1、第二章第二章 直线和圆的方程直线和圆的方程 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1直线 xy0 的倾斜角为( ) A45 B60 C90 D135 答案 D 解析 因为直线的斜率为1，所以 tan 1，即倾斜角为 135 . 2过点(0，2)且与直线 x2y30 垂直的直线方程为( ) A2xy20 Bx2y20 C2xy20 D2xy20 答案 C 解析 设该直线方程为 2xym0， 由于点(0，2)在该直线上， 则 202m0，即 m2， 即该直线方程为 2xy20. 3直线 3x4y50 关于 x 轴对称的直线方程为
2、( ) A3x4y50 B3x4y50 C3x4y50 D3x4y50 答案 A 解析 设所求直线上任意一点(x，y)， 则此点关于 x 轴对称的点的坐标为(x，y)， 因为点(x，y)在直线 3x4y50 上， 所以 3x4y50. 4直线 xy10 被圆(x1)2y23 截得的弦长等于( ) A. 2 B2 C2 2 D4 答案 B 解析 由题意，得圆心为(1,0)，半径 r 3，弦心距 d|101| 1212 2， 所以所求的弦长为 2 r2d22. 5若点 P(1,1)为圆 x2y26x0 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线的方程为( ) A2xy30 Bx2y10 Cx2y30
3、 D2xy10 答案 D 解析 由题意，知圆的标准方程为(x3)2y29，圆心 A(3,0) 因为点 P(1,1)为弦 MN 的中点，所以 APMN. 又 AP 的斜率 k10 13 1 2， 所以直线 MN 的斜率为 2， 所以弦 MN 所在直线的方程为 y12(x1)，即 2xy10. 6已知直线 x2ym0(m0)与直线 xny30 互相平行，且它们间的距离是 5，则 mn 等于( ) A0 B1 C1 D2 答案 A 解析 由题意，所给两条直线平行，所以 n2. 由两条平行直线间的距离公式，得 d |m3| 1222 |m3| 5 5， 解得 m2 或 m8(舍去)，则 mn0. 7若
4、动点 A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线 l1：xy70 和 l2：xy50 上移动，则线段 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为( ) A2 3 B3 3 C3 2 D4 2 答案 C 解析 由题意，知 M 点的轨迹为平行于直线 l1，l2且到 l1，l2距离相等的直线 l， 故其方程为 xy60， 所以 M 到原点的距离的最小值为 d 6 23 2. 8已知圆 C1：(x2)2(y3)21，圆 C2：(x3)2(y4)29，M，N 分别是圆 C1，C2上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为( ) A5 24 B. 171 C62 2 D. 17 答案 A
5、 解析 由题意知，圆 C1：(x2)2(y3)21，圆 C2：(x3)2(y4)29 的圆心分别为 C1(2,3)，C2(3,4)， 且|PM|PN|PC1|PC2|4，点 C1(2,3)关于 x 轴的对称点为 C(2，3)，所以|PC1|PC2|PC| |PC2|CC2|5 2，即|PM|PN|PC1|PC2|45 24. 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错 的得 0 分) 9等腰直角三角形 ABC 的直角顶点为 C(3,3)，若点 A(0,4)，则点 B 的坐标可能是( ) A(2,0) B(6,4) C(4
6、,6) D(0,2) 答案 AC 解析 设 B 点坐标为(x，y)， 根据题意知 kAC kBC1， |BC|AC|， 则 34 30 y3 x31， x32y32 032432， 解得 x2， y0 或 x4， y6. 10由点 A(3,3)发出的光线 l 经 x 轴反射，反射光线与圆 x2y24x4y70 相切，则 l 的方程为( ) A4x3y30 B4x3y30 C3x4y30 D3x4y30 答案 BC 解析 已知圆的标准方程是(x2)2(y2)21， 它关于 x 轴对称的圆的方程是(x2)2(y2)21， 设光线 l 所在直线的方程是 y3k(x3)(其中斜率 k 待定)，即 kx
7、y3k30， 由题设知对称圆的圆心 C(2，2)到这条直线的距离等于 1， 即 d|5k5| 1k21. 整理得 12k225k120， 解得 k3 4， 或 k4 3. 故所求的直线方程是 y33 4(x3)或 y3 4 3(x3)， 即 3x4y30 或 4x3y30. 11已知直线 l：(a1)xaya0(aR)与圆 C：x2y24x50，则下列结论正确的是( ) A存在 a，使得 l 的倾斜角为 90 B存在 a，使得 l 的倾斜角为 135 C存在 a，使直线 l 与圆 C 相离 D对任意的 a，直线 l 与圆 C 相交，且 a1 时相交弦最短 答案 AD 解析 选项 A，当 a0
8、时，直线方程为 x0，此时倾斜角为 90 ，A 正确； 选项 B，当倾斜角为 135 时，直线斜率为1，即a1 a 1，解得 a 为空集，B 错误； 选项 C，圆 C 的圆心为 C(2,0)，半径 r3，若直线与圆相离，则圆心到直线的距离为|a12a| a12a2 3，整 理得 9a26a50，不等式无解，C 错误； 选项 D，直线过定点 M(0，1)，此点在圆内，所以直线与圆恒相交，当直线 CM 与直线 l 垂直时，直线 CM 和直线 l 的斜率之积等于1，即a1 a 01 20 1，解得 a1，此时弦长最短，D 正确 12半径长为 6 的圆与 x 轴相切，且与圆 x2(y3)21 内切，则
