1、第第 7 讲讲 期中复习期中复习 定义 轴对称基本知识点 对称点与对称轴 垂直平分线性质与判定 做图形的对称轴 轴对称 轴对称变换 用坐标表示轴对称 等腰三角形性质、判定 等腰三角形 等边三角形性质、判定 【例1】 如图，把矩形纸片 ABCD 纸沿对角线折叠，设重叠部分为EBD，那么下 列说法错误的是（ ） AEBD 是等腰三角形，EB=ED B折叠后ABE 和CBD 一定相等 C折叠后得到的图形是轴对称图形 DEBA 和EDC 一定是全等三角形 【解析】ABCD 为矩形 A=C=90 ，AB=CD AEB=CED AEBCED（第四个正确） BE=DE（第一个正确） ABE=CDE（第二个不
2、正确） EBAEDC， EBD 是等腰三角形 过 E 作 BD 边的中垂线，即是图形的对称轴 （第三个正确） 故选 B 思路导航思路导航 典题精练典题精练 题型一：轴对称题型一：轴对称 E D C A B 将一个矩形纸片依次按图、 图的方式对折， 然后沿图中的虚线裁剪， 最后将图的纸再展开铺平，所得到的图案是（ ） 【解析】A 【例2】 如图，A 为马厩，B 为帐篷，牧马人某天要从马厩牵出马，先到草地边的某 一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路 线作出图形并说明理由 【解析】沿 AC-CD-DB 路线走是最短的路线如图（1）所示： 证明：在 ON 上任意取一点 T，
3、在 OM 上任意取一点 R，连接 FR、BR、RT、 ET、AT， A、E 关于 ON 对称， AC=EC， 同理 BD=FD，FR=BR，AT=ET， AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF， AT+TR+BR=ET+TR+FR， ET+TR+FREF， AC+CD+DBAT+TR+BR， 即沿 AC-CD-DB 路线走是最短的路线 图(4)图(3)图(2)图(1) 向右对折 （向上对折） D.C. B. A. 河 草地 B A SSSSASASAAASHL 对应边相等 全等三角形性质 全等三角形对应角相等 全等三角形判定：， 性质、判定 角平分线 有关角平分线辅助线 【例3】 如图， 在
4、ABC 中， BE、 CF 分别是 AC、 AB 两边上的高， 在 BE 上截取 BD=AC， 在 CF 的延长线上截取 CG=AB，连接 AD、AG 请你确定ADG 的形状，并证明你的结论 【解析】连接 DG，则ADG 是等腰三角形 BE、CF 分别是 AC、AB 两边上的高， AFC=AEB=90 ACG=DBA 又BD=CA，AB=GC， ABDGCA； AG=AD， （1） A B 草地 河 C D E F M N O M E C T R O D F （2） 河 草地 B A B A C D E F G 思路导航思路导航 典题精练典题精练 题型题型二二：全等三角形全等三角形 G F E
5、 D C A B ADG 是等腰三角形 【例4】 ABC 中， CAB=CBA=50 ， O 为ABC 内一点， OAB=10 ， OBC=20 ， 求OCA 的度数 【解析】作 CDAB 于 D，延长 BO 交 CD 于 P，连接 PA， CAB=CBA=50 ， AC=BC， AD=BD， CAB=CBA=50 ， ACB=80 ， ABC=ACB=50 ，OBC=20 ， CBP=OBC=20 =CAP， PAO=CAB-CAP-OAB=50 -20 -10 =20 =CAP， POA=OBA+OAB=10 +50 -20 =40 =ACD， 在 CAP 和 OAP 中， ACPAOP，
6、CAPOAP CAPOAP， AC=OA， ACO=AOC， OCA= 1 2 （180 -CAO） = 1 2 180 -（CAB-OAB）= 1 2 （180 -40 ）=70 【例5】 在 RtABC 中，ACB=90 ，A=30 ，BD 是ABC 的角平分线，DEAB 于点 E 如图 1，连接 EC，求证：EBC 是等边三角形； 点 M 是线段 CD 上的一点（不与点 C、D 重合） ，以 BM 为一边，在 BM 的 下方作BMG=60 ， MG 交 DE 延长线于点 G 请你在图 2 中画出完整图形， 并直接写出 MD，DG 与 AD 之间的数量关系； 如图 3， 点 N 是线段 A
7、D 上的一点， 以 BN 为一边， 在 BN 的下方作BNG=60 ， NG 交 DE 延长线于点 G试探究 ND，DG 与 AD 数量之间的关系，并说明 C O BA 理由 【解析】在 Rt ABC 中，ACB=90 ，A=30 ， ABC=60 ，BC= 1 2 AB BD 平分ABC， CBD=DBA=A=30 DA=DB DEAB 于点 E AE=BE= 1 2 AB BC=BE EBC 是等边三角形； 结论：AD=DG+DM 证明：如图 2 所示：延长 ED 使得 DN=DM，连接 MN， ACB=90 ，A=30 ，BD 是 ABC 的角平分线，DEAB 于点 E， ADE=BDE
