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本文(专练03 三角形中的面积和周长问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(教师版含解析))为本站会员(hua****011)主动上传,七七文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知七七文库(发送邮件至373788568@qq.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

专练03 三角形中的面积和周长问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(教师版含解析)

1、专练 03 三角形中的面积和周长问题 1.已知 的面积是 ,请完成下列问题: (1)如图 1 所示,若 是 的 边上的中线,则 的面积_ 的面积(填 “ ”“ ”或“ ”) (2)如图 2 所示,若 , 分别是 的 , 边上的中线,求四边形 的面积可以用如 下方法: 连接 , 由 得: , 同理: , 设 , 则 , 由题意得: , ,可列方程组 为 ,解得_,通过解这个方程组可得四边形 的面积为_ (3)如图 3 所示, , ,请你计算四边形 的面积,并说明理由 【答案】(1)如图 1,过 A 作 于 H, 是 的 边上的中线, , , , , (2)解方程组得 , , 四边形 , 故答案为

2、: ,40; (3)解:如图 3,连结 , , , , , 设 , ,则 , , 由题意得: , , 可列方程组为: , 解得: , 四边形 2.如图 1,Rt ABC 中,ACB=Rt,AC=8,BC=6,点 D 为 AB 的中点,动点 P 从点 A 出发,沿 AC 方 向以每秒 1 个单位的速度向终点 C 运动,同时动点 Q 从点 C 出发,以每秒 2 个单位的速度先沿 CB 方向运 动到点 B,再沿 BA 方向向终点 A 运动,以 DP,DQ 为邻边构造 PEQD,设点 P 运动的时间为 t 秒 (1)当 t=2 时,求 PD 的长; (2)如图 2,当点 Q 运动至点 B 时,连结 D

3、E,求证:DEAP. (3)如图 3,连结 CD 当点 E 恰好落在 ACD 的边上时,求所有满足要求的 t 值; 记运动过程中 PEQD 的面积为 S, PEQD 与 ACD 的重叠部分面积为 S1 , 当 时,请直接 写出 t 的取值范围 【答案】 (1)解:如图 1 中,作 DFCA 于 F, 当 t=2 时,AP=2,DF=ADsinA=5 =3, AF=ADcosA=5 =4, PF=4-2=2, PD= = = (2)证明:如图 2 中, 在平行四边形 PEQD 中, PEDQ, PEAD, AD=DQPE=DQ, PE=AD, 四边形 APED 是平行四边形, DEAP (3)解

4、:分三种情况讨论: 当点 E 在 CA 上时, DQCB(如图 3 所示), ACB=Rt,CD 是中线,CD=BD,CQ= CB=3 即:t= 当点 E 在 CD 上,且点 Q 在 CB 上时 (如图 4 所示), 过点 E 作 EGCA 于点 G,过点 D 作 DHCB 于点 H, 易证 Rt PGERt PHQ,PG=DH=4, CG=4-t,GE=HQ=CQ-CH=2t-3, CD=AD,DCA=DAC 在 Rt CEG 中,tanECG= = = ,t= 当点 E 在 CD 上,且点 Q 在 AB 上时(如图 5 所示),过点 E 作 EFCA 于点 F, CD=AD,CAD=ACD

5、 PEAD,CPE=CAD=ACD,PE=CE, PF= PC= ,PE=DQ=11-2t, 在 Rt PEF 中,cosEPF= = = t= 综上所述,满足要求的 t 的值为 或 或 ; t 如图 6 中,PE 交 CD 于 E,作 EGAC 于 G,EGAC 于 G 当 PDE的面积等于平行四边形 PEDQD 的面积的 时,PE:EE=2:1, 由()可知 CG=4-t , GE=2t-3, PG=8-t-(4-t)=4, EGEG, = = = , PG= ,EG= (2t-3),CG=8-t- = -t , tanECG= = , 解得 t= 如图 7 中,当点 Q 在 AB 上时,

