1、专题15.解直角三角形一、单选题1（2021浙江温州市中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形若，则的值为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据勾股定理和三角函数求解【详解】在中， 在中，故选：A【点睛】本题主要考查勾股定理和三角函数如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么2（2021浙江金华市中考真题）如图是一架人字梯，已知米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（ ）A米B米C米D米【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据余弦的定义即可，得到答案【详解】过点A作，如
2、图所示：，故选：A【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键3（2021湖北随州市中考真题）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，已知，则梯子顶端上升了（ ）A1米B1.5米C2米D2.5米【答案】C【分析】根据梯子长分别利用三角函数的正弦定义求出CD=CEsin与AD=ABsin，两线段作差即可【详解】解：如图所示标记字母，根据题意得AB=CE=10米，sin，在RtECD中，sin，CD=，在RtABD中，sin，AC=CD-AD=8
3、-6=2故选择C【点睛】本题考查三角函数的定义，解直角三角形，掌握正弦与余弦的平方关系以及锐角三角函数的定义是解题关键4（2021湖南株洲市中考真题）某限高曲臂道路闸口如图所示，垂直地面于点，与水平线的夹角为，若米，米，车辆的高度为（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度当时，小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；当时，等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；当时，等于3.1米的车辆不可以通过该闸口则上述说法正确的个数为（ ）A0个B1个C2个D3个【答案】C【分析】三点共线，直接计算可得；做出辅助线，构造直角三角形，利用特殊角的三角函数，求出；方法同【详解】如图过E点作交的延长线于点M， 则当时,三点
4、共线， 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口，故正确当时，等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，故正确当时， 等于3.1米的车辆可以通过该闸口，故错误综上所述：说法正确的为：，共2个故选：C【点睛】本题考查了三角函数的应用，二次根式的估值，正确的作图，计算和对比选项是解题关键5（2021湖南衡阳市中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图自动扶梯的倾斜角为，大厅两层之间的距离为6米，则自动扶梯的长约为（）（ ）A7.5米B8米C9米D10米【答案】D【分析】结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案【详解】根据题意，得：米米故选：D【点睛】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角
5、函数的性质，从而完成求解6（2021天津中考真题）的值等于（ ）ABC1D2【答案】A【分析】根据30的正切值直接求解即可【详解】解：由题意可知，故选：A【点睛】本题考查30的三角函数，属于基础题，熟记其正切值即可7（2021重庆中考真题）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为，坡顶D到BC的垂直距离米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50，则建筑物AB的高度约为（参考数据：；）A69.2米B73.1米C80.0米D85.7米【答案】D【分析】作DFAB于F点，得到四边形DEBF为矩形，首先根据坡度的定义以
6、及DE的长度，求出CE，BE的长度，从而得到DF=BE，再在RtADF中利用三角函数求解即可得出结论【详解】如图所示，作DFAB于F点，则四边形DEBF为矩形，,斜坡CD的坡度（或坡比）为，在RtCED中，在RtADF中，ADF=50，将代入解得：，AB=AF+BF=35.7+50=85.7米，故选：D【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义，准确构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数是解题关键8（2021云南中考真题）在中，若，则的长是（ ）ABC60D80【答案】D【分析】根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解【详解】解：ABC=90，sin
7、A=，AC=100，BC=10035=60，AB=80，故选D【点睛】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键9（2021山东泰安市中考真题）如图，为了测量某建筑物的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60，建筑物底端B的俯角为45，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡的坡度根据小颖的测量数据，计算出建筑物的高度约为（ ）（参考数据：）A136.6米B86.7米C186.7米D86.6米【答案】A【分析】作DFAB于F点，
8、EGBC于G点，根据坡度求出DF=50，AF=120，从而分别在BEG和CEG中求解即可【详解】如图，作DFAB于F点，EGBC于G点，则四边形DFBG为矩形，DF=BG，斜坡的坡度，AD=130，DF=50，AF=120，BG=DF=50，由题意，CEG=60，BEG=45，BEG为等腰直角三角形，BG=EG=50，在RtCEG中，CG=EG=50，米，故选：A【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解坡度的定义，准确构建合适的直角三角形是解题关键10（2021重庆中考真题）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60，测得点
