1、第第 8 章章 函数应用函数应用 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中只有一项 符合题目要求) 1.函数 f(x)xln x1 的零点为( ) A.(1，0) B. 1 C. e D.1 e 解析 根据零点的定义，代入即可得零点为 x1，故选 B. 答案 B 2.用二分法研究函数 f(x)x32x1 的零点时，第一次经计算 f(0)0，可得其中一个 零点 x0_，第二次应计算_，以上横线应填的内容依次为( ) A.(0，0.5)，f(0.25) B.(0，1)，f(0.25) C.(0.5，1)，f
2、(0.75) D.(0，0.5)，f(0.125) 解析 f(0)0，且函数在区间(0，0.5)上连续，可得其中一个零点 x0(0，0.5)，使 得 f(x0)0，根据二分法的思想可知在第二次计算时应计算 f(0.25). 答案 A 3.函数 f(x)3kx1 在(1，1)上存在零点，则 k 的取值范围是( ) A. 1 3， 1 3 B. ，1 3 C. 1 3， D. ，1 3 1 3， 解析 当 k0 时，f(x)1，不存在零点；当 k0 时，f(x)是一次函数，必然单调， 故只需 f(1) f(1)0 即可，(3k1)(3k1)0，解得 k ，1 3 1 3， . 答案 D 4.用二分
3、法求方程的近似解，求得 f(x)x32x9 的部分函数值数据如下表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f(x) 6 3 2.625 1.459 0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确到 0.1 时，方程 x32x90 的近似解可取为( ) A.1.6 B.1.7 C.1.8 D.1.9 解析 根据表中数据可知 f(1.75)0.140，由近似解精确到 0.1 可知 1.751.8，1.812 51.8，故方程的一个近似解为 1.8，选 C. 答案 C 5.某企业生产 A， B 两种型号的产品， 每年的产量分别为 10 万支和 40 万支，
4、为了扩大再生产， 决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的 A，B 两种产品的年产量的增长率分别 为 50%和 20%， 那么至少经过多少年后， A 产品的年产量会超过 B 产品的年产量(取 lg 20.301 0)( ) A.6 年 B.7 年 C.8 年 D.9 年 解析 依题经过 x 年后， A 产品的年产量为 10 11 2 x 10 3 2 x ， B 产品的年产量为 40 11 5 x 40 6 5 x .依题意若 A 产品的年产量会超过 B 产品的年产量， 则 10 3 2 x 40 6 5 x 化简得 5x4x 1，即 xlg 5(x1)lg 4，所以 x 2lg 2
5、13lg 2，又 lg 20.301 0，则 2lg 2 13lg 26.206 2，所以至少经过 7 年 A 产品的年产量会超过 B 产品的年产量.故选 B. 答案 B 6.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：先将水加热到 100 ，水温 y()与时间 t(min)近似满足一次函数关系；用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度 y()与时间 t(min) 近似满足函数的关系式为 y80 1 2 ta 10 b(a，b 为常数), 通常这种热饮在 40 时口感最佳， 某天室温为 20 时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮并在口感 最佳时饮用，最少需要的时间为( ) A.
6、35 min B.30 min C.25 min D.20 min 解析 由题意，当 0t5 时，函数图象是一个线段，当 t5 时，函数的解析式为 y80 1 2 ta 10 b， 点(5，100)和点(15，60)，代入解析式， 有 10080 1 2 5a 10 b， 6080 1 2 15a 10 b， 解得 a5，b20， 故函数的解析式为 y80 1 2 t5 10 20， t5.令 y40， 解得 t25， 最少需要的时间为 25 min. 故选 C. 答案 C 7.国家为保民生采取宏观调控对猪肉价格进行有效地控制.通过市场调查， 得到猪肉价格在近四 个月的市场平均价 f(x)(单
7、位：元/斤)与时间 x(单位：月)的数据如下： x 8 9 10 11 f(x) 28.00 33.99 36.00 34.02 现有三种函数模型：f(x)bxa，f(x)ax2bxc，f(x) 1 2 xa，找出你认为最适合的函数 模型，并估计 12 月份的猪肉市场平均价为( ) A.28 B.25 C.23 D.21 解析 第二组数据近似为(9， 34)， 第四组数据近似为(11， 34)， 根据四组数据(8， 28)， (9， 34)， (10，36)，(11，34)，可得 f(x)先增后减，而 f(x)bxa 和 f(x) 1 2 xa 都是单调函数，故不符合要求，所以选 f(x)ax
