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专练08 四边形中线段的数量与位置关系-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(教师版含解析)

1、专练 08 四边形中线段的数量与位置关系 1.在平行四边形 中, 是 上一点, ,过点 作直线 ,在 上取一点 , 使得 ,连接 (1)如图 1,当 与 相交时,当 时, 请直接写出 度数为_; (2)求证: ; (3)如图 2,当 与 相交时,且 ,请你写出线段 , , 之间的数量关系, 并证明你的结论 【答案】 (1) (2)在 上取 ,使 ,连接 、 , 、 是等边三角形 , , , (3)连接 AG,将 绕 顺时针旋转 90 至 处 , 在四边形 中, ,即 , , 三点共线 ,即 是等腰直角三角形 【解析】(1)平行四边形 中 , , 故答案为: 2.如图, 以 ABC的各边为边长,

2、 在边BC的同侧分别作正方形ABDI , 正方形BCFE , 正方形ACHG , 连接 AD , DE , EG (1)求证: BDEBAC; (2)求证:四边形 ADEG 是平行四边形; (3)若四边形 ADEG 是正方形,请直接写出 AC 与 AB 的数量关系(不用写证明过程) 【答案】 (1)证明:四边形 ABDI、四边形 BCFE 是正方形 BDBA,BE=BC,DBAEBC90 DBE+EBA=90 ,ABC+EBA=90 DBEABC BDEBAC (2)证明:BDEBAC DEACAG BACBDE AD 是正方形 ABDI 的对角线, BDABAD45 EDABDEBDABDE

3、45 DAG360 GACBACBAD 360 90 BAC45 225 BAC EDA+DAGBDE45 +225 BAC180 DEAG,DE=AG 四边形 ADEG 是平行四边形 (3)AC AB 3.如图 (1)方法呈现 如图, ABC 中,AD 为中线,已知 AB=3,AC=5,求中线 AD 长的取值范围. 解决此问题可以用如下方法: 延长 AD 至点 E, 使 DE=AD, 连结 CE, 则易证 DECDAB, 得到 ECAB3, 则可得 ,从而可得中线 AD 长的取值范围是 _ . (2)探究应用 如图,在四边形 ABCD 中,ABCD,点 E 是 BC 的中点,若 AE 是BA

4、D 的平分线,试判断 AB,AD, DC 之间的等量关系,并写出完整的证明过程. (3)如图, 在四边形 ABCD 中, ABCD, AF 与 DC 的延长线交于点 F, 点 E 是 BC 的中点, 若 AE 是BAF 的平分线,试探究 AB,AF,CF 之间的等量关系,并证明你的结论 【答案】 (1)1AD4 (2)解:延长 AE,DC 交于点 F, ABCD, BAFF, 在 ABE 和 FCE 中 CE=BE,BAFF,AEB=FEC, ABEFEC(AAS), CF=AB AE 是BAD 的平分线, BAFFAD, FADF, ADDF, DC+CF=DF, DC+AB=AD. (3)

5、解:延长 AE,DF 交于点 G, 同(2)可得:AF=FG, ABEGEC,AB=CG,AF+CF=AB 【解析】(1)解:(1)由题意知 AC-CEAEAC+CE,即 5-4AE5+3, 1AD4, 故答案为:1AD4; 4.已知在 中, , ,直线 经过点 ,过点 、 分别向直线 作 垂线,垂足分别为 、 , 交 于点 (1)如图,若 ,求证: (2)如图 2,若 ,则 、 、 之间的数量关系是_ (3)在(2)的条件下,如图 3,连接 ,过点 作 ,交 延长线于点 ,若 , ,求 的长 【答案】 (1)证明:如图,过点 作 ,交 的延长线于点 , , , , , 四边形 是矩形, ,

6、, , ,即 , , , , 在 和 中, , , , , 即 ; (2) (3)解:如图,过 作 ,交 的延长线于点 , 由(2)可知, , , , , , 在 中,由勾股定理得: , ,解得 或 (不符题意,舍去), , , , , , , , ,即 , 解得 , , , , ,即 , 解得 , , 故 的长为 6 【解析】(2)如图,过 作 ,交 的延长于点 , , , , , 四边形 是矩形, , , , , ,即 , 在 和 中, , , , , , , 故答案为: ; 5.已知, 正方形 中, , 绕点 顺时针旋转, 它的两边分别交 , (或 它们的延长线)于点 , , 于点 (1