9、C距离通信基站MA的水平距离CB为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i=1：1.25若，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为（ ）（参考数据：）A9.0mB12.8mC13.1mD22.7m【答案】C【分析】分别解直角三角形和，求出NE和MB的长度，作差即可【详解】解：，DF的坡度i=1：1.25，解得，顶端M与顶端N的高度差为，故选：C【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形是解题的关键11（2021四川泸州市中考真题）在锐角ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：
10、（其中R为ABC的外接圆半径）成立在ABC中，若A=75，B=45，c=4，则ABC的外接圆面积为（ ）ABCD【答案】A【分析】方法一：先求出C，根据题目所给的定理， , 利用圆的面积公式S圆=方法二：设ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作ODAB于D，由三角形内角和可求C=60，由圆周角定理可求AOB=2C=120，由等腰三角形性质，OAB=OBA=，由垂径定理可求AD=BD=，利用三角函数可求OA=，利用圆的面积公式S圆=【详解】解:方法一：A=75，B=45，C=180-A-B=180-75-45=60，有题意可知，S圆=方法二：设ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作ODAB于
11、D，A=75，B=45，C=180-A-B=180-75-45=60，AOB=2C=260=120，OA=OB，OAB=OBA=，ODAB，AB为弦，AD=BD=，AD=OAcos30，OA=，S圆=故答案为A【点睛】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键12（2020柳州市柳林中学中考真题）如图，在RtABC中，C=90，AB=4，AC=3，则cosB=（）ABCD【答案】C【分析】直接利用勾股定理得出BC的长，再利用锐
12、角三角函数关系得出答案【详解】在RtABC中，C=90，AB=4，AC=3，故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义，正确掌握边角关系是解题关键13（2020山东济南市中考真题）如图，ABC、FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的央角PBE43，视线PE与地面BE的夹角PEB20，点A，F为视线与车窗底端的交点，AFBE，ACBE，FDBE若A点到B点的距离AB1.6m，则盲区中DE的长度是（ ）（参考数据：sin430.7，tan430.9，sin200.3，tan200.4）A2.6mB2.8mC3.4mD4.5m【答案】B【分析】首先证明四边形ACDF是
13、矩形，利用PBE的正弦值可求出AC的长，即可得DF的长，利用PEB的正切值即可得答案【详解】FDAB，ACEB，DFAC，AFEB，四边形ACDF是平行四边形，ACD90，四边形ACDF是矩形，DFAC，在RtACB中，ACB90，ABE=43，ACABsin431.60.71.12（m），DFAC1.12（m），在RtDEF中，FDE90，PEB=20，tanPEB0.4，DE2.8（m），故选：B【点睛】本题考查解直角三角形的应用及矩形的判定与性质，熟练掌握各三角函数的定义是解题关键14（2020贵州黔南布依族苗族自治州中考真题）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D
14、处测得旗杆顶端A的仰角为55，测角仪的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆的高度为x米，则下列关系式正确的是（ ）ABCD【答案】B【分析】根据仰角的定义和锐角三角函数解答即可【详解】解：在中，故选：B【点睛】本题考查了锐角三角函数和解直角三角形的实际应用注意数形结合思想的应用15（2020辽宁大连市中考真题）如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东方向，且与他相距，则图书馆A到公路的距离为（ ）ABCD【答案】A【分析】据题意可得OAB为直角三角形，AOB=30，OA=200m，根据三角函数定义即可求得AB的长【详解】解：由已知得，AOB=9060=3
15、0，OA=200m则AB=OA=100m故选：A【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用方向角问题，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键16（2020内蒙古赤峰市中考真题）如图，经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点.则CDO的正弦值是（ ）A B C D【答案】A【分析】连接BC，且BOC=90，用勾股定理求出BC的长度，CDO与OBC均为所对圆周角，所以sinCDO=sinOBC，即CDO的正弦值可求【详解】解：如下图所示，连接BC，A过原点O，且BOC=90，OB=4，OC=3，根据勾股定理可得：，又同弧所对圆周角相等，CD
16、O与OBC均为所对圆周角，CDO=OBC，故sinCDO=sinOBC=，故选：A【点睛】本题考察了勾股定理、同弧所对圆周角相等以及求角的正弦值，解题的关键在于找出CDO与OBC均为所对圆周角，求出OBC的正弦值即可得到答案17（2020江苏镇江市中考真题）如图，AB5，射线AMBN，点C在射线BN上，将ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQAB设APx，QDy若y关于x的函数图象（如图）经过点E(9，2)，则cosB的值等于（）ABCD【答案】D【分析】由题意可得四边形ABQP是平行四边形，可得APBQx，由图象可得当x9时，y2，此时点
