1、 专练 07 四边形中的动点问题 1.如图，在四边形ABCD中，ADBC，B=90 ，AD=3cm，AB=4cm，BC=6cm，动点P从点A出发，以 每秒 1cm 的速度沿 ABC 匀速运动，设线段 DP 扫过四边形 ABCD 所形成的阴影面积为 S(cm )，点 P 运动的时间为 t(s)(0t10)， 请解答以下问题 (1)边 DC 的长为_cm； (2)当点 P 在 BC 上运动时，求出阴影面积 S(cm )与运动时间 t(s)之间的关系式； (3)是否存在某一时刻t，使线段 DP 把四边形 ABCD分成面积相等的两部分?如果存在，请求出t的值；如 果不存在，请说明理由； (4)是否存在
2、某一时刻 t，使 DPC 恰好是直角三角形?如果存在，请直接写出 t 的值；如果不存在，请说明 理由 【答案】(1)如图 1，过点 D 作 DHBC 于 H， ， 四边形 ABHD 是矩形 DH=AB=4cm，BH=AD=3cm， (cm) 在 中，根据勾股定理得， (cm)； (2)解：当点 P 在 BC 上运动时， ，如图 2，连接 BD， 根据题意 ， BP=t-AB=(t-4)cm ； (3)解：存在某一时刻 t，使线段 DP 把四边形 ABCD 分成面积相等的两部分 四边形 四边形 四边形 当线段 DP 把四边形 ABCD 分成面积相等的两部分时，点 P 必在 BC 上，如图 2，
3、(4)存在某一时刻 t，使 恰好是直角三角形 为直角三角形有两种情况： 当 P 在 AB 上，且 时，如图 3，连接 PC， 在 中， 在 中， 在 中， ， 即 解得： 当 P 在 AB 上，且 时， 即 整理得 此方程无实数根； 当 P 在 BC 上，且 时，如图 4，点 P 与点 H 重合， BP=BH=3， t-4=3 t=7 综上所述，当 t 的值为 2.25 或 7 时， DPC 恰好是直角三角形 2.如图，在正方形ABCD中，E为直线AB上的动点(不与A，B重合)，作射线DE并绕点D逆时针旋转45 ， 交直线 BC 边于点 F，连结 EF (1)当点 E 在边 AB 上，求证：E
4、F=AE+CF (2)当点 E 在边 AB 上，且 AD=2 时，则 BEF 的周长是_ (3)当点 E 不在边 AB 上时，EF，AE，CF 三者的数量关系是_ 【答案】 (1)证明：如图，延长 BA 到 G，使 AG=CF，连接 DG， 四边形 ABCD 是正方形， DA=DC，DAG=DCF=90 ， DAGDCF(SAS)， 1=3，DG=DF， ADC=90 ，EDF=45 ， EDG=1+2=3+2=45 =EDF， DE=DE， GDEFDE(SAS)， EF=EG=AE+AG=AE+CF (2) BEF 的周长=BE+BF+EF， 由探究得：EF=AE+CF， BEF 的周长=
5、BE+BF+AE+CF=AB+BC=2+2=4， 故答案为 4； (3)当点 E 不在边 AB 上时，分两种情况： 点 E 在 BA 的延长线上时，如图 2， EF=CF-AE，理由是： 在 CB 上取 CG=AE，连接 DG， DAE=DCG=90 ，AD=DC， DAEDCG(SAS) DE=DG，EDA=GDC ADC=90 ， EDG=90 EDF+FDG=90 ， EDF=45 ， FDG=90 -45 =45 ， EDF=FDG=45 ， 在 EDF 和 GDF 中， DE=DG，EDF=GDF，DF=DF EDFGDF(SAS)， EF=FG， EF=CF-CG=CF-AE； 当
6、点 E 在 AB 的延长线上时，如图 3， EF=AE-CF，理由是： 延长 BC 到 G,使 CG=AE,连接 DG， DA=DC,DAE=DCG=90 ,CG=AE DAEDCG DE=DG,ADE=CDG. ADE+EDC=CDG+EDC=90. 即：ADC=EDG=90， EDF=45 ， GDF=90 -45 =45 ， EDF=GDF， DF=DF，EDF=GDF，DE=DG EDFGDF， EF=GF， EF=CG-CF=AE-CF； 综上所述，当点 E 不在边 AB 上时，EF，AE，CF 三者的数量关系是：EF=CF-AE 或 EF=AE-CF 3.在小学，我们已经初步了解到
7、，长方形的对边平行且相等，每个角都是 90 .如图，长方形 ABCD 中， AD=9cm，AB=4cm，E为边AD上一动点，从点D出发，以1cm/s向终点A运动，同时动点P从点B出发， 以 acm/s 向终点 C 运动,运动的时间为 ts. (1)当 t=3 时， 求线段 CE 的长； 当 EP 平分AEC 时，求 a 的值； (2)若 a=1,且 CEP 是以 CE 为腰的等腰三角形,求 t 的值； (3)连接 DP,直接写出点 C 与点 E 关于 DP 对称时的 a 与 t 的值. 【答案】 (1)解：当 t=3 时,则 DE=3, 在 Rt CDE 中, 由勾股定理可得:CE= ； 当