8、2bxc，由第二组数据(9，34)和第四组数据 (11，34)，可得 f(x)的图象关于 x10 对称，故 x12 时，f(12)f(8)28. 故选 A. 答案 A 8.设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间a，b上的两个函数，若函数 yf(x)g(x)在 xa，b上有两 个不同的零点，则称 f(x)和 g(x)在a，b上是关联函数，a，b称为关联区间，若 f(x)x23x 4 与 g(x)2xm 在0，3上是关联函数，则 m 的取值范围是( ) A. 9 4， B. 9 4，2 C.(，2 D.1，0 解析 f(x)x23x4 与 g(x)2xm 在0， 3上是“关联函数”， 故函数 y
9、h(x)f(x)g(x) x25x4m 在0，3上有两个不同的零点， 故有 h（0）0， h（3）0， h 5 2 0， 4m0， 2m0， 25 4 25 2 4m0， 9 4m2，故选 B. 答案 B 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中有多项符 合题目要求，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的不得分) 9.若函数 f(x)的图象在 R 上连续不断， 且满足 f(0)0， f(2)0， 则下列说法正确的是( ) A.f(x)在区间(0，1)上一定有零点 B.f(x)在区间(0，1)上一定没有零点 C.f(x)在区间(1，
10、2)上可能有零点 D.f(x)在区间(1，2)上一定有零点 解析 因为 f(0)0，f(2)0 所以 f(0) f(1)0，因此无法判断 f(x)在区间()1，2 上是否有零点.故选 AC. 答案 AC 10.已知狄利克雷函数 f(x)满足：当 x 取有理数时，f(x)1；当 x 取无理数时，f(x)0.则下列选 项成立的是( ) A.f(x)0 B.f(x)1 C.f(x)x30 有 1 个实数根 D.f(x)x30 有 2 个实数根 解析 因为 f(x)的值域为0，1 ，故 A、B 成立.f(x)x30 只有一个根 1，故 C 成立.故选 A、 B、C. 答案 ABC 11.假设你有一笔资
11、金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所 示. 横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，则下列说法正确的是 ( ) A.投资 3 天以内(含 3 天)，采用方案一 B.投资 4 天，不采用方案三 C.投资 8 天，采用方案二 D.投资 12 天，采用方案二 解析 若投资 3 天以内(含 3 天)，因为每天的回报均是方案一的回报最大，故采用方案一； 投资 4 天，方案三的总回报是最小的，故不采用该方案； 投资 8 天， 由图可得方案三的每天回报均低于方案二的每天回报，计算可以得到方案一的总回 报为 320；方案二的总回报为 1020304050607
12、080360，故采用方案二；投资 12 天时，采用方案三.故选 A、B、C. 答案 ABC 12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限 维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹 布劳威 尔(L.E. J. Brouwer)， 简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数 f(x)， 存在一个点 x0， 使得 f(x0) x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( ) A.f(x)2xx B.g(x)x2x3 C.f(x) 2x 21，x1 |2x ，x1 D.f(x)1 xx 解析 根据定义可知，若
13、 f(x)有不动点，则 f(x)x 有解. A 中，令 2xxx，所以 2x0，此时无解，故 f(x)不是“不动点”函数； B 中，令 x2x3x，所以 x3 或 x1，所以 f(x)是“不动点”函数； C 中，当 x1 时，令 2x21x，所以 x1 2或 x1，所以 f(x)是“不动点”函数； D 中，令1 xxx，所以 x 2 2 ，所以 f(x)是“不动点”函数. 答案 BCD 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上) 13.若函数 f(x)lnx1 xa 在区间(1，e)上存在零点，则常数 a 的取值范围为_. 解析 函数 f(x)ln
14、x1 xa 在区间(1，e)上为增函数，f(1)ln 11a0，可得1 e1a1. 答案 1 e1，1 14.若方程 2x0.2 的解在区间k，k1 (kZ)内，则 k 的值是_. 解析 令 f(x)2x0.2，f(3)2 30.20，k3. 答案 3 15.某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为 10 000 元，每天 需要房租水电等费用 100 元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入 P 与店面经营天数 x 的关系是 P(x) 300 x1 2x 2，0 x300， 45 000，x300， 则总利润最大时店面经营天数是 _. 解析 设总利润为
