有相反意义的量，不能表示.【变式3】
5、如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（ ）A20m B40m C20m D40m【答案】B2体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0（1） 这8名男生有百分之几达到标准？（2） 他们共做了多少引体向上？【答案与解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：；答：这8名男生有62.5%达到标准. （2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）答：他们共做了引体
6、向上56个.【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.类型二、有理数的分类3下面说法中正确的是( )A 非负数一定是正数 B 有最小的正整数，有最小的正有理数 C一定是负数 D 正整数和正分数统称正有理数【答案】D【解析】(A)不对，因为非负数还包括0；(B) 最小的正整数为1，但没有最小的正有理数；(C)不对，当为负数或0时，则为正数或0，而不是负数；(D)对【总结升华】一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表示这个有理数.举一反三：【变式1】判断题：（1）0是自然数，也是偶数（ ） （2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（ ）（3）整数又叫自然数.（ ） （
7、4）非负数就是正数，非正数就是负数.（ ） 【答案】， ，【变式2】下列四种说法，正确的是( ).(A)所有的正数都是整数 (B)不是正数的数一定是负数(C)正有理数包括整数和分数 (D)0不是最小的有理数【答案】4请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265, ， .正整数集合: ， 负整数集合: ，整数集合: ， 正分数集合: ， 负分数集合: ，分数集合: ，非负数集合： ，非正数集合： .【答案】正整数： 1；负整数：-700；整数：1，0，-700；正分数：0.0708，3.14159265，；负分数： -3.8
8、8，；分数：0.0708，3.14159265，-3.88，；非负数： 1,0.0708， 3.14159265，0，；非正数：-700, -3.88, 0, 【解析】结升华】填数的方法有两种：一种是逐个考察，一一进行填写；二是逐个填写相关的集合，从给出的数中找出属于这个集合的数.此外注意几个概念：非负数包括0和正数；非正数包括0和负数.举一反三：【变式】在有理数、5、3.14中，属于分数的个数共有个【答案】2.类型三、探索规律5某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，.按此规律，那么请你推测第n组应该有种子是
9、 粒.【答案】【解析】第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，由此我们观察到的粒数与组数之间有一定关系：，按此规律，第n组应该有种子数（）粒.【总结升华】研究一列数的排列规律时，其中的数与符号往往都与序数有关.举一反三：【变式1】有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3，根据这个规律，那么第2010个数是： 【答案】-3【变式2】观察下列有规律的数：根据其规律可知第9个数是： 【答案】 【巩固练习】一、选择题1. 下列语句正确的（）个（1）带“”号的数是负数；（2）如果a为正数，则a一定是负数；（3）不存在既不是正数又不是负数的数；（4）0表示没有温度A. 0 B. 1 C.
10、2 D. 32.关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 ( ) A0是整数 B0是偶数 C0是正整数 D0既不是正数也不是负数 3.如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是 ( ) A前进-18米的意义是后退18米 B收入-4万元的意义是减少4万元 C盈利的相反意义是亏损 D公元-300年的意义是公元后300年 4.一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车的位置是 ( ) A甲站的东边70千米处 B甲站的西边20千米处 C甲站的东边30千米处 D甲站的西边30千米处5在有理数中，下面说法正确的是（ ）A身高增长和体重减轻是一对具有相反意义的量
11、B有最大的数C没有最小的数，也没有最大的数 D以上答案都不对6.下列各数是正整数的是 （ ）A1B2C05D二、填空题1如果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可记作2在数中，非负数是_；非正数是 _.3把公元2008年记作+2008，那么-2008年表示 .4既不是正数，也不是负数的有理数是 .5是正数而不是整数的有理数是 .6是整数而不是正数的有理数是 .7既不是整数，也不是正数的有理数是 .8一种零件的长度在图纸上是（）毫米，表示这种零件的标准尺寸是 毫米，加工要求最大不超过 毫米，最小不小于 毫米.三、解答题1说出下列语句的实际意义.（1）输出-12t （2）运进-5t （3
12、）浪费-14元 （4）上升-2m (5)向南走-7m2下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置28%，2014，3.14，（+5），0.3甲地海拔高度是40m，乙地海拔高度为30m，丙地海拔高度是-20m，哪个地方最高？哪个地方最低？最高的地方比最低的地方高多少？4观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的两个数，你能说出第2011个数是什么吗?(1)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8， ， ，. ，. (2)-1,-, , ,. ,.【答案与解析】一、选择题1.【答案】B 【解析】（1）带“”号的数不一定是负数，如（2），错误；（2）如
13、果a为正数，则a一定是负数，正确；（3）0既不是正数也不是负数，故不存在既不是正数又不是负数的数此表述错误；（4）0表示没有温度，错误综上，正确的有（2），共一个2.【答案】C【解析】0既不是正数也不是负数，但0是整数，是偶数，是自然数.3. 【答案】D 【解析】D错误，公元-300年的意义应该是公元前300年.4. 【答案】 C【解析】画个图形有利于问题分析，向东50千米然后再向西20千米后显然此时汽车在甲站的东边30千米处.5. 【答案】C【解析】A错误，因为身高与体重不是具有相反意义的量；B错误，没有最大的数也没有最小数；C对.6. 【答案】B 二、填空题1.【答案】5米2.【答案】0.
