1、 1 / 17 专题专题 13.圆圆与正多边形与正多边形 一、单选题一、单选题 1 （ （2021 四川成都市四川成都市 中考真题）中考真题）如图，正六边形ABCDEF的边长为 6，以顶点 A 为圆心，AB的长为半 径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A4 B6 C8 D12 2 （ （2021 云南中考真题）云南中考真题）如图，等边ABC的三个顶点都在 O上，AD是O的直径若3OA，则 劣弧BD的长是（ ） A 2 B C 3 2 D2 3 （ （2021 广西玉林市广西玉林市 中考真题）中考真题）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也 与直径垂直”，小熹说：“用
2、反例就能说明这是假命题” 下列判断正确的是（ ） A两人说的都对 B小铭说的对，小燕说的反例不存在 C两人说的都不对 D小铭说的不对，小熹说的反例存在 4 （ （2021 青海中考真题）青海中考真题）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交 于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为 10 厘米，16AB厘米若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出 海平面的时间为 16 分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ） A1.0 厘米/分 B0.8 厘米分 C12 厘米/分 D1.4 厘米/分 5 （ （2021 山东聊城市山东聊城市 中考真题）中考真题）如图，A，B，C 是半径为
3、 1 的O 上的三个点，若 AB2，CAB 30 ，则ABC 的度数为（ ） 2 / 17 A95 B100 C105 D110 6 （ （2021 山东泰安市山东泰安市 中考真题）中考真题） 如图， 四边形ABCD是 O的内接四边形，90B ，120BCD， 2AB ，1CD，则AD的长为（ ） A2 32 B3 3 C4 3 D2 7 （ （2021 四川广元市四川广元市 中考真题）中考真题）如图，从一块直径是 2 的圆形铁片上剪出一个圆心角为90的扇形，将剪 下来的扇形围成一个圆锥那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ） A 4 B 2 4 C 1 2 D1 8 （ （2021 四川南充市四川
4、南充市 中考真题）中考真题）如图，AB 是 O的直径，弦CDAB于点 E，2CDOE，则BCD 的度数为（ ） A15 B22.5 C30 D45 9 （ （2021 四川广元市四川广元市 中考真题）中考真题）如图，在边长为 2 的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切 线，则图中阴影部分的面积为（ ） A 3 2 B2 C1 D 5 2 10 （ （2021 湖北荆州市湖北荆州市 中考真题）中考真题）如图，在菱形ABCD中，60D， 2AB ，以B为圆心、BC长 为半径画AC，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC当BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部 分的面积为（ ） 3 / 17
5、 A 231 32 B 231 32 C2 D 31 2 2 11 （ （2021 浙江衢州市浙江衢州市 中考真题）中考真题）已知扇形的半径为 6，圆心角为150则它的面积是（ ） A 3 2 B3 C5 D15 12 （ （2021 江苏连云港市江苏连云港市 中考真题）中考真题）如图，正方形ABCD内接于 O，线段MN在对角线BD上运动，若 O的面积为2，1MN ，则AMN周长的最小值是（ ） A3 B4 C5 D6 13 （ （2021 湖南怀化市湖南怀化市 中考真题）中考真题）以下说法错误的是（ ） A多边形的内角大于任何一个外角 B任意多边形的外角和是360 C正六边形是中心对称图形
6、D圆内接四边形的对角互补 14 （ （2021 四川广安市四川广安市 中考真题）中考真题）如图，公园内有一个半径为 18 米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏 路（劣弧AB）和便民路（线段AB）.已知A、B是圆上的点，O为圆心，120AOB，小强从A走到 B，走便民路比走观赏路少走（ ）米. A66 3 B69 3 C129 3 D1218 3 15 （ （2021 重庆中考真题）重庆中考真题）如图，AB 是O 的直径，AC，BC 是O 的弦，若20A ，则 B的度数为 A70 B90 C40 D60 16 （ （2021 四川泸州市四川泸州市 中考真题）中考真题）如图，O 的直径 AB=8，A
