1、专练专练 0606 三角形中有关角的计算与证明三角形中有关角的计算与证明 1.已知 ABC，点 P 为其内部一点，连结 PA、PB、PC，在 PAB， PBC 和 PAC 中，如果存在一个三 角形，其内角与 ABC 的三个内角分别相等，那么就称点 P 为 ABC 的等角点. (1)判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真”；反之，则写“假”. 内角分别为 30 、60 、90 的三角形存在等角点；_命题； 任意的三角形都存在等角点；_命题. (2)如图 ，点 P 是 ABC 的等角点，若BAC=PBC，探究图 中BPC，ABC，ACP 之间的数 量关系，并说明理由； (3
2、)如图，在 ABC 中，BACABCACB，若 ABC 的三个内角的角平分线的交点 P 是该三角形 的等角点，直接写出 ABC 三个内角的度数. 【答案】 (1) 内角分别为 30 、60 、90 的三角形存在等角点，是真命题； 任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点； 故答案为：1、真，2、假. (2)解：如图，ABC 中， BPC=ABP+BAC+ACP， BAC=PBC， BPC=ABP+PBC+ACP =ABC+ACP. (3)P 为三角形内角平分线的交点， PBC= ABC，PCB= ACB， P 为 ABC 的等角点， PBC=A， ABC=2PBC=2A， B
3、CP=ABC=2A， ACB=2BCP=4A， 又A+ABC+ACB=180 ， A+2A+4A=180 ， A= ， 该三角形的三个内角的度数分别为： ， ， . 故答案为： ， ， . 2.将一块直角三角板 XYZ 放置在 AABC 上，使得该三角板的两条直角边 XY，XZ 恰好分别经过点 B，C. (1)如图 1，当A=45 时，ABC+ACB=_度，ABX+ACX=_度. (2)如图 2，改变直角三角板 XYZ 的位置，使该三角板的两条直角边 XY，XZ 仍然分别经过点 B，C，那么 ABX+ACX 的大小是否发生变化？若变化，请举例说明，若没有变化，请探究ABX+ACX 与A 的关系
4、. 【答案】 (1)在三角形 ABC 中， A=45 ABC+ACB=180 -45 =135 A=45 ABC+ACB=180 -A=180 -45 =135 YXZ=90 XBC+XCB=90 ABX+ACX=135 -90 =45 (2)解：不变化，ABX+ACX =90 -A，理由如下 x =90 , XBC+XCB =90 A+ABC+ACB =180 , ABX+ACX =(ABC-XBC)+(ACB-XCB) =(ABC+ACB)-(XBC+XCB)=180 -A-90 =90 -A 3.如图 (1)如图，请证明A+B+C180 (2)如图的图形我们把它称为“8 字形”，请证明A
5、+BC+D (3)如图，E 在 DC 的延长线上，AP 平分BAD，CP 平分BCE，猜想P 与B、D 之间的关系，并证 明 (4)如图，ABCD，PA 平分BAC，PC 平分ACD，过点 P 作 PM、PE 交 CD 于 M，交 AB 于 E，则 1+2+3+4 不变；3+412 不变，选择正确的并给予证明. 【答案】 (1)证明：如图 1，延长 BC 到 D，过点 C 作 CEBA， BACE， B1， A2， 又BCDBCA+2+1180 ， A+B+ACB180 ； (2)证明：如图 2，在 AOB 中，A+B+AOB180 ， 在 COD 中，C+D+COD180 ， AOBCOD，
6、 A+BC+D； (3)解：如图 3， AP 平分BAD，CP 平分BCD 的外角BCE， 12，34， (1+2)+B(180 23)+D， 2+P(180 3)+D， 2P180 +D+B， P90 + (B+D)； (4)解：3+412 不变正确. 理由如下： 作 PQAB，如图 4， ABCD， PQCD， 由 ABPQ 得APQ+3+4180 ，即APQ180 34， 由 PQCD 得52， APQ+5+190 ， 180 34+2+190 ， 3+41290 . 4.如图，在 ABC 中，ABAC，D 为直线 BC 上一动点(不与点 B，C 重合)，在 AD 的右侧作 ACE，使
7、得 AEAD，DAEBAC，连接 CE. (1)当 D 在线段 BC 上时， 求证： BADCAE. 请判断点 D 在何处时，ACDE，并说明理由. (2)当 CEAB 时，若 ABD 中最小角为 26 ，求ADB 的度数. 【答案】 (1)解：DAEBAC， DABEAC， 在 ABD 和 ACE 中， ， BADCAE(SAS)； 如图，连接 DE， 若 ACDE， 又ADAE， AC 平分DAE， DABCAECAD， AD 平分CAB， 又ABAC， BDCD， 当点 D 在 BC 中点时，ACDE； (2)解：当 CEAB 时，则有ABCACEBAC60 ， ABC 为等边三角形，