14、5，100，0， ；，0，-45【解析】正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，零既不是正数也不是负数.3.【答案】公元前2008年【解析】正负数表示具有相反意义的量.4.【答案】0【解析】既不是正数也不是负数的数只有零.5.【答案】正分数【解析】正数包括正分数和正整数，因为不是整数，所以只能是正分数.6.【答案】负整数和0【解析】整数包括正整数和负整数，又因为不是正数，所以只能是负整数和0.7.【答案】负分数【解析】不是整数，则只能是分数，又不是正数，所以只能是负分数.8.【答案】10，【解析】表示的数的范围为：大于，而小于，即大于而小于.三、解答题1. 【解析】（1）输出-12t表示输
15、入12t ； （2）运进-5t表示运出5t； （3）浪费-14元表示节约14元； （4）上升-2m表示下降2m； (5)向南走-7m表示向北走7m.提示：“-”表示相反意义的量.2【解析】3【解析】甲地海拔高度是40m，表示甲地在海平面以上40m处；乙地海拔高度为30m，表示乙地在海平面以上30m处；丙地海拔高度是-20m，表示丙地在海平面以下20m处；所以，最高是甲地，最低是丙地，最高的地方比最低的地方高：40+20=60 （m）.4【解析】（1）9，-10，2011， （2）第1.2节 数轴与相反数【学习目标】1熟练掌握数轴及相反数的相关概念，并能灵活运用； 2理解有理数与数轴上的点的关系
16、，并会借助数轴比较两个数的大小； 3会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义；4. 掌握多重符号的化简；5. 通过例子，体会数形结合的思想.【要点梳理】要点一、数轴1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.要点诠释：（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位有km、m、dm、cm等 （3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动2. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表
17、示有理教，还可以表示其他数，比如.要点诠释：（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.要点二、相反数1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.要点诠释：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同；（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉；（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数；（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.2.性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点
18、的距离相等（这两个点关于原点对称）.（2）互为相反数的两数和为0.要点三、多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-(-4)=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-+-(-4)=-4 .要点诠释：（1）在一个数的前面添上一个“”，仍然与原数相同，如55，（5）5.（2）在一个数的前面添上一个“”，就成为原数的相反数.如（3）就是3的相反数，因此，（3）3.【典型例题】类型一、数轴的概念1.小明的家与他上学的学校、书店依次坐落在一条东西走向的大街上，小明家位于学校西边30米处，书店位于学校东边100米处，小明从学校沿这条大街向东走了40米，接着
19、又向西走了100米到达超市，试用数轴表示出小明的家、学校、书店、超市的位置【思路点拨】我们把小明行走的过程想象为点在数轴上移动的过程，使问题化难为易.用数轴表示数时，要根据实际需要，每个单位表示的数可大可小，但整体要保持统一.【答案与解析】以学校作为数轴的原点，向东的方向即学校的东边为正方向，把20米作为单位长度，所以学校、家、书店和超市的位置如图所示【总结升华】原点，正方向，单位长度三者缺一不可. 举一反三：【变式】如图为北京地铁的部分线路假设各站之间的距离相等且都表示为一个单位长现以万寿路站为原点，向右的方向为正，那么木樨地站表示的数为_，古城站表示的数为_；如果改以古城站为原点，那么木樨
20、地站表示的数变为_【答案】3，-5，8类型二、相反数的概念2下列各数中，相反数等于5的数是（ ） A-5 B5 C D 【答案】A【解析】只有-5的相反数才等于5【总结升华】相反数是成对出现的，不能单独存在，例如-3和+3互为相反数，是说-3的相反数是+3，同时+3的相反数也是-3.举一反三：【变式1】(1) 如果a13，那么a_；(2) 如果 a5.4，那么a _；(3) 如果x6，那么x_；(4) x9，那么x_.【答案】（1）13；（2）；（3）6；（4）-9【变式2】4的倒数的相反数是（ ）A4B4C D【答案】D【变式3】填空：(1) (2.5)的相反数是 ；(2) 是-100的相反
