1、 1 / 19 专题专题 11.平行线与三角形平行线与三角形 一、单选题一、单选题 1 （ （2021 山东临沂市山东临沂市 中考真题）中考真题）如图，在/ABCD中， 40AEC，CB平分DCE，则ABC的度 数为（ ） A10 B20 C30 D40 2（2021 四川眉山市四川眉山市 中考真题）中考真题） 如图， 将直角三角板放置在矩形纸片上， 若 148 ， 则2的度数为 （ ） A42 B48 C52 D60 3 （ （2021 四川乐山市四川乐山市 中考真题）中考真题）七巧板起源于我国先秦时期，古算书周髀算经中有关于正方形的分割 术，经历代演变而成七巧板，如图 1 所示19 世纪传
2、到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”） ，图 2 是由边长为 4 的正方形分割制作的七巧板拼摆成的“叶问蹬”图则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积 为（ ） A3 B 7 2 C2 D 5 2 4 （ （2021 湖南岳阳市湖南岳阳市 中考真题）中考真题）下列命题是真命题的是（ ） A五边形的内角和是720 B三角形的任意两边之和大于第三边 C内错角相等 D三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点 2 / 19 5（2021 安徽中考真题）安徽中考真题） 两个直角三角板如图摆放， 其中 90BACEDF，45E ，30C， AB 与 DF 交于点 M若/BCEF，则BMD的大小
3、为（ ） A60 B67.5 C75 D82.5 6 （ （2021 浙江金华市浙江金华市 中考真题）中考真题）某同学的作业如下框，其中处填的依据是（ ） 如图，已知直线 1234 , , ,ll ll若 12 ，则34 请完成下面的说理过程 解：已知12 ， 根据（内错角相等，两直线平行） ，得 12 /ll 再根据（ ） ，得34 A两直线平行，内错角相等 B内错角相等，两直线平行 C两直线平行，同位角相等 D两直线平行，同旁内角互补 7 （ （2021 云南中考真题）云南中考真题）如图，直线 c 与直线 a、b 都相交若/ab， 155 ，则 2 （ ） A60 B55 C50 D45
4、8 （ （2021 山东聊城市山东聊城市 中考真题）中考真题）如图，ABCDEF，若ABC130 ，BCE55 ，则CEF 的度数为 （ ） A95 B105 C110 D115 9 （ （2021 山东泰安市山东泰安市 中考真题）中考真题）如图，直线/mn，三角尺的直角顶点在直线 m 上，且三角尺的直角被直 线 m 平分，若160 ，则下列结论错误的是（ ） A275 B345 C4 105 D5 130 3 / 19 10 （ （2021 四川资阳市四川资阳市 中考真题）中考真题）如图，已知直线 / , 140 ,230m n ，则 3的度数为（ ） A80 B70 C60 D50 11
5、（ （2021 四川广元市四川广元市 中考真题）中考真题）如图，在ABC中，90ACB，4ACBC ，点 D 是BC边的 中点，点 P 是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ则 CQ的最小值是（ ） A 3 2 B1 C 2 D 3 2 12 （ （2021 河北中考真题）河北中考真题）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 已知：如图，ACD是ABC的外角求证：ACDAB 下列说法正确的是（ ） 4 / 19 A证法 1 还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B证法 1 用严谨的推理证明了该定理 C证法 2 用特殊到一般法证明了该
6、定理 D证法 2 只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理 13 （ （2021 四川凉山彝族自治州四川凉山彝族自治州 中考真题）中考真题）如图，ABC中， 90 ,8,6ACBACBC，将 ADE 沿 DE 翻折，使点 A 与点 B 重合，则 CE 的长为（ ） A19 8 B2 C 25 4 D 7 4 14（2021 陕西中考真题）陕西中考真题） 如图， 点 D、 E 分别在线段BC、AC上， 连接AD、BE 若 35A ，25B ， 50C，则1的大小为（ ） A60 B70 C75 D85 15 （ （2021 安徽中考真题）安徽中考真题）在ABC中，90ACB，分别过点 B，
7、C 作 BAC平分线的垂线，垂足分 别为点 D，E，BC 的中点是 M，连接 CD，MD，ME则下列结论错误的是（ ） A2CDME B/MEAB CBDCD DMEMD 16 （ （2021 重庆中考真题）重庆中考真题）如图，在ABC和DCB中，ACBDBC ，添加一个条件，不能 证明 ABC和DCB全等的是（ ） AABCDCB BABDC CACDB DAD 17 （ （2021 浙江丽水市浙江丽水市 中考真题）中考真题）如图，在RtABC 纸片中，90 ,4,3ACBACBC，点,D E 分别在,AB AC上，连结DE，将ADE沿DE翻折，使点 A 的对应点 F 落在BC的延长线上，若
