1、第第 3 章章 不等式不等式 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.若 a1，那么下列命题中正确的是( ) A.1 a 1 b B.b a1 C.a2b2 D.abab 解析 利用特值法，令 a2，b2. 则1 a 1 b，A 错误； b a0，B 错误； a2b2，C 错误；abab，D 正确. 答案 D 2.不等式1 x 1 2的解集是( ) A.x|x2 C.x|0 x2 D.x|x2 解析 由1 x 1 2，得 1 x 1 2 2x 2x 0， 即 x(2x
2、)2 或 x0 得 k22k150， k5 或 k0，b0，且满足a 3 b 41，则 ab 的最大值是( ) A.2 B.3 C.4 D.6 解析 因为 a0，b0，且满足a 3 b 41， 所以 12 a 3 b 4，化为 ab3，当且仅当 a 3 2，b2 时取等号，则 ab 的最大值是 3. 答案 B 5.小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(ab)，其全程的平均时速为 v，则( ) A.av ab B.v ab C. abvab 2 D.vab 2 解析 设甲、乙两地的距离为 s， 则 v 2s s a s b 2 1 a 1 b . 由于 ab，1 a 1 ba， 又1 a
3、 1 b2 1 ab，v ab. 故 av0，b0，2 a 1 b1，若不等式 2ab3m 恒成立，则 m 的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.7 解析 2ab 2 a 1 b (2ab)52a b 2b a 549(当且仅当 ab 时，取等号).3m9， 即 m3. 答案 C 7.“不等式 x2xm0 在 R 上恒成立”的充要条件是( ) A.m1 4 B.m1 4 C.m1 解析 不等式 x2xm0 在 R 上恒成立， (1)24m1 4， 又m1 414m1 4”是“不等式 x 2xm0 在 R 上恒成立”的充要条件，故选 A. 答案 A 8.设实数 1a2，关于 x 的一元二
4、次不等式 x2(a23a2)x3a(a22)0 的解集为( ) A.x|3axa22 B.x|a22x3a C.x|3x4 D.x|3x6 解析 由 x2(a23a2)x3a(a22)0，得(x3a) (xa22)0，1aa22， 关于 x 的一元二次不等式 x2(a23a2)x3a(a22)0 的解集为x|a22x3a.故选 B. 答案 B 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中有多项符 合题目要求，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的不得分) 9.若1 a 1 b0，则下列不等式中，正确的不等式有( ) A.ab|b| C
5、.a2 解析 1 a 1 b0，ba0，ab0a0，则|b|a|，故 B 错误；C 显然错误；由于b a0， a b0， b a a b2 b a a b2，故 D 正确.故选 AD. 答案 AD 10.已知函数 yx4 9 x1(x1)，当 xa 时，y 取得最小值 b，则( ) A.a2 B.a1 C.b5 D.b1 解析 yx4 9 x1(x1) 9 x15， 因为 x1，所以 x10， 所以 y2（x1） 9 x152351， 当且仅当 x1 9 x1，即 x2 时，等号成立， 此时 a2，b1. 答案 AD 11.若 a0，b0，ab2，则下列不等式恒成立的是( ) A.ab1 B.
