1、第第 6 讲讲 因式分解的高端方法及恒等变形因式分解的高端方法及恒等变形 换元法作为一种因式分解的常用方法， 其实质是整体思想， 当看作整体的多项式比较复杂时， 应用换元法能够起到简化计算的作用 【引例】 分解因式： 2222 (48)3 (48)2xxx xxx 【解析】 令 2 48xxu， 原式 22 32()(2 )uxuxux ux 又 2 48uxx 原式 22 (48)(482 )xxx xxx 22 (58)(68)xxxx 2 (2)(4)(58)xxxx 【例1】 分解因式： 22 353xxxx ； 22 1212xxxx； 135715xxxx 思路导航思路导航 例题精
2、讲例题精讲 典题精练典题精练 题型一：题型一：换元换元法法 【解析】 解法一：令 2 4xxy，则 原式113yy 22yy 22 62xxxx 1223xxxx 解法二：令 2 3xxy ，则 原式23y y 2 23yy 13yy 22 3 13 3xxxx 22 26xxxx 1223xxxx； 令 2 1xxy ，则 原式112y y 2 12yy 34yy 22 25xxxx 2 125xxxx 备注：观察题中的形式，可以选择中间值作为整体替换的量，这样能应用平方差公式进 行计算，会节省计算量下面很多题也都可以有多种换元的办法，不一一给出了 原式173515xxxx 22 87815
3、15xxxx， 设 2 87xxy，则 原式815y y 2 81535yyyy 22 810812xxxx 2 26810 xxxx 【例2】 分解因式： 4 61 41 3119xxxxx 16 61 21 31125xxxx 【解析】 原式 224 671 12719xxxxx，设 2 671xxt ， 原式 22 2422 693971txtxtxxx 原式 22 61 42 624425241622416825xxxxxxxx 设 2 24162xxt，原式 2 2 2 1025524163t ttxx 基本方法 示例剖析 拆项添项法拆项添项法：为了分组分解，常常采用拆项添项的 方法
4、，使得分成的每一组都有公因式可提或者可以 应用公式. 常用思路：常用思路：1、对于按某一字母降幂排列的三项式， 拆开中项是最常见的. 2、配方法是一种特殊的添项法，配完全 平方的时候， 往往需要添上一个适当 的项或者讲某一项适当改变， 然后在 用提取公因式或公式法解决. 例如：因式分解： 42 31xx 422 2 22 22 21 1 11 xxx xx xxxx 【引例】 分解因式： 32 332aaa 【解析】 解法一：原式 32 3311aaa 3 3 11a 2 1 1111aaa 2 21aaa 解法二：原式 322 222aaaaa 2 222aaa aa 2 21aaa 解法三
5、：原式 322 222aaaaa 22 121a aaaa 2 21aaa 解法四：原式 32 1333aaa 22 1131aaaaa 2 21aaa 【点评】分组方法不唯一，此题解法一、四是将常数2拆项后再分组；解法二、三是将二次项、 一次项都拆项后再分解 思路导航思路导航 例题精讲例题精讲 题型题型二二：拆、添项及配方拆、添项及配方法法 【例3】 因式分解：若1xy ，则 43222234 585xx yx yx yxyxyy的值等于( ) A 0 B 1 C 1 D 3 若点P的坐标ab，满足 2222 1016=0a babab，求点P的坐标 【解析】 43222234 585xx
6、yx yx yxyxyy 433222222334 3223 322223 22 22 2 4444 44 33 3 2 1 xx yx yx yx yxyx yxyxyy xxyx y xyxy xyxyxyyxy xx yx yxyxyyxy xxyxy xyyxyxy xxyy xy 故选 C 原式 2222 =8162=0a bababab 22 =4=0abab =4=0abab， =2=2ab，或=2=2ab ， 点P的坐标为22，或22 ， 【例4】 分解因式： 4224 xx yy 22 4443xxyy 432 2321xxxx 【解析】 原式 422422 2xx yyx
7、y 2 2 22 xyxy 2222 xyxyxyxy 原式 22 (441)(44)xxyy 22 (21)(2)xy (212)(212)xyxy (23)(21)xyxy 法一 432 2321xxxx 4322 2221xxxxx 2 (1)2 (1) 1x xx x 典题精练典题精练 2 (1) 1x x 22 (1)xx 法二 432432322 2321=1xxxxxxxxxxxx 2 22222 =111 =1xxxx xxxxxx 【例5】 分解因式： 3 43115xx 32 256xxx 32 374xx 432 433xxxx 【解析】 原式 3 43015xxx 2
8、21 2115 21 21 215 21 253 xxxx xxx xxx 原式 322 56xxxx 2 2 161 16 132 xxxx xxx xxx 法一：原式 322 364xxx 2 2 3222 232 1232 xxxx xxx xxx 法二：原式 322 3344xxx 2 2 31411 1 344 1232 xxxx xxx xxx 法三：原式 322 3294xxx 2 2 323232 3232 1232 xxxx xxx xxx 法一：原式 4322 ()(333)xxxxx 222 22 (1)3(1) (3)(1) xxxxx xxx 法二：原式 4232 (
