1、专练 03 三角形中的面积和周长问题 1.已知 的面积是 ，请完成下列问题： (1)如图 1 所示，若 是 的 边上的中线，则 的面积_ 的面积(填 “ ”“ ”或“ ”) (2)如图 2 所示，若 ， 分别是 的 ， 边上的中线，求四边形 的面积可以用如 下方法： 连接 ， 由 得： ， 同理： ， 设 ， 则 ， 由题意得： ， ，可列方程组 为 ，解得_，通过解这个方程组可得四边形 的面积为_ (3)如图 3 所示， ， ，请你计算四边形 的面积，并说明理由 【答案】(1)如图 1，过 A 作 于 H， 是 的 边上的中线， ， ， ， ， (2)解方程组得 ， ， 四边形 ， 故答案为
2、： ，40； (3)解：如图 3，连结 ， ， ， ， ， 设 ， ，则 ， ， 由题意得： ， ， 可列方程组为： ， 解得： ， 四边形 2.如图 1，Rt ABC 中，ACB=Rt，AC=8，BC=6，点 D 为 AB 的中点，动点 P 从点 A 出发，沿 AC 方 向以每秒 1 个单位的速度向终点 C 运动，同时动点 Q 从点 C 出发，以每秒 2 个单位的速度先沿 CB 方向运 动到点 B，再沿 BA 方向向终点 A 运动，以 DP，DQ 为邻边构造 PEQD，设点 P 运动的时间为 t 秒 (1)当 t=2 时，求 PD 的长； (2)如图 2，当点 Q 运动至点 B 时，连结 D
3、E，求证：DEAP. (3)如图 3，连结 CD 当点 E 恰好落在 ACD 的边上时，求所有满足要求的 t 值； 记运动过程中 PEQD 的面积为 S， PEQD 与 ACD 的重叠部分面积为 S1 ， 当 时，请直接 写出 t 的取值范围 【答案】 (1)解：如图 1 中，作 DFCA 于 F， 当 t=2 时，AP=2，DF=ADsinA=5 =3， AF=ADcosA=5 =4， PF=4-2=2， PD= = = (2)证明：如图 2 中， 在平行四边形 PEQD 中， PEDQ， PEAD， AD=DQPE=DQ， PE=AD， 四边形 APED 是平行四边形， DEAP (3)解
4、：分三种情况讨论： 当点 E 在 CA 上时， DQCB(如图 3 所示)， ACB=Rt，CD 是中线，CD=BD，CQ= CB=3 即：t= 当点 E 在 CD 上，且点 Q 在 CB 上时 (如图 4 所示)， 过点 E 作 EGCA 于点 G，过点 D 作 DHCB 于点 H， 易证 Rt PGERt PHQ，PG=DH=4， CG=4-t，GE=HQ=CQ-CH=2t-3， CD=AD，DCA=DAC 在 Rt CEG 中，tanECG= = = ，t= 当点 E 在 CD 上，且点 Q 在 AB 上时(如图 5 所示)，过点 E 作 EFCA 于点 F， CD=AD，CAD=ACD
5、 PEAD，CPE=CAD=ACD，PE=CE， PF= PC= ，PE=DQ=11-2t， 在 Rt PEF 中，cosEPF= = = t= 综上所述，满足要求的 t 的值为 或 或 ； t 如图 6 中，PE 交 CD 于 E，作 EGAC 于 G，EGAC 于 G 当 PDE的面积等于平行四边形 PEDQD 的面积的 时，PE：EE=2：1， 由()可知 CG=4-t ， GE=2t-3， PG=8-t-(4-t)=4， EGEG， = = = ， PG= ，EG= (2t-3)，CG=8-t- = -t ， tanECG= = ， 解得 t= 如图 7 中，当点 Q 在 AB 上时，
6、PE 交 CD 于 E，作 EGAC 于 G PDE的面积等于平行四边形 PEDQD 的面积的 ， PE：EE=2：1， 由可知，PG= PC=4- t ， PE= DQ= (11-2t)， cosEPG= = ， ， 解得 t= ， 综上所述，当 时，请直接写出 t 的取值范围是 t 3.如图，在平面直角坐标系中，点 O 为原点， OAB 为等边三角形，P、Q 分别为 AO、AB 边上的动点， 点 P、点 Q 同时从点 A 出发，且当其中一点停止运动时，另一点也立即停止运动；若 P 以 2 个单位长度每 秒的速度从点 A 向终点 O 运动， 点 Q 以 3 个单位长度每秒的速度从点 A 向终