6、PE 交 CD 于 E,作 EGAC 于 G PDE的面积等于平行四边形 PEDQD 的面积的 , PE:EE=2:1, 由可知,PG= PC=4- t , PE= DQ= (11-2t), cosEPG= = , , 解得 t= , 综上所述,当 时,请直接写出 t 的取值范围是 t 3.如图,在平面直角坐标系中,点 O 为原点, OAB 为等边三角形,P、Q 分别为 AO、AB 边上的动点, 点 P、点 Q 同时从点 A 出发,且当其中一点停止运动时,另一点也立即停止运动;若 P 以 2 个单位长度每 秒的速度从点 A 向终点 O 运动, 点 Q 以 3 个单位长度每秒的速度从点 A 向终

7、点 B 运动, 设运动时间为 t , 已知点 A 坐标为(a , b),且满足(a6)2+| ab|=0 (1)求 A 点坐标; (2)如图 1,连接 BP、OQ 交于点 C , 请问当 t 为何值时,OCP=60 ; (3)如图 2,D 为 OB 边上的中点,P , Q 在运动过程中,D , P , Q 三点是否能构成使PDQ=120 的等腰三角形,若能,求运动时间 t 并直接写出四边形 APDQ 的面积:若不能,请说明理由 【答案】 (1)解:(a6)2+| ab|=0, 又(a6)20,| ab|0, a=6,b=6 点 A(6,6 ); (2)解:如图 1 中, AOB 是等边三角形,

8、点 A(6,6 ) AO=BO=AB=12,AOB=ABO=60 =A, OCP=60 =AOB, AOB=QOB+AOQ=QOB+PBO=PCO=60 , AOQ=PBO,且 AO=BO,A=AOB=60 , AOQOBP(ASA), OP=AQ, 122t=3t, t=2.4, 当 t=2.4 时,OCP=60 ; (3)解:如图 2 中,过点 D 作 DFAO,DEAB,连接 AD, ABO 是等边三角形,D 是 OB 中点,点 A(6,6 ) OD=BD=6,AOB=ABO=60 ,AD=6 , 又DFO=DEB=90 , ODFBDE(AAS) OF=BE,DF=DE, AO=AB,

9、 AOOF=ABBE AF=AE, DF=DE,PD=DQ, Rt DFPRt DEQ(HL) PF=EQ, OD=6,AOD=60 ,DFO=90 , ODF=30 , OF=3,DF= OF=3 , AF=AOOF=9=AE,BE=OF=3, AP+AQ=AP+AE+EQ=AP+PF+AE=AF+AE=2AF=18, 2t+3t=18, t=3.6, 当 t=3.6 时,D,P,Q 三点是能构成使PDQ=120 的等腰三角形, Rt DFPRt DEQ, S DFP=S DEQ , S 四边形 APDQ=S 四边形 AFDQ=S AOB2S OFD = 12 6 2 3 3 =27 4.如

10、图, ABC 为等边三角形,边长为 6,P , Q 分别为 AB , AC 边上的动点,点 P , 点 Q 同时 从点 A 出发,若 P 以 个单位每秒的速度从点 A 向点 B 运动,点 Q 以 2 个单位每秒的速度从点 A 向点 C 运动,设运动时间为 t (1)如图 1,当 t_时,P 是线段 AB 的中点,此时线段 AQ 与 AC 的数量关系是 AQ _AC 在点 P、Q 运动过程中, APQ 是否能构成等腰三角形?_; A 有可能 B 不可能 C 无法确定 (2)如图 2,连接 CP、BQ 交于点 M , 请问当 t 为何值时,BMP60 ; (3)如图3,D为BC边上的中点,P ,

11、Q在运动过程中,D , P , Q三点是否能构成使PDQ120 的等腰三角形?若能,试求: 运动时间 t; 设四边形APDQ的面积为S1 , ABC的面积为S2 请直接写出S1与S2的关系式;若不能,请说明 理由 【答案】(1)当 P 是 AB 中点时,AP3,故 t3 2, 此时 AQ2 24,故 AQ AC , 故答案为 2, ;假设 APQ 可以成为等腰三角形, ABC 为等边三角形,即A60 , 则 APQ 为等边三角形, 而 APAQ , 故 APQ 不可能为等腰三角形, 故答案为 B; (2)解:ABC 为等边三角形且边长为 6, ABBCAB6,ABCACB60 A, PMB60