9、3)(3 )(3)xxxxx 22 (3)(1)xxx 【探究对象】 对拆项、添项法的探究 【探究目的】 熟练运用拆项、添项法进行因式分解. 【探究 1】因式分解： 223 1baxabx 【解析】 原式= 2 11axaxbx 点评：对于三项式的因式分解，如果用拆项、添项法来分解的话，拆开中项是首选的方法， 如果式子中的括号不利于我们拆添项， 或不利于分组分解， 可以通过去括号来整理式 子，整理完后在继续分解. 【探究 2】因式分解： 3232 33332aaabbb 【解析】 原式= 22 21abaabbab 点评：此题前三项比完全立方公式少了 1，四五六项比完全立方公式少 1，所以想办
10、法通过拆 项或添项凑成完全立方公式就可以进行因式分解.此类题要求学生对常用乘法公式及 其变形掌握熟练. 【探究 3】因式分解： 46 2x 【解析】 原式= 22 8484xxxx 点评：遇到类似的题目，只有两项，项数很少，不能拆开中项，可以采取“无中生有”的方 法，添上需要的式子，最后在减去相同的式子，目的还是凑成公式，完成因式分解. 例题中有类似的题目，难度相对比较大，学生不容易想到. 【备选例题】 32 6116xxx 【解析】先拆项，后分组，再提取公因式，最后再十字相乘. 原式 3222 556615161123xxxxxxxx xxxxx 点评：此题对于学生来说，分解到最后的结果为
11、2 156xxx，因为没有学十字相乘法 分解因式，所以学生分解到此阶段就分解不下去了，教师可以在此铺垫一下下节课学 习的十字相乘法，强调因式分解一定要分解到不能在分解为止. 【引例】 矩形的周长 28cm，两边长为cmx、cmy，且 3223 0 xx yxyy，求矩形的面积 【解析】 由题得2()28xy，则14xy 3223 0 xx yxyy 22 ()()0 x xyyxy 22 ()()0 xy xy 例题精讲例题精讲 题型题型三三：恒等变形恒等变形 ()()()0 xy xy xy 14xy 0 xy 77xy， 49Sxy 矩 【例6】 设2 =3xzy，试判断 222 944x
12、yzxz的值是不是定值，如果是定值，求出它 的值；否则，请说明理由； 证明：对于任意自然数 n， 22 3232 nnnn 一定是 10 的倍数； 已知： 2 xbxc（b、c 为整数）是 42 625xx及 42 34285xxx的公因式，求 b、c 的值 【解析】 把 222 944xyzxz进行因式分解得： 2 2 29=2323xzyxzyxzy 把2 =3xzy代入式子得原式是定值为 0； 原式 22 3322 nnnn 22 1 331221 10352 103102 nn nn nn 22 3232 nnnn 一定是 10 的倍数； 42422 62510254xxxxx 2 2
13、 2 22 52 2525 xx xxxx 42 625xx及 42 34285xxx有公因式 4222 342855 31xxxxmxxnx 30 528 nm mn 即 2 6 m n 即 4222 3428525 361xxxxxxx 42 625xx及 42 34285xxx的公因式为 2 25xx 即2a ，5b 【备注】例 7 之后可以让同学们尝试大除法 【探究对象】 整式恒等变形用到的公式主要有平方差公式、完全平方公式、立方和和立方 差公式外，还用到下面的公式及变形： 3 3223 33abaa babb 典题精练典题精练 222333 ()()3abc abcabbccaabc
14、abc 【探究目的】熟练运用基本乘法公式及变形后，以此为基础对更复杂的整式恒等变形进行探究. 【探究 1】若0abc， 333 0abc，求证： 201120112011 0abc. 【解析】 由0abc可知 33 ()abc， 故有 3223332233 33330aa babbcaa babbc 又 333 0abc，故 22 330a bab，即()0ab ab 若0a ，则bc ， 201120112011 0abc； 若0b ，同理有 201120112011 0abc； 若0ab，则0c ，同理也有 201120112011 0abc 【探究 2】已知3xyz，且 333 (1)(
15、1)(1)0 xyz，求证, ,x y z中至少有一个为 1. 【解析】 设1,1,1xa yb zc ，则 333 0,0abcabc. 由 333222 3()()abcabcabc abcabbcca 可知，0abc 故, ,a b c中至少有一个为 0，即1,1,1xyz中至少有一个为 0 故, ,x y z中至少有一个为 1. 【备选例题】 设3xyzm，求证： 333 ()()()3()()()0mxmymzmx my mz. 【解析】 原式中的式子太多，不妨采用换元法. 设,mxa myb mxc，则要证明的结论 变为 333 30abcabc， 已知条件变为0abc. 等式左边
16、的这个式子我们非常熟 悉，可变形为 222 ()()abc abcabbcca ，而0abc，故原式得证. 【探究 3】若1abc， 222 2abc， 333 8 3 abc， 求：abc的值； 444 abc的值. 【解析】 由1abc可知， 222 2221abcabbcca 又 222 2abc，故 1 2 abbcca 而 222333 ()()3abc abcabbccaabcabc ， 故 333 5 3 2 abcabc 又 333 8 3 abc，故 1 18 abc 444222 2222222222222 ()22242()abcabca bb cc aa bb cc a
