1、专题21 与圆有关的压轴题 一、填空题1（2021广西玉林市中考真题）如图、在正六边形中，连接线，与交于点，与交于点为，与交于点，分别延长，于点，设有以下结论：；的重心、内心及外心均是点；四边形绕点逆时针旋转与四边形重合则所有正确结论的序号是_【答案】【分析】由题意易得，则有，进而可得，则有四边形是矩形，然后可得，为等边三角形，最后可得答案【详解】解：六边形是正六边形，在DEF中，同理可得，四边形是矩形，同理可证四边形是矩形，四边形是平行四边形，（ASA），四边形是菱形，NAM=60，NAM是等边三角形，AM=MN，AB=3，MAB=30，ACG=90，G=60，ADG是等边三角形，AC与BD
2、交于点M，由等边三角形的性质及重心、内心、外心可得：的重心、内心及外心均是点，连接OF，如图所示：易得FOA=60，四边形绕点逆时针旋转与四边形重合，综上所述：正确结论的序号是；故答案为【点睛】本题主要考查正多边形的性质、矩形及菱形的判定与性质、等边三角形的性质与判定、三角形的重心、内心、外心及三角函数，熟练掌握正多边形的性质、矩形及菱形的判定与性质、等边三角形的性质与判定、三角形的重心、内心、外心及三角函数是解题的关键2（2021内蒙古通辽市中考真题）如图，是O的弦，点C是O上的一个动点，且，若点M，N分别是，的中点，则图中阴影部分面积的最大值是_【答案】【分析】阴影面积由弓形ADB面积加上
3、MNB的面积，而弓形面积不变，因此只需要求出MNB的最大面积，由M,N为AB,BC的中点，所以MN是ABC的中位线，所以BMNBAC，所以SBMN=SABC，求出ABC的最大面积即可，而AB边为定值，当点C到AB的距离最大，三角形面积最大，当CMAB时，三角形面积最大，即可求出阴影面积最大值【详解】连接OA,OB，连接OM，如图 ,，M为AB中点，OMAB，, ,设OM=x，则AO=2x，在RtAOM中 即 ，解得x=1，即 ,S弓形ADB=S扇形OADB=，M,N为边AB,BC的中点，AC，,当C,O,M在同一直线上时，ABC的面积最大，由垂径定理可知，AC=BC,又ACB=60，ABC为等
4、边三角形， ,在RtACM中，,的最大值为： ,阴影面积的最大值为：故填：【点睛】本题考查弓形面积，扇形面积，圆心角与圆周角关系，三角形的中位线，相似三角形的性质，垂径定理，勾股定理，解题关键是将不规则面积转化为规则图形的面积3（2021黑龙江中考真题）如图，在中，以点为圆心，3为半径的，与交于点，过点作交于点，点是边上的点，则的最小值为_【答案】【分析】延长CO，交于一点E，连接PE，由题意易得，则有，CP=PE，然后可得，要使的值为最小，即的值为最小，进而可得当D、P、E三点共线时最小，最后求解即可【详解】解：延长CO，交于一点E，连接PE，如图所示：，以点为圆心，3为半径的，CP=PE，
5、CP=PE，则要使的值为最小，即的值为最小，当D、P、E三点共线时最小，即，如图所示：在RtDCE中，的最小值为；故答案为【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质、勾股定理、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质、勾股定理、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键4（2021湖南岳阳市中考真题）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，为的外接圆，过点作的切线交于点，则下列结论正确的是_（写出所有正确结论的序号） ；若，则的长为；若，则【答案】【分析】根据线段垂直平分线定理即可得出结论；根据段垂直平分线得出A+AED=90，再证A+ABC=90，等量代换即可；
6、根据已知条件先得出EBC的度数，再利用圆周角定理得EOC=2EBC，根据弧长公式计算即可；根据角角相似证明EFDBFE即可得出结论先根据勾股定理得出BF的长，再根据等面积法得出ED，根据角角相似证明RtADERtACB，得出，即可计算出结果【详解】解:DE是的垂直平分线故正确DE是的垂直平分线DEABA+AED=90A+ABC=90故正确连接OCDE是的垂直平分线EBD=A=40在RtABC中，ABC=90-40=50EBC=50-40=10EOC=2EBCEOC=20故错误DEAB，F是的切线FEB=EDF=90又EFD=EFDEFDBFE故正确，BF=在RtEDB中，DE是的垂直平分线，A