7、点 B 运动， 设运动时间为 t ， 已知点 A 坐标为(a ， b)，且满足(a6)2+| ab|=0 (1)求 A 点坐标； (2)如图 1，连接 BP、OQ 交于点 C ， 请问当 t 为何值时，OCP=60 ； (3)如图 2，D 为 OB 边上的中点，P ， Q 在运动过程中，D ， P ， Q 三点是否能构成使PDQ=120 的等腰三角形，若能，求运动时间 t 并直接写出四边形 APDQ 的面积：若不能，请说明理由 【答案】 (1)解：(a6)2+| ab|=0， 又(a6)20，| ab|0， a=6，b=6 点 A(6，6 )； (2)解：如图 1 中， AOB 是等边三角形，
8、点 A(6，6 ) AO=BO=AB=12，AOB=ABO=60 =A， OCP=60 =AOB， AOB=QOB+AOQ=QOB+PBO=PCO=60 ， AOQ=PBO，且 AO=BO，A=AOB=60 ， AOQOBP(ASA)， OP=AQ， 122t=3t， t=2.4， 当 t=2.4 时，OCP=60 ； (3)解：如图 2 中，过点 D 作 DFAO，DEAB，连接 AD， ABO 是等边三角形，D 是 OB 中点，点 A(6，6 ) OD=BD=6，AOB=ABO=60 ，AD=6 ， 又DFO=DEB=90 ， ODFBDE(AAS) OF=BE，DF=DE， AO=AB，
9、 AOOF=ABBE AF=AE， DF=DE，PD=DQ， Rt DFPRt DEQ(HL) PF=EQ， OD=6，AOD=60 ，DFO=90 ， ODF=30 ， OF=3，DF= OF=3 ， AF=AOOF=9=AE，BE=OF=3， AP+AQ=AP+AE+EQ=AP+PF+AE=AF+AE=2AF=18， 2t+3t=18， t=3.6， 当 t=3.6 时，D，P，Q 三点是能构成使PDQ=120 的等腰三角形， Rt DFPRt DEQ， S DFP=S DEQ ， S 四边形 APDQ=S 四边形 AFDQ=S AOB2S OFD = 12 6 2 3 3 =27 4.如
10、图， ABC 为等边三角形，边长为 6，P ， Q 分别为 AB ， AC 边上的动点，点 P ， 点 Q 同时 从点 A 出发，若 P 以 个单位每秒的速度从点 A 向点 B 运动，点 Q 以 2 个单位每秒的速度从点 A 向点 C 运动，设运动时间为 t (1)如图 1，当 t_时，P 是线段 AB 的中点，此时线段 AQ 与 AC 的数量关系是 AQ _AC 在点 P、Q 运动过程中， APQ 是否能构成等腰三角形？_； A 有可能 B 不可能 C 无法确定 (2)如图 2，连接 CP、BQ 交于点 M ， 请问当 t 为何值时，BMP60 ； (3)如图3，D为BC边上的中点，P ，
11、Q在运动过程中，D ， P ， Q三点是否能构成使PDQ120 的等腰三角形？若能，试求： 运动时间 t； 设四边形APDQ的面积为S1 ， ABC的面积为S2 请直接写出S1与S2的关系式；若不能，请说明 理由 【答案】(1)当 P 是 AB 中点时，AP3，故 t3 2， 此时 AQ2 24，故 AQ AC ， 故答案为 2， ；假设 APQ 可以成为等腰三角形， ABC 为等边三角形，即A60 ， 则 APQ 为等边三角形， 而 APAQ ， 故 APQ 不可能为等腰三角形， 故答案为 B； (2)解：ABC 为等边三角形且边长为 6， ABBCAB6，ABCACB60 A， PMB60