8、FD平 分EFB，则AD的长为（ ） 5 / 19 A 25 9 B 25 8 C15 7 D 20 7 18 （ （2021 四川自贡市四川自贡市 中考真题）中考真题）如图，8,0A， 2,0C ，以点 A 为圆心，AC 长为半径画弧，交 y 轴 正半轴于点 B，则点 B 的坐标为（ ） A0,5 B5,0 C6,0 D0,6 19 （ （2021 重庆中考真题）重庆中考真题）如图，点 B，F，C，E 共线，B=E，BF=EC，添加一个条件，不等判断ABC DEF 的是（ ） AAB=DE BA=D CAC=DF DACFD 20 （ （2021 江苏扬州市江苏扬州市 中考真题）中考真题）如
9、图，在4 4的正方形网格中有两个格点 A、B，连接AB，在网格中再 找一个格点 C，使得ABC是等腰直角 三角形，满足条件的格点 C 的个数是（ ） A2 B3 C4 D5 21 （ （2021 浙江宁波市浙江宁波市 中考真题）中考真题）如图，在ABC中， 45 ,60 ,BCADBC 于点 D， 3BD 若 E，F 分别为AB，BC的中点，则EF的长为（ ） A 3 3 B 3 2 C1 D 6 2 22 （ （2021 青海中考真题）青海中考真题）如图，在四边形 ABCD 中，A=90 ，AD=3，BC=5，对角线 BD 平分ABC， 则BCD 的面积为（ ） A7.5 B8 C15 D无
10、法确定 23 （ （2020 四川中考真题）四川中考真题）如图所示，直线 EF/GH，射线 AC 分别交直线 EF、GH 于点 B 和点 C，AD 6 / 19 EF 于点 D，如果A20 ，则ACG（ ） A160 B110 C100 D70 24 （ （2020 四川绵阳市四川绵阳市 中考真题）中考真题）如图，在四边形 ABCD 中，AC90 ，DFBC，ABC 的平分 线 BE 交 DF 于点 G，GHDF，点 E 恰好为 DH 的中点，若 AE3，CD2，则 GH（ ） A1 B2 C3 D4 25 （ （2020 四川绵阳市四川绵阳市 中考真题）中考真题）在螳螂的示意图中，ABDE，
11、ABC 是等腰三角形，ABC124 ， CDE72 ，则ACD（ ） A16 B28 C44 D45 26 （ （2020 广西河池市广西河池市 中考真题）中考真题）如图，直线 a，b 被直线 c 所截，则1 与2 的位置关系是（ ） A同位角 B内错角 C同旁内角 D邻补角 27 （ （2020 湖北省直辖县级行政单位湖北省直辖县级行政单位 中考真题）中考真题）将一副三角尺如图摆放，点 E 在AC上，点 D 在BC的延 长线上，/,90 ,45 ,60EF BCBEDFAF ，则CED的度数是（ ） A15 B20 C25 D30 28 （ （2020 黑龙江齐齐哈尔市黑龙江齐齐哈尔市 中考
12、真题）中考真题）有两个直角三角形纸板，一个含 45 角，另一个含 30 角，如图 所示叠放，先将含 30 角的纸板固定不动，再将含 45 角的纸板绕顶点 A 顺时针旋转，使 BCDE，如图 7 / 19 所示，则旋转角BAD 的度数为（ ） A15 B30 C45 D60 29 （ （2020 山东济南市山东济南市 中考真题）中考真题）如图，在ABC中，ABAC，分别以点 A、B 为圆心，以适当的长为 半径作弧， 两弧分别交于 E， F， 作直线 EF， D 为 BC 的中点， M 为直线 EF 上任意一点 若 BC4，ABC 面积为 10，则 BM+MD 长度的最小值为（ ） A 5 2 B
13、3 C4 D5 30 （ （2020 辽宁大连市辽宁大连市 中考真题）中考真题）如图，ABC中，90 ,40ACBABC 将ABC绕点 B 逆时 针旋转得到A BC，使点 C 的对应点C恰好落在边AB上，则CAA的度数是（ ） A50 B70 C110 D120 31 （ （2020 江苏南通市江苏南通市 中考真题）中考真题）如图，在ABC 中，AB2，ABC60 ，ACB45 ，D 是 BC 的中 点，直线 l 经过点 D，AEl，BFl，垂足分别为 E，F，则 AE+BF 的最大值为（ ） A6 B2 2 C2 3 D3 2 32（2020 内蒙古鄂尔多斯市内蒙古鄂尔多斯市 中考真题）中考
14、真题） 如图， 在四边形ABCD中， / /ADBC， 90D，8AD，6BC ， 8 / 19 分别以点 A， C 为圆心， 大于 1 2 AC长为半径作弧， 两弧交于点 E， 作射线 BE 交 AD 于点 F， 交 AC 于点 O 若 点 O 是 AC 的中点，则 CD 的长为（ ） A4 2 B6 C2 10 D8 33 （ （2020 贵州毕节市贵州毕节市 中考真题）中考真题）如图，在一个宽度为AB长的小巷内，一个梯子的长为a，梯子的底端 位于AB上的点P，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点C处，点C到AB的距离BC为b，梯子的倾 斜角BPC为45；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点D处
15、，点D到AB的距离AD为c，且此时梯子 的倾斜角APD为75，则AB的长等于（ ） Aa Bb C 2 bc Dc 34 （ （2020 青海中考真题）青海中考真题）等腰三角形的一个内角为 70 ，则另外两个内角的度数分别是（ ） A55 ，55 B70 ，40 或 70 ，55 C70 ，40 D55 ，55 或 70 ，40 35 （ （2020 湖北省直辖县级行政单位湖北省直辖县级行政单位 中考真题）中考真题）如图，已知ABC和ADE都是等腰三角形， 90BACDAE， ,BD CE交于点 F，连接AF，下列结论：BD CE；BFCF；AF平 分CAD；45AFE其中正确结论的个数有（
