1、1 第第一一讲讲 期末综合复习（一）期末综合复习（一） 课程目标课程目标 1.使学生掌握整除、约数和倍数、质数和合数等概念，知道它们之间的联系和区 别。掌握能被 2、5、3 整除的数的特征。会分解质因数。会求最大公约数和最小 公倍数。 2.让学生系统复习小学数的整除和最大公约数和最小公倍数的基本概念及相应的 应用题。 3 使学生进一步认识数的整除里的一些概念， 理解和认识这些概念之间的联系与 区别，能应用概念进行分析、判断，进一步发展思维能力。 课程重点课程重点 掌握数的整除和最大公约数和最小公倍数的基本概念，掌握关于数的整除及最大 公约数和最小公倍数的应用题。培养学生从实际问题中发现数学问题
2、的能力。 课程难点课程难点 熟练找一个数的因数和一个数的倍数； 熟练找几个数的最大公因数和最小公倍数。 教学方法建议教学方法建议 掌握因数和倍数的相关概念的时候，建议进行概念间的对比。 一、知识梳理 1. 1. 因数、倍数概念：因数、倍数概念： 如果（、都是不为的整数）我们就说 a 能被 b 和 c 整除整除,b 和 c 能整除整除 a,也可以说 和是的因数,是和的倍数。倍数和因数是相互依存的。 . 一个数的因数个数是有限的，最小因数是，最大因数是它本身。一个数的倍数个数是无限的，最小 倍数是它本身，没有最大倍数。（1 是所有非零自然数的因数） 注：如果 a 和 b 都是 c 的倍数，那么 a
3、+b 的和与 ab 的积也是 c 的倍数， 、倍数的特征。、倍数的特征。 （1）2 的倍数的特征：个位上的数是 2、4、6、8 或 0。 （2）5 的倍数的特征：个位上的数是 5 或 0。 （3）3 的倍数的特征：各位上数的和一定是 3 的倍数。 （4）一个数既是 2 的倍数又是 5 的倍数，它个位上的数是 0 （5）一个数既是 2 的倍数又是 3 的倍数，那么它一定也具有 2 的倍数的特征和 3 的倍数特征。 （6）一个数既是 3 的倍数又是 5 的倍数，那么它一定也具有 3 的倍数的特征和 5 的倍数特征。 质数和合数。质数和合数。 （）一个数，如果只有和它本身两个因数，这样的数叫做质数（
4、素数）。最小的质数是。 2 （） 一个数，除了和它本身还有别的因数，这样的因数叫做合数。最小的合数是，合数至少有三个 因数。 （）既不是质数，也不是合数。既是偶数又是质数的数是（ ）。 5. 1005. 100 以内质数：以内质数：2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 共 25 个。 6.6.互质数互质数 公因数只有 1 的两个数叫做互质数。 两个数都是质数时，公因数只有 1（互质）。 相邻的两个自然数（0 除外），公因数只有 1（互质）。 1 和任何自然数互质。 两个相邻的奇数互质。 一个
5、质数，一个合数且不成倍数关系时互质。 （）1 和任何自然数互质。 如：和,和等； （）相邻的两个自然数互质。如：和 ，和等 （）两个不同的质数互质。 如；和，（ ）和（ ） （）当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。 如：（ ）和（ ） （）两个合数的公约数只有 1 时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两 互质。 如；（ ）和（ ），（ ）和（ ） 如果较小数是较大数的约数，那么较（ ）数就是这两个数的最大公约数。 如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是（ ）。 7. 奇偶性：奇偶性： 奇数+偶数=奇数 奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数 奇数偶数=偶数