12、 ABC, ABCQBC+ABQQBC+PCBPBC, ABQPCB,且 ABBC,AABC, ABQBCP(ASA), AQBP, 6 t2t, t , 当 t 时,BMP60 ; (3)解:如图,过点 D 作 DFAC,DEAB,连接 AD, ABC 是等边三角形,D 是 CB 中点, CDBD3,ABCACB60 ,AD3 , 又DFBDEC90 , BDFCDE(AAS), BFCE,DFDE, ABAC, ABBFACCE, AFAE, DFDE,PDDQ, Rt DFPRt DEQ(HL), PFEQ, BD3,ABD60 ,DFB90 , BDF30 , BF ,DF BF ,

13、AFABBF AE,CEBF , AP+AQAP+AE+EQAP+PF+AEAF+AE2AF, t+2t9, t , 当 t 时,D,P,Q 三点是能构成使PDQ120 的等腰三角形; Rt DFPRt DEQ, S DFPS DEQ , 而 S AOB , S 四边形 APDQS 四边形 AFDQS AOB2S OFD 2 , 故 5.(感知)如图, ABC 是等边三角形,点 D、E 分别在 AB、BC 边上,且 AD=BE,易知: ADCBEA (1)(探究)如图, ABC 是等边三角形,点 D、E 分别在边 BA、CB 的延长线上,且 AD=BE, ADC 与 BEA 还全等吗?如果全等

14、,请证明:如果不全等,请说明理由 (2)(拓展)如图,在 ABC 中,AB=AC,1=2,点 D、E 分别在 BA、FB 的延长线上,且 AD=BE,若 AF= CF=2BE,S ABF=6,则 S BCD的大小为_ 【答案】 (1)解: ADC 与 BEA 全等, 理由:在等边三角形 ABC 中,AB=AC,BAC=ABC=60 , DAC=180 BAC=120 ,EBA=180 ABC=120 , DAC=EBA, AD=BE, ADCBEA; (2)拓展:1=2, AF=BF,DAC=EBA, AD=BE,AC=AB, ADCBEA(SAS), S ADC=S BEA , AF=2BE

15、,AF=BF, BF=2BE, S ABE= S ABF=3(同高的两三角形的面积比是底的比), S ADC=3, AF= CF, S BFC= S ABF=4(同高的两三角形的面积比是底的比), S BCD=S BCF+S ABF+S ADC=13, 故答案为 13 6. (1)如图1,在 ABC中,D是BC的中点,过D点画直线EF与AC相交于E , 与AB的延长线相交于F , 使 BFCE 已知 CDE 的面积为 1,AEkCE , 用含 k 的代数式表示 ABD 的面积为多少; 求证: AEF 是等腰三角形; (2)如图2,在 ABC中,若122,G是 ABC外一点,使31,AHBG交C

16、G于H , 且4 BCG2,设Gx , BACy , 试探究 x 与 y 之间的数量关系,并说明理由; (3)如图 3,在(1)、(2)的条件下, AFD 是锐角三角形,当G100 ,ADa 时,在 AD 上找一点 P , AF 上找一点 Q , FD 上找一点 M , 使 PQM 的周长最小,试用含 a、k 的代数式表示 PQM 周长的 最小值_(只需直接写出结果) 【答案】 (1)解: AEkCE , S DAEkS DEC , S DEC1, S DAEk , S ADCS DAE+S DECk+1, D 为 BC 中点, S ABDS ADCk+1 如图 1,过 B 点作 BGAC 交

17、 EF 于 G , 在 BGD 和 CED 中, , (ASA), BGCE, 又BFCE, BFBG, , AFAE,即 AEF 是等腰三角形 (2)解:如图 2,设 AH 与 BC 交与点 N,2 则31222, AHBG, CNHANB32, CNH2+4, 2+4, 4, 4BCG2, BCG2+42, 在 BGC 中, ,即: , 在 ABC 中, ,即: , 联立消去 得:y x+45 (3)如图 3,作 P 点关于 FA、FD 的对称点 P、P, 连接 PQ、PF、PF、PM、PF、PP, 则 FPFPFP,PQPQ , PMPM , PFQPFQ , PFMPFM , PFP2

