1、第第 11 讲讲 特殊三角形之直角三角形特殊三角形之直角三角形 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形， 这是初中阶段研究的一个特殊三角形， 它的性质 和判定是常考内容，也是解决初中几何问题的常用手段 一、直角三角形 1. 直角三角形的性质： 两锐角互余； 三边满足勾股定理； 斜边上的中线等于斜边 的一半； 30角所对的直角边等于斜边的一半 另外，直角三角形中还有一个重要的结论：两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即 abch 2. 直角三角形的判定： 有一个角是直角； 两锐角互余； 勾股定理的逆定理； 一 条边上的中线等于这条边的一半 二、等腰直角三角形 等腰直角三角形是集等腰三角形和直角
2、三角形为一体的特殊图形， 除具备等腰三角形和直角三角 形的所有性质以外，它的底边中线也同时具备了“三线合一”和“斜边中线”的共同特点，可谓“集 大成者”另外，等腰直角三角形还可以看成是正方形的“半成品”，因此“还原正方形”也是等腰 直角三角形常用的辅助线做法之一 【引例】 如图，正方形ABCD的边长为4，EF、分别在BCCD、上，且 3BECF，AEBF、相交于M，求BM的长 【解析】 ABCD是正方形，4ABBC，90ABCC， 思路导航思路导航 例题精讲例题精讲 题型一：题型一：直角三角形的性质及判定直角三角形的性质及判定 图2 图1 AB M E C F D E F M DC BA 3B
3、ECF，ABEBCF， BAECBF ，90BME 又由勾股定理可知5AE ， 在RtABE中，BMAE， AB BEAE BM， 12 5 AB BE BM AE 【例1】 1. 在ABC中，若35A，55B，则这个三角形是 _三角形 2. 如图，在ABC中，90ACB，CDAB，若28A ， 则B_，ACD_，BCD_ 3. 如图，已知图中每个小正方形的边长为 1， 则点C到AB所在直线的距离等于 （十三中分校期中） 4. 如图，在四边形 ABCD 中，A60 ，BD90 ，BC2，CD 3，则 AB 5. 已知 RtABC 中，C90 ，AB 边上的中线长为 2，且 ACBC6， 则 S
4、ABC 【解析】 1. 直角 2. 62；62；28 3. 2 4. 8 3 3 通过向外补形，将四边形问题转化为三角形问题来解决 5. AB 边上的中线长为 2，AB=4，AC2+BC2=AB2=16 ACBC6， 2 36ACBC，即 AC2+BC2+2AC BC=36 1 S5 2 ABC AC BC E A BC D D CB A 典题精练典题精练 D C B A A B C 【例2】 若直角三角形的两条直角边长为ab、，斜边为c，斜边上的高为h， 求证： 222 111 abh ； abch 【解析】 222 abc，abch， ab c h ， 代入得 22 22 2 a b ab
5、 h ， 222 111 abh 由 222 abc，abch， 则 222 22aabbcch， 2222 22aabbcchh，即 22 abch， abch 特殊的直角三角形是指306090，和454590，的直角三角形，它们的三条边之 间有特殊的比例关系，分别是1:3:2和1:1:2，熟练运用这种特殊的比例关系，能够在解题过 程中大幅提高解题的速度与正确率 【引例】 已知，RtABC中，90C，30A，6AC ，求BCAB、的长 【解析】 解法一：90C，30A， 1 2 BCAB， 设BCx，则2ABx， 那么 2 2 2 62xx，解得2x （舍负） 2BC ，2 2AB 解法二：
6、90C，30A，:1:3:2BC AC AB ， 6 2 33 AC BC ，22 2ABBC 思路导航思路导航 例题精讲例题精讲 典题精练典题精练 题型题型二二：特殊直角三角形的边角关系特殊直角三角形的边角关系 【例3】 在ABC中 ，abc、 、分 别 是ABC、的 对 边 ， 且 :1:2:3ABC，则a与c的关系是_ 如图，把两块相同的含30角的三角尺如图放置， 若6 6AD cm，则三角尺的最长边长为 （四中期中） 如图，以等腰直角三角形AOB的斜边为直角边向外作第 2 个等腰直角三 角形 1 ABA， 再以等腰直角三角形 1 ABA的斜边为直角边向外作第 3 个等腰 直角三角形 1
7、1 ABB，如此作下去，若1OAOB，则第 8 个等腰直 角三角形的面积是 【解析】 2ca； 12cm； 64 【例4】 如图，点 D、E 是等边ABC 的 BC、AC 上的点，且 CDAE，AD、BE 相 交于 P 点，BQAD。已知 PE1，PQ3，求 AD 的长 【解析】易证ADCBEA(SAS) BE=AD，DAC=EBA 根据外角定义知，BPQ=60 PBQ=30 BP=2PQ=6 BE=7 AD=7 直角三角形的斜边中线是直角三角形中最重要的线之一，它既体现了特殊位置（中点） ，又 体现了特殊数量关系（一半） ，可谓“一举两得”除此之外更重要的是，一条斜边中线还可以把 直角三角形
8、分成两个等腰三角形， 这种由特殊图形到特殊图形的变化是解决三角形问题的常用手 段 【引例】 请证明下列命题： 1. 直角三角形的斜边中线等于斜边的一半； 2. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 思路导航思路导航 例题精讲例题精讲 题型题型三三：直角三角形的斜边中线直角三角形的斜边中线 B2 B1 A1 O B A A B C D E E P Q D C B A 【解析】 1. 如图，RtABC中，90ACB，D是AB的中点， 过B点作BC的垂线交CD延长线于E， 90ACB，90EBC， ACBE， BACABE， ADBD，ACDBED， ACBE，CDDE