8、如图 1：此时BAD26 ， ADB180 BADB180 26 60 94 . 如图 2，此时ADB26 ， 如图 3，此时BAD26 ，ADB60 26 34 . 如图 4，此时ADB26 . 综上所述，满足条件的ADB 的度数为 26 或 34 或 94 5.如图， 是等腰 内一点， ，连接 ， ， 图 1 图 2 (1)如图 1，当 时， ， ， ，求 (2)如图 2，当 时， ， ， ，求 【答案】 (1)解：将 沿点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ， 可得 ，且 ， 为等腰直角三角形， ， ， 在 中， ， ， ， 为直角三角形且 ， ， ， 又旋转， (2)解：将 沿点 顺时针旋转
9、 得到 ，连接 ， 可得： ， 为等边三角形， ， ， 在 中， ， ， 为直角三角形且 ， ， 6.如图，CACB，CDCE， ACB DCE40 ，AD、BE 交于点 H，连接 CH (1)求证：ACDBCE； (2)求证：CH 平分 AHE； (3)求 CHE 的度数 【答案】 (1)证明；ACB=DCE40 ， ACD=BCE， 在 ACD 和 BCE 中， ， ACDBCE(SAS) (2)证明；过点 C 作 CMAD 于 M，CNBE 于 N， ACDBCE， CAM=CBN， 在 ACM 和 BCN 中， ， ACMBCN(AAS)， CM=CN， CH 平分AHE (3)解；A
10、CDBCE， CAD=CBE， AMC=AMC， AHB=ACB=40 ， AHE=180 -40 140 ， CHE= AHE=70 7.我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”例如，在图 中， 的内角 与 的内角 互为对顶角，则 与 为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶 三角形”有如下性质： (1)性质理解：如图 2，在“对顶三角形” 与 中， ， ，求证： ； (2)性质应用： 如图 3，则 的度数为； 如图 4，在 中，点 ， 分别在 ， 上， 若 比 大 ，求 的度数； (3)拓展提高： 如图 5，已知 ， 是 的角平分线，且 和 的平分线 和 相交于点 ，设 ，求
11、的度数(用 表示 ) 【答案】 (1)证明：据题意，得 ， ， ， ， (2)解： ； 故答案为： ； 由题意得 ， 由(1)得 ， ， ， ， 故 ， ， ， ， ， ； (3)解： ， 理由如下： 和 的平分线 和 相交于点 ， ， ， 由(1)得 ， ， 由 得 ， ， 即 ， 8.已知点 C 为线段 AB 上一点，分别以 AC、BC 为边在线段 AB 同侧作 ACD 和 BCE，且 CA=CD， CB=CE，ACD=BCE，直线 AE 与 BD 交于点 F， (1)如图1，若ACD=60 ，则AFB=_；如图 2，若ACD=90 ，则AFB=_；如图 3，若 ACD=120 ，则AFB
12、=_； (2)如图 4，若ACD=，则AFB=_(用含 的式子表示)； (3)将图 4 中的 ACD 绕点 C 顺时针旋转任意角度(交点 F 至少在 BD、AE 中的一条线段上)，变成如图 5 所 示的情形，若ACD=，则AFB 与 的有何数量关系？并给予证明. 【答案】(1)如图 1，CA=CD，ACD=60 ， 所以 ACD 是等边三角形. CB=CE，ACD=BCE=60 ， 所以 ECB 是等边三角形. AC=DC，ACE=ACD+DCE，BCD=BCE+DCE， 又ACD=BCE， ACE=BCD. AC=DC，CE=BC， ACEDCB. EAC=BDC. AFB 是 ADF 的外
13、角. AFB=ADF+FAD=ADC+CDB+FAD=ADC+EAC+FAD=ADC+DAC=120 . 如图 2，AC=CD，ACE=DCB=90 ，EC=CB， ACEDCB. AEC=DBC， 又FDE=CDB，DCB=90 ， EFD=90 . AFB=90 . 如图 3，ACD=BCE， ACDDCE=BCEDCE. ACE=DCB. 又CA=CD，CE=CB， ACEDCB. EAC=BDC. BDC+FBA=180 DCB=180 (180ACD)=120 ， FAB+FBA=120 . AFB=60 . 故答案为：120 ，90 ，60 ； (2)ACD=BCE， ACD+DC
14、E=BCE+DCE. ACE=DCB. CAE=CDB. DFA=ACD. AFB=180 DFA=180 ACD=180 . 故答案为：180 ； (3)解：AFB=180 ； 证明：ACD=BCE=，则ACD+DCE=BCE+DCE， 即ACE=DCB. 在 ACE 和 DCB 中 ， 则 ACEDCB(SAS). 则CBD=CEA，由三角形内角和知EFB=ECB=. AFB=180 EFB=180 . 9.己知ABC=90 ，AB=2，BC=3，ADBC，P 为线段 BD 上的动点，点 Q 在射线 AB 上，且满足 (如图 1 所示) (1)当 AD=2，且点 Q 与点 B 重合时(如图
