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第二章 直线和圆的方程 章末检测试卷(含答案)2021年秋人教A版选择性必修第一册

1、第二章第二章 直线和圆的方程直线和圆的方程 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1直线 xy0 的倾斜角为( ) A45 B60 C90 D135 答案 D 解析 因为直线的斜率为1,所以 tan 1,即倾斜角为 135 . 2过点(0,2)且与直线 x2y30 垂直的直线方程为( ) A2xy20 Bx2y20 C2xy20 D2xy20 答案 C 解析 设该直线方程为 2xym0, 由于点(0,2)在该直线上, 则 202m0,即 m2, 即该直线方程为 2xy20. 3直线 3x4y50 关于 x 轴对称的直线方程为

2、( ) A3x4y50 B3x4y50 C3x4y50 D3x4y50 答案 A 解析 设所求直线上任意一点(x,y), 则此点关于 x 轴对称的点的坐标为(x,y), 因为点(x,y)在直线 3x4y50 上, 所以 3x4y50. 4直线 xy10 被圆(x1)2y23 截得的弦长等于( ) A. 2 B2 C2 2 D4 答案 B 解析 由题意,得圆心为(1,0),半径 r 3,弦心距 d|101| 1212 2, 所以所求的弦长为 2 r2d22. 5若点 P(1,1)为圆 x2y26x0 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线的方程为( ) A2xy30 Bx2y10 Cx2y30

3、 D2xy10 答案 D 解析 由题意,知圆的标准方程为(x3)2y29,圆心 A(3,0) 因为点 P(1,1)为弦 MN 的中点,所以 APMN. 又 AP 的斜率 k10 13 1 2, 所以直线 MN 的斜率为 2, 所以弦 MN 所在直线的方程为 y12(x1),即 2xy10. 6已知直线 x2ym0(m0)与直线 xny30 互相平行,且它们间的距离是 5,则 mn 等于( ) A0 B1 C1 D2 答案 A 解析 由题意,所给两条直线平行,所以 n2. 由两条平行直线间的距离公式,得 d |m3| 1222 |m3| 5 5, 解得 m2 或 m8(舍去),则 mn0. 7若

4、动点 A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线 l1:xy70 和 l2:xy50 上移动,则线段 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为( ) A2 3 B3 3 C3 2 D4 2 答案 C 解析 由题意,知 M 点的轨迹为平行于直线 l1,l2且到 l1,l2距离相等的直线 l, 故其方程为 xy60, 所以 M 到原点的距离的最小值为 d 6 23 2. 8已知圆 C1:(x2)2(y3)21,圆 C2:(x3)2(y4)29,M,N 分别是圆 C1,C2上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|PN|的最小值为( ) A5 24 B. 171 C62 2 D. 17 答案 A

5、 解析 由题意知,圆 C1:(x2)2(y3)21,圆 C2:(x3)2(y4)29 的圆心分别为 C1(2,3),C2(3,4), 且|PM|PN|PC1|PC2|4,点 C1(2,3)关于 x 轴的对称点为 C(2,3),所以|PC1|PC2|PC| |PC2|CC2|5 2,即|PM|PN|PC1|PC2|45 24. 二、多项选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错 的得 0 分) 9等腰直角三角形 ABC 的直角顶点为 C(3,3),若点 A(0,4),则点 B 的坐标可能是( ) A(2,0) B(6,4) C(4

6、,6) D(0,2) 答案 AC 解析 设 B 点坐标为(x,y), 根据题意知 kAC kBC1, |BC|AC|, 则 34 30 y3 x31, x32y32 032432, 解得 x2, y0 或 x4, y6. 10由点 A(3,3)发出的光线 l 经 x 轴反射,反射光线与圆 x2y24x4y70 相切,则 l 的方程为( ) A4x3y30 B4x3y30 C3x4y30 D3x4y30 答案 BC 解析 已知圆的标准方程是(x2)2(y2)21, 它关于 x 轴对称的圆的方程是(x2)2(y2)21, 设光线 l 所在直线的方程是 y3k(x3)(其中斜率 k 待定),即 kx

7、y3k30, 由题设知对称圆的圆心 C(2,2)到这条直线的距离等于 1, 即 d|5k5| 1k21. 整理得 12k225k120, 解得 k3 4, 或 k4 3. 故所求的直线方程是 y33 4(x3)或 y3 4 3(x3), 即 3x4y30 或 4x3y30. 11已知直线 l:(a1)xaya0(aR)与圆 C:x2y24x50,则下列结论正确的是( ) A存在 a,使得 l 的倾斜角为 90 B存在 a,使得 l 的倾斜角为 135 C存在 a,使直线 l 与圆 C 相离 D对任意的 a,直线 l 与圆 C 相交,且 a1 时相交弦最短 答案 AD 解析 选项 A,当 a0

8、时,直线方程为 x0,此时倾斜角为 90 ,A 正确; 选项 B,当倾斜角为 135 时,直线斜率为1,即a1 a 1,解得 a 为空集,B 错误; 选项 C,圆 C 的圆心为 C(2,0),半径 r3,若直线与圆相离,则圆心到直线的距离为|a12a| a12a2 3,整 理得 9a26a50,不等式无解,C 错误; 选项 D,直线过定点 M(0,1),此点在圆内,所以直线与圆恒相交,当直线 CM 与直线 l 垂直时,直线 CM 和直线 l 的斜率之积等于1,即a1 a 01 20 1,解得 a1,此时弦长最短,D 正确 12半径长为 6 的圆与 x 轴相切,且与圆 x2(y3)21 内切,则