17、， a2b2+b2c2+c2a2=(ab+bc+ca)2-2ab2c-2abc2-2a2bc= 1 4 -2abc(a+b+c) 115 21 41836 ， 从而可知， 444 5567 424 361818 abc 【例7】 阅读：把多项式 2 310 xx分解因式得 2 31052xxxx，由此对于方程 2 3100 xx可以变形为520 xx，解得5x 或2x 观察多项式 2 310 xx的因式5x、2x，与方程 2 3100 xx的解5x 或 2x 之间的关系可以发现，如果5x 、2x 是方程 2 3100 xx的解，那么 5x、2x是多项式 2 310 xx的因式这样，若要把一个多
18、项式分解因式，可 以通过其对应方程的解来确定其中的因式 例如：对于多项式 3 32xx观察可知，当1x 时， 3 32xx0，则 3 32xx 1xA， 其中A为整式， 即1x是多项式 3 32xx的一个因式， 若要确定整式A， 则可用竖式除法 2 32 32 2 2 2 1032 3 22 22 0 xx xxxx xx xx xx x x 2 32 321211212xxxxxxxxxx 填空： 分解因式 2 2xx_ 观察可知，当x 时， 32 530 xxx，可得 是多项式 32 53xxx 的一个因式分解因式： 32 53xxx ； 已知： 3 21xmxxB，其中B为整式，则分解因
19、式： 3 2xmx （海淀期末） 【解析】 12xx 1；1x； 2 13xx 2 12xx 【点评】 此题是因式分解方法中“因式定理或余数定理”的运用，虽然不会直接考到，但与一元二 次方程密切相关，可以了解一下，这种方法不必深入拓展，到此为止即可. 训练1. 若a，b为有理数，且 22 22440aabba，则 22 a bab 求 22 4243abab的最值 （北大附中测试题） 【解析】 22 2244aabba 22222 244()(2)0aabbaaaba， 所以2ab ，则 22 16a bab 2222 4243(1)(21)11ababab ，所以有最小值1 训练2. 计算9
20、99 9991999 nnn 个个个 分析：可将1999 n个 用100999 n n 个 个 表示 【解析】 解法一：原式999 9999991000 nnnn 个个个个 999(999 1) 10n nn 个个 10 (999 1) n n 个 2 10 n 解法二：原式 2 9992 999 1 nn 个个 2 (999 1) n 个 2 10n 2 10 n 备注：999101 n n 个 是一种常用的变形又如 1 333101 3 n n 个 训练3. 因式分解 42 231xx 【解析】 4242222222 23121 25(1)(5 )(1 5 )(1 5 )xxxxxxxxx
21、 xx 训练4. 小学生王琼和他的妹妹王倩的年龄分别是a岁和b岁，并且 2 117aab，试求王琼和 王倩的年龄 【解析】 2 117aab ()1173 3 13a ab a 为王琼的年龄 有实际情况得913aab， 94ab， 王琼 9 岁，王倩 4 岁 思维拓展训练思维拓展训练( (选讲选讲) ) 10999 10 nn n 个 题型一题型一 换元法换元法 巩固练习巩固练习 【练习1】 分解因式： 22 32 48390 xxxx 【解析】 原式12 21 2390 xxxx 1 2322190 xxxx 22 253 25290 xxxx， 令 2 253xxy ，则 原式190y y
22、 2 90yy 910yy 22 2512 257xxxx 2 2512 271xxxx 题型二题型二 拆、添项及配方法拆、添项及配方法 巩固练习巩固练习 【练习2】 分解因式： 22 268xyxy 【解析】 222222 26821 (69)(1)(3)xyxyxxyyxy (13)(13)(4)(2)xyxyxyxy 【练习3】 分解因式： 84 1xx 【解析】 848444242 121(1)(1)xxxxxxxxx 422422242 (1 2)(1)(1)(1)(1)xxxxxxxxxxx 题型三题型三 恒等变形恒等变形 巩固练习巩固练习 【练习4】 已知 3 5 abbc， 2
23、22 1abc，求abbcca的值. 【解析】 由 3 5 abbc可知， 6 5 ac， 故 222222 1 ()()()() 2 abbccaabcabbcca 199362 1() 225252525 . 【练习5】 已知2ab，8a b ，求 22 aabab abbab的值 复习巩固复习巩固 【解析】 2ab，8a b 2 22 220ababab 原式= 2 22 356abababababab 测1. 已知 22 46130abab，求ab的值 【解析】 22 46130abab， 22 44690aabb 22 230ab， 20 30 a b ， 2 3 a b ，5ab 测2. 因式分解： 22 268xyxy 【解析】 222222 26821 (69)(1)(3)xyxyxxyyxy (13)(13)(4)(2)xyxyxyxy 测3. 因式分解 22 (1)(2) 12xxxx 【解析】 原式= 2 (1)(2)(5)xxxx 课后测课后测