9、ACBEACBEBCCBBC， ABCECB，ABCE， 2ABCD 2. 如图，CD是ABC的中线，且 1 2 CDAB， CDADBD， AACD ，BBCD， 180AACDBCDB ， 90ACDBCD，即90ACB ABC是直角三角形 【例5】 如图，在ABC中，BE、CF分别为边AC、AB上的高，D为 BC的中点，DMEF于M求证：FMEM 【解析】连接DF、DE BE、CF分别为边AC、AB上的高 90BECBFC 又D为BC上的中点 BDCD 1 2 DEBC， 1 2 DFBC DEDF 又DMEF，EMFM 【例6】 如图，在ABC中，若2BC ，ADBC，E为BC边的 中
10、点求证：2ABDE 【解析】 如图，截取AC边中点F，连接EF、DF 由中位线可得， 1 2 EFAB且BCEF DF为RtADC斜边上的中线， DFCFCDFC ， 典题精练典题精练 E D CB A A CB D F A BD E C EDCB A M F E DCB A M F E D C B A 又DFEFDECEF ，即2CDFEC ， DFEEDF， 1 2 DEEFAB，2ABDE 【点评】 此题也可以取AB中点M，连接DMEM、，用类似方法证明 还可以以AD为轴作轴对称用字母表示线段计算得结论，或以DE为中位线构造三角形 【例7】 在RtABC中，90ACB，ACBC，若 2
11、1 4 BC ACAB，则B （西城一模） 【解析】 15 作CHAB于点H，取AB中点D，连接CD 由AC BCAB CH，及 2 1 4 BC ACAB 可得 1 4 CHAB， 点D是AB的中点， 1 2 CDAB， 1 2 CHCD， 在RtCDH中，90CHD， 30CDH，15B 训练1. 已知ABC是等腰直角三角形，90A，M是BC中点，EF、 分别在ABAC、上，且MEMF，试判断MEF的形状 【解析】 连接AM， ABC是等腰直角三角形，M是BC中点， AMBC，AMBM， 90AMB，45BBAM， MEMF，90EMF， BMEAMF， AMFBME， MEMF， MEF
12、是等腰直角三角形 训练2. 如图，RtABC中，90BAC，4AB ，3AC ，AHBC于H， 作H关于AC的对称点D，连接CD，AMCD交BC于M，则BM的 长等于_ 【解析】 2.5 思维拓展训练思维拓展训练( (选讲选讲) ) HD C BA F E M CB A F E M CB A M H D C B A 训练3. 如图，在ABC中，ABAC，120BAC，EF为线段AB的垂直平分线，求证： 2FCBF 【解析】 连接AF EF是线段AB的垂直平分线，AFBF， BBAF ， ABAC，120BAC，30BC ， 30BAF，90CAF 在RtACF中，90CAF，30C， 2FCA
13、F， 2FCBF 训练4. 一块四边形的草地ABCD，其中60A，90BD ，20mAB ，10mCD ， 求这块草地的面积 【解析】 利用30，60，90这个三角形的三边比为13 2这一结论可求： 2 200 3 m ABE S ， 2 50 3 m CDE S ， 故四边形的面积为 2 150 3m 题型一 直角三角形的性质及判定 巩固练习 【练习1】 如图，已知ABC中，90ABC，ABBC，三角形 的顶点在相互平行的三条直线 1 l、 2 l、 3 l上，且 1 l、 2 l之 间的距离为2，2l、3l之间的距离为3， 则AC的长是 （ ） A2 17 B2 5 C4 2 D7 （丽水
14、市中考） 【解析】 A 【练习2】 有一个人在一个斜坡上向上走了 10 米，他所在的位置的高度就相应的上升 5 米，那 么这个斜坡的倾斜角为_ 【解析】 30 题型二 特殊直角三角形的边角关系 巩固练习 E D C B A 复习巩固复习巩固 l1 l2 l3 A C B F E CB A A B C E F D CB A 【练习3】 在ABC中，90C，15B，DE垂直平分AB，垂足为点E，交BC边于点 D，16BD ，则AC的长为_ 【解析】 8 题型三 直角三角形的斜边中线 巩固练习 【练习4】 直角三角形斜边上的高线与中线的长分别是 5 和 6，则它的面积是_ 【解析】 30 【练习5】
15、 已知：如图 1，RtABC中，90ACB，60BAC，CD平分ACB，点E 为AB中点，PEAB交CD的延长线于P，猜想：PACPBC= . 已知：如图 2，RtABC中，90ACB，60BAC，CD平分ACB，点E 为AB中点，PEAB交CD的延长线于P，中结论是否成立，若成立，请证明； 若不成立请说明理由 【解析】 180 成立 连接CE，设ABC， RtABC中，90ACB，点E为AB中点， 1 2 CEABAEBE， BCEABC， CD平分ACB，45ACPBCP 45PCE，45BDP， PEAB，90AEPBEP ， 45DPE， PECEAEBE， ABP是等腰直角三角形，9
16、0APB， 180PACPBC 图2图1 A C B E D P P E D CB A A CB E D P 测试1. 如图，在ABC中，90BAC，点D在BC上，且BDBA，点E在BC的延长线 上，且CECA，则DAE 【解析】 45 测试2. 在ABC中，BC ，ADBC，E为AC的中点，6AB ， 则DE _ 【解析】 3 测试3. 如图，在RtABC中，90ACB，2AC ，D是AB的中点，E是CD中点，且 AECD，求BC的长 【解析】 AECD，E是CD中点， ACAD， 90ACB，D是AB的中点， 1 2 CDABAD，2ACADCD， 24ABCD， 22 2 3BCABAC 课后测课后测 E DC B A E D C BA