1、 第第 15 讲讲 代数综合代数综合 整式乘法部分： 一、幂的运算：整数指数幂运算性质 1. nmm n aaa (m、n 是正整数) 2. () m nmn aa(m、n 是正整数) 3. ()n nn aba b(n 是正整数) 4. mnm n aaa (0a ，m、n 是正整数，m n) 5. 0 1a ， 1 p p a a （0a ，p 是正整数） 二、乘法公式 1. 完全平方公式： 2 22 2abaabb 2平法差公式： 22 ababab 三、主要题型 1. 基本运算 2. 化简求值 3. 整体法 4. 消元法 5. 降次法 因式分解部分： 一、知识结构 因式分解 提公因式法
2、 乘法分配律的逆用 公式法 完全平方公式 2 22 2+=aab bab 思路导航思路导航 题型一：题型一：整式乘除与因式分解整式乘除与因式分解 平方差公式 22 ababab 十字相乘法 分解某些二次三项式 分组分解法 分组后能提公因式 分组后能运用公式 二、注意事项： 1. 分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。例如 422 111xxx ， 就不符合因式分解的要求，因为 2 1x 还能分解成11xx； 2. 在没有特别规定的情况下，因式分解是在有理数范围内进行的。 三、因式分解的一般步骤： 可归纳为一“提”、二“套”、三“分”、四“查”。 1. 一“提”：先看多项式的各项是
3、否有公因式，若有必须先提出来； 2. 二“套”：若多项式的各项无公因式（或已提出公因式），第二步则看能不能用公式法或 十字相乘法分解； 3. 三“分”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分到 一组，使之分组后能“提”或能“套”； 4. 四“查”：可以用整式乘法查因式分解的结果是否正确。 【例1】 已知对于整式(3)(1),(1)(5)AxxBxx，如果其中 x 取值相同时，整式 A 与 B 的关系为（ ） AAB B.AB C. AB D. 不确定 （海淀期末） 已知 a，b，c 满足8,ab 2 160abc，求代数式2a b c 的值 （海淀期末） 【解析】
4、B 8a b ，8ab 又 2 160abc, 2 8160bbc. 即 22 (4)0bc. 22 (4)00bc，, 40bc ，. 4a ， 24abc. 【例2】 如果整数 x、y、z 满足 151627 16 8910 xyz ，求代数式 2xy zy 的值 典题精练典题精练 已知 2 2210 xyxy ，则 999 xy的值是_； 已知 2 31xx，则多项式 32 31132xxx的值等于_； 【解析】 原式可化为： 13 2 1635 1616 8235 yz xx xzyz ，42xy，xz，x=1，y=2，z=1，所 求式=4 原式化为： 2 10 xy，所求式得 1；
5、逐步降次法，得 0 【例3】 因式分解： 2 13 1 84 mm 413ppp （四中期末复习） 如果221 22163abab，求ab的值为 若 2 425xkx是完全平方公式，则 k = 已知 a、b、c 满足7abc， 2 160abbcbc，求 b a 的值 【解析】 1 24 8 mm 22pp 4；20； 将 2 160abbcbc化为 2 1160b acc，由已知得7acb，代入 得 2 71160b bc，即 2 2 40bc， 4,0,3bca， 4 3 b a 一、分式的概念 思路导航思路导航 题型题型二二：分式与分式方程分式与分式方程 1. 分式的基本概念：类比分数学
6、分式 2. 分式有意义的条件：分母不为 0 二、分式的基本性质及运算法则 1. AA C BB C AAC BBC (0 )C 其中 A、B、C 是整式 2. 分式乘法法则： a ca c b db d 3. 分式除法法则： aca da d bdb cb c 4. 分式的乘方： n n n aa bb 5. 分式的加减： abab ccc acadbcadbc bdbdbdbd 三、分式的化简求值及技巧 1. 通分：求最简公分母 2. 引入参数 3. 整体思想 4. 取倒数或利用倒数关系 5. 分离常数 四、分式方程及应用 1. 注意：需检验 2. 产生增根的条件 【例4】 若 2 n m
7、，则 nm nm3 . 当x 时，分式 2 1 1 x x 的值为零 （东城期末） 先化简，再求值： 22 222 21xxyyy xyxyxyy ，其中53x ，53y （十二中期末） 解分式方程： 112 62213xx （东城期末） 【解析】 5 ； 1 ； 化简结果为xy，值为 2； 2 3 x ，经检验是原方程的解 典题精练典题精练 【例5】 已知:2:3:0.5xyz，则 3 2 xyz xyz 的值是（ ） A 1 7 B7 C3 D 1 3 分式 2 2 61210 22 xx xx 可取的最小值为（ ） A4 B5 C6 D不存在 【解析】 设:2:3:0.5xyzm，则2x
