1、专练 08 四边形中线段的数量与位置关系 1.在平行四边形 中， 是 上一点， ，过点 作直线 ，在 上取一点 ， 使得 ，连接 (1)如图 1，当 与 相交时，当 时， 请直接写出 度数为_； (2)求证： ； (3)如图 2，当 与 相交时，且 ，请你写出线段 ， ， 之间的数量关系， 并证明你的结论 【答案】 (1) (2)在 上取 ，使 ，连接 、 ， 、 是等边三角形 ， ， ， (3)连接 AG，将 绕 顺时针旋转 90 至 处 ， 在四边形 中， ，即 ， ， 三点共线 ，即 是等腰直角三角形 【解析】(1)平行四边形 中 , , 故答案为： 2.如图， 以 ABC的各边为边长，
2、 在边BC的同侧分别作正方形ABDI ， 正方形BCFE ， 正方形ACHG ， 连接 AD ， DE ， EG (1)求证： BDEBAC； (2)求证：四边形 ADEG 是平行四边形； (3)若四边形 ADEG 是正方形，请直接写出 AC 与 AB 的数量关系(不用写证明过程) 【答案】 (1)证明：四边形 ABDI、四边形 BCFE 是正方形 BDBA，BE=BC，DBAEBC90 DBE+EBA=90 ，ABC+EBA=90 DBEABC BDEBAC (2)证明：BDEBAC DEACAG BACBDE AD 是正方形 ABDI 的对角线， BDABAD45 EDABDEBDABDE
3、45 DAG360 GACBACBAD 360 90 BAC45 225 BAC EDA+DAGBDE45 +225 BAC180 DEAG，DE=AG 四边形 ADEG 是平行四边形 (3)AC AB 3.如图 (1)方法呈现 如图， ABC 中，AD 为中线，已知 AB=3，AC=5，求中线 AD 长的取值范围. 解决此问题可以用如下方法： 延长 AD 至点 E， 使 DE=AD， 连结 CE， 则易证 DECDAB， 得到 ECAB3， 则可得 ，从而可得中线 AD 长的取值范围是 _ . (2)探究应用 如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，点 E 是 BC 的中点，若 AE 是BA
4、D 的平分线，试判断 AB，AD， DC 之间的等量关系，并写出完整的证明过程. (3)如图， 在四边形 ABCD 中， ABCD， AF 与 DC 的延长线交于点 F， 点 E 是 BC 的中点， 若 AE 是BAF 的平分线，试探究 AB，AF，CF 之间的等量关系，并证明你的结论 【答案】 (1)1AD4 (2)解：延长 AE，DC 交于点 F， ABCD， BAFF， 在 ABE 和 FCE 中 CE=BE，BAFF，AEB=FEC， ABEFEC(AAS)， CF=AB AE 是BAD 的平分线， BAFFAD， FADF， ADDF， DC+CF=DF， DC+AB=AD. (3)
5、解：延长 AE，DF 交于点 G， 同(2)可得：AF=FG， ABEGEC，AB=CG，AF+CF=AB 【解析】(1)解：(1)由题意知 AC-CEAEAC+CE，即 5-4AE5+3， 1AD4， 故答案为：1AD4； 4.已知在 中， ， ，直线 经过点 ，过点 、 分别向直线 作 垂线，垂足分别为 、 ， 交 于点 (1)如图，若 ，求证： (2)如图 2，若 ，则 、 、 之间的数量关系是_ (3)在(2)的条件下，如图 3，连接 ，过点 作 ，交 延长线于点 ，若 ， ，求 的长 【答案】 (1)证明：如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ，
6、， ， ，即 ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 即 ； (2) (3)解：如图，过 作 ，交 的延长线于点 ， 由(2)可知， ， ， ， ， ， 在 中，由勾股定理得： ， ，解得 或 (不符题意，舍去)， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， 解得 ， ， ， ， ，即 ， 解得 ， ， 故 的长为 6 【解析】(2)如图，过 作 ，交 的延长于点 ， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ，即 ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ； 5.已知， 正方形 中， ， 绕点 顺时针旋转， 它的两边分别交 ， (或 它们的延长线)于点 ， ， 于点 (1