15、 2 所示)，求线段 PC 的长； (2)在图 1 中，联结 AP，当 AD= ，且点 Q 在线段 AB 上时，设点 B、Q 之间的距离为 x， =y，其 中 S APQ表示 S APQ的面积，S PBC表示 PBC 的面积，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出函数定义域； (3)当 ADAB，且点 Q 在线段 AB 的延长线上时(如图 3 所示)，求QPC 的大小 【答案】 (1)解：ADBC，ABC=90 ， BAD=ABC=90 ， 当 AD=2 时，AD=AB， D=ABD=45 ， PQC=D=45 ， ， PQ=PC， C=PQC=45 ， BPC=90 ， PC=BC sin4
16、5 = (2)解：如图，作 PEAB 于 E，PFBC 于 F， ABC=90 ， 四边形 EBFP 是矩形， PF=BE， 又BAD=90 ， PEAD， Rt BEPRt BAD， ， ， 设 BE=4k，则 PE=3k， PF=BE=4k， BQ=x，AQ=AB-BQ=2-x， S APQ= AQ PE= (2-x) 3k，S PBC= BC PF= 3 4k=6k， ， ， y= ； (3)解：Rt BEPRt BAD， ， ， ， ， Rt PCFRt PQE， FPC=EPQ， EPQ+QPF=EPF=90 ， FPC+QPF=90 ， 即QPC=90 。 10.如图 1，在 AB
17、C 中， BD、CD 分别平分ABC、ACB. (1)若A60 求D 的度数； 如图 2，点 M、N、Q 分别在射线 DB、DC、BC 上，BE、CE 分别平分MBC、BCN，BF、CF 分别 平分EBC，ECQ，求F 的度数； (2)在的条件下，请直接写出F 与A 的数量关系. 【答案】 (1)解：如图： 在 ABC 中，A+1+2+3+4=180 ， BD，CD 分别平分ABC 和ACB， 1=2，3=4， 22+23+A=180 ， A=50 ， 2+3= =75 ， 在 BDC 中，BDC=180 -2-3=180 -75 =115 . 解：BD、CD 分别平分ABC、ACB，A=60
18、 ， DBC= ABC，DCB= ACB， DBC+DCB= (ABC+ACB)= (180 -A)= (180 -60 )=60 ， MBC+NCB=360 -60 =300 ， BE、CE 分别平分MBC、BCN， 5+6= MBC，1= NCB， 5+6+1= (NCB+NCB)=150 ， E=180 -(5+6+1)=180 -150 =30 ， BF、CF 分别平分EBC、ECQ， 5=6，2=3+4， 3+4=5+F，2+3+4=5+6+E， 即2=5+F，22=25+E， 2F=E， F= E= 30 =15 . (2)解：BD、CD 分别平分ABC、ACB，A=60 ， DB
19、C= ABC，DCB= ACB， DBC+DCB= (ABC+ACB)= (180 -A)=90 - A， MBC+NCB=360 -(90 - A )=270 + A， BE、CE 分别平分MBC、BCN， 5+6= MBC，1= NCB， 5+6+1= (MBC+NCB)= (270 + A)=135 + A， E=180 -(5+6+1)=180 -(135 + A)=45 - A， BF、CF 分别平分EBC、ECQ， 5=6，2=3+4， 3+4=5+F，2+3+4=5+6+E， 即2=5+F，22=25+E， 2F=E， F= E= (45 - A )=22.5 - A . 11.
20、在 ABC 中，C90 . (1)如图 1，AD、BE 分别平分CAB、CBA，交于点 I，求AIB 的度数； (2)如图 2，AD 平分CAB，CFAB 于 F，交 AD 于点 P，求证：CPDCDP； (3)如图 3，AGHG，BI GH，求证：CAGCBI. 【答案】 (1)解：图 1， C=90 ， CAB+CBA=180 -C=90 ， AD、BE 分别平分CAB、CBA，交于点 I， IAB= CAB，IBA= CBA， IAB+IBA= (CAB+CBA)= 90 =45 ， AIB=180 -(IAB+IBA)=180 -45 =135 ； (2)证明：图 2， CFAB， C
21、FA=90 ， ACB=90 ， CAB+ACF=90 ，B+CAB=90 ， B=ACF， AD 平分CAB， CAD=BAD， CPD=CAD+ACF，CDP=BAD+B， CPD=CDP； (3)证明：延长 GA 和 IB，两线交于 K， AGGH， AGH=90 ， BIGH， K=90 ， C=90 ，CAG=C+COA，CBI=K+KOB，COA=KOB， CAG=CBI. 12.如图， 中， ， 中， ，且 ，当把两个三角形如图 放置时，有 (不需证明) (1)当把 绕点 旋转到图的情况，其他条件不变， 和 还相等吗？请在图中选 择一种情况进行证明； (2)若图中 和 交于点 ，连接 ，求证： 平分 【答案】 (1)解：相等，证明图如下 在 DCA 和 ECB 中 DCAECB ； (2)解：过点 C 作 CMAD 于 M，CNBE 于 N 在 DCA 和 ECB 中 DCAECB CM=CN CMAD，CNBE 平分