12、 ABC， ABCQBC+ABQQBC+PCBPBC， ABQPCB，且 ABBC，AABC， ABQBCP(ASA)， AQBP， 6 t2t， t ， 当 t 时，BMP60 ； (3)解：如图，过点 D 作 DFAC，DEAB，连接 AD， ABC 是等边三角形，D 是 CB 中点， CDBD3，ABCACB60 ，AD3 ， 又DFBDEC90 ， BDFCDE(AAS)， BFCE，DFDE， ABAC， ABBFACCE， AFAE， DFDE，PDDQ， Rt DFPRt DEQ(HL)， PFEQ， BD3，ABD60 ，DFB90 ， BDF30 ， BF ，DF BF ，
13、AFABBF AE，CEBF ， AP+AQAP+AE+EQAP+PF+AEAF+AE2AF， t+2t9， t ， 当 t 时，D，P，Q 三点是能构成使PDQ120 的等腰三角形； Rt DFPRt DEQ， S DFPS DEQ ， 而 S AOB ， S 四边形 APDQS 四边形 AFDQS AOB2S OFD 2 ， 故 5.(感知)如图， ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在 AB、BC 边上，且 AD=BE，易知： ADCBEA (1)(探究)如图， ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在边 BA、CB 的延长线上，且 AD=BE， ADC 与 BEA 还全等吗？如果全等
14、，请证明：如果不全等，请说明理由 (2)(拓展)如图，在 ABC 中，AB=AC，1=2，点 D、E 分别在 BA、FB 的延长线上，且 AD=BE，若 AF= CF=2BE，S ABF=6，则 S BCD的大小为_ 【答案】 (1)解： ADC 与 BEA 全等， 理由：在等边三角形 ABC 中，AB=AC，BAC=ABC=60 ， DAC=180 BAC=120 ，EBA=180 ABC=120 ， DAC=EBA， AD=BE， ADCBEA； (2)拓展：1=2， AF=BF，DAC=EBA， AD=BE，AC=AB， ADCBEA(SAS)， S ADC=S BEA ， AF=2BE
15、，AF=BF， BF=2BE， S ABE= S ABF=3(同高的两三角形的面积比是底的比)， S ADC=3， AF= CF， S BFC= S ABF=4(同高的两三角形的面积比是底的比)， S BCD=S BCF+S ABF+S ADC=13， 故答案为 13 6. (1)如图1，在 ABC中，D是BC的中点，过D点画直线EF与AC相交于E ， 与AB的延长线相交于F ， 使 BFCE 已知 CDE 的面积为 1，AEkCE ， 用含 k 的代数式表示 ABD 的面积为多少； 求证： AEF 是等腰三角形； (2)如图2，在 ABC中，若122，G是 ABC外一点，使31，AHBG交C
16、G于H ， 且4 BCG2，设Gx ， BACy ， 试探究 x 与 y 之间的数量关系，并说明理由； (3)如图 3，在(1)、(2)的条件下， AFD 是锐角三角形，当G100 ，ADa 时，在 AD 上找一点 P ， AF 上找一点 Q ， FD 上找一点 M ， 使 PQM 的周长最小，试用含 a、k 的代数式表示 PQM 周长的 最小值_(只需直接写出结果) 【答案】 (1)解： AEkCE ， S DAEkS DEC ， S DEC1， S DAEk ， S ADCS DAE+S DECk+1， D 为 BC 中点， S ABDS ADCk+1 如图 1，过 B 点作 BGAC 交
17、 EF 于 G ， 在 BGD 和 CED 中， ， (ASA)， BGCE， 又BFCE， BFBG， ， AFAE，即 AEF 是等腰三角形 (2)解：如图 2，设 AH 与 BC 交与点 N，2 则31222， AHBG， CNHANB32， CNH2+4， 2+4， 4， 4BCG2， BCG2+42， 在 BGC 中， ，即： ， 在 ABC 中， ，即： ， 联立消去 得：y x+45 (3)如图 3，作 P 点关于 FA、FD 的对称点 P、P， 连接 PQ、PF、PF、PM、PF、PP， 则 FPFPFP，PQPQ ， PMPM ， PFQPFQ ， PFMPFM ， PFP2