18、AFD , G100 , BAC G+45 120 , AEAF , AFD30 , PFP2AFD60 , FPP是等边三角形, PPFPFP , PQ+QM+PMPQ+QM+MPPPFP , 当且仅当 P、Q、M、P四点共线,且 FPAD 时, PQM 的周长取得最小值 , , , , , 当 时, , 的周长最小值为 7.如图,在 ABC中,AC=BC,ACB=120 ,AB=6,点D是射线AM上一点(不与A、B两点重合),点 D 从点 A 出发,沿射线 AM 的方向运动,以 CD 为一边在 CD 的右侧作 CDE,使 CE=CD, DCE=ACB,连结 BE (1)求ABE 的度数;

19、(2)是否存在以 D、E、B 为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出线段 BD 的长;若不存在,请说明理 由; (3) BDE 的周长是否存在最小值?若存在,求出 BDE 的最小周长;若不存在,请说明理由 【答案】 (1)解:AC=BC,ACB=120 , A=ABC=30 DCE=ACB, DCEDCB=ACBDCB,即ACD=BCE 在 ACD 与 BCE 中, , ACD BCE(SAS), A=CBE=30 , ABE=ABC+CBE=60 (2)解:当点 D 在线段 AB 上时,由(1)得DBE=60 恒成立, DBE90, DBE 为直角三角形分两种情况讨论 当DEB=90 时,

20、 DBE=60 , DB=2BE, ACD BCE(已证), AD=BE AD+DB=6, BE+DB=6,即 3BE=6, BE=2, BD=4; 当EDB=90 时, DBE=60 , BE=2BD, ACD BCE(已证), AD=BE, AD+DB=6, BE+DB=6,即 BE=6, BE=4, BD=2; 当点 D 在 AB 的延长线上时, ACD BCE(已证), A=CBE=30 , ABC+CBE=30 +30 =60 , DBE=120 , 不存在直角三角形, 综上所述:当 DBE 为直角三角形时,BD 的长为 4 或 2 (3)解: ACD BCE(已证), AD=BE,

21、 BDE 的周长=DB+BE+DE=DB+AD+DE=AB+DE=6+DE, CE=CD,DCE=ACB=120 , DE = CD, BDE 的周长= , 当 CDAB 时,CD 取得最小值为 , BDE 的周长取最小值为 9 8.据图回答问题: (1)感知:如图AB=AD,ABAD,BFAF 于点 F,DGAF 于点 G求证: ADGBAF; (2)拓展:如图,点B,C在MAN的边AM,AN上,点E,F在MAN在内部的射线AD上,1,2 分别是 ABE, CAF 的外角,已知 AB=AC,1=2=BAC求证: ABECAF; (3)应用:如图,在 ABC中,AB=AC,ABBC,点在D边B

22、C上,CD=2BD,点E,F在线段AD上, 1=2=BAC若 ABC 的面积为 12,则 ABE 与 CDF 的面积之和为_ 【答案】 (1)证明:ABAD,BFAF, DAG+BAF=90 ,B+BAF=90 , DAG=B, 在 ADG 和 BAF 中, , ADGBAF(AAS); (2)证明:1=2, AEB=CFA, 1=ABE+BAE,BAC=CAF+BAE,1=BAC, ABE=CAF, 在 ABE 和 CAF 中, , ABECAF(AAS); (3)CD=2BD, S ADC= S ABC=8, 由(2)得, ABECAF, ABE 与 CDF 的面积之和= CAF 与 CD