21、数；(3) 是 的相反数；(4) 的相反数是-1.1；(5)8.2和 互为相反数；（6）a和 互为相反数.（7）_的相反数比它本身大， _的相反数等于它本身【答案】(2.5)；100；1.1；-8.2；-a；负数；03已知互为相反数，则 【答案】2【解析】根据互为相反数的两个数的性质，可知，代入上式可得：.【总结升华】若互为相反数，则或.举一反三：【变式】已知与 互为相反数，求的值.【答案】因为互为相反数的两个数的和为0，所以，解得：.类型三、多重符号的化简 4化简：（1）+（+3）； （2）（|3|）【解析】解：（1）原式=+3=3=3；（2）原式=（3）=+3=3=3【总结升华】多重符号化
22、简的规律解决这类问题较为简单即数一下数字前面有多少个负号若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负举一反三：【变式】当+6前面有2011个正号时，化简结果为： ；当+6前面有2011个负号时，化简结果为： ；当+6前面有2012个负号时，化简结果为： .【答案】6；-6；6类型四：利用数轴比较大小5若p，q两数在数轴上的位置如下图所示，请用“”或“”填空p_q； p_0； p_q； p_q；【答案】; ;【解析】根据相反数的几何意义，将p，q，-p, -q均表示在数轴上，如下图：然后再根据数轴上右边的数比左边的数大，及原点右边的点表示大于0的正数，而原点左边的点表示小于0的负数，可得上述答
23、案.【总结升华】在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数.举一反三：【变式】（2015东城区二模）如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中到原点距离相等的两个点是（）A. 点B与点D B. 点A与点C C. 点A与点D D. 点B与点C【答案】C.类型五、数形结合的应用6点A在数轴上，若将A向左移动4个单位长度，再向右移动2个单位长度，此时A点所表示的数是原来A点所表示的数的相反数，原来A点表示的是什么数?把你的研究过程在数轴上表示出来【思路点拨】根据数轴是以向右为正方向，故数的大小变化和平移变化之间的规律：左减右加【答案与解析】 解：如图所示
24、，B点表示A点移动后的位置则AB2因为A、B表示一对相反数所以原点O是AB的中点，AOOB，所以A点表示1【总结升华】先画出数轴，根据数轴理解题目中的数量关系，将有利于问题的解决.【巩固练习】一、选择题1.如图所示，在数轴上点A表示的数可能是（）A1.5 B.-1.5 C.-2.6 D.2.6 2从原点开始向右移动3个单位，再向左移动1个单位后到达A点，则A点表示的数是( ) A.3 B.4 C.2 D.-23数轴上表示整数的点称为整点某数轴的单位长度是1厘米，若在这条数轴上任意画出一条长为2004厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是( ) A2002或2003 B2003或2004
25、C2004或2005 D2005或20064. 北京、纽约等5个城市的国际标准时间(单位：小时)可在数轴上表示如图 若将两地国际标准时间的差简称为时差，则（ ） A首尔与纽约的时差为13小时 B首尔与多伦多的时差为13小时 C北京与纽约的时差为14小时 D北京与多伦多的时差为14小时5.一个数的相反数是非负数，则这个数一定是（ ）A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数6. 在+（+1）与-（-1）；-（+1）与+（-1）；+（+1）与-（+1）；+（-1）与-(-1)中，互为相反数的是（ ）A. B. C. D. 7.-（-2）=（ ）A.-2B. 2C.2 D.4二、填空题1.数轴上点A
26、、B的位置如图所示，若点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为 2.（2015春岳池县期中）已知数轴上有A，B两点，A，B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么点B对应的数是 3. 若a为有理数，在-a与a之间(不含-a与a)有21个整数，则a的取值范围是_4.如图所示，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上，CD6，点A对应的数为-1，则点B所对应的数为_ 5.数轴上离原点的距离小于3.5的整数点的个数为, 距离原点等于3.5的点的个数为,则6.已知与互为相反数，与互为相反数，又，则= 7. 已知1a01b，请按从小到大的顺序排列1，a，0，1，b为_8. 若a为正有理数，在a与a之间(不