18、AFD ， G100 ， BAC G+45 120 ， AEAF ， AFD30 ， PFP2AFD60 ， FPP是等边三角形， PPFPFP ， PQ+QM+PMPQ+QM+MPPPFP ， 当且仅当 P、Q、M、P四点共线，且 FPAD 时， PQM 的周长取得最小值 ， ， ， ， ， 当 时， ， 的周长最小值为 7.如图，在 ABC中，AC=BC，ACB=120 ，AB=6，点D是射线AM上一点(不与A、B两点重合)，点 D 从点 A 出发，沿射线 AM 的方向运动，以 CD 为一边在 CD 的右侧作 CDE，使 CE=CD， DCE=ACB，连结 BE (1)求ABE 的度数；
19、(2)是否存在以 D、E、B 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出线段 BD 的长；若不存在，请说明理 由； (3) BDE 的周长是否存在最小值？若存在，求出 BDE 的最小周长；若不存在，请说明理由 【答案】 (1)解：AC=BC，ACB=120 ， A=ABC=30 DCE=ACB， DCEDCB=ACBDCB，即ACD=BCE 在 ACD 与 BCE 中， ， ACD BCE(SAS)， A=CBE=30 ， ABE=ABC+CBE=60 (2)解：当点 D 在线段 AB 上时，由(1)得DBE=60 恒成立， DBE90， DBE 为直角三角形分两种情况讨论 当DEB=90 时，
20、 DBE=60 ， DB=2BE， ACD BCE(已证)， AD=BE AD+DB=6， BE+DB=6，即 3BE=6， BE=2， BD=4； 当EDB=90 时， DBE=60 ， BE=2BD， ACD BCE(已证)， AD=BE， AD+DB=6， BE+DB=6，即 BE=6， BE=4， BD=2； 当点 D 在 AB 的延长线上时， ACD BCE(已证)， A=CBE=30 ， ABC+CBE=30 +30 =60 ， DBE=120 ， 不存在直角三角形， 综上所述：当 DBE 为直角三角形时，BD 的长为 4 或 2 (3)解： ACD BCE(已证)， AD=BE，
21、 BDE 的周长=DB+BE+DE=DB+AD+DE=AB+DE=6+DE， CE=CD，DCE=ACB=120 ， DE = CD， BDE 的周长= ， 当 CDAB 时，CD 取得最小值为 ， BDE 的周长取最小值为 9 8.据图回答问题： (1)感知：如图AB=AD，ABAD，BFAF 于点 F，DGAF 于点 G求证： ADGBAF； (2)拓展：如图，点B，C在MAN的边AM，AN上，点E，F在MAN在内部的射线AD上，1，2 分别是 ABE， CAF 的外角，已知 AB=AC，1=2=BAC求证： ABECAF； (3)应用：如图，在 ABC中，AB=AC，ABBC，点在D边B
22、C上，CD=2BD，点E，F在线段AD上， 1=2=BAC若 ABC 的面积为 12，则 ABE 与 CDF 的面积之和为_ 【答案】 (1)证明：ABAD，BFAF， DAG+BAF=90 ，B+BAF=90 ， DAG=B， 在 ADG 和 BAF 中， ， ADGBAF(AAS)； (2)证明：1=2， AEB=CFA， 1=ABE+BAE，BAC=CAF+BAE，1=BAC， ABE=CAF， 在 ABE 和 CAF 中， ， ABECAF(AAS)； (3)CD=2BD， S ADC= S ABC=8， 由(2)得， ABECAF， ABE 与 CDF 的面积之和= CAF 与 CD
23、F 的面积之和=S ADC=8， 故答案为 8 9.在 ABC 中，AB=AC，P 为平面内一点 (1)如图 1，若 求证：BP=CP (2)如图 2，若 求证：BP=CP (3)如图 3，BD 为 AC 边上的高，BE 平分 ABD 交 AC 于点 E，EF BC 于 F，EF 与 BD 交于点 G，若 ED= ，CD= ，求 BGC 的面积(用含 ， 的代数式表示). 【答案】 (1)证明：如图 1 AB=AC、 、AP=AP ABPACP(SAS) BP=CP. (2)解：如下图 2 过 A 分别作 CP、BP 的垂线，交它们的延长线于 M、N AMP=ANP=90 又AP=AP APM