8、EP 平分AEC 时,根据角平分线的性质可得:点 P 到 EC 的距离等于点 P 到 AD 的距离,即 EC 边上的高 等于 4,所以 , 所以 , 所以 PC=5,则 PB=BCPC=95=4, 又因为 PB=at=3t, 所以 3t=4,解得 a= ； (2)解：在 Rt CDE 中, 由勾股定理可得:CE= , 所以 PC=BCBP=9t, 由勾股定理可得:PE= , 当 EC=PE 时, = ,解得 t=3 或 t=9(不符合题意,舍去), 当 EC=PC 时, =9t,解得 t= , 所以 t=3 或 t= , (3)解：因为点 C 与点 E 关于 DP 对称, 所以 DP 垂直平分
9、 CE,所以 DE=CD=4,PE=PC, 所以 DE=t=4, 因为 BP=at,所以 BP=4a， 所以 PC=94a, 由勾股定理可得:PE= , =94a,解得 a= , 所以 a= ,t=4. 4.如图，在矩形ABCD 中，AB6cm，BC12cm，点 P 从点 A出发沿AB 以1cm/s 的速度向点B 移动；同 时，点 Q 从点 B 出发沿 BC 以 2cm/s 的速度向点 C 移动.设运动时间为 t 秒. (1)当 t2 时， DPQ 的面积为_cm2； (2)在运动过程中 DPQ 的面积能否为 26cm2？如果能，求出 t 的值，若不能，请说明理由； (3)运动过程中，当 A、
10、P、Q、D 四点恰好在同一个圆上时，求 t 的值； (4)运动过程中，当以 Q 为圆心，QP 为半径的圆，与矩形 ABCD 的边共有 4 个交点时，直接写出 t 的取值 范围. 【答案】(1)由题意得 AP= ，BQ= PB=AB-AP=6-2=4，CQ=CB-BQ=12-4=8 = ， = ， = = 矩形 - - - =72-12-8-24=28(cm2)； 故答案为：28； (2)解：法一：根据题意得 = 整理得 b24ac40， 方程无实数根 DPQ 的面积不可能为 26cm2 法二： = 当 t3 时， DPQ 的面积有最小值为 27 cm2 DPQ 的面积不可能为 26cm2 (3
11、)解：A90 A、P、D 三点在以 DP 为直径的圆上 若点 Q 也在圆上，则PQD90 PQ2(6t)2(2t)2 ， DQ262(122t)2 ， DP2t2122 当 PQ2DQ2 DP2 ， PQD90 (6t)2(2t)262(122t)2 t2122 解得 t16,t2 t6 或 时 A、P、Q、D 四点恰好在同一个圆上. ( 4 )如图 1， Q 与边 AD 相切 过点 Q 作 QEAD Q 与边 AD 相切 QEQP 62(6t)2(2t)2 解得 t10(舍去),t2 如图 2， Q 与过点 D 则 QDQP (6t)2(2t)262(122t)2 (舍去) 当 t 时，Q
12、与矩形 ABCD 的 边共有四个交点. 5.如图，梯形 ABCD 中，ADBC，AD2cm，ABBC8cm，CD10cm.动点 P 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度，沿B-A-D-C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C-D-A方向向点A运动， 过点 Q 作 QEBC 于点 E.若 P、Q 两点同时出发，当其中一点停止时另一个点同时停止，设运动时间为 t 秒.问： (1)当点 P 在边 BA 上运动，t=_时，直线 PQ 将梯形 ABCD 的周长平分； (2)在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与 CQE相似?若存在，求出所有符 合条件的 t
13、 的值；若不存在，请说明理由； (3)在运动过程中，是否存在这样的，使得以 P、D、Q 为顶点的三角形恰好是以 DQ 为腰的等腰三角形?若 存在，求出所有符合条件的 t 的值或取值范围. 【答案】(1) BP=CQ=t， AP=8-t，DQ=10-t， AP+AD+DQ=PB+BC+CQ， 8-t+2+10-t=t+8+t. t=38. 当 t=3 秒时，PQ 将梯形 ABCD 周长平分； 故答案为：3 秒； (2)解：第一种情况：0t8 若 PADQEC 则ADP=C tanADP=tanC= = = ，t= 若 PADCEQ 则APD=C tanAPD=tanC= = ， = t= 第二种
14、情况：8t10，P、A、D 三点不能组成三角形； 第三种情况：10t12 ADP 为钝角三角形与 Rt CQE 不相似； t= 或 t= 时， PAD 与 CQE 相似. (3)解：第一种情况：当 0t8 时.过 Q 点作 QEBC，QHAB，垂足为 E、H. AP=8-t，AD=2， PD= = . CE= t，QE= t， QH=BE=8-t，BH=QE=t. PH=t- t= t. PQ= = ，DQ=10-t. ：DQ=DP，10-t= ， 解得 t=8 秒. ：DQ=PQ，10-t= ， 解得：t= ，t= 8(不合题意舍去) t= 第二种情况：8t10 时.DP=DQ=10-t.