7、)如图，当 绕点 旋转到 时，请你直接写出 与 的数量关系：_； (2)如图，当 绕点 旋转到 时， 中发现的 与 的数量关系还成立吗？ 如果不成立请写出理由，如果成立请证明； (3)如图，已知 ， 于点 ，且 ， ，求 的长(可利用 (2)得到的结论) 【答案】 (1)AH=AB (2)解：(1)中的数量关系仍成立理由如下： 如图，延长 至 ，使 是正方形 ， 在 和 中 ， 在 和 中 ， ， 是 和 对应边上的高 (3)解：如图分别沿 ， 翻折 和 ，得到 和 ， ， ， 分别延长 和 交于点 ，得正方形 由(2)可知， 设 ，则 ， 在 中，由勾股定理，得 解得 ， (不符合题意，舍去
8、) 【解析】解：(1) 理由如下： 四边形 是正方形， ， ， 在 与 中， ， 在 与 中 故答案为： 6.某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： 操作发现： (1)如图 1，分别以 AB 和 AC 为边向 ABC 外侧作等边 ABD 和等边 ACE，连接 BECD，请你完成作图 并证明 BE=CD.(要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹) (2)类比探究： 如图 2，分别以 AB 和 AC 为边向 ABC 外侧作正方形 ABDE 和正方形 ACFG，连接 CEBG，则线段 CE BG 有什么关系？说明理由. (3)灵活运用： 如图 3，在四边形 ABCD 中，
9、AC、BD 是对角线，AB=BC，ABC=60 ，ADC=30 ，AD=3，BD=5，求 CD 的长. 【答案】 (1)作图，如图所示： ABD 和 ACE 都为等边三角形， AD=AB，AC=AE，BAD=CAE=60 ， BAD+BAC=CAE+CAB，即DAC=EAB， 在 ACD 和 AEB 中， ， ACDAEB(SAS)， BE=CD (2)CE=BG，理由为： 证明：四边形 ABDE 与四边形 ACFG 都为正方形， AE=AB，AC=AG，EAB=CAG=90 ， EAB+BAC=CAG+CAB，即EAC=BAG， 在 ACE 和 ABG 中， ， ACEABG(SAS)， C
10、E=BG (3)AB=BC，ABC=60 ， ABC 是等边三角形， AB=AC，ACB=60 ， 在 CD 外侧作等边 CDE，则ADE=90 ，DE=DC，DCE=60 ， ACB=DCE=60 ， ACE=BCD， 在 ACE 和 BCD 中， ， ACEBCD(SAS) AE=BD， 在 Rt ADE 中，DE2=AE2-AD2=BD2-AD2= ， DE=4， CD=4 7.如图，正方形 ABCD，点 P 在射线 CB 上运动(不包含点 B、C)，连接 DP，交 AB 于点 M，作 BEDP 于 点 E，连接 AE，作FAD=EAB，FA 交 DP 于点 F. (1)如图 a，当点
11、P 在 CB 的延长线上时， 求证：DF=BE； 请判断 DE、BE、AE 之间的数量关系并证明； (2)如图 b，当点 P 在线段 BC 上时，DE、BE、AE 之间有怎样的数量关系？请直接写出答案，不必证明； (3)如果将已知中的正方形 ABCD 换成矩形 ABCD，且 AD：AB= ：1，其他条件不变，当点 P 在射线 CB 上时，DE、BE、AE 之间又有怎样的数量关系？请直接写出答案，不必证明. 【答案】 (1)证明：正方形 ABCD 中，AD=AB，ADM+AMD=90 BEDP， EBM+BME=90 ， AMD=BME， EBM=ADM， 在 ABE 和 ADF 中， ， AB
12、EADF， DF=BE； DE=BE+ AE， 理由：由(1)有 ABEADF， AE=AF，BAE=DAF， BAE+FAM=DAF+FAM， EAF=BAD=90 ， EF= AE， DE=DF+EF， DE=BE+ AE； (2)解：DE= AEBE； (3)DE=2AE+ BE 或 DE=2AE BE. 【解析】(2)证明：正方形 ABCD 中，AD=AB，BAD=BAE+DAE=90 ， FAD=EAB， EAF=BAD=90 ， AFE+AEF=90 BEDP， BEA+AEF=90 ， BEA=AFE， FAD=EAB，AD=AB ABEADF， AE=AF，BE=DF EAF=
13、90 EF= AE， EF=DF+DE= AE， DE= AEDF= AEBE； (3)证明：如图 1 所示时， 正方形 ABCD 中，ADM+AMD=90 BEDP， EBM+BME=90 ， AMD=BME， EBM=ADM， FAD=EAB ABEADF， ， AD：AB= ：1， ， AF= AE，DF= BE FAD=EAB EAF=EAB+BAF=FAD+BAF=BAD=90 ， EF= =2AE=DEDF=DE BE， 即：DE=2AE+ BE； 如图 2 所示， DAF=BAE， EAF=BAD=90 ， DAF=BAE， BAEDAF， ， AD：AB= ：1， ， AF=