7、)如图,当 绕点 旋转到 时,请你直接写出 与 的数量关系:_; (2)如图,当 绕点 旋转到 时, 中发现的 与 的数量关系还成立吗? 如果不成立请写出理由,如果成立请证明; (3)如图,已知 , 于点 ,且 , ,求 的长(可利用 (2)得到的结论) 【答案】 (1)AH=AB (2)解:(1)中的数量关系仍成立理由如下: 如图,延长 至 ,使 是正方形 , 在 和 中 , 在 和 中 , , 是 和 对应边上的高 (3)解:如图分别沿 , 翻折 和 ,得到 和 , , , 分别延长 和 交于点 ,得正方形 由(2)可知, 设 ,则 , 在 中,由勾股定理,得 解得 , (不符合题意,舍去

8、) 【解析】解:(1) 理由如下: 四边形 是正方形, , , 在 与 中, , 在 与 中 故答案为: 6.某学校活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程: 操作发现: (1)如图 1,分别以 AB 和 AC 为边向 ABC 外侧作等边 ABD 和等边 ACE,连接 BECD,请你完成作图 并证明 BE=CD.(要求:尺规作图,不写作法但保留作图痕迹) (2)类比探究: 如图 2,分别以 AB 和 AC 为边向 ABC 外侧作正方形 ABDE 和正方形 ACFG,连接 CEBG,则线段 CE BG 有什么关系?说明理由. (3)灵活运用: 如图 3,在四边形 ABCD 中,

9、AC、BD 是对角线,AB=BC,ABC=60 ,ADC=30 ,AD=3,BD=5,求 CD 的长. 【答案】 (1)作图,如图所示: ABD 和 ACE 都为等边三角形, AD=AB,AC=AE,BAD=CAE=60 , BAD+BAC=CAE+CAB,即DAC=EAB, 在 ACD 和 AEB 中, , ACDAEB(SAS), BE=CD (2)CE=BG,理由为: 证明:四边形 ABDE 与四边形 ACFG 都为正方形, AE=AB,AC=AG,EAB=CAG=90 , EAB+BAC=CAG+CAB,即EAC=BAG, 在 ACE 和 ABG 中, , ACEABG(SAS), C

10、E=BG (3)AB=BC,ABC=60 , ABC 是等边三角形, AB=AC,ACB=60 , 在 CD 外侧作等边 CDE,则ADE=90 ,DE=DC,DCE=60 , ACB=DCE=60 , ACE=BCD, 在 ACE 和 BCD 中, , ACEBCD(SAS) AE=BD, 在 Rt ADE 中,DE2=AE2-AD2=BD2-AD2= , DE=4, CD=4 7.如图,正方形 ABCD,点 P 在射线 CB 上运动(不包含点 B、C),连接 DP,交 AB 于点 M,作 BEDP 于 点 E,连接 AE,作FAD=EAB,FA 交 DP 于点 F. (1)如图 a,当点

11、P 在 CB 的延长线上时, 求证:DF=BE; 请判断 DE、BE、AE 之间的数量关系并证明; (2)如图 b,当点 P 在线段 BC 上时,DE、BE、AE 之间有怎样的数量关系?请直接写出答案,不必证明; (3)如果将已知中的正方形 ABCD 换成矩形 ABCD,且 AD:AB= :1,其他条件不变,当点 P 在射线 CB 上时,DE、BE、AE 之间又有怎样的数量关系?请直接写出答案,不必证明. 【答案】 (1)证明:正方形 ABCD 中,AD=AB,ADM+AMD=90 BEDP, EBM+BME=90 , AMD=BME, EBM=ADM, 在 ABE 和 ADF 中, , AB

12、EADF, DF=BE; DE=BE+ AE, 理由:由(1)有 ABEADF, AE=AF,BAE=DAF, BAE+FAM=DAF+FAM, EAF=BAD=90 , EF= AE, DE=DF+EF, DE=BE+ AE; (2)解:DE= AEBE; (3)DE=2AE+ BE 或 DE=2AE BE. 【解析】(2)证明:正方形 ABCD 中,AD=AB,BAD=BAE+DAE=90 , FAD=EAB, EAF=BAD=90 , AFE+AEF=90 BEDP, BEA+AEF=90 , BEA=AFE, FAD=EAB,AD=AB ABEADF, AE=AF,BE=DF EAF=

13、90 EF= AE, EF=DF+DE= AE, DE= AEDF= AEBE; (3)证明:如图 1 所示时, 正方形 ABCD 中,ADM+AMD=90 BEDP, EBM+BME=90 , AMD=BME, EBM=ADM, FAD=EAB ABEADF, , AD:AB= :1, , AF= AE,DF= BE FAD=EAB EAF=EAB+BAF=FAD+BAF=BAD=90 , EF= =2AE=DEDF=DE BE, 即:DE=2AE+ BE; 如图 2 所示, DAF=BAE, EAF=BAD=90 , DAF=BAE, BAEDAF, , AD:AB= :1, , AF=