24、APN AM=AN、PM=PN 又AB=AC ACMABN(HL) CM=BN BP=CP. (3)解：如下图 3 BDCD DBC=90 -ACB 又AB=AC ABC=ACB ABD=ABC-DBC=ABC-(90 -ACB) =2ABC-90 BE 平分ABD EBD=ABC-45 EBF=EBD+DBC=ABC-45 +90 -ACB=45 又EF BC 于 F BEF=45 BEF=EBF EF=BF BDE=EFB=90 、BGF=EGD GBF=FEC BGFECF BG=EC=ED+DC=a+b BGC 的面积为: = . 10.已知：如图 1， 中， ， ，等边 的边 在 上
25、，点 D 在 上. (1)求证： (2)如图 2，将 沿着 翻折，得到 .连接 ，求证： (3)如图 3，在(2)的条件下，过点 D 作 交 延长线于点 G，若 ， .求 的面积. 【答案】 (1)证明： ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， (2)证明：如图示： 由折叠可知， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 即有： 是等腰直角三角形， 是等边三角形， ， ， 是等腰直角三角形，并 则 是等腰直角三角形， ； (3)解：如图 3 所示， ， ， ， ， ， ， 由(2)可知， 是等腰直角三角形， ， ， . 11.如图,在 ABC 中，ACB=90 ，AC=BC，点 D 为 AB
26、的中点，AE=CF. 求证： (1) ； (2)DEDF； (3)若 AC=3，求四边形 CFDE 的面积. 【答案】 (1)证明：如图，连接 CD. BC=AC，BCA=90 ， ABC 是等腰直角三角形， D 为 AB 中点， BD=CD，CD 平分BCA，CDAB. A+ACD=ACD+FCD=90 ， A=FCD， 在 ADE 和 CFD 中， ， ADECFD(SAS)， DE=DF (2)证明：由(1)知， ADECFD(SAS)， ADE=CDF. ADE+EDC=90 ， CDF+EDC=EDF=90 ， 即 DEDF (3)证明：ADECFD， S AED=S CFD ， S
27、 四边形 CEDF=S ADC ， D 是 AB 的中点， S ACD= S ACB= 3 3=4.5. S 四边形 CEDF=4.5. 12.在 中， ， 、 分别为边 、 的动点. (1)若 ，则当 _时， 与 相似(用含 a 的式子表示)； (2)若点 P 从点 A 处出发，沿线段 以每秒钟 5 个单位的速度向点 B 运动，同时点 Q 从点 C 处出发，沿 线段 以每秒钟 4 个单位的速度向点 A 运动： 当运动到第几秒时， ? 令线段 的中点为 M，则运动过程中， 的周长的最小值是多少? 【答案】(1) AB= 当 时， 可知 ，即 解得 同理，当 时， 可知 ，即 解得 故答案为：
28、或 ； (2)解：如图，过点 P 做 PDAC 于点 D 设两点运动时间为 t，则 AP=5t，CQ=4t DPCB AD=4t，DP=3t DC=8-4t , ，即 解得 t= ，t=0(舍去) 如图，分别取 AC、AB 中点 E、F，接 EF，交 EF 于点 M 过点 P 做 PNEF 与点 N 由已知，PF=5-5t EFCB ，PNAC PN=4-4t PN=QE M 为 PQ 中点，故在 P、Q 运动过程中，PQ 中点 M 在 EF 上运动. EF 为 中位线 点 C 与点 A 关于直线 EF 对称 当点 M 与点 F 重合时，MB+MC 最小 此时 MB+MC=AB=10 则 的周长的最小值是 10+6=16.