7、E=BE=8在RtADE和RtACE中A=A,ADE=ACB=90RtADERtACBAC=10.24又AE=BE=8CE=AC-AE=10.24-8=2.24故正确 故答案为：【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质及定理、勾股定理、切线的性质、等面积法是常用的计算边长的方法、灵活进行角的转换是关键5（2020内蒙古呼和浩特市中考真题）已知为O的直径且长为，为O上异于A，B的点，若与过点C的O的切线互相垂直，垂足为D若等腰三角形的顶角为120度，则；若为正三角形，则；若等腰三角形的对称轴经过点D，则；无论点C在何处，将沿折叠，点D一定落在直径上，其中正确结论的
8、序号为_【答案】【分析】过点O作OEAC，垂足为E， 求出CAD=30，得到CD=AC，再说明OE=r，利用OCACOE，得到CEOE，即可判断；过点A作AEOC，垂足为E，证明四边形AECD为矩形，即可判断；画出图形，证明四边形AOCD为矩形，即可判断；过点C作CEAO，垂足为E，证明ADCAEC，从而说明AC垂直平分DE，得到点D和点E关于AC对称，即可判断.【详解】解：AOC=120，CAO=ACO=30，CD和圆O相切，ADCD，OCD=90，ADCO，ACD=60，CAD=30，CD=AC，过点O作OEAC，垂足为E，则CE=AE=AC=CD，而OE=OC=r，OCACOE，CEOE
9、，CDr，故错误； 若AOC为正三角形，AOC=OAC=60，AC=OC=OA=r，OAE=30，OE=AO，AE=AO=r，过点A作AEOC，垂足为E，四边形AECD为矩形，CD=AE=r，故正确；若等腰三角形AOC的对称轴经过点D，如图，AD=CD，而ADC=90，DAC=DCA=45，又OCD=90，ACO=CAO=45DAO=90，四边形AOCD为矩形， CD=AO=r，故正确； 过点C作CEAO，垂足为E，连接DE，OCCD，ADCD，OCAD，CAD=ACO，OC=OA，OAC=ACO，CAD=OAC，CD=CE，在ADC和AEC中，ADC=AEC，CD=CE，AC=AC，ADCA
10、EC（HL），AD=AE，AC垂直平分DE，则点D和点E关于AC对称，即点D一定落在直径上，故正确.故正确的序号为：，故答案为：.【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，切线的性质，垂径定理，知识点较多，多为一些性质定理，解题时要逐一分析，利用性质定理进行推导.6（2019湖南岳阳市中考真题）如图，AB为O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是_.(写出所有正确结论的序号)AM平分CAB；AM2ACAB；若AB4，APE30，则的长为；若AC
11、3，BD1，则有CMDM.【答案】【分析】连接OM，由切线的性质可得OMPC，继而得OMAC，再根据平行线的性质以及等边对等角即可求得CAMOAM，由此可判断；通过证明ACMAMB，根据相似三角形的对应边成比例可判断；求出MOP60，利用弧长公式求得的长可判断；由BDPC，ACPC，OMPC，可得BDAC/OM，继而可得PB=OB=AO，PD=DM=CM，进而有OM=2BD2，在RtPBD中，PB=BO=OM=2，利用勾股定理求出PD的长，可得CMDMDP，由此可判断.【详解】连接OM，PE为O的切线，OMPC，ACPC，OMAC，CAMAMO，OAOM，OAMAMO，CAMOAM，即AM平分
12、CAB，故正确；AB为O的直径，AMB90，CAMMAB，ACMAMB，ACMAMB，AM2ACAB，故正确；APE30，MOPOMPAPE903060，AB4，OB2，的长为，故错误；BDPC，ACPC，OMPC，BDAC/OM，PBDPAC，PBPA，又AO=BO，AO+BO=AB，AB+PB=PA，PB=OB=AO，又BDAC/OM，PD=DM=CM，OM=2BD2，在RtPBD中，PB=BO=OM=2PD=，CMDMDP，故正确，故答案为.【点睛】本题考查了切线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解