14、AE，DF= BE， EAF=90 ， 根据勾股定理得，EF= =2AE=DE+DF=DE+ BE， DE=2AE BE. 8.在一-次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片 ABC 和 DEF 拼在一起，使点 A 与点 F 重 合，点 C 与点 D 重合(如图 1)，其中ACB=DFE=90 ，BC=EF=3cm，AC=DF=4 cm，并进行如下研究活 动。 活动一:将图 1 中的纸片 DEF 沿 AC 方向平移，连结 AE，BD(如图 2)，当点 F 与点 C 重合时停止平移。 活动二:在图 3 中，取 AD 的中点 O，再将纸片 DEF 绕点 O 顺时针方向旋转 a 度(0a9
15、0)，连结 OB，OE(如 图 4)。 (1)图 2 中的四边形 ABDE 是平行四边形吗？请说明理由。 (2)当纸片 DEF 平移到某一位置时，小兵发现四边形 ABDE 为矩形(如图 3)。求 AF 的长。 (3)当 EF 平分AEO 时，探究 OF 与 BD 的数量关系，并说明理由。 【答案】 (1)解：四边形 ABDE 是平行四边形 如图 ABCDEF， AB=DE，BAC=EDF， ABDE， 四边形 ABDE 是平行四边形 (2)解： 如图 1，连接 BE 交 AD 于点 O， 四边形 ABDE 为矩形， OA=OD=OB=OE， 设 AF=x(cm)，则 OA=OE= (x+4)，
16、 OF=0A-AF=2- x， 在 Rt OFE 中，OF2+EF2=OE2 ， (2- x) 2+32= (x+4) 2 ， 解得:x= AF= cm (3)解：BD= 2OF， 证明:如图 2， 延长 OF 交 AE 于点 H， 四边形 ABDE 为矩形， OAB=OBA=ODE=OED，OA=OB=OE=OD， OBD=ODB，OAE=OEA， ABD+BDE+DEA+EAB= 360 ， ABD+2BAE=180 ， AEBD， OHE=ODB， EF 平分OEH， OEF=HEF， EFO=EFH=90 ，EF=EF， EFOEFH(ASA)， EO= EH，FO=FH， EHO=E
17、OH=OBD=ODB， EOHOBD( AAS)， BD=OH=2OF 9.如图 1，在矩形 ABCD 中，AB5，BC8，点 E，F 分别为 AB，CD 的中点. (1)求证：四边形 AEFD 是矩形； (2)如图 2，点 P 是边 AD 上一点，BP 交 EF 于点 O，点 A 关于 BP 的对称点为点 M，当点 M 落在线段 EF 上时，则有 OBOM.请说明理由； (3)如图 3，若点 P 是射线 AD 上一个动点，点 A 关于 BP 的对称点为点 M，连接 AM，DM，当 AMD 是 等腰三角形时，求 AP 的长. 【答案】 (1)证明：四边形 ABCD 是矩形， ABCD，ABCD
18、，A90 ， AEEB，DFFC， AEDF，AEDF， 四边形 AEFD 是平行四边形， A90 ， 四边形 AEFD 是矩形. (2)解：如图 2 中，连接 PM.BM. 四边形 AEFD 是矩形， EFAD， BEAE， BOOP， 由翻折可知，PMBA90 ， OMOBOP. (3)解：如图 31 中，当 MAMD 时，连接 BM，过点 M 作 MHAD 于 H 交 BC 于 F. MAMD，MHAD， AHHD4， BAHABFAHF90 ， 四边形 ABFH 是矩形， BFAH4，ABFH5， BFM90 ， BMBA5， FM ， HMHFFM532， ABP+APB90 ，MA
19、H+APB90 ， ABPMAH， BAPAHM90 ， ABPHAM， ， ， AP . 如图 32 中，当 AMAD 时，连接 BM，设 BP 交 AM 于 F. ADAM8，BABM5，BFAM， AFFM4， BF ， tanABF ， ， AP ， 如图 33 中，当 DADM 时，此时点 P 与 D 重合，AP8. 如图 34 中，当 MAMD 时，连接 BM，过点 M 作 MHAD 于 H 交 BC 于 F. BM5，BF4， FM3，MH3+58， 由 ABPHAM，可得 ， ， AP10， 综上所述，满足条件的 PA 的值为 或 或 8 或 10. 10.四边形 是边长为 的
