1、 39 1函数的零点：满足 ( )0f a 的a叫做函数 ( )f x的零点，即方程( )0f x 的实数根，也即函数 ( )yf x 的图象与x轴的交点的横坐标零点个数的判断常常借助函数图象； 2零点分析法：若函数 ( )yf x 在闭区间 ab， 上的图象是连续不断的曲线，并且在区间端点的函数 值符号相反，即 ( )( )0f af b 则在区间( )ab， 内，函数 ( )yf x 至少有一个零点 如果函数在此区间上单调，则函数 ( )yf x 在此区间上有且只有一个零点 3二次函数的零点问题一般借助二次函数的图象、一元二次方程的判别式与零点分析法综合考虑 尖子班学案尖子班学案 1 【铺
2、1】 函数( ) b x f xa 的图象如图所示，其中ab，为常数，则下列结论正确的是（ ） A10ab， B10ab， C010ab， D010ab， 【解析】 A 考点：基本初等函数的图象考点：基本初等函数的图象 【例1】 （2009 福建厦门） 知识结构图 知识梳理 经典精讲 第 5 讲 函数图象与 函数零点问题 40 已知lglg0ab，则函数 x f xa与函数 logbg xx的图象可能是（ ） 若函数( )log () a f xxb的图象如右图，其中,a b为常数则函数 ( ) x g xab的大致图象是（ ） A B C D 在下列图象中，二次函数 2 yaxbx与指数函数
3、 x b y a 的图象只可能是（ ） 【解析】 B D A 目标班学案目标班学案 1 【拓2】 （2010 安徽文 6）设0abc ，二次函数 2 f xaxbxc的图象可能是（ ） 【解析】 D 尖子尖子班学案班学案 2 【铺1】 函数 a f xx满足 24f，那么函数 log1 a g xx的图象大致为（ ） D. C.B. A. 1 y x O 1 1 y x O 1 1 y xO 1 11 O y x x y 1 1 O x y 1 1 O x y 1 1 O x y 1 1 O D.C.B. A. 1 1 -1-1 1 11 1 y yy y x xxxO O O O A O y
4、 x B x y O C x y O D x y O x O y 1 y O x 1 y Ox1 y Ox 1 x y 1 1 O 41 A B C D 函数( )log1 a f xx01a的图象大致为下图的（ ） A B C D 【解析】 C A 考点考点：绝对值函数的图象绝对值函数的图象 【例2】 （2008-2009 上海九校高三联考） 函数 2 log 1 ( )2 x f xx x 的图象为（ ） 如图所示，函数 ln e1 x yx的图象大致是（ ） 【解析】 D D 目标班学案目标班学案 2 【拓2】 设 2 1 2f xx ， 2 2g xxx，若 22 f xg xf xg
5、 x F x ，则( )F x的最大值 为_ 【解析】 7 9 尖子尖子班学案班学案 3 【铺1】 （2008浙江理） 已知t为常数， 函数 2 2yxxt在区间0, 3上的最大值为2， 则t _ O y x-1 1 1 A. O y x-1 1 1 B. O y x-1 1 1 C. -1 O y x-11 D. D. C. B.A. 1 1 1 1 1 1 1 1 O OOO yy yy xxxx 11 11 1 1 1 O O O O y y y y xx x x D.C.B. A. 42 【解析】 1 【例3】 已知函数 2 ( )2f xxaxb（xR） ，给出下列命题： ( )f
6、x不可能为偶函数； 当(0)(2)ff时，( )f x的图象必关于直线1x 对称； 若 2 0ab ，则( )f x在区间 ,)a 上是增函数； ( )f x有最小值 2 ba 其中正确命题的序号是_ 【解析】 【备选】 （2008 海淀二模文 8）设函数( )f xx xbxc，给出下列四个命题： 当0c 时，( )yf x是奇函数； 当00bc，时，方程( )0f x 只有一个实根； 函数( )yf x的图象关于点(0) c，对称； 方程( )0f x 至多有两个实根； 其中正确命题的个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解析】 C 考点：考点：零点所在的区间零点所在的区
7、间 【例4】 函数 2 1 logf xx x 的零点所在区间为（ ） A 1 0, 2 B 1 , 1 2 C1, 2 D2, 3 （2010 宣武一模文 6） 设函数 3 2 ( )log x f xa x 在区间(1, 2)内有零点，则实数a的取值范围是（ ） A 3 ( 1,log 2) B 3 (0, log 2) C 3 (log 2 , 1) D 3 (1, log 4) 【解析】 C C 尖子尖子班学案班学案 4 【铺1】 方程 2 log (3)2xx的解的情况是（ ） A仅有一根 B有两个正根 C有一个正根和一个负根 D有两个负根 【解析】 C； 考点考点：利用图象判断交点
