1、 32 1.复合函数的性质：同增异减 设复合函数 yfg x ，A是 yfg x 定义域的某个区间，B是 ug x的值域： 若 ug x在A上是增（或减）函数， yf u在B上也是增（或减）函数，则函数 yfg x 在A上是增函数； 若 ug x在A上是增（或减）函数，而 yf u在B上是减（或增）函数，则函数 yfg x 在A上是减函数 2没有给出函数的具体解析式，只给出一些特殊条件或特征的函数称为抽象函数 抽象函数往往有它所对应的具体函数模型，常见的抽象函数模型有： 正比例函数： f xyf xf y； 指数函数： f xyf x f y； 对数函数： f xyf xf y； 幂函数： f
2、 xyf x f y 尖子班学案尖子班学案 1 【铺1】 函数 1 ( ) 2 x f x 的值域为_ （2010 山东文 3） 2 log31 x f x 的值域为（ ） A0， B0， C1 ， D1 ， 【解析】 0,1 A. 知识结构图 知识梳理 经典精讲 第 4 讲 复合函数与 抽象函数 33 考点考点：复合函数的定义域：复合函数的定义域、值域值域 【例1】 函数 2 1 1 ( ) 2 x f x 的定义域为_，值域为_ 函数 2 11 22 loglog2yxx 的定义域为_，值域为_ 【解析】 1 1 ， 1 , 1 2 ； 1 04 2 ，0)，； 尖子班学案尖子班学案 2
3、【铺1】 设 ln 1 39 xx f xa，若当, 0 x 时， f x恒有意义，则实数a的取值范围为_ 【解析】 2a 【例2】 已知函数 2 lg21f xaxx的定义域为R，求实数a的取值范围 已知函数 2 lg21f xaxx的值域为R，求实数a的取值范围 【解析】 1, 0,1 目标目标班学案班学案 1 【拓【拓2】 设2, 8x，函数 2 1 ( )log () log () 2 aa f xaxa x的最大值是 1，最小值是 1 8 ，求a的值 【解析】 1 2 a 【备选】 已知函数 2 21 xx yaa1a 在区间1, 1上的最大值为14，则a _ 【解析】 5 考点：复
4、合函数的单调区间考点：复合函数的单调区间 【例3】 （2007 辽宁）函数 2 1 2 log (56)yxx的单调增区间为（ ） A 5 2 ， B(3)， C 5 2 ， D(2)， 函数421 xx y 的值域为_，单调递减区间为_ 【解析】 D 3 , 4 ；,1 目标目标班学案班学案 2 34 【拓【拓2】 （2009 山东东营）函数 2 2 1 2 xx y 的单调递增区间是（ ） A 1 1, 2 B,1 C2, D 1 , 2 2 【解析】 D 尖子尖子班学案班学案 3 【铺1】 已知13，是函数 2 4yxax 的单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ） A 1 2 ， B(
5、1， C 13 22 ， D 3 2 ， 【解析】 A 【例4】 函数 2 1 2 ( )log23f xxax，若( )f x在(1，内是增函数，则a的取值范围为_； 若( )f x的单调递增区间是(1)，则a的取值范围为_ 【解析】 1 2)，；12， 【备选】 （2009 江苏南京） 若函数 2 log2 a f xxx（0a 且1a ） 在区间 1 0, 2 内恒有 0f x ， 则 f x的单调增区间是（ ） A 1 , 4 B 1 , 4 C 1 , 2 D0, 【解析】 C 考点：抽象函数考点：抽象函数的函数值的函数值 【例5】 若奇函数 f xxR满足 21f， 22f xf
6、xf，则 1f等于（ ） A0 B1 C 1 2 D 1 2 若( )f x是定义在(0)，上的增函数， 对正实数xy，都有()( )( )f xyf xf y成立 则不 等式 2 (log)0fx 的解集为_ 【解析】 D； (12)，； 目标目标班学案班学案 3 【拓【拓2】 已知函数( )yf x是定义在R上的奇函数，且(3)0f，对任意xR，都有 (6)( )(6)f xf xf成立，则(2007)f（ ） A2006 B2007 C2008 D0 【解析】 D 【例6】 （2008 陕西文 11） 35 定义在R上的函数 f x满足 2f xyf xfyxy（xyR，） ， 12f，