6、奇数奇数=奇数 偶数偶数=偶数 8 8质因数和分解质因数：质因数和分解质因数： 每个合数都可以写成几个（ ）相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的（ ）数，叫做这个 合数的质因数。 例如 15=35，3 和 5 叫做 15 的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 3 例如把 28 分解质因数 9.9.最大公约数：最大公约数： 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。 例如 12 的约数有 1、2、3、4、6、12；18 的约数有 1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6 是 12 和 1 8 的公约数，6 是它们的最大
7、公约数。 10.10.最小公倍数：最小公倍数： 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如 2 的倍数 有 2、4、6 、8、10、12、14、16、18 3 的倍数有 3、6、9、12、15、18 其中 6、12、18是 2、3 的公倍数，6 是它们的最小公倍数。 如果较大数是较小数的倍数，那么较（ ）数就是这两个数的最小公倍数。 如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。 几个数的公约数的个数是（ ）的，而几个数的公倍数的个数是（ ）的。 二、方法归纳 三、课堂精讲 ( (一一) )倍数和因数倍数和因数 例例 1. （1） 18 最
8、大的因数是（ ），最小的倍数是（ ）。一个数的最大因数是 12，这个数是（ ）； 一个数的最小倍数是 18，这个数是（ ）。一个数最大因数是 12，这个数的最小倍数是（ ）。一 个数既是 15 的因数，又是 15 的倍数，这个数是 （ ）。 （2） 如果 abc (a、 b、 c 是不为 0 的整数)， 那么， c 是( )和( )的倍数， a 和 b 是 c 的( )。 如果 A、B 是两个整数（B0），且 AB2，那么 A 是 B 的（ ），B 是 A 的（ ）。 【规律方法规律方法】整数 A 能整除整数 B，A 叫作 B 的倍数，B 就叫做 A 的因数或约数， ABC，A 是 B 的倍数
9、，也是 C 的倍数，B 和 C 都是 A 的因数。 4 倍数和因数不能单独说。 例例 2.2.找 36 的因数：361=36 362=18 363=12 364=9 366=6 从小到大排列 36 的因数有 1、2、3、4、6、9、12、18、36. 【规律方法规律方法】找一个数的倍数要按照一定的顺序，用这个数分别去乘 1、2、3、4得到的积就是它的倍数。 倍数写不完用省略号代替。但有范围要求的就不要省略号。 找一个数的所有因数也要按照一定的顺序，用除法一对一对地找。 【搭配课堂训练题】【搭配课堂训练题】 【难度分级】【难度分级】 A A 1.1.写出下列数中每个数的因数： 自然数 它的因数
10、1 8 11 39 从上面可以看出，一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是（ ），最大的约数是（ ）。 2.在 8 和 48 中，（ ）是（ ）的倍数，（ ）是（ ）的约数。 3.分别写出下列各数的倍数。 3 的倍数 （ ）； 8 的倍数 （ ）。 从上面可以看出，一个数的倍数的个数是（ ）的，其中最小的倍数是（ ），没有 （ ）。 ( (二二) )2 2、3 3、5 5 的倍数特征的倍数特征 例例 3.3. 按要求把下列各数填入相应的括号里。 4, 12, 25, 8, 30, 45, 25, 40, 120 （1）3 的倍数：（ ） （2）2 的倍数：（ ） 5 （2）5 的倍数：（