6、 a b 2 C.a2b22 D.1 a 1 b2 解析 因为 ab ab 2 2 1，所以 A 正确；因为( a b)2ab2 ab22 ab2ab 4，故 B 不正确；a2b2（ab） 2 2 2，所以 C 正确；1 a 1 b ab ab 2 ab2，所以 D 正确. 答案 ACD 12.下列命题是假命题的是( ) A.不等式1 x1 的解集为x|x1 B.函数 yx22x8 的零点是(2，0)和(4，0) C.若 xR，则函数 yx24 1 x24的最小值为 2 D.x23x20 是 x1 得 x1 x 0，解集为(0，1)，故 A 错误；二次函数的零点是指其图象与 x 轴交点 的横坐
7、标，应为2 和 4，故 B 错误；C 中， x242，故 yx24 1 x242.等号成立 的条件为 x241，无解，故 C 错误；D 中，由 x23x20 得 1x2，能够推出 x2，但反 之不成立，所以是充分不必要条件. 答案 ABC 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中的横线上) 13.若方程 x2(m3)xm0 有实数解，则 m 的取值范围是_. 解析 由方程 x2(m3)xm0 有实数解， (m3)24m0，即 m210m90， (m9)(m1)0，m9 或 m1. 答案 (，19，) 14.已知函数 yx2mx1，若对于任意 xm，m1，都有
8、 y0 成立，则实数 m 的取值范围 是_. 解析 要满足 yx2mx10 对于任意 xm，m1恒成立， 只需 y| xm0， y|xm10，即 2m 210， （m1）2m（m1）10， 解得 2 2 m0， m2 2 0， 解得 m4. 答案 (4，) 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)当 x3 时，求 2x2 x3的最小值. 解 x3，x30. 2x2 x3 2（x3）212（x3）18 x3 2(x3) 18 x3122 2（x3）18 x31224. 当且仅当 2(x3) 18 x3， 即 x6 时，
9、等号成立， 2x2 x3的最小值为 24. 18.(本小题满分 12 分)若不等式(1a)x24x60 的解集是x|3x0； (2)b 为何值时，ax2bx30 的解集为 R. 解 (1)由题意知 1a0 且3 和 1 是方程(1a)x24x60 的两根， 1a0， 即为 2x2x30， 解得 x3 2. 所求不等式的解集为 x x3 2 . (2)ax2bx30， 即为 3x2bx30， 若此不等式的解集为 R， 则 b24330， 6b6. 19.(本小题满分 12 分)已知不等式 ax23x64 的解集为x|xb. (1)求 a，b 的值； (2)解不等式 ax2(acb)xbc0. 解
10、 (1)由题意知，1 和 b 是方程 ax23x20 的两根， 则 3 a1b， 2 ab， 解得 a1， b2. (2)不等式 ax2(acb)xbc0， 即为 x2(c2)x2c0，即(x2)(xc)2 时，原不等式的解集为x|2xc； 当 c2 时，原不等式的解集为x|cx2 时，原不等式的解集为x|2xc； 当 c2 时，原不等式的解集为x|cx25 时，不等式 ax258501 6(x 2600)x 5有解， 等价于当 x25 时，a150 x x 6 1 5有解. 由于150 x x 62 150 x x 610，当且仅当 150 x x 6，即 x30 时等号成立. 所以 a10
11、.2. 故当该商品改革后的销售量 a 至少达到 10.2 万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收 入与总投入之和，此时该商品的每件定价为 30 元. 21.(本小题满分 12 分)已知 a， b， c 均为正数， 证明： a2b2c2 1 a 1 b 1 c 2 6 3， 并确定 a， b，c 为何值时，等号成立. 证明 因为 a，b，c 均为正数， 所以 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac. 所以 a2b2c2abbcac. 同理 1 a2 1 b2 1 c2 1 ab 1 bc 1 ac， 故 a2b2c2 1 a 1 b 1 c 2 abbcac 3 ab 3 bc 3
12、ac ab 3 ab bc 3 bc ac 3 ac 6 3. 当且仅当 abc 时，式和式等号成立， 当且仅当 abc，(ab)2(bc)2(ac)23 时，式等号成立.故当且仅当 abc43时，原 不等式等号成立. 所以原不等式成立. 22.(本小题满分 12 分)已知不等式ax1 x1 0(aR). (1)解这个关于 x 的不等式； (2)若当 xa 时不等式成立，求 a 的取值范围. 解 (1)原不等式等价于(ax1)(x1)0. 当 a0 时，由(x1)0，得 x0 时，不等式可化为 x1 a (x1)0， 解得 x1 a. 当 a0 时，不等式可化为 x1 a (x1)0. 若1 a1，即1a0， 则1 ax1，即 a1，则1x 1 a. 综上所述，当 a1 时， 不等式的解集为 1，1 a ； 当 a1 时，不等式解集为； 当1a0 时，不等式的解集为(，1) 1 a， . (2)当 xa 时不等式成立， a 21 a1 0， 即a11，即 a 的取值范围为(1，).