23、F 的面积之和=S ADC=8, 故答案为 8 9.在 ABC 中,AB=AC,P 为平面内一点 (1)如图 1,若 求证:BP=CP (2)如图 2,若 求证:BP=CP (3)如图 3,BD 为 AC 边上的高,BE 平分 ABD 交 AC 于点 E,EF BC 于 F,EF 与 BD 交于点 G,若 ED= ,CD= ,求 BGC 的面积(用含 , 的代数式表示). 【答案】 (1)证明:如图 1 AB=AC、 、AP=AP ABPACP(SAS) BP=CP. (2)解:如下图 2 过 A 分别作 CP、BP 的垂线,交它们的延长线于 M、N AMP=ANP=90 又AP=AP APM

24、APN AM=AN、PM=PN 又AB=AC ACMABN(HL) CM=BN BP=CP. (3)解:如下图 3 BDCD DBC=90 -ACB 又AB=AC ABC=ACB ABD=ABC-DBC=ABC-(90 -ACB) =2ABC-90 BE 平分ABD EBD=ABC-45 EBF=EBD+DBC=ABC-45 +90 -ACB=45 又EF BC 于 F BEF=45 BEF=EBF EF=BF BDE=EFB=90 、BGF=EGD GBF=FEC BGFECF BG=EC=ED+DC=a+b BGC 的面积为: = . 10.已知:如图 1, 中, , ,等边 的边 在 上

25、,点 D 在 上. (1)求证: (2)如图 2,将 沿着 翻折,得到 .连接 ,求证: (3)如图 3,在(2)的条件下,过点 D 作 交 延长线于点 G,若 , .求 的面积. 【答案】 (1)证明: , , 是等边三角形, , , , , (2)证明:如图示: 由折叠可知, , , , 在 和 中, , , , , 即有: 是等腰直角三角形, 是等边三角形, , , 是等腰直角三角形,并 则 是等腰直角三角形, ; (3)解:如图 3 所示, , , , , , , 由(2)可知, 是等腰直角三角形, , , . 11.如图,在 ABC 中,ACB=90 ,AC=BC,点 D 为 AB

26、的中点,AE=CF. 求证: (1) ; (2)DEDF; (3)若 AC=3,求四边形 CFDE 的面积. 【答案】 (1)证明:如图,连接 CD. BC=AC,BCA=90 , ABC 是等腰直角三角形, D 为 AB 中点, BD=CD,CD 平分BCA,CDAB. A+ACD=ACD+FCD=90 , A=FCD, 在 ADE 和 CFD 中, , ADECFD(SAS), DE=DF (2)证明:由(1)知, ADECFD(SAS), ADE=CDF. ADE+EDC=90 , CDF+EDC=EDF=90 , 即 DEDF (3)证明:ADECFD, S AED=S CFD , S

27、 四边形 CEDF=S ADC , D 是 AB 的中点, S ACD= S ACB= 3 3=4.5. S 四边形 CEDF=4.5. 12.在 中, , 、 分别为边 、 的动点. (1)若 ,则当 _时, 与 相似(用含 a 的式子表示); (2)若点 P 从点 A 处出发,沿线段 以每秒钟 5 个单位的速度向点 B 运动,同时点 Q 从点 C 处出发,沿 线段 以每秒钟 4 个单位的速度向点 A 运动: 当运动到第几秒时, ? 令线段 的中点为 M,则运动过程中, 的周长的最小值是多少? 【答案】(1) AB= 当 时, 可知 ,即 解得 同理,当 时, 可知 ,即 解得 故答案为:

28、或 ; (2)解:如图,过点 P 做 PDAC 于点 D 设两点运动时间为 t,则 AP=5t,CQ=4t DPCB AD=4t,DP=3t DC=8-4t , ,即 解得 t= ,t=0(舍去) 如图,分别取 AC、AB 中点 E、F,接 EF,交 EF 于点 M 过点 P 做 PNEF 与点 N 由已知,PF=5-5t EFCB ,PNAC PN=4-4t PN=QE M 为 PQ 中点,故在 P、Q 运动过程中,PQ 中点 M 在 EF 上运动. EF 为 中位线 点 C 与点 A 关于直线 EF 对称 当点 M 与点 F 重合时,MB+MC 最小 此时 MB+MC=AB=10 则 的周长的最小值是 10+6=16.