8、=60 ，AD=BD， 又DM=DN， NDM 是等边三角形， MN=DM， 在 NGM 和 DBM 中， NMDB，MNDM，NMCDMB NGMDBM， BD=NG=DG+DM， AD=DG+DM G N 图3 图2图1 AEB C D AEB C DD C B EA 结论：AD=DG-DN 证明：延长 BD 至 H，使得 DH=DN 由得 DA=DB，A=30 DEAB 于点 E 2=3=60 4=5=60 NDH 是等边三角形 NH=ND，H=6=60 H=2 BNG=60 ， BNG+7=6+7 即DNG=HNB 在 DNG 和 HNB 中， DNHN，DNGHNB，H2 DNGHN
9、B（ASA） DG=HB HB=HD+DB=ND+AD， DG=ND+AD AD=DG-ND 【例6】 已知四个实数 a、b、c、d，且 ab，cd满足：a2+ac=4，b2+bc=4，c2+ac=8， d2+ad=8 求 a+c 的值； 分别求 a、b、c、d 的值 【解析】由（a2+ac）+（c2+ac）=4+8=12，得（a+c） 2=a2+c2+2ac=12， a+c=2 3 由（a2+ac）-（b2+bc）=4-4=0，（c2+ac）-（d2+ad）=8-8=0， 得（a-b）（a+b+c）=0，（c-d）（a+c+d）=0， ab，cd， a+b+c=0，a+c+d=0， b=d=
10、-（a+c）， 又（a2+ac）-（c2+ac）=4-8=-4，得（a-c）（a+c）=-4 典题精练典题精练 题型题型三三：因式分解因式分解 当 a+c=2 3时，a-c= 2 3 3 ，解得：a= 2 3 3 ，c= 4 3 3 ，b=d=2 3； 当 a+c=2 3时，a-c= 2 3 3 ，解得：a= 2 3 3 ，c= 4 3 3 ，b=d=2 3 【例7】 设 a1=3212，a2=5232，an= 22 2121nn（n 为大于 0 的自然数） 探究 an是否为 8 的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论； 若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数” 试 找出
11、a1，a2，an，这一列数中从小到大排列的前 4 个完全平方数，并 指出当 n 满足什么条件时，an为完全平方数（不必说明理由） 【解析】an=（2n+1） 2-（2n-1）2=4n2+4n+1-4n2+4n-1=8n， 又n 为非零的自然数， an是 8 的倍数 这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是 8 的倍数 这一列数中从小到大排列的前 4 个完全平方数为 16，64，144，256 n 为一个完全平方数的 2 倍时，an为完全平方数 训练1. 阅读理解 如图 1，ABC 中，沿BAC 的平分线 AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部 分沿B1A1C 的平分线 A1B2折叠，剪掉重
12、复部分；将余下部分沿BnAnC 的平分线 AnBn+1折叠，点 Bn与点 C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次 恰好重合，BAC 是ABC 的好角 小丽展示了确定BAC 是ABC 的好角的两种情形 情形一：如图 2，沿等腰三角形 ABC 顶角BAC 的平分线 AB1折叠，点 B 与 点 C 重合； 情形二：如图 3，沿BAC 的平分线 AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分 沿B1A1C 的平分线 A1B2折叠，此时点 B1与点 C 重合 探究发现 ABC 中，B=2C，经过两次折叠，BAC 是不是ABC 的好角？（回 答“是”或“不是” ） 小丽经过三次折叠发现了BAC 是ABC 的好角，请
13、探究B 与C（不 妨设BC） 之间的等量关系 根据以上内容猜想： 若经过 n 次折叠BAC 是 ABC 的 好 角 ， 则 B 与 C（ 不 妨 设 B C） 之 间 的 等 量 关 系 为 应用提升 小丽找到一个三角形，三个角分别为 15 、60 、105 ，发现 60 和 105 的 两个角都是此三角形的好角 请你完成， 如果一个三角形的最小角是 4 ， 试求出三角形另外两个角的度数， 思维拓展训练思维拓展训练( (选讲选讲) ) 使该三角形的三个角均是此三角形的好角 【解析】ABC 中，B=2C，经过两次折叠，BAC 是 ABC 的好角； 理由如下：小丽展示的情形二中，如图 3， 沿BA