27、含a与a)有1997个整数，则a的取值范围是_ 若a为有理数，在a与a之间(不含a与a)有1997个整数，则a的取值范围是 _三、解答题1小敏的家、学校、邮局、图书馆坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A、B、C、D，学校位于小敏家西150米，邮局位于小敏家东100米，图书馆位于小敏家西400米 (1)用数轴表示A、B、C、D的位置(建议以小敏家为原点) (2)一天小敏从家里先去邮局寄信后以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟试问这时小敏约在什么位置?距图书馆和学校各约多少米?2如图所示，数轴上有五个点A，B，P，C，D，已知AP=PD=3，且AB=BC=CD，点P对应有理数1，则A，B
28、，C，D对应的有理数分别是什么?3化简下列各数，再用“”连接. (1)-(-54) (2)-(+3.6) (3) (4)4.若a与b互为相反数，c与d互为倒数，m是最大的负整数求代数式的值【答案与解析】一、选择题1.【答案】C【解析】：点A位于3和2之间，点A表示的实数大于3，小于22. 【答案】C3. 【答案】C【解析】若线段AB的端点与整数重合，则线段AB盖住2005个整点；若线段AB的端点不与整点重合，则线段AB盖住2004个整点可以先从最基础的问题入手如AB2为基础进行分析，找规律所以答案：C4. 【答案】B【解析】本题以“北京等5个城市的国际标准时间”为材料，编拟了一道与数轴有关的实
29、际问题从选项上分析可得：两个城市之间相距几个单位长度，两个点之间的距离即为时差所以首尔与纽约的时差为14小时，首尔与多伦多的时差为13小时，北京与纽约的时差为13小时，北京与多伦多的时差为12小时因此答案：B 5. 【答案】C【解析】 负数的相反数是正数，0的相反数是0，而非负数就是正数和0，所以负数和0的相反数是非负数，即非正数的相反数是非负数.6. 【答案】C【解析】先化简在判断，+（+1）=1，-（-1）=1，不是相反数的关系；-（+1）=-1，+（-1）=-1，不是相反数的关系；+（+1）=1，-（+1）=-1，是相反数的关系；+（-1）=-1，-(-1)=1，是相反数的关系，所以中的
30、两个数是相反数的关系，所以答案为：C7. 【答案】B二、填空题1.【答案】5 【解析】首先确定C点应在原点的左边，所以应为负数，又点A与点B之间的距离为4，所以点C表示的数为-52.【答案】2，4【解析】解：点A和原点O的距离为3，点A对应的数是3当点A对应的数是+3时，则点B对应的数是1+3=4或31=2；当点A对应的数是3时，则点B对应的数是3+1=2或31=43. 【答案】4. 【答案】5 【解析】CDAB6，即A、B两点间距离是6，故点B对应的数为55. 【答案】1 【解析】由题意可知：，所以6. 【答案】-2 【解析】因为均为的相反数，而一个数的相反数是唯一的，所以，而为的相反数，所
31、以为-2，综上可得：原式等于-2.7. 【答案】 b -10-a18. 【答案】；或三、解答题1. 【解析】(1)如图所示 (2)小敏从邮局出发，以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟，其路程为508400(米)，由上图知，此时小敏位于家西300米处，所以小敏在学校与图书馆之间，且距图书馆100米，距学校150米2. 【解析】如图：已知AP=PD=3，且AB=BC=CD，点P对应有理数1，由P出发，向左平移3个单位长度到达A点，所以A对应的有理数是-2，向右平移3个单位长度到达D，所以D点对应的有理数是4；又AD=6，且AB=BC=CD，所以将A向右平移2个长度单位到达B，所以B对应的有
32、理数为0，点B向右平移2个长度单位到达C，所以点C的对应的有理数为2，所以A,B,C,D分别对应-2,0,2,4.3【解析】(1)-(-54)54 (2)-(+3.6)-3.6 (3) （4）画出数轴即得：4. 【解析】根据题意：a+b=0，cd=1，m=1，则代数式=2（a+b）+m2=0+1=第1.3节 绝对值【学习目标】1掌握一个数的绝对值的求法和性质； 2进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义； 3会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.【要点梳理】要点一、绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫
33、做数a的绝对值，记作|a|.要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0要点二、有理数的大小比较 1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则ab2.法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：两数同号同为