15、当 8t10 时，以 DQ 为腰的等腰 DPQ 恒成立. 第三种情况：10t12 时.DP=DQ=t-10. 当 10t12 时，以 DQ 为腰的等腰 DPQ 恒成立. 综上所述，t= 或 8t10 或 10t12 时，以 DQ 为腰的等腰 DPQ 成立. 6.正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PFCD于点F.如图1， 当点 P 与点 O 重合时，显然有 DF=CF. (1)如图 2，若点 P 在线段 AO 上(不与点 A、O 重合)，PEPB 且 PE 交 CD 于点 E. 求证：DF=EF； 写出线段 PC、PA、CE 之间的一个等量关系；并说出理由
16、； (2)若点 P 在线段 OC 上(不与点 O、C 重合)，PEPB 且 PE 交直线 CD 于点 E.请完成图 3 并判断(1)中的结 论、是否分别成立？若不成立，写出相应的结论.(所写结论均不必证明) 【答案】 (1)解：连接 PD， 四边形 ABCD 是正方形，AC 平分BCD，CB=CD， BCPDCP， PBC=PDC，PB=PD PBPE，BCD=90 ， PBC+PEC=360 -BPE-BCE=180 ， PED=PBC=PDC，PD=PE， PFCD，DF=EF PC= CE+PA，理由如下： 延长 FP 交 AB 于点 G，则四边形 ADFG 是矩形，AG=DF AGP
17、是等腰直角三角形，AG= AP FCP 是等腰直角三角形， CP= CF= (CE+EF) = (CE+DF)= (CE+AG) = (CE+ AP) = CE+PA (2)解：如图， PBPE，BCCE， B、P、C、E 四点共圆， PECPBC， 在 PBC 和 PDC 中 BCDC(已知)，PCBPCD45 (已证)，PC 边公共边， PBCPDC(SAS)， PBCPDC， PECPDC， PFDE， DFEF； 同理：PA PG DF EF，PC CF， PA EF (CECF) CE CF CEPC 即 PC、PA、CE 满足关系为：PA CE+PC. 7.如图，在矩形 中， ，
18、P、Q 两点分别从 A，B 同时出发，点 P 沿折 线 运动，在 上的速度是 ，在 上的速度是 ；点 Q 在 上以 的速度向终点 D 运动，过点 P 作 ，垂足为点 N连接 ，以 ， 为邻边作 设运动的时间为 ， 与矩形 重叠部分的图形面积为 (1)当 时， _ (2)若直线 与 交于点 E，当 时，求 的长； (3)求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 取值范围； (4)直线 将矩形 的面积分成 两部分时，直接写出 x 的值 【答案】(1)当 时，如图所示 PQAD， PQB=ADB=30 ， 由题意可得 AP=2x，BQ=2x BP=ABAP=22x 故答案为： (2)解：当 时，如
19、下图所示 BQ=2 = cm 在 Rt ABD 中，ADB=30 BD=2AB=4cm DQ=BDBQ= EQ= ； (3)解：如图 1 中，当 时，重叠部分是平行四边形 过点 Q 作 QHAB 于点 H BQH=ADB=30 QH=BQ cos30 由题意可得 AP=2x，BQ=2x QH= 如图 2 中，当 时，重叠部分是梯形 过点 Q 作 QHAB 于 H 此时 QH=BQ cos30 = ，EQ= ，AP=2x 如图 3 中，当 时，重叠部分是梯形 如下图所示 由题意可得 BP= ，BQ=2x，PN=AB=2 AN=BP= ，DQ=42x，AD=BD cos30 = EQ= ，DE=D
20、Q cos30 = EN=ADDEAN= 综上所述 (4)当 或 时，直线 将矩形 的面积分成 两部分理由如下 当直线 AM 过 BC 的中点 E 时，此时直线 将矩形 的面积分成 两部分 过点 Q 作 QHAB 于 H，如图所示 BE= ，QH= BQ cos30 = ，BH= BQ sin30 =x PH=ABAPBH=23x PQAE EAB=QPH tanEAB =tanQPH 即 解得： ； 当直线 AM 过 CD 的中点 E 时，此时直线 将矩形 的面积分成 两部分 过点 Q 作 QHAB 于 H，如图所示 DE= 1，QH= BQ cos30 = ，BH= BQ sin30 =x