14、AE,DF= BE, EAF=90 , 根据勾股定理得,EF= =2AE=DE+DF=DE+ BE, DE=2AE BE. 8.在一-次数学研究性学习中,小兵将两个全等的直角三角形纸片 ABC 和 DEF 拼在一起,使点 A 与点 F 重 合,点 C 与点 D 重合(如图 1),其中ACB=DFE=90 ,BC=EF=3cm,AC=DF=4 cm,并进行如下研究活 动。 活动一:将图 1 中的纸片 DEF 沿 AC 方向平移,连结 AE,BD(如图 2),当点 F 与点 C 重合时停止平移。 活动二:在图 3 中,取 AD 的中点 O,再将纸片 DEF 绕点 O 顺时针方向旋转 a 度(0a9

15、0),连结 OB,OE(如 图 4)。 (1)图 2 中的四边形 ABDE 是平行四边形吗?请说明理由。 (2)当纸片 DEF 平移到某一位置时,小兵发现四边形 ABDE 为矩形(如图 3)。求 AF 的长。 (3)当 EF 平分AEO 时,探究 OF 与 BD 的数量关系,并说明理由。 【答案】 (1)解:四边形 ABDE 是平行四边形 如图 ABCDEF, AB=DE,BAC=EDF, ABDE, 四边形 ABDE 是平行四边形 (2)解: 如图 1,连接 BE 交 AD 于点 O, 四边形 ABDE 为矩形, OA=OD=OB=OE, 设 AF=x(cm),则 OA=OE= (x+4),

16、 OF=0A-AF=2- x, 在 Rt OFE 中,OF2+EF2=OE2 , (2- x) 2+32= (x+4) 2 , 解得:x= AF= cm (3)解:BD= 2OF, 证明:如图 2, 延长 OF 交 AE 于点 H, 四边形 ABDE 为矩形, OAB=OBA=ODE=OED,OA=OB=OE=OD, OBD=ODB,OAE=OEA, ABD+BDE+DEA+EAB= 360 , ABD+2BAE=180 , AEBD, OHE=ODB, EF 平分OEH, OEF=HEF, EFO=EFH=90 ,EF=EF, EFOEFH(ASA), EO= EH,FO=FH, EHO=E

17、OH=OBD=ODB, EOHOBD( AAS), BD=OH=2OF 9.如图 1,在矩形 ABCD 中,AB5,BC8,点 E,F 分别为 AB,CD 的中点. (1)求证:四边形 AEFD 是矩形; (2)如图 2,点 P 是边 AD 上一点,BP 交 EF 于点 O,点 A 关于 BP 的对称点为点 M,当点 M 落在线段 EF 上时,则有 OBOM.请说明理由; (3)如图 3,若点 P 是射线 AD 上一个动点,点 A 关于 BP 的对称点为点 M,连接 AM,DM,当 AMD 是 等腰三角形时,求 AP 的长. 【答案】 (1)证明:四边形 ABCD 是矩形, ABCD,ABCD

18、,A90 , AEEB,DFFC, AEDF,AEDF, 四边形 AEFD 是平行四边形, A90 , 四边形 AEFD 是矩形. (2)解:如图 2 中,连接 PM.BM. 四边形 AEFD 是矩形, EFAD, BEAE, BOOP, 由翻折可知,PMBA90 , OMOBOP. (3)解:如图 31 中,当 MAMD 时,连接 BM,过点 M 作 MHAD 于 H 交 BC 于 F. MAMD,MHAD, AHHD4, BAHABFAHF90 , 四边形 ABFH 是矩形, BFAH4,ABFH5, BFM90 , BMBA5, FM , HMHFFM532, ABP+APB90 ,MA

19、H+APB90 , ABPMAH, BAPAHM90 , ABPHAM, , , AP . 如图 32 中,当 AMAD 时,连接 BM,设 BP 交 AM 于 F. ADAM8,BABM5,BFAM, AFFM4, BF , tanABF , , AP , 如图 33 中,当 DADM 时,此时点 P 与 D 重合,AP8. 如图 34 中,当 MAMD 时,连接 BM,过点 M 作 MHAD 于 H 交 BC 于 F. BM5,BF4, FM3,MH3+58, 由 ABPHAM,可得 , , AP10, 综上所述,满足条件的 PA 的值为 或 或 8 或 10. 10.四边形 是边长为 的