20、正方形， 是 的中点，连结 ，点 是射线 上一动点(不 与点 重合)，连结 ，交 于点 . (1)如图 1，当点 是 边的中点时，求证： ； (2)如图 2，当点 与点 重合时，求 的长； (3)在点 运动的过程中，当线段 为何值时， ？请说明理由. 【答案】 (1)证明: 四边形 是正方形， ， 点 、 分别是 、 的中点， ， ， . (2)在正方形 中， ， ， ， ， ， 即 ， . 故答案为： . (3)当 时， .理由如下: 由(2)知，当点 与 重合(即 )时， ， 点 应在 的延长线上(即 )， 如图所示，设 交 于点 ， 若使 ， 则有 ， ， 又 ， ， ， 在 中， ，
21、即 ， ， ， ， ， ， 即 ， ， 当 时， . 故答案为： . 11.我们知道，平行四边形的对边平行且相等.利用这一性质，可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提 供帮助. (1)重温定理，识别图形 如图，我们在探究三角形中位线 DE 和第三边 BC 的关系时，所作的辅助线为“延长 DE 到点 F，使 EF DE，连接 CF”，此时 DE 与 DF 在同一直线上且 DE= DF，又可证图中的四边形_为平行四边形， 可得 BC 与 DF 的关系是_，于是推导出了“DE BC，DE BC”. (2)寻找图形，完成证明 如图，四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都是正方形， BEH 是等腰直
22、角三角形，EBH90 ，连接 CF、 CH.求证 CF BE. (3)构造图形，解决问题 如图，四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都是菱形，ABCAEF120 ，连接 BE、CF.直接写出 CF 与 BE 的数量关系. 【答案】 (1)DBCF； (2)解：在正方形 ABCD 和等腰直角三角形 BEH 中， ABCEBH90 ，BABC，BEBH. ABECBH. ABECBH. AECH，AEBCHB. 在正方形 AEFG 中，AEEF，AEF90 . EFCH. 在等腰直角三角形 BEH 中，BEHBHE45 . AEBFEH360 BEHAEF225 . CHBFEH225 . BH
23、E45 ， CHEFEH225 45 180 . EFCH. 四边形 EHCF 是平行四边形. CFEH. EH BE， CF BE. (3)解：CF BE. 作等腰 BEH，使 BHBE，EBH120 ，连接 CH. 在菱形 ABCD 和等腰三角形 BEH 中， ABCEBH120 ， ABECBH. BABC，BEBH， ABECBH. AECH，AEBCHB. 在菱形 AEFG 中，AEEF， EFCH. BEH(180 EBH) 230 ，AEF120 ， AEBFEH360 BEHAEF210 . CHBFEH210 . BHE(180 EBH) 230 ， CHEFEH210 30
24、 180 . EFCH. 四边形 EHCF 是平行四边形. CFEH. 在 BEH 中， EHBEtan60 = BE. CF BE. 【解析】解：(1)如图，延长 DE 到点 F，使得 EF=DE，连接 CF 在 ADE 和 CFE 中， ， ADECFE(SAS)， A=ECF，AD=CF， CFAB， 又AD=BD， CF=BD， 四边形 BCFD 是平行四边形， DEBC，DE= BC. 故答案为：DBCF；BCDF，BCDF； 12.已知，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是正方形 ABCD 所在平面内一动点(不与点 D 重合)，ABAE，过 点 B 作 DE 的垂线交 DE 所在
25、直线于 F，连接 CF. 提出问题：当点 E 运动时，线段 CF 与线段 DE 之间的数量关系是否发生改变？ (1)探究问题： 首先考察点 E 的一个特殊位置：当点 E 与点 B 重合(如图)时，点 F 与点 B 也重合.用等式表示线段 CF 与 线段 DE 之间的数量关系：_； (2)然后考察点 E 的一般位置，分两种情况： 情况 1：当点 E 是正方形 ABCD 内部一点(如图)时； 情况 2：当点 E 是正方形 ABCD 外部一点(如图)时. 在情况 1 或情况 2 下，线段 CF 与线段 DE 之间的数量关系与(1)中的结论是否相同？如果都相同，请选择一 种情况证明；如果只在一种情况下
26、相同或在两种情况下都不相同，请说明理由； (3)拓展问题： 连接 AF，用等式表示线段 AF、CF、DF 三者之间的数量关系：_. 【答案】 (1)解：DE CF (2)解：在情况 1 或情况 2 下，线段 CF 与线段 DE 之间的数量关系与(1)中结论相同；理由如下： 情况 1：四边形 ABCD 是正方形， CD=CB=AD=AB=AE，BCD=DAB=ABC=90 ， 过点 C 作 CGCF，交 DF 于 G，如图所示： 则BCD=GCF=90 ， DCG=BCF， 设 BC 交 DF 于 P， BFDE， BFD=BCD=90 ， DPC=FPB， CDP=FBP， 在 CDG 和 C