13、题的关键.二、解答题1（2021黑龙江中考真题）已知是的外接圆，为的直径，点为的中点，连接并延长交于点，连接，交于点（1）如图1，求证：；（2）如图2，过点作，交于点，交于点，连接，若，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，求的长 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据直角三角形的性质可进行求解；（2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证；（3）延长GD，交于点H，连接BG、OH、HE，由（2）可得是等腰直角三角形，则有，然后可得，进而可证四边形AGOD是平行四边形，AG=EH，则有，然后可得，最后问题可求解【详解】证明：（1）为的
14、直径，点为的中点，；（2），OG=OB，OD=OD，；（3）延长GD，交于点H，连接BG、OH、HE，如图所示：由（2）可得，是等腰直角三角形，四边形AGOD是平行四边形，点为的中点，即，是等腰直角三角形，【点睛】本题主要考查圆的综合、勾股定理、三角函数及等腰直角三角形的性质，熟练掌握圆的综合、勾股定理、三角函数及等腰直角三角形的性质是解题的关键2（2021江苏扬州市中考真题）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考：（1）这样的点A唯一吗？（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在
15、以为弦的圆弧上（点B、C除外），小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决该弧所在圆的半径长为_；面积的最大值为_；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明；（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，点P在直线的左侧，且线段长的最小值为_；若，则线段长为_【答案】（1）2；（2）见解析；（3）；【分析】（1）设O为圆心，连接BO，CO，根据圆周角定理得到BOC=60，证明OBC是等边三角形，可得半径；过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆
16、于D，以BC为底，则当A与D重合时，ABC的面积最大，求出OE，根据三角形面积公式计算即可；（2）延长BA，交圆于点D，连接CD，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可；（3）根据，连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，PD为半径画圆，可得点P在优弧CPD上，连接BQ，与圆Q交于P，可得BP即为BP的最小值，再计算出BQ和圆Q的半径，相减即可得到BP；根据AD，CD和推出点P在ADC的平分线上，从而找到点P的位置，过点C作CFPD，垂足为F，解直角三角形即可求出DP【详解】解：（1）设O为圆心，连接BO，CO，BAC=30，BOC=60，又OB=OC，OBC是等边三角形，OB=OC=BC
17、=2，即半径为2；ABC以BC为底边，BC=2，当点A到BC的距离最大时，ABC的面积最大，如图，过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，BE=CE=1，DO=BO=2，OE=，DE=，ABC的最大面积为=；（2）如图，延长BA，交圆于点D，连接CD，点D在圆上，BDC=BAC，BAC=BDC+ACD，BACBDC，BACBAC，即BAC30；（3）如图，当点P在BC上，且PC=时，PCD=90，AB=CD=2，AD=BC=3，tanDPC=，为定值，连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，PD为半径画圆，当点P在优弧CPD上时，tanDPC=，连接BQ，与圆Q交于P，此时BP即为