16、） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 36 （ （2020 四川宜宾市四川宜宾市 中考真题）中考真题）如图， ,ABCECD都是等边三角形，且 B，C，D 在一条直线上，连 结,BE AD，点 M，N 分别是线段 BE，AD 上的两点，且 11 , 33 BMBE ANAD，则CMN的形状是 （ ） 9 / 19 A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D不等边三角形 37 （ （2019 江苏泰州市江苏泰州市 中考真题）中考真题）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、 F、G在小正方形的顶点上，则ABC的重心是（ ） A点D B点E C点F D点G 38 （
17、（2019 辽宁铁岭市辽宁铁岭市 中考真题）中考真题）如图，在 CEF中，80E ，50F，ABCF，ADCE， 连接 BC，CD，则A的度数是（ ） A45 B50 C55 D80 二、填空题二、填空题 39 （ （2021 浙江中考真题）浙江中考真题）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的数学的魅力一书中记载了这样一个 故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为 1 的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方 形（阴影部分） 则图中AB的长应是_ 40 （ （2021 河北中考真题）河北中考真题） 下图是可调躺椅示意图 （数据如图） ，AE与BD的交点为C， 且 A，B，E 保持不变为
18、了舒适，需调整D的大小，使110EFD，则图中D应_（填“增加”或“减 少”）_度 41 （ （2021 青海中考真题）青海中考真题）如图，ABCD，FEDB，垂足为 E，150 ，则2 的度数是_ 10 / 19 42 （ （2021 山东聊城市山东聊城市 中考真题）中考真题）如图，在ABC 中，ADBC，CEAB，垂足分别为点 D 和点 E，AD 与 CE 交于点 O， 连接 BO 并延长交 AC 于点 F， 若 AB5， BC4， AC6， 则 CE： AD： BF 值为_ 43（2021 江苏南京市江苏南京市 中考真题）中考真题） 如图， 在四边形ABCD中，ABBCBD 设ABC，
19、则A D C _（用含的代数式表示） 44 （ （2021 江苏连云港市江苏连云港市 中考真题）中考真题） 如图，BE是ABC的中线， 点 F 在BE上， 延长AF交BC于点 D 若 3B FF E，则 BD DC _ 45 （ （2021 浙江绍兴市浙江绍兴市 中考真题）中考真题）如图，在ABC中，ABAC ，70B ，以点 C 为圆心，CA 长为 半径作弧，交直线 BC 于点 P，连结 AP，则BAP的度数是_ 46 （ （2021 四川广安市四川广安市 中考真题）中考真题）如图，将三角形纸片ABC折叠，使点B、C都与点A重合，折痕分别 为DE、FG.已知15ACB，AEEF，3DE ，则
20、BC的长为_ 47 （ （2021 四川遂宁市四川遂宁市 中考真题）中考真题）如图，在ABC 中，AB5，AC7，直线 DE 垂直平分 BC，垂足为 E， 交 AC 于点 D，则ABD 的周长是 _ 11 / 19 48 （ （2021 江苏宿迁市江苏宿迁市 中考真题）中考真题） 九章算术中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出 水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为 10 尺的正 方形，一棵芦苇 AB 生长在它的中央，高出水面部分 BC 为 1 尺如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸 边，那么芦苇的顶部 B 恰好碰到岸边的 B（示意图
21、如图，则水深为_尺 49 （ （2020 四川绵阳市四川绵阳市 中考真题）中考真题）如图，四边形 ABCD 中，ABCD，ABC60 ，ADBCCD4， 点 M 是四边形 ABCD 内的一个动点，满足AMD90 ，则点 M 到直线 BC 的距离的最小值为_ 50 （ （2020 辽宁铁岭市辽宁铁岭市 中考真题）中考真题）如图，在ABC中， 5,8,9ABACBC，以A为圆心，以适当 的长为半径作弧，交AB于点M，交AC于点N，分别以,M N为圆心，以大于 1 2 MN的长为半径作弧， 两弧在BAC的内部相交于点G， 作射线AG， 交BC于点D， 点F在AC边上，AFAB， 连接DF， 则CDF
22、的周长为_ 51 （ （2020 海南中考真题）海南中考真题）如图，在ABC中， 9,4BCAC，分别以点AB 、为圆心，大于 1 2 AB的长 为半径画弧， 两弧相交于点,MN、作直线MN， 交BC边于点D， 连接AD， 则A C D的周长为_ 52 （ （2020 辽宁营口市辽宁营口市 中考真题）中考真题）如图，ABC 为等边三角形，边长为 6，ADBC，垂足为点 D，点 E 和 点 F 分别是线段 AD 和 AB 上的两个动点，连接 CE，EF，则 CE+EF 的最小值为_ 53 （ （2020 宁夏中考真题）宁夏中考真题）如图，在ABC中，84C，分别以点 A、B 为圆心，以大于 1