17、Q在点D下方，且BQx9时，y2，如图所示，可求BD7，由折叠的性质可求BC的长，由锐角三角函数可求解【详解】解：AMBN，PQAB，四边形ABQP是平行四边形，APBQx，由图可得当x9时，y2，此时点Q在点D下方，且BQx9时，y2，如图所示，BDBQQDxy7，将ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，BCCDBD，ACBD，cosB，故选：D【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识理解函数图象上的点的具体含义是解题的关键18（2020吉林长春市中考真题）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的
18、夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点通过测量可得、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小下列关系式正确的是（ ）ABCD【答案】A【分析】确定所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解；【详解】由题可知，ABD是直角三角形，,选项B、C、D都是错误的，故答案选A【点睛】本题主要考查了解直角三角形中三角函数的定义理解，准确理解是解题的关键19（2020山东威海市中考真题）如图，矩形的四个顶点分别在直线，上若直线且间距相等，则的值为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据题意，可以得到BG的长，再根据ABG90，AB4，可以得到BAG的正切值，再根据平行线的性质，可
19、以得到BAG，从而可以得到tan的值【详解】解：作CFl4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，由已知可得GEBF，CEEF，CEGCFB，BC3，GB，l3l4，GAB，四边形ABCD是矩形，AB4，ABG90，tanBAG=，tan的值为，故选：A【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，矩形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答20（2020广东深圳市中考真题）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ） A2
20、00tan70米B米C200sin70米D 米【答案】B【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及PQT的度数，进而得到PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长【详解】解：在RtPQT中，QPT=90，PQT=90-70=20，PTQ=70，即河宽米，故选：B【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键21（2020湖南娄底市中考真题）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）A越来越小B不变C越来越大D无法确定【答案】A【分析】根据杠杆原理及的值随
21、着的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案【详解】解：动力动力臂=阻力阻力臂，当阻力及阻力臂不变时，动力动力臂为定值，且定值0，动力随着动力臂的增大而减小，杠杆向下运动时的度数越来越小，此时的值越来越大，又动力臂，此时动力臂也越来越大，此时的动力越来越小，故选：A【点睛】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本题的关键22（2020江苏扬州市中考真题）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（ ）ABCD【答案】A【分析】首先根据圆周角定理可知，ABC，在RtACB中，根据锐角三角函
22、数的定义求出ABC的正弦值【详解】和ABC所对的弧长都是，根据圆周角定理知，ABC，在RtACB中，AB=根据锐角三角函数的定义知，sinABC，=，故选A【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求的正弦值转化成求ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题23（2020湖南湘西土家族苗族自治州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边则点C到x轴的距离等于（ ）ABCD【答案】A【分析】作CEy轴于E解直角三角形求出OD，DE即可解决问题【详解】作CEy轴于E在RtOAD中，AOD
23、=90，AD=BC=，OAD=，OD=，四边形ABCD是矩形，ADC=90，CDE+ADO=90，又OAD+ADO=90，CDE=OAD=，在RtCDE中，CD=AB=，CDE=，DE=，点C到轴的距离=EO=DE+OD=，故选：A【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键24（2019浙江中考真题）如图，矩形的对角线交于点O，已知则下列结论错误的是（ ）A B C D【答案】C【分析】根据矩形的性质得出ABCDCB90，ACBD，AOCO，BODO，ABDC，再解直角三角形判定各项即可【详解】选项A，四边形ABCD是矩形，ABCDCB90，ACBD，AOCO
24、，BODO，AOOBCODO，DBCACB，由三角形内角和定理得：BACBDC，选项A正确； 选项B，在RtABC中，tan，即BCmtan，选项B正确；选项C，在RtABC中，AC，即AO，选项C错误；选项D，四边形ABCD是矩形，DCABm，BACBDC，在RtDCB中，BD，选项D正确.故选C【点睛】本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键25（2019山东中考真题）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30，则甲楼高度为（ ）A11米B（3615）米C15米D（3610）米【答案】D【分析】分析题意可得：过点A作AEBD