21、 PH=ABAPBH=23x PQAE，CDAB EAB=QPH，EAB=DEA DEA=QPH tanDEA =tanQPH 即 解得： ； 综上：当 或 时，直线 将矩形 的面积分成 两部分 8.如图，在矩形 中，点 是 上的一个动点，连接 ，作点 关于 的对称点 ，且 点 落在矩形 的内部，连结 ， ， ，过点 作 交 于点 ，设 (1)求证： ； (2)如图 2，当点 落在 上时，用含 的代数式表示 的值； (3)当 ，且 时，求 的值 【答案】 (1)证明：设 ，则 ， 由对称知， ， ， ， ， ， ， ； (2)解：如图 1，当点 落在 上时， 由对称知， ， ， ， ， ， ，
22、 ， ， ， ， ， ； (3)解：若 ，则 ， 如图 2，当点 落在线段 上时， ，此时 ， ， 当点 落在矩形内部时， ， ，如图 3， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或 (由于 ，所以舍)， 即： 9.如图，已知四边形ABCD中，ABDC ， ABDC ， 且AB4cm，BC8cm，对角线AC cm (1)求证：四边形 ABCD 是矩形； (2)如图，点Q是AC上一点，点P是BC上一点，点P不与点B重合， ，连接BQ、AP ， 若 APBQ ， 求 BP 的值； (3)如图，若动点 Q 从点 C 出发，以每秒 cm 的速度在对角线 AC 上运动至点 A 止，过点 Q 作 BC 垂线
23、 于点 P ， 连接 PQ ， 将 PQC 沿 PQ 折叠，使点 C 落在直线 BC 上的点 E 处，得 PQE ， 是否存 在某一时刻 t，使得 EAQ 为直角三角形？请求出所有可能的结果 【答案】 (1)证明：ABDC，AB=DC， 四边形 ABCD 是平行四边形， AB=4，BC=8，AC= ， AB2+BC2=80，AC2=80， AB2+BC2=AC2 ， B=90 ， 四边形 ABCD 是矩形； (2)解：如图， 过 Q 作 QEBC 于 E， 则 CQECAB， ， ， CQ= QE，CE=2QE， APBQ， ABC=90 ， ABPBEQ， ， BE=BC-CE=8-2QE，
24、 BP=2CQ=2 QE， BP=2QE， ， QE=3， BP=6cm； (3)解：当AEQ=90 时， 由折叠的性质得 CQ=EQ= t，QPBC，EP=CP， QPAB， CQPCAB， ， 即 ， PQ=t，EP=CP=2t， AEQ=ABC=QPE=90 ， QEP+AEB=90 ，BAE+AEB=90 ， BAE=QEP， ABEEPQ， ， 即 ， t= 秒. 10.如图，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点 A 在 轴的正半轴上，点 C 在 轴的正半轴上，OA5，OC4. (1)在 OC 边上取一点 D，将纸片沿 AD 翻折，使点 O 落在 BC 边上
25、的点 E 处，则 E 点的坐标为_； D 点的坐标为_. (2)如图，若 AE 上有一动点 P(不与 A、E 重合)自 A 点沿 AE 方向向 E 点匀速运动，运动的速度为每秒 1 个单位长度，设运动的时间为 秒 ，过 P 点作 ED 的平行线交 AD 于点 M，过点 M 作 AE 的 平行线交 DE 于点 N.求四边形 PMNE 的面积 S 与时间 之间的函数关系式； (3)在(2)的条件下，当 为何值时，以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应时刻点M的坐 标. 【答案】(1)依题意可知，折痕 AD 是四边形 OAED 的对称轴， 在 Rt ABE 中，AEAO5，AB4，BE