7、M，BN 是它的两条切线，DE 与O 相切于 点 E，并与 AM，BN 分别相交于 D，C 两点，BD，OC 相交于点 F，若 CD=10，则 BF 的长是 4 / 17 A 8 17 9 B10 17 9 C 8 15 9 D10 15 9 17 （ （2021 四川遂宁市四川遂宁市 中考真题）中考真题）如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 分别与 BC，AC 交于点 D，E，过点 D 作 DFAC，垂足为点 F，若O 的半径为4 3，CDF=15 ， 则阴影部分的面积为（ ） A1612 3 B1624 3 C2012 3 D2024 3 18 （ （2021 浙江中考真题
8、）浙江中考真题）如图，已知点O是ABC的外心，40A，连结BO，CO，则 BOC的 度数是（ ） A60 B70 C80 D90 19 （ （2021 浙江丽水市浙江丽水市 中考真题）中考真题）如图，AB是 O的直径，弦CDOA于点 E，连结,OC OD若O 的半径为,mAOD ，则下列结论一定成立的是（ ） AtanOEm B2sinCDm CcosAEm D 2 sin COD Sm 20 （ （2021 重庆中考真题）重庆中考真题）如图，四边形 ABCD 内接于O，若A=80 ，则C 的度数是（ ） A80 B100 C110 D120 21 （ （2021 浙江金华市浙江金华市 中考真
9、题）中考真题）如图，在Rt ABC中，90ACB，以该三角形的三条边为边向形外 作正方形，正方形的顶点,E F G H M N都在同一个圆上记该圆面积为 1 S，ABC面积为 2 S，则 1 2 S S 的值是（ ） 5 / 17 A 5 2 B3 C5 D11 2 22 （ （2021 山东泰安市山东泰安市 中考真题）中考真题）如图，在ABC中，6AB ，以点 A 为圆心，3 为半径的圆与边BC相 切于点 D，与AC，AB分别交于点 E 和点 G，点 F 是优弧GE上一点，18CDE，则GFE的度数是 （ ） A50 B48 C45 D36 23 （ （2021 浙江绍兴市浙江绍兴市 中考真
10、题）中考真题） 如图， 正方形 ABCD 内接于 O， 点 P 在AB上， 则P的度数为 （ ） A30 B45 C60 D90 24 （ （2021 四川凉山彝族自治州四川凉山彝族自治州 中考真题）中考真题）点 P 是 O内一点，过点 P 的最长弦的长为10cm，最短弦的 长为6cm，则 OP 的长为（ ） A3cm B4cm C5cm D6cm 25 （ （2021 浙江嘉兴市浙江嘉兴市 中考真题）中考真题）已知平面内有 O和点A，B，若O半径为2cm，线段3cmOA， 2cmOB，则直线AB与O的位置关系为（ ） A相离 B相交 C相切 D相交或相切 26 （ （2021 四川泸州市四川
11、泸州市 中考真题）中考真题）在锐角 ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，有以下结 论：2 sinAsinBsinC acb R（其中 R 为ABC 的外接圆半径） 成立 在ABC 中， 若A=75 ， B=45 ， c=4，则ABC 的外接圆面积为（ ） A16 3 B 64 3 C16 D64 27（2021 四川自贡市四川自贡市 中考真题）中考真题） 如图， AB 为O 的直径， 弦CDAB 于点 F，OEAC于点 E， 若3OE ， 5OB，则 CD 的长度是（ ） A9.6 B4 5 C5 3 D19 6 / 17 28 （ （2020 广西贵港市广西贵港市 中考真题）
12、中考真题） 如图， 动点M在边长为 2 的正方形ABCD内， 且AM BM，P是CD 边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PEPM的最小值为（ ） A101 B 21 C 10 D51 29 （ （2020 四川广安市四川广安市 中考真题）中考真题）如图，点 A，B，C，D 四点均在圆 O 上，AOD=68 ，AO/DC，则B 的度数为（ ） A40 B60 C56 D68 30 （ （2019 广西玉林市广西玉林市 中考真题）中考真题）如图，在Rt ABC 中， 90C，4AC ，3BC ，点 O 是 AB 的三 等分点， 半圆 O 与 AC 相切， M， N 分别是 BC 与半圆弧上的
13、动点， 则 MN 的最小值和最大值之和是 （ ） A5 B6 C7 D8 二、填空题二、填空题 31 （ （2021 青海中考真题）青海中考真题） 点P是非圆上一点， 若点P到 O上的点的最小距离是4cm， 最大距离是9cm， 则O的半径是_ 32 （ （2021 北京中考真题）北京中考真题）如图， ,PA PB是O的切线，,A B是切点若 50P ，则AOB _ 33 （ （2021 山东聊城市山东聊城市 中考真题）中考真题）用一块弧长 16cm 的扇形铁片，做一个高为 6cm 的圆锥形工件侧面（接 缝忽略不计） ，那么这个扇形铁片的面积为_cm2 34 （ （2021 四川广元市四川广元市