15、L(x)， 则 L(x) 1 2x 2200 x10 000，0 x300， 100 x35 000，x300， 则 L(x) 1 2（x200） 210 000，0 x300， 100 x35 000，x300， 当 0 x”， “”或“0， 又由a b b c acb2 bc 1 5m 1 3m（ 1 4m） 2 1 4m 1 3m 1 15m 21 16m 2 1 12m 2 1 15 1 16 1 12 0， a b与 b c的大小关系是 a b b c. 答案 (1) (2) 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分
16、10 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f(x)x22x. (1)求 f(0)及 f()f（1） 的值； (2)若关于 x 的方程 f(x)m0 有四个不同的实数解，求实数 m 的取值范围. 解 (1)f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f(x)x22x， f(0)0，f()f( ) 1 f(1)f(1)1. (2)函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，关于 x 的方程 f(x)m0 有四个不同的实数解， 只需 x0 时，f(x)m 有两个解，当 x0 时，f(x)x22x(x1)21， 所以1m0. 18.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)
17、 2x2，x1，）， x22x，x（，1），求函数 g(x)f(x) 1 4的零点. 解 求函数 g(x)f(x)1 4的零点，即求方程 f(x) 1 40 的根. 当 x1 时，由 2x21 40 得 x 9 8； 当 x0，若对任意的 x1，2，不等式 2xf(x)恒成立，求 a 的取值范围. 解 (1)若函数 yf(x)x 有唯一的零点，等价于 ax22xa10 有唯一实根； 若 a0，则方程为 2x10，方程根为1 2，满足题意； 若 a0， 则 224a(a1)4a24a40， 得 a1 5 2 ； 综上， a0 或 a1 5 2 ； (2)设 a0，若对任意的 x1，2，不等式 2
18、xf(x)恒成立等价于 ax2xa10 恒成立， 设 g(x)ax2xa1， 若 1 2a1，即 a 1 2，则 g(x)在1，2上递增， 所以 g(x)ming(1)2a0a1 2； 若 1 1 2a2，即 1 4a 1 2，则 g(x)在 1， 1 2a 上递减，在 1 2a，2 上递增， 所以 g(x)ming 1 2a 01 4a0，b1)试从以上 函数模型中选择模型近似反映该城市近几年包装垃圾生产量 y(万吨)与年份 x 的函数关系，并 直接写出所选函数模型解析式； (2)若不加以控制任由包装垃圾如此增长下去， 从哪年开始， 该城市的包装垃圾将超过 40 万吨？ (参考数据：lg 2
19、0.301 0，lg 30.477 1) 解 (1)依题意知函数单调递增，且增长速度越来越快，故模型符合， 设 ya bx 2 016，将 x2 016，y4 和 x2 017，y6 代入得 4a b2 016 2 016， 6a b2 017 2 016，解得 a4， b3 2. 故函数模型解析式为 y4 3 2 x2 016. 经检验，当 x2 018 和 x2 019 时也符合. 综上，y4 3 2 x2 016. (2)令 4 3 2 x2 01640， 解得 3 2 x2 01610， 两边同时取对数得 lg 3 2 x2 016lg 10， (x2 016)lg 3 2 1， (x
20、2 016) 1 lg 3 2 1 lg 3lg 2， x 1 lg 3lg 22 0162 021.7. 综上，从 2022 年开始该城市的包装垃圾将超过 40 万吨. 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)ax3x2(a0 且 a1)的图象过点 1，5 2 ，g(x)ln x. 若函数 F(x)在定义域内存在实数 t，使得 F(t1)F(t)F(1)成立，则称函数 F(x)具有性质 M. (1)求实数 a 的值； (2)判断函数 g(x)是否具有性质 M？并说明理由； (3)证明：函数 f(x)具有性质 M. (1)解 由题意，函数 f(x)ax3x2(a0，a1)的图象过点 1
21、，5 2 ， 所以 f(1)a 13(1)25 2，解得 a2. (2)解 函数 g(x)不具有性质 M.证明如下：函数 g(x)ln x 的定义域为(0，)， 方程 g(t1)g(t)g(1)ln(t1)ln tln 1ln(t1)ln tt1t， 而方程 t1t 无解，所以不存在实数 t(0，)，使得 g(t1)g(t)g(1)成立， 所以函数 g(x)不具有性质 M. (3)证明 由(1)知 f(x)2x3x2，定义域为 R，方程 f(t1)f(t)f(1)f(t1)2t 13(t1)2 f(t)f(1)2t3t2232t6t20， 设 G(t)2t6t2，G(0)20210， 函数 G(t)的图象连续，且 G(1) G(0)0， 所以函数 G(t)在区间(1，0)存在零点， 所以存在实数 t 使得 f(t1)f(t)f(1)成立， 所以函数 f(x)具有性质 M.