11、 ） （2）既有因数 2，又有因数 3：（ ） （3）同时是 2、3、5 的倍数 ：（ ） 【规律方法规律方法】（）的倍数的特征：个位上是、的数，都是的倍数，是的倍数的 数叫做偶数；不是的倍数的数叫做奇数。 （）的倍数的特征：一个数各位数上的和是的倍数，这个数就是的倍数。 （）个位上是或的数都是的倍数。 （4）个位上是 0 的数既是 2 的倍数，也是 5 的倍数。 【搭配课堂训练题】【搭配课堂训练题】 【难度分级】【难度分级】 B B 3.按要求把下列各数填入相应的括号里。 36， 58，40, 25, 10, 83, 95, 76, 60, 15, 14, 35, 80, 55 （1）2 的
12、倍数（ ） （2）3 的倍数（ ） （3）5 的倍数（ ） （4）既是 2 的倍数，又是 3 倍数（ ） （5）同时是 2、3、5、的倍数（ ）。 4.下面各个，有几种填法？ （1）2 的倍数：46此处有（ ）种填法； （2）5 的倍数：46此处有（ ）种填法； （3）3 的倍数：46此处有（ ）种填法。 （三）奇数和偶数（三）奇数和偶数 例例 4.4.从四张数字卡片中选出三张，按要求组成三位数三位数。（每题写出 2 个） 5 4 0 6 组成奇数有 组成偶数有 组成 3 的倍数有 组成 5 的倍数有 6 组成既是 2 和 5 的倍数，又是 3 的倍数 【规律方法规律方法】是 2 的倍数的数叫
13、做偶数，不是 2 的倍数的数叫做奇数。 最小的偶数是 0，最小的奇数是 1。 【搭配课堂训练题】【搭配课堂训练题】 【难度分级】【难度分级】 A A 5 5. .将下面的数分类。 12 56 48 55 187 23 54 14 2 9 68 92 47 （1）偶数： （2）奇数： 6.判定下面的结果是偶数还是奇数。 A785547 的和是（ ） B.675+54465 的结果是（ ） C.7571 的积是（ ） D.奇数奇数的积是（ ） 7.如果 a 表示自然数，那么下面一定可以表示偶数的是（ ）。 A. a+1 B. a+2 C. 2a 8.判定下面的结果是偶数还是奇数。 A.2+5 的结
14、果是（ ） B.如果 A 是自然数（A0），2A 表示（ ）。 C.23 的结果是（ ）D.一个数只有 1 和本身两个因数，它是（ ）。 9三个连续的偶数和是 96，这三个数分别是（ ）、（ ）、（ ）。 ( (四四) )质数和合数质数和合数 例例 5 5. .判断并说明理由： （1）所有的偶数都是合数。（ ） （2）所有的合数都是偶数。（ ） （3）所有的奇数都是素数。（ ） （4）所有的素数都是奇数。（ ） 【规律方法规律方法】区别质数和合数，奇数和偶数。一个数，如果只有和它本身两个因数，这样的数叫做质数。 一个数，除了和它本身还有别的因数，这样的因数叫做合数。 7 例例 6 6.在合适的
15、格子里画。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 奇数 偶数 质数 合数 对照上表，判断下面说法。正确有（ ） A一个自然数，不是奇数就是偶数； B.一个自然数，不是质数就是合数； C连续的两个偶数之间相差 2；连续的两个奇数之间也相差 2； D连续两个自然数，一定是一奇一偶； E连续两个质数，之间的差最小是 2； F.最小的质数和最小的合数都是偶数。 【搭配课堂训练题】【搭配课堂训练题】 【难度分级】【难度分级】 B B 10.两个连续的质数是（ ）和（ ）；两个连续的合数是（ ）和（ ） 11.用质数填一填。22=（ ）+（
16、）=（ ）+（ ） 12.100 以内最大的质数与最小的合数的和是（ ），差是（ ）。 13.一个四位数，个位上的数是最小的质数，十位上是最小的自然数，百位上是最大的一位数，最高位上是 最小的合数，这个数是（ ）。 ( (四四) )分解质因数及最大公因数及最小公倍数分解质因数及最大公因数及最小公倍数 例例 7 7. .（1 1）小健家的电脑密码是一个三位数 ，百位是最小的奇数，十位是最小的质数，个位是最小的合数， 这个数是（ ），分解质因数是（ ） （2）三个质数的乘积是 110，这三个质数分别是（ ）、（ ）、（ ）。 （3）在 a=235 .b=2257 中，a 和 b 的公有质因数有（