14、 中考真题）中考真题）如图，在4 4的正方形网格图中，已知点 A、B、C、D、O 均在格点上， 其中 A、B、D 又在O上，点 E 是线段CD与O的交点则BAE的正切值为_ 7 / 17 35 （ （2021 四川资阳市四川资阳市 中考真题）中考真题）如图， 在矩形ABCD中，2cm,3cmABAD ，以点 B 为圆心，AB 长为半径画弧，交CD于点 E，则图中阴影部分的面积为_ 2 cm 36 （ （2021 江苏宿迁市江苏宿迁市 中考真题）中考真题）如图， 在 RtABC 中， ABC=90 ，A=32 ，点 B、 C 在 O上，边 AB、 AC 分别交O于 D、E 两点点 B 是CD的中
15、点，则ABE=_ 37 （ （2021 江苏宿迁市江苏宿迁市 中考真题）中考真题）已知圆锥的底面圆半径为 4，侧面展开图扇形的圆心角为 120 ，则它的 侧面展开图面积为_ 38 （ （2021 江苏南京市江苏南京市 中考真题）中考真题）如图，AB是 O的弦，C 是AB的中点，OC交AB于点 D若 8cm,2cmABCD，则O的半径为_cm 39 （ （2021 湖北随州市湖北随州市 中考真题）中考真题）如图，O是ABC的外接圆，连接AO并延长交 O于点D，若 50C，则BAD的度数为_ 40 （ （2021 湖南中考真题）湖南中考真题）如图，方老师用一张半径为18cm的扇形纸板，做了一个圆锥
16、形帽子（接缝忽略 不计） 如果圆锥形帽子的半径是10cm， 那么这张扇形纸板的面积是_ 2 cm（结果用含的式子表示） 41（2021 四川成都市四川成都市 中考真题）中考真题） 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 直线 32 3 33 yx与 O相交于 A， B 两点，且点 A 在 x 轴上，则弦AB的长为_ 8 / 17 42 （ （2021 重庆中考真题）重庆中考真题）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，分别以点 A，C 为圆心，AO 长 为半径画弧， 分别交 AB， CD 于点 E， F 若 BD4， CAB36 ， 则图中阴影部分的面积为_（结 果保留 ） 43
17、（ （2021 浙江宁波市浙江宁波市 中考真题）中考真题）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一如示 意图，,AC BD分别与O相切于点 C，D，延长,AC BD交于点 P若120P ，O的半径为6cm， 则图中CD的长为_cm （结果保留） 44 （ （2021 山东泰安市山东泰安市 中考真题）中考真题）若ABC为直角三角形，4ACBC ，以BC为直径画半圆如图所 示，则阴影部分的面积为_ 45 （ （2021 江苏连云港市江苏连云港市 中考真题）中考真题）如图，OA、OB是 O的半径，点 C 在O上，30AOB， 40OBC，则OAC_ 46 （ （2021 浙江温州市浙
18、江温州市 中考真题）中考真题）如图，O与OAB的边AB相切，切点为B将OAB绕点B按顺时 针方向旋转得到OAB ，使点 O 落在O上，边A B交线段AO于点C若25 A ，则OCB _度 47 （ （2021 甘肃武威市甘肃武威市 中考真题）中考真题）如图，从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90的扇形， 则此扇形的面积为_ 2 dm 9 / 17 48 （ （2021 四川凉山彝族自治州四川凉山彝族自治州 中考真题）中考真题）如图，等边三角形 ABC 的边长为 4， C的半径为 3，P 为 AB 边上一动点，过点 P 作C的切线 PQ，切点为 Q，则 PQ 的最小值为_ 49 （
19、（2021 四川凉山彝族自治州四川凉山彝族自治州 中考真题）中考真题）如图，将ABC绕点 C 顺时针旋转120得到 A B C已知 3,2ACBC，则线段 AB 扫过的图形（阴影部分）的面积为_ 50 （ （2021 重庆中考真题）重庆中考真题）如图，在菱形 ABCD 中，对角线12AC ，16BD，分别以点 A，B，C，D 为圆心，1 2 AB的长为半径画弧， 与该菱形的边相交， 则图中阴影部分的面积为_ （结果保留） 51 （ （2021 湖南常德市湖南常德市 中考真题）中考真题）如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，若BOD=80 ，则BCD 的 度数是_ 52 （ （2020 贵
20、州黔西南布依族苗族自治州贵州黔西南布依族苗族自治州 中考真题）中考真题）如图，在ABC 中，CACB，ACB90 ，AB2， 点 D 为 AB 的中点，以点 D 为圆心作圆心角为 90 的扇形 DEF，点 C 恰在弧 EF 上，则图中阴影部分的面积 为_ 53 （ （2020 广西中考真题）广西中考真题）如图，在 RtABC中，ABAC4，点 E，F 分别是 AB，AC 的中点，点 P 是 扇形 AEF 的EF上任意一点，连接 BP，CP，则 1 2 BP+CP 的最小值是_ 54 （ （2020 江苏盐城市江苏盐城市 中考真题）中考真题）如图，在O中，点A在BC上， 100 ,BOC则 BA