27、BF 中， ， CDGCBF(ASA)， DG=FB，CG=CF， GCF 是等腰直角三角形， FG= CF， 连接 BE， 设CDG=，则CBF=，ADE=90 -， AD=AE， DEA=ADE=90 -， DAE=180 -2(90 -)=2， EAB=90 -2， AB=AE， BEA=ABE= (180 -EAB)= (180 -90+2)=45+， CBE=90 -(45+)=45-， FBE=CBE+CBF=45 -+=45， BFDE， BEF 是等腰直角三角形， EF=BF， EF=DG， EF+EG=DG+EG，即 DE=FG， DE= CF； 情况 2：过点 C 作 CG
28、CF 交 DF 延长线于 G，连接 BE，设 CD 交 BF 于 P，如图所示： GCF=BCD=90 ， DCG=BCF， FPD=BPC， FDP=PBC， 在 CDG 和 CBF 中， ， CDGCBF(ASA)， DG=FB，CG=CF， GCF 是等腰直角三角形， FG= CF， 设CDG=，则CBF=， 同理可知：DEA=ADE=90 -，DAE=2， EAB=90+2， AB=AE， BEA=ABE=45 -， FEB=DEA-AEB=90 -(45 -)=45， BFDE， BEF 是等腰直角三角形， EF=BF， EF=DG， DE=FG， DE= CF； (3)AFCF D
29、F 【解析】解： (1)四边形 ABCD 是正方形， CD=CB，BCD=90 ， BCD 是等腰直角三角形， DB= CB， 当点 E、F 与点 B 重合时，则 DE= CF， 故答案为：DE= CF； ( 3 )当 F 在 BC 的右侧时，作 HDDF 交 FA 延长线于 H，如图所示： 由(2)得： BEF 是等腰直角三角形，EF=BF， 在 ABF 和 AEF 中， ， ABFAEF(SSS)， EFA=BFA= BFE=45 ， HDF 是等腰直角三角形， HF= DF，DH=DF， HDF=ADC=90 ， HDA=FDC， 在 HDA 和 FDC 中， ， HDAFDC(SAS)
30、， CF=HA， DF=HF=HA+AF=CF+AF，即 AF+CF= DF； 当 F 在 AB 的下方时，作 DHDE，交 FC 延长线于 H，在 DF 上取点 N，使 CN=CD，连接 BN，如图 所示： 设DAE=，则CDN=CND=90 -， DCN=2， NCB=90 -2， CN=CD=CB， CNB=CBN= (180 -NCB)= (180 -90+2)=45+， CNE=180 -CND=180 -(90 -)=90+， FNB=90+-(45+)=45， BFN 是等腰直角三角形， BF=NF， 在 CNF 和 CBF 中， ， CNFCBF(SSS)， NFC=BFC=
31、BFD=45 ， DFH 是等腰直角三角形， FH= DF，DF=DH， ADC=HDE=90 ， ADF=CDH， 在 ADF 和 CDH 中， ， ADFCDH(SAS)， CH=AF， FH=CH+CF=AF+CF， AF+CF= DF； 当 F 在 DC 的上方时，连接 BE，作 HDDF，交 AF 于 H，如图所示： 由(2)得： BEF 是等腰直角三角形，EF=BF， 在 ABF 和 AEF 中， ， ABFAEF(SSS)， EFA=BFA= BFE=45 ， HDF 是等腰直角三角形， HF= DF，DH=DF， ADC=HDF=90 ， ADH=CDF， 在 ADC 和 HD
32、F 中， ， ADCHDF(SAS)， AH=CF， HF=AF-AH=AF-CF， AF-CF= DF； 当 F 在 AD 左侧时，作 HDDF 交 AF 的延长线于 H，连接 BE，设 AD 交 BF 于 P，如图所示： AB=AE=AD， AED=ADE， PFD=PAB=90 ，FPD=BPA， ABP=FDP， FEA=FBA， AB=AE， AEB=ABE， FEB=FBE， BFE 是等腰直角三角形， EF=BF， 在 ABF 和 AEF 中， ， ABFAEF(SSS)， EFA=BFA= BFE=45 ， DFH=EFA=45 ， HDF 是等腰直角三角形， DH=DF，HF= DF， HDF=CDA=90 ， HDA=FDC， 在 HDA 和 FDC 中， ， HDAFDC(SAS)， AF=CF， AH-AF=CF-AF=HF， CF-AF= DF， 综上所述，线段 AF、CF、DF 三者之间的数量关系：AF+CF= DF 或|AF-CF|= DF， 故答案为：AF+CF= DF 或|AF-CF|= DF.