25、，交BD于点E；可构造RtABE，利用已知条件可求BE；而乙楼高ACEDBDBE【详解】解：过点A作AEBD，交BD于点E，在RtABE中，AE30米，BAE30，BE30tan3010（米），ACEDBDBE（3610）（米）甲楼高为（3610）米故选D【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.26（2019四川绵阳市中考真题）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则( )ABCD【答案】A【分析】根据正方形的面积公式可
26、得大正方形的边长为，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解【详解】解：大正方形的面积是125，小正方形面积是25，大正方形的边长为，小正方形的边长为5，故选A【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出27（2019重庆中考真题）如图，AB是垂直于水平面的建筑物为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角为（点A，B，C，D，E在同一平面内）斜坡CD的坡度（或坡比），那么建筑物A
27、B的高度约为（ ）（参考数据，）A65.8米B71.8米C73.8米D119.8米【答案】B【分析】过点E作与点M，根据斜坡CD的坡度（或坡比）可设，则，利用勾股定理求出x的值，进而可得出CG与DG的长，故可得出EG的长由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论【详解】解：过点E作与点M，延长ED交BC于G，斜坡CD的坡度（或坡比），米，设，则在中，即，解得，米，米，米，米，四边形EGBM是矩形，米，米在中，米，米故选B【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键三、填空题2
28、8（2021四川广元市中考真题）如图，在的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在上，点E是线段与的交点则的正切值为_【答案】【分析】由题意易得BD=4，BC=2，DBC=90，BAE=BDC，然后根据三角函数可进行求解【详解】解：由题意得：BD=4，BC=2，DBC=90，BAE=BDC，故答案为【点睛】本题主要考查三角函数及圆周角定理，熟练掌握三角函数及圆周角定理是解题的关键29（2021浙江衢州市中考真题）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD
29、，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得，（1）椅面CE的长度为_cm（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角的度数达到最小值时，A，B两点间的距离为_cm（结果精确到0.1cm）（参考数据：，）【答案】40 12.5 【分析】（1）过点C作CM垂直AF，垂足为M，列比例求出CM长度，则CE=AB-CM；（2）根据图2可得，对应袋图3中求出CD长度，列比例求AB即可【详解】解：（1）过点C作CM垂直AF，垂足为M，椅面CE与地面平行，解得：CM=8cm，CE=AB-CM=48-8=40cm；故答案为：40；（2）在图2中，椅面CE与地面平
30、行，H是CD的中点，椅面CE与地面平行，图3中，过H点作CD的垂线，垂足为N，因为 ，解得：，故答案为：12.5【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识点，找到对应相似三角形并正确列出比例是解决本题的关键30（2021浙江绍兴市中考真题）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上若，则BC长为_cm（结果保留根号）【答案】【分析】根据题意即可求得MOD=2NOD，即可求得NOD=30，从而得出ADB=30，再解直角三角形ABD即可【详解】解：时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中
31、心在矩形ABCD对角线的交点O，MOD=2NOD， MOD+NOD=90，NOD=30，四边形ABCD是矩形，AD/BC，A=90，AD=BC，ADB=NOD=30，故答案为：【点睛】本题考查的矩形的性质、解直角三角形等知识；理解题意灵活运用所学知识得出NOD=30是解题的关键31（2021湖北武汉市中考真题）如图，海中有一个小岛，一艘轮船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上；航行到达点，这时测得小岛在北偏东方向上小岛到航线的距离是_（，结果用四舍五入法精确到0.1）【答案】10.4【分析】过点A作ADBC，垂足为D，根据题意，得ABC=30，ACD=60，从而得到AC=BC=12,利用s
32、in60=计算AD即可【详解】过点A作ADBC，垂足为D，根据题意，得ABC=30，ACD=60，ABC=CAB=30，AC=BC=12,sin60=，AD=AC sin60=12=610.4故答案为：10.4.【点睛】本题考查方位角，解直角三角形，准确理解方位角的意义，构造高线解直角三角形是解题的关键32（2021四川乐山市中考真题）如图，已知点，点为直线上的一动点，点，于点，连接若直线与正半轴所夹的锐角为，那么当的值最大时，的值为_【答案】【分析】设直线y2与y轴交于G，过A作AH直线y2于H，AFy轴于F，根据平行线的性质得到ABH，由三角函数的定义得到，根据相似三角形的性质得到比例式，
33、于是得到GB（n+2）（3n）（n）2，根据二次函数的性质即可得到结论【详解】解：如图，设直线y2与y轴交于G，过A作AH直线y2于H，AFy轴于F，BHx轴，ABH，在RtABH中， ,，即= sin随BA的减小而增大，当BA最小时sin有最大值；即BH最小时，sin有最大值，即BG最大时，sin有最大值，BGCACBAFC90，GBC+BCGBCG+ACF90，GBCACF，ACFCBG，即，BG（n+2）（3n）（n）2，当n时，BG最大值故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线证得ACFCBG是解题的关键33（2021四川乐山市