9、此圆的方程为( ) A(x4)2(y6)26 B(x4)2(y6)26 C(x4)2(y6)236 D(x4)2(y6)236 答案 CD 解析 半径长为 6 的圆与 x 轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则 b6.再由 a2325，可以解得 a 4，故 所求圆的方程为(x 4)2(y6)236. 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13 已知A(0， 1)， 点B在直线xy20上， 若直线AB平行于直线x2y30， 则B点坐标为_ 答案 (2,0) 解析 因为直线 AB 平行于直线 x2y30， 所以设直线 AB 的方程为 x2ym0， 又点 A(0，1)在直线 A
10、B 上， 所以 02(1)m0，解得 m2， 所以直线 AB 的方程为 x2y20， 联立两直线方程 xy20， x2y20， 解得 x2， y0， 故 B 点坐标为(2,0) 14过点(1,2)可作圆 x2y22x4yk20 的两条切线，则实数 k 的取值范围是_ 答案 (3,7) 解析 把圆的方程化为标准方程得(x1)2(y2)27k， 圆心坐标为(1,2)，半径 r 7k， 则点(1,2)到圆心的距离 d2. 由题意，可知点(1,2)在圆外， dr，即 7k0， 解得 3k0 ，若 AB 中有且仅有一个元 素，则 r 的值是_ 答案 3 或 7 解析 AB 中有且仅有一个元素， 圆 x2
11、y24 与圆(x3)2(y4)2r2相切 当两圆内切时，由 3242|2r|，解得 r7； 当两圆外切时，由 32422r，解得 r3. r3 或 7. 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17(10 分)已知圆 C 的圆心为(2,1)，若圆 C 与圆 O：x2y23x0 的公共弦所在直线过点(5，2)，求圆 C 的方程 解 设圆 C 的半径长为 r，则圆 C 的方程为(x2)2(y1)2r2，即 x2y24x2y5r2，圆 C 与圆 O 的 方程相减得公共弦所在直线的方程为 x2y5r20，因为该直线过点(5，2)，所以 r24，则圆 C 的方 程为(x2)2(y1)24. 18
12、(12 分)在 x 轴的正半轴上求一点 P，使以 A(1,2)，B(3，3)及点 P 为顶点的ABP 的面积为 5. 解 设点 P 的坐标为(a,0)(a0)，点 P 到直线 AB 的距离为 d， 由已知，得 SABP1 2|AB| d 1 2 312322 d5，解得 d2 5. 由已知易得，直线 AB 的方程为 x2y30， 所以 d |a3| 1222 5， 解得 a7 或 a13(舍去)， 所以点 P 的坐标为(7,0) 19(12 分)已知直线 l 经过点 P(2,5)，且斜率为3 4. (1)求直线 l 的方程； (2)若直线 m 与 l 平行，且点 P 到直线 m 的距离为 3，
13、求直线 m 的方程 解 (1)由直线方程的点斜式， 得 y53 4(x2)， 整理得所求直线方程为 3x4y140. (2)由直线 m 与直线 l 平行，可设直线 m 的方程为 3x4yC0， 由点到直线的距离公式得|3245C| 3242 3， 即|14C| 5 3，解得 C1 或 C29， 故所求直线方程为 3x4y10 或 3x4y290. 20(12 分)红谷隧道是江西南昌穿越赣江的一条过江行车通道，总长 2 997 m，在南昌大桥和新八一大桥之 间，也是国内最大的水下立交系统如图，已知隧道截面是一圆拱形(圆拱形是取某一圆周的一部分构成巷 道拱部的形状)，路面宽为 4 5 m，高 4
14、m车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为 2.5 m，高为 3.5 m 的货车能否驶入这个隧道？请说明理由(参考数据： 143.74) 解 如图，建立平面直角坐标系，设圆心 M(0，m)，A(2 5，0)，B(0,4)， 由|MA|MB|得，m1 2， 则圆的方程为 x2 y1 2 2 9 2 2， 所以当 x2.5 时，y 141 23.240)， 根据题意得 1a21b2r2， 1a21b2r2， ab20 a1， b1， r2 故所求圆 M 的方程为(x1)2(y1)24. (2)如图， 四边形 PAMB 的面积为 SSPAMSPBM 即 S1 2(|AM|PA|BM|PB|)， 又|A
15、M|BM|2，|PA|PB|，所以 S2|PA|， 而|PA|PM|24，即 S2 |PM|24. 因此要求 S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可， |PM|的最小值即为点 M 到直线 3x4y80 的距离， 所以|PM|min348 5 3， 四边形 PAMB 面积的最小值为 2 |PM|242 5. 22(12 分)在直角坐标系 xOy 中，曲线 yx2mx2 与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的坐标为(0,1)当 m 变 化时，解答下列问题： (1)能否出现 ACBC 的情况？说明理由； (2)证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 (1)解 不能出现 ACBC
16、 的情况理由如下： 设 A(x1,0)，B(x2,0)，则 x1，x2满足 x2mx20， 所以 x1x22. 又点 C 的坐标为(0,1)， 故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为1 x1 1 x2 1 21， 所以不能出现 ACBC 的情况 (2)证明 BC 的中点坐标为 x2 2， 1 2 ，可得 BC 的中垂线方程为 y1 2x2 xx2 2 . 由(1)可得 x1x2m， 所以 AB 的中垂线方程为 xm 2. 联立 xm 2， y1 2x2 xx2 2 ， 又 x22mx220， 可得 xm 2， y1 2. 所以过 A，B，C 三点的圆的圆心坐标为 m 2， 1 2 ，半径 r m29 2 . 故圆在 y 轴上截得的弦长为 2r2 m 2 23， 即过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值