23、2 AB的长为 半径画弧， 两弧分别交于点 M、 N， 作直线MN交AC点 D； 以点 B 为圆心， 适当长为半径画弧， 分别交BA、 BC于点 E、F，再分别以点 E、F 为圆心，大于 1 2 EF的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线BP，此时 射线BP恰好经过点 D，则A_度 12 / 19 54 （ （2020 湖南娄底市湖南娄底市 中考真题）中考真题）由 4 个直角边长分别为 a，b 的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示， 根据大正方形的面积 2 c等于小正方形的面积 2 ()ab与 4 个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理 222 abc，还可以用来证明结论：若0a、0b且
24、 22 ab为定值，则当a_b时，ab取得最 大值 55 （ （2020 内蒙古通辽市内蒙古通辽市 中考真题）中考真题）如图，在ABC中， 90 ,ACBACBC，点 P 在斜边AB上， 以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，90PCQ， 则 222 ,PA PB PC三者之间的数量关系是_ 56 （ （2020 湖北中考真题）湖北中考真题）如图，D 是等边三角形ABC外一点若 8,6BDCD，连接AD，则AD的 最大值与最小值的差为_ 57 （ （2019 河北中考真题）河北中考真题）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了 A，B，C 三地的坐标，数 据如图（单位：km） 笔直铁路经
25、过 A，B 两地 （1）A，B 间的距离为_km； （2）计划修一条从 C 到 铁路 AB 的最短公路 l， 并在 l 上建一个维修站 D， 使 D 到 A， C 的距离相等， 则 C， D 间的距离为_km 三、解答题三、解答题 58 （ （2021 湖北武汉市湖北武汉市 中考真题）中考真题）如图，/ABCD，BD ，直线EF与AD，BC的延长线分别交 于点E，F求证：DEFF 13 / 19 59 （ （2021 浙江温州市浙江温州市 中考真题）中考真题）如图，BE是ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB DE （1）求证：/DE BC （2）若65A ，45AED，求EBC的度数 60
26、（2021 四川南充市四川南充市 中考真题）中考真题） 如图，90BAC， AD 是 BAC内部一条射线， 若ABAC，BEAD 于点 E，CFAD于点 F求证：AFBE 61 （ （2021 浙江绍兴市浙江绍兴市 中考真题）中考真题）如图，在ABC中，40A ，点 D，E 分別在边 AB，AC 上， BDBCCE， 连结 CD， BE（1） 若80ABC， 求B D C，ABE的度数（2） 写出BEC与BDC 之间的关系，并说明理由 14 / 19 62（2021 陕西中考真题）陕西中考真题） 如图，/BD AC，BDBC ， 点E在BC上， 且BEAC 求证：DABC 63 （ （2021
27、 湖南衡阳市湖南衡阳市 中考真题）中考真题） 如图， 点 A、 B、 D、 E 在同一条直线上， ,/,/ABDE AC DF BC EF 求 证：ABCDEF 64 （ （2021 浙江中考真题）浙江中考真题） 已知在ACD中，是CD的中点，B是AD延长线上的一点， 连结 ,BC AP （1）如图 1，若90 ,60 ,3ACBCADBDAC AP ，求BC的长 （2） 过点D作/DE AC， 交AP延长线于点E， 如图 2 所示 若60 ,CADBDAC， 求证：2BCAP （3） 如图 3，若45CAD，是否存在实数m，当B D m A C时，2BCAP？若存在，请直接写出m 的值；若不
28、存在，请说明理由 15 / 19 65 （ （2020 江苏镇江市江苏镇江市 中考真题）中考真题）如图，AC 是四边形 ABCD 的对角线，1B，点 E、F 分别在 AB、 BC 上，BECD，BFCA，连接 EF （1）求证：D2； （2）若 EFAC，D78 ，求BAC 的度 数 66 （ （2020 山西中考真题）山西中考真题）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务 年 月 日 星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图所示的四边形木板，他已经在木板 上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB
29、的垂线，用锯子进行裁割， 然而手头没有直角尺，怎么办呢？ 办法一：如图，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出30CDcm，然后分别以D，C为圆心， 以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则DCE必为90 办法二：如图，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在 木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒 绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R然后将RQ延长，在延长 线上截取线段QSMN，得到点S，作直线SC，则90RCS 16 / 19 我有如下思考：以上两种办法依据的是什么
30、数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？ 任务： （1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_； （2）根据“办法二”的操作过程，证明90RCS； （3）尺规作图：请在图的木板上，过点C作出AB的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法） ； 说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可） 67 （ （2020 湖北宜昌市湖北宜昌市 中考真题）中考真题）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生 折射，如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点 G 在射线EF上，已知20 ,45HFBFED ，求GFH的度数 17 /
31、 19 68（2020 湖南中考真题）湖南中考真题） 已知 D 是 RtABC 斜边 AB 的中点， ACB90 ， ABC30 ， 过点 D 作 RtDEF 使DEF90 ，DFE30 ，连接 CE 并延长 CE 到 P，使 EPCE，连接 BE，FP，BP，设 BC 与 DE 交 于 M，PB 与 EF 交于 N （1）如图 1，当 D，B，F 共线时，求证：EBEP；EFP30 ； （2）如图 2，当 D，B，F 不共线时，连接 BF，求证：BFD+EFP30 69 （ （2020 辽宁锦州市辽宁锦州市 中考真题）中考真题）已知AOB和MON 都是等腰直角三角形 2 2 OAOMON ，
32、 90AOBMON （1）如图 1：连,AM BN，求证：AOMBON； （2）若将MON绕点 O 顺时针旋转， 如图 2，当点 N 恰好在AB边上时，求证： 222 2BNANON； 当点,A M N在同一条直线上时，若4,3OBON，请直接写出线段BN的长 18 / 19 70 （ （2020 山东烟台市山东烟台市 中考真题）中考真题）如图，在等边三角形 ABC 中，点 E 是边 AC 上一定点，点 D 是直线 BC 上一动点，以 DE 为一边作等边三角形 DEF，连接 CF （问题解决） （1）如图 1，若点 D 在边 BC 上，求证：CE+CFCD； （类比探究） （2）如图 2，若点
33、 D 在边 BC 的延长线上，请探究线段 CE，CF 与 CD 之间存在怎样的数量关 系？并说明理由 71 （ （2019 贵州安顺市贵州安顺市 中考真题）中考真题） （1）如图，在四边形ABCD中，ABCD ，点E是BC的中点，若 AE是BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系 解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证AEBFEC得到ABFC，从 而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断AB，AD，DC之间的等量关系_； （2）问题探究：如图，在四边形ABCD中，ABCD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的 中点，若AE是BAF的平分线，试探究AB
34、，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论 19 / 19 72 （ （2019 山东济南市山东济南市 中考真题）中考真题）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究. （一）猜测探究:在ABC中，ABAC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转 与BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB （1） 如图 1， 若M是线段BC上的任意一点， 请直接写出NAB与MAC的数量关系是 ，NB与 MC的数量关系是 ； （2）如图 2，点E是AB延长线上点，若M是CBE内部射线BD上任意一点，连接MC， （1）中结论 是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由 （二）拓展应用:如图 3，在 111 ABC中， 11 8AB ， 111 60ABC， 111 75B AC，P是 11 BC上的任意 点，连接 1 AP，将 1 AP绕点 1 A按顺时针方向旋转75，得到线段 1 AQ，连接 1 BQ求线段 1 BQ长度的最小 值