14、C 的平分线 AB1折叠， B=AA1B1； 又将余下部分沿B1A1C 的平分线 A1B2折叠，此时点 B1与点 C 重合， A1B1C=C； AA1B1=C+A1B1C， B=2C，BAC 是 ABC 的好角 故答案是：是； B=3C； 如图所示，在 ABC 中，沿BAC 的平分线 AB1折叠，剪掉重复部分；将 余下部分沿B1A1C 的平分线 A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿 B2A2C 的平分线 A2B3折叠，点 B2与点 C 重合，则BAC 是 ABC 的好 角 证明如下：根据折叠的性质知，B=AA1B1，C=A2B2C， A1B1C=A1A2B2， 根据三角形的外角定理知，A1
15、A2B2=C+A2B2C=2C； 根据四边形的外角定理知， BAC+B+AA1B1-A1B1C=BAC+2B-2C=180 ， 根据三角形 ABC 的内角和定理知，BAC+B+C=180 ， B=3C； 由小丽展示的情形一知，当B=C 时，BAC 是 ABC 的好角； 由小丽展示的情形二知，当B=2C 时，BAC 是 ABC 的好角； 由小丽展示的情形三知，当B=3C 时，BAC 是 ABC 的好角； 故若经过 n 次折叠BAC 是 ABC 的好角， 则B 与C （不妨设BC） 之间的等量关系为B=nC； 图3 A BC A1 B1B2 CDB A 图2 图1 C Bn+1 A3 A2 A1
16、BnB2B1B A 由知设A=4 ，C 是好角，B=4n ； A 是好角，C=mB=4mn ，其中 m、n 为正整数得 4+4n+4mn=180 如果一个三角形的最小角是 4 ， 三角形另外两个角的度数是 4、 172； 8、 168；16、160；44、132；88 、88 训练2. 一节数学课后，老师布置了一道课后练习题： 如图，已知在 RtABC 中，AB=BC，ABC=90 ，BOAC，于点 O，点 PD 分别在 AO 和 BC 上，PB=PD，DEAC 于点 E， 求证：BPOPDE 理清思路，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示： 根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程 特殊
17、位置，证明结论 若 PB 平分ABO，其余条件不变求证：AP=CD 【解析】证明：PB=PD， 2=PBD， AB=BC，ABC=90 ， C=45 ， BOAC， 1=45 ， 1=C=45 ， 3=PBC-1，4=2-C， 3=4， BOAC，DEAC， BOP=PED=90 ， 在 BPO 和 PDE 中 34，BOPPED，BPPD BPOPDE（AAS） ； 备用图 2 4 3 1 C O B A DC E O P A B 已知 1=C=45 PBD=2 3=PBD -1 4=2 -C BOAC，DEAC(已知) 3=4 BOP=PED PB=PD(已知) 要证 BPOPDE 证明：
18、由可得：3=4， BP 平分ABO， ABP=3， ABP=4， 在 ABP 和 CPD 中 AC，ABP4，PBPD ABPCPD（AAS） ， AP=CD 训练3. 因式分解 222 23103xab xaabb 2 11abab 2 222 483482xxx xxx 222222 3a baba cacabcb cbc 【解析】 222 23103xab xaabb 2 233 33 xab xabab xabxab 2 11abab 22 22 1 11 11 ababab a abb ab aabbab 2 222 483482xxx xxx 22 22 2 48482 5868
19、2458 xxxxxx xxxx xxxx 222222 3a baba cacabcb cbc 22222 3bc abcbc ab cbc abcbc abc abcabacbc 训练4. 按下面规则扩充新数：已有 a 和 b 两个数，可按规则 c=ab+a+b 扩充一个新 数，而 a，b，c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，每扩充 一个新数叫做一次操作现有数 2 和 3 求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数； 能否通过上述规则扩充得到新数 5183？并说明理由 【解析】a=2，b=3， c1=ab+a+b=6+2+3=11， 取 3 和 11， c2=311+3+11=47，
20、 取 11 与 47， c3=1147+11+47=575， 扩充的最大新数 575； 5183 可以扩充得到 c=ab+a+b=（a+1） （b+1）-1， c+1=（a+1） （b+1） ， 取数 a、c 可得新数 d=（a+1） （c+1）-1=（a+1） （b+1） （a+1）-1， 即 d+1=（a+1） 2（b+1） ， 同理可得 e=（b+1） （c+1）=（b+1） （a+1） （b+1）-1， e+1=（b+1） 2（a+1） ， 设扩充后的新数为 x， 则总可以表示为 x+1=（a+1） m（b+1）n， （式中 m、n 为整数） 当 a=2，b=3 时，x+1=3m4n，