8、m3ym，0.5zm代入 3 2 xyz xyz 中得： 290.5 7 430.5 mmm mmm ，故选 B 将分式 2 2 61210 22 xx xx 分离常数得 2 2 6 11x ， 当 x=1 时分式能够取到最小值 4， 故选 A 【例6】 我们知道，假分数可以化为带分数例如： 822 22 333 在分式中，对于 只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之 为“假分式”； 当分子的次数小于分母的次数时， 我们称之为“真分式” 例如： 1 1 x x ， 2 1 x x 这样的分式就是假分式； 3 1x ， 2 2 1 x x 这样的分式就是真分式类 似的
9、，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式） 例如： 1212 1 111 xx xxx ； 22 1111 11 1 1111 xxxx x xxxx 将分式 1 2 x x 化为带分式； 若分式 21 1 x x 的值为整数，求 x 的整数值； 求函数 y 2 21 1 x x 图象上所有横纵坐标均为整数的点的坐标 （2013 海淀期末） 【解析】 2313 1 222 xx xxx 213213 2 111 xx xxx 当 21 1 x x 为整数时， 3 1x 也为整数， x+1 可取得的整数值为1、3， x 的可能整数值为 0，-2，2，-4； 2 2 211 211 21
10、 111 x x yx xxx ， 当 x，y 均为整数时，必有 x+1=1， 解得 x=0 或-2， 则相应的 y 值分别为-1 或-7， 故所求的坐标为（0，-1）或（-2，-7） 二次根式的性质 0(0)aa 2 ()(0)aa a （必考） 2 a aa a 0 0 a a 乘法 与积的算术平方根可互相转化：(0,0)abab ab 除法 与商的算术平方根可互相转化：(0,0) aa ab bb 最简二次根式 被开方数不含分母 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 同类二次根式 被开方数相同的两个最简二次根式 加减法 先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式 混合运算 有理式中的运算顺
11、序，运算律和乘法公式等仍然适用 乘法公式的推广： 12312312 (0,0,0) nnn aaaaa aaaaaa 2 2ababab ababab 【例7】 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） 思路导航思路导航 典题精练典题精练 题型题型二二：二次根式二次根式 A4 B5 C 12 D 1 2 (东城期末) 若二次根式3 a b a 与2ab是同类二次根式，则ab的值为 在函数2yx中，自变量x的取值范围是（ ） A2x B2x C2x D2x (西城期末) 计算： 32 28_ ( 53)( 53) （西城期末） 【解析】 B；1； C；42 2 训练1. 先化简，再求值： 22 22
12、 44xyxyx yxy ，其中 0 2x ，2y 已知：15141 23 1 a，25242 23 2 a， 35343 23 3 a， 20025200242002 23 2002 a，20035200342003 23 2003 a 对于正整数 n，写出 2010 a和 n a一般式 对于正整数 n，比较 n a与 2 )2( nn 的大小 【解析】 化简结果为1xy，值为 3 32 2010 20104201052010a， 32 45 n annn 2 32 452nnnn nn，又1n， 2 2 n an n 训练2. 将下列各式分解因式 （1） 2 1449abab （2） 3
13、312x yxy （3） 2 246xx （4）236xx 思维拓展训练思维拓展训练( (选讲选讲) ) 【解析】 （1） 2 7ab； （2）322xy xx； （3）231xx； （4）43xx； 训练3. 方程 2 41225x 的解为_. 已知整数m满足381mm，则m的值为（ ） A4 B5 C6 D7 【解析】 7 2 x 或4x ； C 训练4. 某中学初二年级 300 名同学在“爱心包”活动中，集资购买一批学习用品（书包和文具 盒） ，捐 赠给灾区 90 名学生，所买的书包每个 54 元，文具盒每个 12 元现每名同学只 购买一种学习用品，而且每 2 人合买一个文具盒，每 6
14、人合买一个书包若x名同学购 买书包，全年级共购买了y件学习用品 求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围） ； 若捐赠学习用品的总金额超过 2300 元， 且灾区 90 名学生每人至少得到一件学习用品， 问： 同学们如何设计购买方案， 才能使所购买的学习用品件数最多？学习用品最多能买 多少件？ （西城期末） 【解析】 300 150 623 xxx y ，150 3 x y 300 50054122300 2 62 1661803 3 18015090 3 xx x x x x 168x 时，94y ，取得最大，且为整数，所以应该有168名学生买书包，132名学 生买文具盒，最多可以买94件