21、C_o 10 / 17 三、解答题三、解答题 55 （ （2021 甘肃武威市甘肃武威市 中考真题）中考真题）如图，内接于 是的直径的延长线上一点， 过圆心作的平行线交的延长线于点 （1）求证：是的切线； （2） 若，求的半径及的值； 56 （ （2021 四川资阳市四川资阳市 中考真题）中考真题）如图，在中， ，以为直径的交于点 D， 交的延长线于点 E， 交于点 F（1） 求证：是的切线；（2） 若， 求的长 57 （ （2021 四川凉山彝族自治州四川凉山彝族自治州 中考真题）中考真题）如图，在 中，AE 平分交 BC 于 点 E，点 D 在 AB 上，是的外接圆，交 AC 于点 F （
22、1）求证：BC 是的 切线； （2）若的半径为 5，求 ABC ,O DO AB DCBOACOBCDCECDO 4,6CDCEO tanOCB ABCABACABOBC DEACBAACDEOtan 3 6, 4 ACE AF CRt AB90CBAC DEAEORtADEO O8AC ADE S 11 / 17 58 （ （2021 四川泸州市四川泸州市 中考真题）中考真题）如图， ABC 是O 的内接三角形，过点 C 作O 的切线交 BA 的延长 线于点 F，AE 是O 的直径，连接 EC, （1）求证：； （2）若，于点， ，求的值 59（2021 江苏连云港市江苏连云港市 中考真题）
23、中考真题） 如图， 中， 以点 C 为圆心，为半径作， D 为上一点，连接 、，平分 （1）求证：是的切线； （2）延长、相交于点 E，若，求的值 60 （ （2021 云南中考真题）云南中考真题）如图，是的直径，点 C 是 上异于 A、B 的点，连接、，点 D 在的延长线上，且 ，点 E 在的延长线上，且 （1）求证：是的切线： （2）若，求的长 ACFBABBCADBCD 4FC 2FAAD AE Rt ABC90ABCCBC CADCDABADACBAD ADCADBC2 EDCABC SS tan BAC ABOOACBC BADCAABCDCBEDC DCO 2 ,3 3 OA BE
24、 OD DA 12 / 17 61 （ （2021 四川南充市四川南充市 中考真题）中考真题）如图，A，B 是上两点，且 ，连接 OB 并延长到点 C，使 ，连接 AC （1）求证：AC 是的切线 （2）点 D，E 分别是 AC，OA 的中点，DE 所在直线 交于点 F，G，求 GF 的长 62 （ （2021 浙江金华市浙江金华市 中考真题）中考真题）在扇形中，半径 ，点 P 在 OA 上，连结 PB，将沿 PB 折叠得到 （1）如图 1，若，且 与所在的圆相切于点 B求的度 数 求 AP 的长 （2） 如图 2，与相交于点 D，若点 D 为的中点，且，求的长 OABOA BCOBO O4O
25、A AOB6OAOBP O BP75OBO AB APO BO ABAB /PD OB AB 13 / 17 63 （ （2021 四川广元市四川广元市 中考真题）中考真题）如图，在 Rt 中，是的平分线，以 为直径的交边于点 E，连接，过点 D 作，交于点 F （1）求证：是的切线； （2）若，求线段的长 64 （ （2021 江苏宿迁市江苏宿迁市 中考真题）中考真题）如图，在 RtAOB 中，AOB=90 ，以点 O 为圆心，OA 为半径的圆交 AB 于点 C，点 D 在边 OB 上，且 CD= BD （1）判断直线 CD 与圆 O 的位置关系，并说明理由； （2）已知AB=40，求的半径
26、 ABC90ACBADBACAD OABCE/DFCEAB DFO5BD 3 sin 5 BDF 24 tan 7 DOC，O 14 / 17 65 （ （2021 湖北随州市湖北随州市 中考真题）中考真题）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法它是利用“同一个图形的 面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相 等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过 程简便快捷 （1）在直角三角形中，两直角边长分别为 3 和 4，则该直角三角形斜边上的高的长为_， 其内切圆的半径长为_； （2）如