8、利用图象判断交点 【例5】 （2010 北京师大附中高三期中测试 6） 已知 2 88,1 65,1 xx f x xxx ， lng xx， 则 f x与 g x的图象的交点个数为 （ ） A1 B2 C3 D4 （2009 山东文 14） 43 若函数( ) x f xaxa（0a 且1a ）有两个零点，则实数a的取值范围是_ 【解析】 C (1,) 目标班学案目标班学案 3 【拓2】 （2008 石景山一模文 7）已知函数( )yf xxR满足(2)( )f xf x，且当1 1x ，时， 2 ( )f xx，则( )yf x与 5 logyx的图象的交点个数为（ ） A3 B4 C5
9、D6 【解析】 B； 【备选】 若不等式 2 log0 a xx对 1 0 2 x ，恒成立，则实数a的取值范围是_ 【解析】 1 1 16 ，； 考点：二次函数的零点分布考点：二次函数的零点分布 【例6】 已知方程 2 4(3)0kxxk，分别求出下列情况对应的k的取值范围： 此方程的两根（可以相等）都大于1； 此方程的一根大于1，另一根小于1； 此方程的一根在(01)，上，另一根不在(01)，上； 此方程的两根（可以相等）都在( 1 1) ，上 【解析】 1 1 2 k； 1 0 2 k； 当(0) (1)0ff时，只需(0) (1)0ff即可，解得 1 3 2 k ； 当(0)0f时，
10、2 ( )3(3)f xxxx x，不满足； 当(1)0f时， 1 ( )(1)(7) 2 f xxx，也不满足 7 4 2 k 【备选】 （接例题）此方程在1 1 ，上有根 【解析】 1 4 2 k 考点考点：复合函数的零点问题复合函数的零点问题 【例7】 （2009 年石景山一模文 14） 已知函数( )yf x和( )yg x在 2, 2的图象如下所示： 44 ( )f x ( )g x 给出下列四个命题： 方程 ( )0f g x有且仅有6个根 方程 ( )0g f x有且仅有3个根 方程 ( )0f f x有且仅有5个根 方程 ( )0g g x有且仅有4个根 其中正确的命题是_ （
11、将所有正确的命题序号填在横线上） 【解析】 【备选】 设定义域为R的函数 |lg|1|,1 ( ) 0,1 xx f x x ，则关于x的方程 2( ) ( )0fxbf xc有7个不 同的实数解的充要条件是（ ） A0b 且0c B0b 且0c C0b 且0c D0b且0c 【解析】 C 函数( )yf x的图象是在R上连续不断的曲线，且(1)(2)0ff，则( )yf x在区间1, 2上 （ ） A没有零点 B有 2 个零点 C零点个数为偶数 D零点个数为k，Nk 【解析】 D （2011 北京文 13） 已知函数 3 2 2 ( ) (1)2 x f xx xx ， ， ，若关于x的方程
12、( )f xk有两个不同的实根，则实数k的取 -2 2 -2 2 y -1 1 -11O x -2 2 -2 2 y -1 1 -11O x 真题再现 45 值范围是_ 【解析】 0 1， 【演练 1】 （2010 海淀一模理 2） 在同一坐标系中画出函数logayx， x ya，yxa的图象，可能正确的是（ ） 【解析】 D； 【演练 2】已知 2 ,10 ,01 xx f x xx ，则下列函数的图象错误的是（ ） A B C D 【解析】 D 【演练 3】 （2011 全国新课标文 10）函数 e43 x f xx的零点所在的区间为（ ） A 1 , 0 4 B 1 0, 4 C 11
13、, 42 D 13 , 24 【解析】 C 【演练 4】 （2008 湖北文 13）方程 2 23 x x 的实数解的个数为 【解析】 2 【演练 5】关于x的方程 1 log(0 x a ax a且1)a （ ） A仅当1a 时，有唯一解 B仅当01a时，有唯一解 C有唯一解 D无解 【解析】 C 1 1 x y O B 1 1 x y O A 1 1 x y O C 1 1 x y O D x y O 1 2 12 y= f (x 1)的图象 1 y 1 2 y= f ( x)的图象 1 O x 1 2 1 y y= f (x)的图象 1 O xx O 1 y= f (x)的图象 2 1 y 1 实战演练 46 【演练 6】若关于x的方程 2 2210 xmxm 有两根，其中一根在区间1, 0内，另一根在区间 1, 2内，求实数m的范围 【解析】 51 62 m （2008 复旦大学自主招生测试） 已知关于x的方程 2 6(2)|3| 920 xxaxa 有两个不同的实数根，则a的取值范围是 （ ） A0a 或2a B0a C2a 或0a D2a 【解析】 A 2 6(2)|3| 920 xxaxa 可化为： 2 3(2)320332xaxaxax， 故32x或3xa又此方程只有两个不同的实数根故2a 或0a 大千世界