18、BP的最小值，过点Q作QEBE，垂足为E，点Q是PD中点，点E为PC中点，即QE=CD=1，PE=CE=PC=，BE=BC-CE=3-=，BQ=，PD=，圆Q的半径为，BP=BQ-PQ=，即BP的最小值为；AD=3，CD=2，则，PAD中AD边上的高=PCD中CD边上的高，即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，则点P到AD和CD的距离相等，即点P在ADC的平分线上，如图，过点C作CFPD，垂足为F，PD平分ADC，ADP=CDP=45，CDF为等腰直角三角形，又CD=2，CF=DF=，tanDPC=，PF=，PD=DF+PF=【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三
19、角形的判定和性质，最值问题，解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点P的轨迹4（2021浙江温州市中考真题）如图，在平面直角坐标系中，经过原点，分别交轴、轴于，连结直线分别交于点，（点在左侧），交轴于点，连结（1）求的半径和直线的函数表达式（2）求点，的坐标（3）点在线段上，连结当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长【答案】（1）半径为，直线的函数表达式为；（2）点为，点为；（3）5，10或【分析】（1）由，确定点为，再利用两点间距离公式求解即可得到半径的长，利用待定系数法可直接得到直线CM的函数表达式；（2）先作辅助线构造相似三角形，求出
20、，即可得到点为，点为；（3）先作辅助线，得到，再分三种情况讨论，通过作轴于点，证出点为符合条件的点，再分别讨论当时和时的情况，分别得到和的值，最后完成求解【详解】解：（1），为的直径，点为，半径为设直线的函数表达式为把，代入得，解得直线的函数表达式为；M 的半径为，直线 CM 的函数表达式为（2）过点作轴平行线，点作轴平行线交于点，作轴于点（如图1），且，点为点，关于点对称，点为（3）作轴于点，分三种情况（如图2）：作轴于点，即点为符合条件的一个点当时，（），当时，,，综上所述，当与的一个内角相等时，的长为5，10或【点睛】本题综合考查了平面直角坐标系、圆、待定系数法求函数解析式、勾股定理、相
21、似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等内容，要求学生根根据题意找到相等关系建立方程求解，本题综合性很强，对学生的分析能力要求较高，解决本题的关键是能通过作辅助线构造相似三角形以及牢记相关概念、性质和公式等，本题蕴含了分类讨论的思想方法4（2021北京中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”（1）如图，点的横纵坐标都是整数在线段中，的以点为中心的“关联线段”是_；（2）是边长为1的等边三角形，点，其中若是的以点为中心的“关联线段”，求的值；（3）在中，若是的以点为中心的“关联
22、线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长【答案】（1）；（2）；（3）当时，此时；当时，此时【分析】（1）以点A为圆心，分别以为半径画圆，进而观察是否与有交点即可；（2）由旋转的性质可得是等边三角形，且是的弦，进而画出图象，则根据等边三角形的性质可进行求解；（3）由是的以点为中心的“关联线段”，则可知都在上，且，然后由题意可根据图象来进行求解即可【详解】解：（1）由题意得：通过观察图象可得：线段能绕点A旋转90得到的“关联线段”，都不能绕点A进行旋转得到；故答案为；（2）由题意可得：当是的以点为中心的“关联线段”时，则有是等边三角形，且边长也为1，当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：设与
23、y轴的交点为D，连接，易得轴，；当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：同理可得此时的，； （3）由是的以点为中心的“关联线段”，则可知都在上，且，则有当以为圆心，1为半径作圆，然后以点A为圆心，2为半径作圆，即可得到点A的运动轨迹，如图所示：由运动轨迹可得当点A也在上时为最小，最小值为1，此时为的直径，；由以上情况可知当点三点共线时，OA的值为最大，最大值为2，如图所示：连接，过点作于点P，设，则有，由勾股定理可得：，即，解得：，在中，；综上所述：当时，此时；当时，此时【点睛】本题主要考查旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、圆的基本性质、三角函数及等边三角形