27、图 1，是边长为的正内任意一点，点为的中 心，设点到各边距离分别为，连接，由等面积法，易知 ，可得_； （结果用含的式子表示） 如图 2， 是边长为的正五边形内任意一点， 设点到五边形各边距离分别为， ， ， 参照的探索过程， 试用含的式子表示的值（参考数据：， ） （3）如图 3，已知的半径为 2，点为外一点，切于点，弦， 连接，则图中阴影部分的面积为_； （结果保留） 如图 4，现有六边形花坛，由于修路等原因需将花坛进行改造若要将花坛形状改造成五边形 ，其中点在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点的位置，并说明 理由 P a ABCOABC PABC 1 h 2 h 3 h
28、APBPCP 123 1 2 3 ABCOAB hhhSaS 123 hhha P aABCDE PABCDE 1 h 2 h 3 h 4 h 5 ha 12345 hhhhh 8 tan36 11 11 tan54 8 OAO4OAABOB/BC OA AC ABCDEF ABCDGGAFG 15 / 17 66 （ （2021 湖北随州市湖北随州市 中考真题）中考真题）如图，是以为直径的 上一点，过点的切线交的延 长线于点， 过点作交的延长线于点， 垂足为点 （1） 求证：； （2） 若 的直径为 9，求线段的长；求线段的长 67 （ （2021 河北中考真题）河北中考真题）如图，的半径为
29、 6，将该圆周 12 等分后得到表盘模型，其中整钟点为 （ 为 112 的整数） ，过点作的切线交延长线于点 （1） 通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长； （2） 连接， 则和有什么特殊位置关系？ 请简要说明理由； （3）求切线长的值 DABODDEAB EBBCDEADCFABBCO AB 1 sin 3 A BFBE O n An 7 AO 111 A AP 711 A A 711 A A 711 A A 1 PA 7 PA 16 / 17 68 （ （2021 山东菏泽市山东菏泽市 中考真题）中考真题）如图，在中， 是直径，弦，垂足为，为上 一点，为弦延长线上一点，连接并延长交直径的延长
30、线于点，连接交于点， 若 （1）求证：是的切线； （2）若的半径为 8，求的长 69 （ （2020 内蒙古呼和浩特市内蒙古呼和浩特市 中考真题）中考真题）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段 进行研究，发现多处出现者名的黄金分割比如图，圆内接正五边形，圆心为 O， 与交于点 H，、与分别交于点 M、N根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进 行研究 （其它可同理得出） （1）求证：是等腰三角形且底角等于 36 ，并直接说出的形状； （2）求证：，且其比值； （3）由对称性知，由（1） （2）可知也是一个黄金分割数，据此求的值 OABCDABHE BC FDCFEABGAE
31、CDP FEFPFEOO 3 sin 5 F BG 51 0.618 2 ABCDE OABEACADBE ABMBAN BMBN BNBE 51 2 k AOBE MN BM sin18 17 / 17 70 （ （2019 山西中考真题）山西中考真题）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：莱昂哈德 欧拉(Leonhard Euler)是瑞 士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在 ABC 中，R 和 r 分别为外接圆和内切圆的半径，O 和 I 分别为其外心和内心，则. 如图 1，O 和I 分别是ABC 的外接圆和内切圆，I 与 AB 相切
32、分于点 F，设O 的半径为 R，I 的 半径为 r，外心 O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心 I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离 OI d，则有 d2R22Rr 下面是该定理的证明过程（部分） ： 延长 AI 交O 于点 D，过点 I 作O 的直径 MN，连接 DM，AN. D=N，DMI=NAI(同弧所对的圆周角相等)， MDIANI， 如图 2，在图 1(隐去 MD，AN)的基础上作O 的直径 DE，连接 BE，BD，BI，IF， DE 是O 的直径，DBE=90 ， I 与 AB 相切于点 F，AFI=90 ，DBE=IFA， BAD=E(同弧所对圆周角相等)，AIFEDB， ， 任务：(1)观察发现：， (用含 R，d 的代数式表示)； (2)请判断 BD 和 ID 的数量关系，并说明理由；(3)请观察式子和式子，并利用任务(1)，(2)的结论，按 照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；(4)应用：若ABC 的外接圆的半径为 5cm，内切圆的半 径为 2cm，则ABC 的外心与内心之间的距离为 cm. 22 2OIRRr IMID IAIN IA IDIM IN IAIF DEBD IA BDDE IF IMRdIN