34、正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数数为0正数与0：正数大于0负数与0：负数小于0要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2） 比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小3. 作差法：设a、b为任意数，若a-b0，则ab；若a-b0，则ab；若a-b0，ab；反之成立4. 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立 若a、b为任意负数，则与上述结论相反5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.【典型例题】类型一、绝对值的概念1计算：（1） （2）|-4|+|3|+|0| （3）-|+(-8)|【答
35、案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.解：(1) ， (2)|-4|+|3|+|0|4+3+07， (3)-|+(-8)|-(-8)-8【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0再根据绝对值的代数意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0从而求出该数的绝对值2若|a1|=a1，则a的取值范围是（）A. a1 B. a1 C. a1 D. a1【思路点拨】根据|a|=a时，a0，因此|a1|=a1，则a10，即可求得a的取值范围【答案】A【解析】解：因
36、为|a1|=a1，则a10，解得：a1，【总结升华】此题考查绝对值，只要熟知绝对值的性质即可解答一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0举一反三：【变式1】 若a3，则|62a|= （用含a的代数式表示）【答案】2a-6【变式2】如果数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为 如果x21，那么x ； 如果x3，那么x的范围是 【答案】6或-6；1或3；或【变式3】已知| a |3，| b |4，若a，b同号，则| a +b |_；若a，b异号，则| a+b |_据此讨论| a+b |与| a | + | b |的大小关系【答案】7，1；若a，b同号或至少有一个
37、为零，则|a+b|=|a|+|b|；若a，b异号，则|a+b|a|+|b|，由此可得：|a+b|a|+|b| .类型二、比大小 3 比较下列每组数的大小： (1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)与；(4)与【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与0、负数与0、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较【答案与解析】解： (1)化简得：-(-5)5，-|-5|-5 因为正数大于一切负数，所以-(-5)-|-5|(2)化简得：-(+3)-3因为负数小于零，所以-(+3)0(3)化简得：这是两个负数比较大小，因为，且所以 (4)化简得：-|-3.14|-3.14，这
38、是两个负数比较大小，因为 |-|，|-3.14|3.14，而3.14，所以-|-3.14|【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断举一反三：【变式1】比大小： （1） 0.3 （2） 【答案】；【变式2】比大小：（1）_1.384；（2） _3.14【答案】；【变式3】若m0，n0，且|m|n|，用“”把m，-m，n，-n连接起来【答案】解法一： m0，n0， m为正数，-m为负数，n为负数，-n为正数 又 正数大于一切负数，且|m|n|， m-nn-m 解法二：因为m0，n0且|m
39、|n|，把m，n，-m，-n表示在数轴上，如图所示 数轴上的数右边的数总比左边的数大， m-nn-m类型三、含有字母的绝对值的化简 4. 把下列各式去掉绝对值的符号 (1)|a-4|(a4)；(2)|5-b|(b5)【答案与解析】(1) a4，a-40， |a-4|a-4 (2) b5， 5-b0， |5-b|-(5-b)b-5【总结升华】由字母的取值范围来判断绝对值里面的符号情况，再根据绝对值的意义去掉绝对值的符号.举一反三：【变式1】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示：化简：.【答案】解：由图所示，可得 ， 原式【变式2】求的最小值【答案】解法一：当时，则 当时，则 当时，则综上：当时，取得最小值为：5.解法二：借助数轴分类讨论： ； ； .的几何意义为对应的点到-2对应点的距离与对应点到3对应点的距离和 由图明显看出时取最小值所以，时，取最小值5.类型四、绝对值非负性的应用 5. 已知a、b为有理数，且满足：，则a=_，b=_【答案与解析】由，可得 【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0几个非负数的和为0，则每一个数均为0举一反三：【变式1】已知，则x的取值范围是_【答案】；提示：将看成整体，即，则，故，【变式2】已知b为正整数，且a、b满足，求的值【答案】解：由题意得 所以