26、- 3. CE2. E 点坐标为(2，4). 在 Rt DCE 中，DC2CE2DE2 ， 又DEOD. (4OD)222OD2. 解得：OD2.5. D 点坐标为(0，2.5). 故答案为：(0，2.5)，(2，4)； (2)PMED， APMAED. PM：EDAP：AE， PM ， 又APt，ED2.5，AE5， PM t， PMDE，MNEP， 四边形 NMPE 为平行四边形. 又DEA90 ， 四边形 PMNE 为矩形. S 矩形 PMNEPMPE - - ； (3)()若以 AE 为等腰三角形的底，则 MEMA(如图) 在 Rt AED 中，MEMA， PMAE， P 为 AE 的
27、中点， tAP AE2.5， 又PMED， M 为 AD 的中点. 过点 M 作 MFOA，垂足为 F，则 MF 是 OAD 的中位线， MF OD ，OF OA2.5， 当 t2.5 时，(02.55)， AME 为等腰三角形. 此时 M 点坐标为(2.5，1.25). ()若以 AE 为等腰三角形的腰，则 AMAE5(如图) 在 Rt AOD 中，AD . 过点 M 作 MFOA，垂足为 F， PMED， APMAED. AP：AEAM：AD. tAP 2 . PM t . MFMP ，OFOAAFOAAP52 ， 当 t2 时，(02 5)，此时 M 点坐标为(52 ， ). ()根据图
28、形可知 EMEA 的情况不成立. 综合综上所述，当 t2.5 或 t2 时，以 A，M，E 为顶点的三角形为等腰三角形，相应 M 点的坐标为 ( ， )或(52 ， ). 11.如图，在长方形ABCD中，ABCD6cm ， BC10cm ， 点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC 向点 C 运动，设点 P 的运动时间为 t 秒： (1)PC_cm (用 t 的代数式表示) (2)当 t 为何值时， ABPDCP？ (3)当点 P 从点 B 开始运动，同时，点 Q 从点 C 出发，以 vcm/秒的速度沿 CD 向点 D 运动，是否存在这样 v 的值，使得 ABP 与 PQC 全等？若存在，请求
29、出 v 的值；若不存在，请说明理由 【答案】(1)点 P 从点 B 出发，以 2cm/秒的速度沿 BC 向点 C 运动，点 P 的运动时间为 t 秒时，BP2t ， 则 PC(102t)cm； 故答案为：(102t)； (2)解：当 t2.5 时， ABPDCP， 当 t2.5 时，BP2.5 25， PC1055， 在 ABP 和 DCP 中， ， ABPDCP(SAS) (3)解：如图 1，当 BACQ，PBPC 时，再由BC，可得 ABPQCP， PBPC， BPPC BC5， 2t5， 解得：t2.5， BACQ6， v 2.56， 解得：v2.4(秒) 如图 2，当 BPCQ，ABP
30、C 时，再由BC，可得 ABPPCQ， AB6， PC6， BP1064， 2t4， 解得：t2， CQBP4， 2v4， 解得：v2； 综上所述：当 v2.4 秒或 2 秒时 ABP 与 PQC 全等 12.如图，正方形 OABC 的边 OA，OC 分别在 x 轴 y 轴上，顶点 B 在第一象限，AB=6，点 E，F 分别在 AB 和射线 OB 上运动(E，F 不与正方形的顶点重合)， ，设 BE=t (1)当 时，则 AE=_；BF=_； (2)当点 F 在线段 OB 上运动时，若 的面积为 ，求 t 的值 (3)在整个运动的过程中 平面上是否存在点 P，使得以 P，O，E，F 为顶点的四
31、边形是菱形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请 说明理由 若函数 ( ，a 为常数)的图象同时经过 E，F，直接写出 a 的值. 【答案】(1)解：AE=AB-BE=6-2=4; 由勾股定理得 OB= , ，BE=t=2,OF= ， BF=OB-OF= ， 故答案为：4， ; (2)解：如图， 由题意，得 EB=t，BF= 由面积得 解得 (3)解： 由已知得： ()OF= EF 则有 解得 () EF = OE 则有 解得 t=4， () OF= OE 则有 解得 由题意及图象可得： ，设 BE=t，四边形 OABC 是正方形，AB=6， ，AE=6-t， 同时经过点 E、F， - ，解得 . 故答案为：-4.