1、解三角形与平面向量第9讲9.1解三角形知识结构图知识梳理在中， 、分别表示、的对边，有以下关系：角与角关系：；边与边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；边与角关系：正弦定理（为外接圆半径）；余弦定理，；面积公式：经典精讲尖子班学案1【铺1】 （2010山东文15）在中，角，所对的边分别为，若，则角的大小为 【解析】考点：正弦定理与余弦定理【例1】 （2010湖南文7）在中，角，所对的边长分别为，若，则（ ）ABCD与的大小关系不能确定（2010上海文18）若的三个内角满足则（ ）A一定是锐角三角形 B一定是直角三角形C一定是钝角三角形 D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 在中，根
2、据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ）A BC D （2010宣武一模文7）在中，角的对边分别为，若表示的面积，若，则的度数为（ ）ABCD【解析】 A. C D C目标班学案1【拓2】 在锐角中，则的取值范围为_【解析】【备选】 （2010海南理16）在中，为边上一点，若的面积为，则 【解析】尖子班学案2【铺1】 （2010东城二模文15）在中，角，所对的边分别为，且， 若，求的值； 若的面积，求，的值【解析】 ；考点：正余弦定理的应用【例2】 （2010辽宁文17）在中，分别为内角，的对边，且 求的大小； 若，试判断的形状【解析】 是等腰的钝角三角形目标班学案2【拓2】 （2010陕
3、西文17）在中，已知，是边上的一点，求的长.【解析】 .【备选】 （2010西城二模理15）如图，在四边形中， 求的值； 求的面积【解析】 的面积已知在中，则（）ABC或D或【解析】 A9.2平面向量知识结构图知识梳理一、平面向量的概念：1向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量（共线向量）、相等向量的概念2向量的运算：向量加法有“三角形法则”、“平行四边形法则”、多边形法则；向量的减法：数乘向量，长度为，方向与相同（）或相反（）；3向量共线的条件：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得4平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：
4、其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二、平面向量的数量积与坐标运算两个非零向量的夹角：作，则（）叫与的夹角，记作已知两个非零向量与，它们的夹角为，则叫做与的数量积（或内积）向量的坐标运算：， ； ； ；经典精讲向量中两个常用的结论：平面上三点共线对平面上任意一点，（简略推导：）利用这个结论可以快速解决一些向量的小题，见例题3；为的边上的一点，当时，有这个结论可以看成上一个结论的一个特殊情形(简略推导：过作，交于，如图，由向量加法的平行四边形法则和平行线段成比例定理可得到：，于是得证）这个结论的特殊情形的例题：如图，已知，用表示，则等于（B）ABCD经典精讲考点：向量运算与平面向
5、量基本定理【例3】 给出下列命题：若，则；若，则为平行四边形；的充要条件是且；若，则；若，则；其中正确的序号是 （2009安徽文14）在平行四边形中，和分别是边和的中点，且，其中，则_（2009湖南文15）如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则_，_【解析】 ，；考点：向量的坐标运算与数量积【例4】 （2009全国文8）设非零向量、满足，则（ ）A B C D（2010崇文二模文12）向量，满足，与的夹角为，则 （2010西城二模文13）设为单位向量，的夹角为，则的最大值为_（2009浙江文5）已知向量，若向量满足，则（ ）A B C D【解析】 B； ； D；尖子班学案3【拓1】
6、（2010西城二模理13）设为单位向量，的夹角为，则的最大值为_【解析】目标班学案3【拓2】 （2009全国理6）设、是单位向量，且，则的最小值为（ ）A B C D【解析】 D；【备选】 （2009崇文一模理12改编）设集合，定义在上的映射，满足对任意，均有 （且）若且、不共线，则_；若，且，则_【解析】 ；考点：向量在三角形中的应用【例5】 （2009宁夏海南9）已知点在所在平面内，且，则点依次是的（）A重心、外心、垂心B重心、外心、内心C外心、重心、垂心D外心、重心、内心 （2010山东烟台）设在的内部，且，则的面积与 的面积之比是（ ） A B C D（2010南京市高三第二次调研测试
7、）已知非零向量与满足，且，则为（）A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形 D等边三角形【解析】 C B D；考点：平面向量与解三角形综合【例6】 设是锐角三角形，分别是内角，所对边长，并且若，求，（其中）【解析】 ，1（20102011北师大实验中学高三摸底考试13）已知向量，且与的夹角为钝角，则的取值范围是_【解析】2在中，则等于（）A B C D【解析】 D真题再现 （2011北京文9）在中若，则_【解析】（2011北京文11）已知向量，若与共线，则_【解析】实战演练 【演练1】（2010海淀一模文3）已知向量，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】 B；【演练2】（2010西城一模文11）已知，的夹角为60，则 【解析】【演练3】（2010朝阳二模文10）已知向量，如果与垂直，那么实数的值为 【解析】 【演练4】（2009山东文8）设是所在平面内的一点，则（）A B C D【解析】 B【演练5】在中，角，所对的边分别为，且，求的值；求的值；求的值【解析】 大千世界 （2009年北京大学自主招生保送生测试）一个圆的内接四边形边长依次为，求这个圆的半径【解析】 设边长分别为2，3的边的夹角为，则边长分别为的边的夹角为由余弦定理得，化简得所以，此时角所对的对角线长等于，故由正弦定理得外接圆半径81