21、 又5183+1=5184=3443， 故 5183 可以通过上述规则扩充得到 题型一题型一 轴对称轴对称 巩固练习巩固练习 【练习1】 如图 1，两个等边ABD，CBD 的边长均为 1，将ABD 沿 AC 方向向 右平移到ABD的位置，得到图 2，则阴影部分的周长为 2 图2 图1 C B B D D AC D B A 复习巩固复习巩固 【解析】两个等边ABD，CBD 的边长均为 1，将ABD 沿 AC 方向向右平移到 ABD的位置， AM=AN=MN，MO=DM=DO，OD=DE=OE，EG=EC=GC，BG=RG=RB， OM+MN+NR+GR+EG+OE=AD+CD=1+1=2； 故答
22、案为：2 题型二题型二 全等三角形全等三角形 巩固练习巩固练习 【练习2】 在等边ABC 中，AC=9，点 O 在 AC 上，且 AO=3，P 是 AB 上一动点，连接 OP，将线段 OP 绕点 O 逆时针 旋转 60 得到线段 OD，若使点 D 恰好落在 BC 上，则 线段 AP 的长是（ ） A4 B5 C6 D8 【解析】COP=A+APO=POD+COD，A=POD=60 ， APO=COD 在APO 和COD 中， AC，APOCOD，OPOD APOCOD（AAS）， AP=CO， CO=AC-AO=6， AP=6 故选 C 【练习3】 如图， BD、 CE 分别是ABC 的外角平
23、分线， 过点 A 作 AFBD， AGCE， 垂足分别为 F、G，连接 FG，延长 AF、AG，与直线 BC 相交于 M、N 试说明：FG= 1 2 （AB+BC+AC）； 如图， BD、 CE 分别是ABC 的内角平分线； 如图， BD 为ABC 的内角平分线，CE 为ABC 的外角平分线 则在图、 图两种情况下， 线段 FG 与ABC 三边又有怎样的数量关系？ BPA O D C 请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由 【解析】证明：AFBD，ABF=MBF， BAF=BMF， MB=AB， AF=MF， 同理可说明：CN=AC，AG=NG FG 是AMN 的中位线， FG= 1 2
24、MN= 1 2 （MB+BC+CN）= 1 2 （AB+BC+AC） 图中，FG= 1 2 （AB+AC-BC） 图中，FG= 1 2 （AC+BC-AB） 如图，延长 AF、AG，与直线 BC 相交于 M、N， 由中可知， MB=AB， AF=MF， CN=AC， AG=NG， FG= 1 2 MN= 1 2（BM+CN-BC） = 1 2（AB+AC-BC） ， 如图延长 AF、AG，与直线 BC 相交于 M、N， 同样由中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG， FG= 1 2 MN= 1 2 （CN+BC-BM）= 1 2 （AC+BC-AB） 题型三题型三 因式分解因式
25、分解 巩固练习巩固练习 【练习4】 分解因式： 4 44 2xyxy 【解析】 原式=（x2+y2） 2-2x2y2+（x2+2xy+y2）2-2， =（x2+y2） 2-2x2y2+（x2+y2）2+4xy（x2+y2）+4x2y2-2， =2（x2+y2） 2+2x2y2+4xy（x2+y2）-2， =2（x2+y2） 2+x2y2+2xy（x2+y2）-1， =2（x2+xy+y2） 2-1， (3) G E F D CB A (2) A BC D E F G (1) G E D F CBNM A =2（x2+xy+y2-1） （x2+xy+y2+1） 【练习5】 图是一个长为 2m、宽
26、为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块 小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形 图中的阴影部分的面积为 ； 观察图请你写出三个代数式 2 mn、 2 mn、mn 之间的等量关系 是 ； 若 x+y=7，xy=10，则 2 xy ； 实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示 如图，它表示了 试画出一个几何图形，使它的面积能表示 22 343mnmnmmnn 【解析】 （1）阴影部分的边长为（m-n） ，阴影部分的面积为（m-n） 2； （2） （m+n） 2-（m-n）2=4mn； （3） （x-y） 2=（x+y）2-4xy=72-40=9； （4） （m+n） （2m+n）=2m2+3mn+n2； （5）答案不唯一： 例如： nn m mmn m nmm nm m n mn m nmm n n