17、），a 独有的质因数是（ ），b 独 有的质因数是（ ）。a 和 b 的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ） （4）210 分解质因数是（ ）， B2311， C257， 那么 210、B 和 C 这三个数的最 小公倍数是（ ），最大公因数是（ ） （5）甲数=2357，乙数=2311，甲乙两数的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。 【规律方法规律方法】会寻找两个数的最大公约数和最小公倍数。 8 【搭配课堂训练题】【搭配课堂训练题】 【难度分级】【难度分级】 B B 14.填一填 15. 填一填 16. 18 和 24 的最大公约数是（ ）；最小公倍数是（ ） 17.a=235，b=23
18、7，a 和 b 的最大公约数是( )，最小公倍数是( )。 （年联考） 18. A=237，B=257，A 和 B 的最大公约数是( )，最小公倍数是（ ）。（年联考） 19.如果 A=60，B=42，那么 A、B 的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）； （ 年联考卷） 20A=23a B= 2a7，已知 A、B 的最大公约数是 6，则 a=( ); A、B 的最小公倍数是（ ）。 21210 分解质因数是（ ）， B2311， C257， 那么 210、B 和 C 这三个数的最小 公倍数是（ ），最大公因数是（ ）。 ( (六六) )数的整除的数的整除的综合应用。综合应用。 例例 8.8
19、.（1 1）货场有 96 吨煤，现有三种不同载重量的卡车， 用哪一种卡车正好可以装完？为什么？ 1 号车 2 号车 3 号车 2 吨 3 吨 5 吨 9 （2）把 47 块糖和 39 个果冻分别平均分给一个组的同学，结果糖剩 2 块，果冻剩 4 个，这组最多有几位同 学？ 【规律方法规律方法】数的整除的综合运用。 【搭配课堂训练题】【搭配课堂训练题】 【难度分级】【难度分级】 B B 小明将黑板上的一个两位数乘以一个最小的合数，把这个最小的合数看成了最小的质数，结果得 188，正确 的结果是多少？（列式计算） 例例 9 9 六一节前夕，同学们布置校园，在学校大路的一边插彩旗开始时，每隔 3 米
20、插一面当 插到第 10 面时，发现彩旗不够，于是重插，改为每 4 米插一面重插时，不需要移动位置的 彩旗，除第一面外，还有（ ）面 A第二和和第六 B第三和第七 C第四和第八 D第五和第九 【规律方法规律方法】每隔 3 米插一面，插旗的距离是 3 的倍数，4 米插一面插旗的距离是 4 的倍数，重插时，不需 要移动位置的彩旗， 除第一面外， 是 3 和 4 的公倍数的距离， 3 米插一面 当插到第 10 面就是 310=30 米， 即是 3 和 4 的公倍数的距离小于 30 的米数，据此解答 例10暑假期间，小刚和小明都去参加乒乓球训练。小刚每隔 6 天去一次，小明每隔 4 天去一次。7 月 3
21、1 日两人同时参加了乒乓球训练后，几月几日再次相遇？ 【规律方法规律方法】找到 4 和 6 的最小公倍数，为 12。所以，小明和小刚 12 天后再次相遇。 所以，8 月 12 日再次相遇。 10 【搭配课堂训练题】【搭配课堂训练题】 【难度分级】【难度分级】 B 22被 2、3、5 除，结果都余 1 的最小整数是（ ），最小三位整数是（ ）。 3一筐苹果 4 个 4 个拿，6 个 6 个拿，或者 8 个 8 个拿都正好拿完，这筐苹果最少有（ ）个。 24.小明、小红、小刚三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是 48 岁，他们中最小的是多少 岁？最大的是多少岁？ 四、讲练结合题 （一）