7、则 2f 等于（ ） A2 B3 C6 D9 对任意实数,xy，均满足 22 ()( )2( )f xyf xfy，且(1)0f，则(2011)f_ （2007 北京丰台）定义在实数R上的函数( )yf x具有如下性质： 对任意xR，都有 33 () ( )f xf x； 对任意 12 xx R，且 12 xx，都有 12 ()()f xf x 则( 1)(0)(1)fff_ 【解析】 A 2011 2 0； 尖子尖子班学案班学案 4 【拓1】 （2009 四川文 12） 已知函数( )f x是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有 (1)(1)( )xf xx f x，则 5
8、 2 f 的值是（ ） A0 B 1 2 C1 D 5 2 【解析】 A 【备选】 （2009 西城一模文 8）函数 f x的定义域为D，若对于任意 1 x， 2 xD，当 12 xx时，都有 12 f xf x，则称函数 f x在D上为非减函数 设函数 f x在01，上为非减函数，且满足以下三个条件： 00f； 1 32 x ff x ； 11fxf x 则 11 38 ff 等于（ ） A 3 4 B 1 2 C1 D 2 3 【解析】 A 考点考点：抽象函数的性质：抽象函数的性质 【例7】 定义在R上的函数( )f x同时满足下列条件： 对任意x，yR，恒有()( )( )f xyf x
9、f y； 当0 x 时，( )0f x ，且(1)2f 判断函数( )f x的奇偶性，并证明你的结论； 求函数( )f x在区间2, 4上的最大值和最小值 【分析】 ()( )( )f xyf xf y的函数原型是正比例函数( )f xkx，它显然是一个奇函数，并且是一 个单调函数由0 x 时( )0f x 知，此函数在R上单调递减 【解析】 令yx ，则由已知()( )( )f xyf xf y，得()( )()f xxf xfx， 即(0)( )()ff xfx，又由已知(0)( )(0)f xf xf，解得：(0)0f， 36 代入式得：( )()f xfx ，( )f x为奇函数； (
10、 )f x在区间2, 4上的最大值是( 2)4f ，最小值为(4)8f 【备选】 （2007 北京崇文）设定义在R上的函数( )f x满足： （）当mnR，时，()( )( )f mnf mf n； （）(0)0f； （）当0 x 时，( )1f x ，则在下列结论中： ( )()1f afa；( )f x在R上是递减函数； 存在 0 x，使 0 ()0f x；若 1 (2) 2 f，则 11 44 f ， 11 66 f 正确结论的个数是（ ） A1个 B2个 C3个 D4个 【解析】 B； 已知 3 2logf xx，1, 9x，求函数 2 2 yf xf x 的值域 【解析】 6 ,13
11、 【演练 1】 （2008 西城一模文 12）设函数 22 ( )loglog (1)f xxx，则( )f x的定义域是_； ( )f x的最大值是_ 【解析】 (0 ,1)；2 【演练 2】函数 22 ( )log (3)log (1)f xxx的值域是_，单调递增区间为_ 【解析】 (, 2，( 3,1) 【演练 3】 （2008 丰台二模文 8） 若l o g ( 2) a ya x在01，上是x的减函数， 则a的取值范围是_ A0, 1 B2, C0, 2 D1, 2 【解析】 D 【演练 4】定义在R上的函数( )f x满足：( )(2)13f xf x，(1)2f，则(5)f（
12、） A13 B2 C 13 2 D 2 13 【解析】 B 实战演练 37 【演练 5】设( )f x是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ） A( ) ()f x fx是奇函数 B( )()f x fx是奇函数 C( )()f xfx是偶函数 D( )()f xfx是偶函数 【解析】 D 【演练 6】已知定义域为R的函数 f x满足： f xyf x f y，且 31f 求 0f； 求证：41f 【解析】 令3 ,0 xy得(3)(3) (0)fff，而(3)1f，故(0)1f； 3 (3)(2) (1)(1)1ffff，故(1)1f，从而 24 (4)(2)(1)1fff 令4 ,4xy 得，(4) ( 4)(0)1fff，故 1 ( 4)1 (4) f f 命题得证 【点评】 f xyf x f y的函数原型是指数函数( ) x f xa，由(3)1f知，1a （2009 复旦大学自主招生测试） 定义全集X的子集AX的特征函数为 1 ( ) 0 A X xA fx xA ， ， 这里 XA 表示A在X中的补 集那么，对A，BX，下列命题中不正确的是_ A( )( ), AB ABfxfxxX B( )1( ), X AA fxfxxX C( )( )( ), A BAB fxfx fxxX D( )( )( ), A BAB fxfxfxxX 【解析】 D 大千世界