34、中考真题）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点处测得石碑顶点的仰角为，她朝石碑前行5米到达点处，又测得石顶点的仰角为，那么石碑的高度的长_米（结果保留根号）【答案】【分析】先根据已知条件得出ADC是等腰三角形，再利用AB=sin60AD计算即可【详解】解：由题意可知：A=30，ADB=60CAD=30ADC是等腰三角形，DA=DC又DC=5米故AD=5米在RtADB中，ADB=60AB=sin60AD=米故答案为：【点睛】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形，熟练记忆特殊角的锐角三角函数值是关键34（2021浙江中考真题）如图，已知在中，则的值是_【答案】【分析】在直角三角形
35、中，锐角的正弦=锐角的对边：直角三角形的斜边，根据定义直接可得答案【详解】解： ， 故答案为：【点睛】本题考查的是锐角的正弦的含义，掌握锐角的正弦的定义是解题的关键35（2021浙江宁波市中考真题）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上，G为中点，连结分别与交于M，N两点，若，则的长为_，的值为_【答案】2 【分析】由与关于直线对称，矩形证明再证明 可得 再求解 即可得的长； 先证明 可得： 设 则 再列方程，求解 即可得到答案【详解】解： 与关于直线对称，矩形 矩形 为的中点， 如图， 四边形都是矩形， 设 则 解得： 经检验：是原方程的根，但不合题意，舍去， 故答
36、案为：【点睛】本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，分式方程的解法，掌握以上知识是解题的关键36（2021四川乐山市中考真题）在中，有一个锐角为，若点在直线上（不与点、重合），且，则的长为_【答案】或或2【分析】依据题意画出图形，分类讨论，解直角三角形即可【详解】解：情形1：，则，是等边三角形，；情形2：，则，解得；情形3：，则，；故答案为：或或2【点睛】本题考查解直角三角形，掌握分类讨论的思想是解题的关键37（2021浙江杭州市中考真题）sin30的值为_【答案】【详解】根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30=38（2020贵州黔南布
37、依族苗族自治州中考真题）如图所示，在四边形中，连接，若，则长度是_【答案】10【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算，再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出【详解】解：在中，在中，故答案为：10【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，利用直角三角形的边角间关系，求出AC是解决本题的关键39（2020辽宁阜新市中考真题）如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角，两树间的坡面距离，则这两棵树的水平距离约为_m（结果精确到，参考数据：）【答案】4.7【分析】如图所示作出辅助线，得到BAC=20，AB=5，再利用余弦的定义，得到即可解答【详解】解：如图所示，
38、过点A作AC平行于水平面，过点B作BCAC于点C，则AC为所求，由题意可知：BAC=20，AB=5，则，即，故答案为：4.7【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是作出辅助线，熟悉余弦的定义40（2020湖北荆州市中考真题）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步，已知此步道外形近似于如图所示的，其中，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB的正中位置，E地与C地相距1km，若，小张某天沿路线跑一圈，则他跑了_km【答案】24【分析】过点作，设，则，在中，根据勾股定理得到，进一步求得，再根据三角函数可求，可得，从而求解【详解】解：过点
39、作，设，在中，地在正中位置，又，小张某天沿路线跑一圈，他跑了故答案为：24【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题41（2020湖北省直辖县级行政单位中考真题）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60方向，此时轮船与小岛的距离为_海里【答案】20【分析】过点A作ACBD，根据方位角及三角函数即可求解【详解】如图，过点A作ACBD，依题意可得ABC=45ABC是等腰直
40、角三角形，AB=20(海里)AC=BC=ABsin45=10(海里)在RtACD中，ADC=90-60=30AD=2AC=20 (海里)故答案为：20【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值42（2020湖北孝感市中考真题）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长为_（结果保留根号）【答案】【分析】如图（见解析），先在中，解直角三角形可求出CF的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得DE的长，从而可得CE的长，然后根据线段的和差即可得【详解】如图，过A作，交DF于点E，则四边形ABFE是矩形由图中数据可知，在中，即解得是等腰三角形则的长为故答案为：【点睛
41、】本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握解直角三角形的方法是解题关键三、解答题43（2021青海中考真题）如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度米，且两扇门的大小相同（即），将左边的门绕门轴向里面旋转，将右边的门绕门轴向外面旋转，其示意图如图2，求此时与之间的距离（结果保留一位小数）（参考数据，）【答案】1.4米【分析】作BEAD于点E，作CFAD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，则EM=BC，在RtABE、RtCDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在RtMEF中利用勾股定理即可求出EM的长，此题得解【详解】解：作BEAD于点E，作CFAD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示AB=CD，AB+CD=AD=2，AB=CD=1在RtABE中，AB=1，A=35，BE=ABsinA=0.6，AE=ABcosA0.8在RtCDF中，CD=1，D=45，CF=CDsinD0.7，DF=CDcosD0.7BEAD