22、填空：（一）填空： 1. 15 的约数有（ ）；一个数的最小倍数是 12，这个数有（ ）个约数。 24 和 8， （ ）是（ ）的约数，（ ）是（ ）的倍数。 2.在 1、2、3、9、24、41 和 51 中，奇数是（ ），偶数是 （ ），质数是（ ），合数是 （ ），（ ）是奇数但不是质数，（ ）是偶数但不是合数。 3. 最小的质数是（ ）；最小的合数是（ ）；（ ）能被（ ）整除。 已知 2793，那么（ ）和（ ）是（ ）的因数，27 和 9 的最小公倍数是（ ），最大公因 数是（ ）。 4一个三位数 46，能被 2 整除时，中最大填（ ），能被 3 整除时，中可填（ ）；能被 5 整
23、除时，中最小填（ ）。 5 三个连续偶数的和是 54， 其中最小的一个是 （ ） ； 能同时被 2、 3、 5 整除的最大三位数是 （ ） 。 6 两个数的最大公因数是 1； 最小公倍数是 12， 这两个数分别是 （ ） 和 （ ） 或者 （ ） 和 （ ） ； 760 的因数有（ ），能整除 45 的数有（ ），既是 60 的因数，又能 整除 45 的数有（ ），60 和 45 的最大公因数是（ ）。 8在 14、6、15、24 中（ ）能整除（ ），（ ）和（ ）是互质数 9能同时被 2、3、5 整除的最大两位数是（ ），把它分解质因数是（ ） 105中最大填（ ）时这个数能被 3 整除，
24、这个数的因数有（ ）。 11如果 a 能被 b 整除，则 a 和 b 的最大公因数是（ ），a 和 b 的最小公倍数是（ ） 11 12已知 a=2235， b=257,a 和 b 公有的质因数有（ ），它们的最大公因数是（ ） 13.( )既不是质数, 又不是合数。一个数的最小的倍数是( ), 最小的约数是( ), 最大的约数 是( )既是奇数, 又是合数的最小两位数是( ) 14.（2007 年联考）选择：在所有的质数中，偶数的个数有( )。 A、一个也没有 B、有一个 C、有两个 D、有无数个 15把一张长 30 厘米、宽 24 厘米的长方形纸片剪成同样大小的正方形，而且没有剩余，正方形
25、要尽可能 大。剪成的正方形的边长是多少厘米？可以剪成这样的正方形多少个？ 16501 班上体育课，有 34 人参加跳绳活动，要分成 5 人一组，至少还要再来几个人？可以分成几组？ 17.李叔叔的果园每行树的棵树都是相等的，下面是几位小朋友各自数出的总棵树，其中只有一个小朋友数 对的，你知道他是谁吗？为什么？（直接答） 李刚：73 棵 程鸣：77 棵 王冰：79 棵 赵强：71 棵 五课后自测练习 （一）、细心填一填。（一）、细心填一填。 1.3 和 90 这两个数，（ ）是（ ）的倍数，（ ）是（ ）的因数。 2.6 的倍数中，最小倍数是（ ），100 以内 3 的最大倍数是（ ）；28 的因
26、数中最大的一位数是 （ ）。 3.50 以内 7 的倍数有（ ），20 以内最大的质数是（ ）。 4.个位上是( )的数，都是 2 的倍数； 个位上是( )的数，都是 5 的倍数。 个位上是（ ）的数，既是 2 的倍数，也是 5 的倍数。 12 同时是 2 和 5 倍数的数，最小两位数是( )，最大两位数是( )。 5.在 15、18、25、30、19 中，2 的倍数有（ ），5 的倍数有（ ），3 的倍数有（ ）， 既是 2、5，又是 3 的倍数有（ ）。 6.最小的奇数是 ；最小的偶数是 ；最小的质数是 ；最小的合数是 ；最小的自然数 是 。 7.如果有两个质数的和等于 24，可以是（ ）