24、的性质是解题的关键5（2021江苏泰州市中考真题）如图，在O中，AB为直径，P为AB上一点，PA1，PBm（m为常数，且m0）过点P的弦CDAB，Q为上一动点（与点B不重合），AHQD，垂足为H连接AD、BQ（1）若m3求证：OAD60；求的值；（2）用含m的代数式表示，请直接写出结果；（3）存在一个大小确定的O，对于点Q的任意位置，都有BQ22DH2+PB2的值是一个定值，求此时Q的度数【答案】（1）见解析；2；（2）；（3）存在半径为1的圆，45【分析】（1）连接OD，则易得CD垂直平分线段OA，从而OD=AD，由OA=OD，即可得OAD是等边三角形，从而可得结论； 连接AQ，由圆周角定理
25、得：ABQ=ADH，从而其余弦值相等，因此可得 ，由可得AB、AD的值，从而可得结论；（2）连接AQ、BD， 首先与（1）中的相同，有，由APDADB，可求得AD的长，从而求得结果；（3）由（2）的结论可得：，从而BQ22DH2+PB2当m=1时，即可得是一个定值，从而可求得Q的值【详解】（1）如图，连接OD，则OA=ODAB=PA+PB=1+3=4OA= OP=AP=1即点P是线段OA的中点CDABCD垂直平分线段OAOD=ADOA=OD=AD即OAD是等边三角形OAD=60 连接AQAB是直径AQBQ根据圆周角定理得：ABQ=ADH，AHDQ 在RtABQ和RtADH中AD=OA=2，AB
26、=4（2）连接AQ、BD与（1）中的相同，有AB是直径 ADBDDAB+ADP=DAB+ABD=90ADP=ABD RtAPDRtADB AB=PA+PB=1+m （3）由（2）知，BQ=即 BQ22DH2+PB2= 当m=1时，BQ22DH2+PB2是一个定值，且这个定值为1，此时PA=PB=1，即点P与圆心O重合CDAB，OA=OD=1 AOD是等腰直角三角形OAD=45OAD与Q对着同一条弧 Q=OAD=45 故存在半径为1的圆，对于点Q的任意位置，都有BQ22DH2+PB2的值是一个定值1，此时Q的度数为45.【点睛】本题是圆的综合，它考查了圆的基本性质，锐角三角函数，相似三角形的判定
27、与性质，等边三角形的判定与性质等知识，难点是第（3）问，得出BQ22DH2+PB2后，当m=1即可得出BQ22DH2+PB2是一个定值6（2021浙江台州市中考真题）如图，BD是半径为3的O的一条弦，BD4，点A是O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作平行四边形ABCD（1）如图2，若点A是劣弧的中点求证：平行四边形ABCD是菱形；求平行四边形ABCD的面积（2）若点A运动到优弧上，且平行四边形ABCD有一边与O相切求AB的长；直接写出平行四边形ABCD对角线所夹锐角的正切值【答案】证明见解析；（2）AB的长为或；【分析】（1）利用等弧所对的弦相等可得，根据一组邻边相等的平行
28、四边形是菱形可得证；连接AO，交BD于点E，连接OD，根据垂径定理可得，利用勾股定理求出OE的长，即可求解；（2）分情况讨论当CD与相切时、当BC与相切时，利用垂径定理即可求解；根据等面积法求出AH的长度，利用勾股定理求出DH的长度，根据正切的定义即可求解【详解】解：（1）点A是劣弧的中点，四边形ABCD是平行四边形，平行四边形ABCD是菱形；连接AO，交BD于点E，连接OD， ，点A是劣弧的中点，OA为半径，OA平分BD，平行四边形ABCD是菱形，E为两对角线的交点，在中，,，；（2）如图，当CD与相切时，连接DO并延长，交AB于点F， ，CD与相切，四边形ABCD是平行四边形，在中，在中，
29、解得，；如图，当BC与相切时，连接BO并延长，交AD于点G，同理可得，所以,综上所述，AB的长为或；过点A作，由（2）得： 根据等面积法可得，解得，在在中，【点睛】本题考查垂径定理、平行四边形的判定与性质、解直角三角形等内容，掌握分类讨论的思想是解题的关键7（2021四川成都市中考真题）如图，为的直径，C为上一点，连接，D为延长线上一点，连接，且（1）求证：是的切线；（2）若的半径为，的面积为，求的长；（3）在（2）的条件下，E为上一点，连接交线段于点F，若，求的长【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）连接可证得，从而得是的切线；（2）过点C作于点M，可得，再证明COMDOC，进而