9、此圆的方程为( ) A(x4)2(y6)26 B(x4)2(y6)26 C(x4)2(y6)236 D(x4)2(y6)236 答案 CD 解析 半径长为 6 的圆与 x 轴相切,设圆心坐标为(a,b),则 b6.再由 a2325,可以解得 a 4,故 所求圆的方程为(x 4)2(y6)236. 三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13 已知A(0, 1), 点B在直线xy20上, 若直线AB平行于直线x2y30, 则B点坐标为_ 答案 (2,0) 解析 因为直线 AB 平行于直线 x2y30, 所以设直线 AB 的方程为 x2ym0, 又点 A(0,1)在直线 A

10、B 上, 所以 02(1)m0,解得 m2, 所以直线 AB 的方程为 x2y20, 联立两直线方程 xy20, x2y20, 解得 x2, y0, 故 B 点坐标为(2,0) 14过点(1,2)可作圆 x2y22x4yk20 的两条切线,则实数 k 的取值范围是_ 答案 (3,7) 解析 把圆的方程化为标准方程得(x1)2(y2)27k, 圆心坐标为(1,2),半径 r 7k, 则点(1,2)到圆心的距离 d2. 由题意,可知点(1,2)在圆外, dr,即 7k0, 解得 3k0 ,若 AB 中有且仅有一个元 素,则 r 的值是_ 答案 3 或 7 解析 AB 中有且仅有一个元素, 圆 x2

11、y24 与圆(x3)2(y4)2r2相切 当两圆内切时,由 3242|2r|,解得 r7; 当两圆外切时,由 32422r,解得 r3. r3 或 7. 四、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17(10 分)已知圆 C 的圆心为(2,1),若圆 C 与圆 O:x2y23x0 的公共弦所在直线过点(5,2),求圆 C 的方程 解 设圆 C 的半径长为 r,则圆 C 的方程为(x2)2(y1)2r2,即 x2y24x2y5r2,圆 C 与圆 O 的 方程相减得公共弦所在直线的方程为 x2y5r20,因为该直线过点(5,2),所以 r24,则圆 C 的方 程为(x2)2(y1)24. 18

12、(12 分)在 x 轴的正半轴上求一点 P,使以 A(1,2),B(3,3)及点 P 为顶点的ABP 的面积为 5. 解 设点 P 的坐标为(a,0)(a0),点 P 到直线 AB 的距离为 d, 由已知,得 SABP1 2|AB| d 1 2 312322 d5,解得 d2 5. 由已知易得,直线 AB 的方程为 x2y30, 所以 d |a3| 1222 5, 解得 a7 或 a13(舍去), 所以点 P 的坐标为(7,0) 19(12 分)已知直线 l 经过点 P(2,5),且斜率为3 4. (1)求直线 l 的方程; (2)若直线 m 与 l 平行,且点 P 到直线 m 的距离为 3,

13、求直线 m 的方程 解 (1)由直线方程的点斜式, 得 y53 4(x2), 整理得所求直线方程为 3x4y140. (2)由直线 m 与直线 l 平行,可设直线 m 的方程为 3x4yC0, 由点到直线的距离公式得|3245C| 3242 3, 即|14C| 5 3,解得 C1 或 C29, 故所求直线方程为 3x4y10 或 3x4y290. 20(12 分)红谷隧道是江西南昌穿越赣江的一条过江行车通道,总长 2 997 m,在南昌大桥和新八一大桥之 间,也是国内最大的水下立交系统如图,已知隧道截面是一圆拱形(圆拱形是取某一圆周的一部分构成巷 道拱部的形状),路面宽为 4 5 m,高 4

14、m车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为 2.5 m,高为 3.5 m 的货车能否驶入这个隧道?请说明理由(参考数据: 143.74) 解 如图,建立平面直角坐标系,设圆心 M(0,m),A(2 5,0),B(0,4), 由|MA|MB|得,m1 2, 则圆的方程为 x2 y1 2 2 9 2 2, 所以当 x2.5 时,y 141 23.240), 根据题意得 1a21b2r2, 1a21b2r2, ab20 a1, b1, r2 故所求圆 M 的方程为(x1)2(y1)24. (2)如图, 四边形 PAMB 的面积为 SSPAMSPBM 即 S1 2(|AM|PA|BM|PB|), 又|A

15、M|BM|2,|PA|PB|,所以 S2|PA|, 而|PA|PM|24,即 S2 |PM|24. 因此要求 S 的最小值,只需求|PM|的最小值即可, |PM|的最小值即为点 M 到直线 3x4y80 的距离, 所以|PM|min348 5 3, 四边形 PAMB 面积的最小值为 2 |PM|242 5. 22(12 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 yx2mx2 与 x 轴交于 A,B 两点,点 C 的坐标为(0,1)当 m 变 化时,解答下列问题: (1)能否出现 ACBC 的情况?说明理由; (2)证明过 A,B,C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 (1)解 不能出现 ACBC

16、 的情况理由如下: 设 A(x1,0),B(x2,0),则 x1,x2满足 x2mx20, 所以 x1x22. 又点 C 的坐标为(0,1), 故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为1 x1 1 x2 1 21, 所以不能出现 ACBC 的情况 (2)证明 BC 的中点坐标为 x2 2, 1 2 ,可得 BC 的中垂线方程为 y1 2x2 xx2 2 . 由(1)可得 x1x2m, 所以 AB 的中垂线方程为 xm 2. 联立 xm 2, y1 2x2 xx2 2 , 又 x22mx220, 可得 xm 2, y1 2. 所以过 A,B,C 三点的圆的圆心坐标为 m 2, 1 2 ,半径 r m29 2 . 故圆在 y 轴上截得的弦长为 2r2 m 2 23, 即过 A,B,C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值