27、（ ）， （ ）（ ）或（ ）（ ）。 8.一个三位数，它的个位上是最小的质数，十位上是最小的合数，百位上的最小的奇数， 这个三位数是（ ），它同时是质数（ ）和（ ）的倍数。 9.三个连续的偶数的和是 42，这三个数是（ ）、（ ）、（ ）。 10.605 至少加上（ ）就是 3 的倍数，1024 至少减去( )就是 3 的倍数，那么 78 至少加上 ( )就是 5 的倍数。 11.一个数是 48 的因数，又是 6 的倍数，这个数可能是（ ）、（ ）、（ ）、（ ）等。 12.47同时是 2、3、5 的倍数，这个四位数最小是（ ），最大是（ ）。 11A=2235,B=2335,A 和 B
28、的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 13在 6120.5, 91137, 25734，这三个式子里，能整除的式子是（ ），能 除尽的式子里是（ ）。 14有两个数，它们的最大公因数是 14，最小公倍数是 42。这两个数是（ ）和（ ）。 15一个数除以 3 余 2，除以 4 余 3，除以 5 余 4，这个数最小是（ ）。 16在 a=4b 中，a 和 b 的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 17一个数的最小倍数是 42，它的最大因数是（ ），最小因数是（ ）。 18在 120 中，既是奇数又是质数的是（ ），既是偶数又是合数的是（ ），既是 合数又是奇数的是（ ）。 19两个数
29、的最大公因数是 18，这两个数的公有的质因数是（ ）。 20三个连续自然数的和是 18，这三个数的最小公倍数是（ ） （二）、我是小法官。（对的打，错的打）（二）、我是小法官。（对的打，错的打） 1、 15 的最大因数是（ ）。 A.1 B.3 C.5 D.15 2、 2、11 和 2 都是（ ）。 13 A.合数 B.素数 C.奇数 D.偶数 3、大于 2 的两个质数的乘积一定是 ( )。 A.质数 B. 偶数 C. 合数 4、大于 2 的两个质数的乘积一定是 ( )。 A.质数 B. 偶数 C. 合数 5、如果37 是 3 的倍数，那么里可能是（ ）。 A. 2、5 B. 5、8 C. 2
30、、5、8 6、一个边长是质数的正方形，它的面积一定是（ ） A. 合数 B. 质数 C.偶数 D.奇数 （三）、我会选择。（选择正确的答案的序号填在括号内。）（三）、我会选择。（选择正确的答案的序号填在括号内。） 1、一个偶数如果（ ），结果是奇数。 A、乘 5 B、减去 1 C、除以 3 D、减去 2 2、两个连续自然数（不包括 0）的积一定是（ ） A、奇数 B、偶数 C、质数 D、合数 3、一筐苹果，2 个一拿，3 个一拿，4 个一拿，5 个一拿都正好拿完而没有余数，这筐苹果最少应有 （ ）。 A、120 个 B、90 个 C、60 个 D、30 个 4、同时是 2、3、5 的倍数的数是
31、（ ）。 A、18 B、120 C、75 D、830 5、甲数3=乙数，乙数是甲数的（ ）。 A、倍数 B、因数 C、自然数 D、质数 6、 把 210 分解质因数是（ ） A、21027351 B、2102521 C、2103527 （四）、解决问题（四）、解决问题 1三个连续自然数的和是 72，这三个自然数分别是多少？ 2猜电话号码 14 0592A B C D E F G 提示：A5 的最小倍数 B最小的自然数 C5 的最大因数 D它既是 4 的倍数，又是 4 的因数 E它的所有因数是 1，2，3，6 F它的所有因数是 1，3 G它只有一个因数 这个电话号码是多少？ 3.3.某汽车站 A 路车每隔 10 分钟发一辆，B 路车每隔 15 分钟发一辆，两路车早上 5：00 同时从车站发车，至 少再过多少分钟又同时发车？两路车第三次同时发车是几时几分？ 4.一条 72 米长的长廊，原来从一端起，每隔 9 米栽一棵树，现在要从一端起每隔 6 米栽一棵树，为节省成 本，有些位置是不需要重载的，不需要重栽的树有多少棵？