30、得到；（3）过点E作于点N，连接，证明FCMFEN，利用相似可得，再证明RtCOMRtOEN，通过全等可得ON=CM=2，进而根据已知条件得到【详解】（1）证明：连接，AB为O直径，ACB90，CAB+CBO90，又OBOC，CBOBCO，CAB+BCO90BCDA，BCD+BCO90，OCCDCD为O切线；（2）过点C作于点M，的半径为，AB=，的面积为，CM=2，在RtCMO中，CO=，CM=2，OM=1，由（1）得OCD=CMO=90，COM=COD，COMDOC， ，（3）过点E作于点N，连接，FCMFEN， ，由（2）得CM=2，OM=1， EN=OM=1，OC=OE，RtCOMRt
31、OEN，ON=CM=2，MN=3，FM=2，OM=1，OF=1，BF=OB+OF，【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，解答本题需要我们熟练掌握各部分的内容，要注意将所学知识贯穿起来8（2021广西来宾市中考真题）如图，已知，是的直径，与的边，分别交于点，连接并延长，与的延长线交于点，（1）求证：是的切线；（2）若，求的值；（3）在（2）的条件下，若的平分线交于点，连接交于点，求的值【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）连接DF，由圆周角性质可得，则利用平行线的判定与性质可得，再根据等腰三角形性质及直角三角形性质可推出，即可证得结论；（2）
32、由相似三角形的判定可得，则推出，由得出，可利用勾股定理求得，即可求出的值；（3）连接MN，并延长CO与AF，分别相交于点P，点Q，连接AQ，利用（2）所得结论及已知分别求得，再由相似三角形的判定及性质可推出，代入求值后即可求得的值【详解】（1）证明：如图，连接DF，是的直径，DFAE四边形ABCD是平行四边形，AEOCDFOC，是的切线（2）解：，设，则由勾股定理得，即，解得，（不合题意，舍去），（3）解：连接MN，并延长CO与AF，分别相交于点P，点Q，连接AQ，四边形ABCD是平行四边形，ABOC，平分，ABOC，在RtAPO中，由勾股定理得在RtAPH中，由勾股定理得，【点睛】本题属于圆
33、的综合问题，考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质及求角的三角函数值等知识，熟练掌握圆的相关知识及相似三角形的判定与性质等知识是解题的关键9（2021四川宜宾市中考真题）如图1，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CDACBD（1）判断直线CD与O的位置关系，并说明理由；（2）若tanADC，AC2，求O的半径；（3）如图2，在（2）的条件下，ADB的平分线DE交O于点E，交AB于点F，连结BE求sinDBE的值【答案】（1）见详解；（2）3；（3）【分析】（1）CD与O相切，理由：连接OD，先判断出CDAODB，再根据ADBADOODB90，判断出CDO90，即可得
34、出结论；（2）先判断出tanCBD，进而得出tanCBD，再判断出CADCDB，得出，求出CD，CB，即可得出结论；（3）连接OE，过点E作EGBD于G，先判断出BOE2BDE90，进而求出BE3，再利用勾股定理求出AD，BD，再判断出DGEG，设DGEGx，则BGx，再用勾股定理求出x，即可得出结论【详解】解：（1）CD与O相切，理由：如图1，连接OD，OBOD，ODBCBD，CDACBD，CDAODB，AB为O的直径，ADBADOODB90，CDAADO90，CDO90，ODCD，CD与O相切；（2）由（1）知，CBDADC，tanADC，tanCBD，在RtADB中，tanCBD，CC，
35、ADCCBD，CADCDB，CD2CA4，CB2CD8，ABCBCA826，OAOBAB3；（3）如图2，连接OE，过点E作EGBD于G，DE平分ADB，ADEBDE45，BOE2BDE90，BE=3，在RtABD中，AD2BD2AB262，AD，BD，EGBD，BDE45，DEGBDE45，DGEG，设DGEGx，则BGBDDGx，在RtBEG中，EG2BG2BE2（3）218，x2（x）218，x或x（舍），EG，sinDBE【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，作出辅助线构造出等腰直角三角形是解本题的关键10（2021黑龙江绥化市
36、中考真题）如图，在中，以为直径的与相交于点，垂足为（1）求证：是的切线；（2）若弦垂直于，垂足为，求的半径；（3）在（2）的条件下，当时，求线段的长【答案】（1）见解析；（2）的半径为1；（3）【分析】（1）连接OD，由题意可得B=C，由半径OB和OD可得B=ODB，从而C=ODB，在RtDEC中可知C+CDE=90，则OBD+CDE=90，从而得出ODE=90，即可得证DE是的切线；（2）连接OD，过点D作DGAB，垂足为G，设AC与交于点H，连接OH，分别求解SOAH，S扇形OAH，SOBD，S扇形OOD，然后根据S阴影= S扇形OAH + S扇形OBD SOAH SOBD求解即可得到阴影
37、部分的面积【详解】（1）证明：方法一：连接为直径 ，为中点为中点 是的半径是的切线 方法二：连接 是的半径是的切线 方法三：连接 是的半径是的切线 （2）解：方法一：连接，是直径 在中即的半径为1 方法二：连接 是的直径 为中点 即的半径为1 （3）作的平分线交于 连接平分 即 设 则 解得：是的直径 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，以及与扇形面积相关的不规则阴影部分面积求解问题，灵活添加辅助线将不规则图形转换为规则图形的面积表示是解题关键11（2021湖南永州市中考真题）如图1，是的直径，点E是上一动点，且不与A，B两点重合，的平分线交于点C，过点C作，交的延长线于点D（1）求证：是的
38、切线；（2）求证：；（3）如图2，原有条件不变，连接，延长至点M，的平分线交的延长线于点P，的平分线交的平分线于点Q求证：无论点E如何运动，总有【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解【分析】（1）连接OC，先证明EAC=OCA，可得COAE，进而即可求证；（2）连接BC，可证，进而即可得到结论；（3）由三角形外角的性质可得QBM-QAM=Q，CBM-CAM=ACB，结合角平分线的定义，可得ACB=2Q，同理：AEB=2P，进而即可得到结论【详解】（1）证明：连接OC，的平分线交于点C，EAC=CAB，OA=OC，CAB=OCA，EAC=OCA，COAE，COCD，是的切线；（2）连接
39、BC，是的直径，ACB =90，D=90，即：ACB=D，DAC=CAB，即：，AB=2AO，；（3）证明：QBM是的一个外角，QBM-QAM=Q，同理：CBM-CAM=ACB，的平分线交的平分线于点Q，CBM=2QBM，CAM=2QAM，ACB=2Q，同理：AEB=2P，ACB和AEB都是直径所对的圆周角，ACB=AEB=90，即：无论点E如何运动，总有【点睛】本题主要考查圆的基本性质，三角形外角的性质，切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理及其推论，切线的判定定理，是解题的关键12（2021内蒙古呼和浩特市中考真题）已知是O的任意一条直径，（1）用图1，求证：O是以直径
40、所在直线为对称轴的轴对称图形；（2）已知O的面积为，直线与O相切于点C，过点B作，垂足为D，如图2，求证：；改变图2中切点C的位置，使得线段时，【答案】（1）见解析；（2）见解析；见解析【分析】（1）设P是O上点A，B以外任意一点，过点P作，交O于点，垂足为M，若M与圆心O不重合，证明是的垂直平分线即可；（2）连接AC、OC，根据已知条件求出O半径并证明，列比例即可得出结论；根据已知条件证明四边形OCDB为正方形，即可求出OD的长度【详解】（1）证明：如图，设P是O上点A，B以外任意一点过点P作，交O于点，垂足为M若M与圆心O不重合, 连接， 在中是等腰三角形又 则是的垂直平分线若M与圆心O重合，显然是的垂直平分线这就是说，对于圆上任意一点P，在圆上都有关于直线的对称点，因此O是以直径所在直线为对称轴的轴对称图形；（2）证明：设O半径为r，由可得，连接，则，C