20、正方形, 是 的中点,连结 ,点 是射线 上一动点(不 与点 重合),连结 ,交 于点 . (1)如图 1,当点 是 边的中点时,求证: ; (2)如图 2,当点 与点 重合时,求 的长; (3)在点 运动的过程中,当线段 为何值时, ?请说明理由. 【答案】 (1)证明: 四边形 是正方形, , 点 、 分别是 、 的中点, , , . (2)在正方形 中, , , , , , 即 , . 故答案为: . (3)当 时, .理由如下: 由(2)知,当点 与 重合(即 )时, , 点 应在 的延长线上(即 ), 如图所示,设 交 于点 , 若使 , 则有 , , 又 , , , 在 中, ,

21、即 , , , , , , 即 , , 当 时, . 故答案为: . 11.我们知道,平行四边形的对边平行且相等.利用这一性质,可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提 供帮助. (1)重温定理,识别图形 如图,我们在探究三角形中位线 DE 和第三边 BC 的关系时,所作的辅助线为“延长 DE 到点 F,使 EF DE,连接 CF”,此时 DE 与 DF 在同一直线上且 DE= DF,又可证图中的四边形_为平行四边形, 可得 BC 与 DF 的关系是_,于是推导出了“DE BC,DE BC”. (2)寻找图形,完成证明 如图,四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都是正方形, BEH 是等腰直

22、角三角形,EBH90 ,连接 CF、 CH.求证 CF BE. (3)构造图形,解决问题 如图,四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都是菱形,ABCAEF120 ,连接 BE、CF.直接写出 CF 与 BE 的数量关系. 【答案】 (1)DBCF; (2)解:在正方形 ABCD 和等腰直角三角形 BEH 中, ABCEBH90 ,BABC,BEBH. ABECBH. ABECBH. AECH,AEBCHB. 在正方形 AEFG 中,AEEF,AEF90 . EFCH. 在等腰直角三角形 BEH 中,BEHBHE45 . AEBFEH360 BEHAEF225 . CHBFEH225 . BH

23、E45 , CHEFEH225 45 180 . EFCH. 四边形 EHCF 是平行四边形. CFEH. EH BE, CF BE. (3)解:CF BE. 作等腰 BEH,使 BHBE,EBH120 ,连接 CH. 在菱形 ABCD 和等腰三角形 BEH 中, ABCEBH120 , ABECBH. BABC,BEBH, ABECBH. AECH,AEBCHB. 在菱形 AEFG 中,AEEF, EFCH. BEH(180 EBH) 230 ,AEF120 , AEBFEH360 BEHAEF210 . CHBFEH210 . BHE(180 EBH) 230 , CHEFEH210 30

24、 180 . EFCH. 四边形 EHCF 是平行四边形. CFEH. 在 BEH 中, EHBEtan60 = BE. CF BE. 【解析】解:(1)如图,延长 DE 到点 F,使得 EF=DE,连接 CF 在 ADE 和 CFE 中, , ADECFE(SAS), A=ECF,AD=CF, CFAB, 又AD=BD, CF=BD, 四边形 BCFD 是平行四边形, DEBC,DE= BC. 故答案为:DBCF;BCDF,BCDF; 12.已知,四边形 ABCD 是正方形,点 E 是正方形 ABCD 所在平面内一动点(不与点 D 重合),ABAE,过 点 B 作 DE 的垂线交 DE 所在

25、直线于 F,连接 CF. 提出问题:当点 E 运动时,线段 CF 与线段 DE 之间的数量关系是否发生改变? (1)探究问题: 首先考察点 E 的一个特殊位置:当点 E 与点 B 重合(如图)时,点 F 与点 B 也重合.用等式表示线段 CF 与 线段 DE 之间的数量关系:_; (2)然后考察点 E 的一般位置,分两种情况: 情况 1:当点 E 是正方形 ABCD 内部一点(如图)时; 情况 2:当点 E 是正方形 ABCD 外部一点(如图)时. 在情况 1 或情况 2 下,线段 CF 与线段 DE 之间的数量关系与(1)中的结论是否相同?如果都相同,请选择一 种情况证明;如果只在一种情况下

26、相同或在两种情况下都不相同,请说明理由; (3)拓展问题: 连接 AF,用等式表示线段 AF、CF、DF 三者之间的数量关系:_. 【答案】 (1)解:DE CF (2)解:在情况 1 或情况 2 下,线段 CF 与线段 DE 之间的数量关系与(1)中结论相同;理由如下: 情况 1:四边形 ABCD 是正方形, CD=CB=AD=AB=AE,BCD=DAB=ABC=90 , 过点 C 作 CGCF,交 DF 于 G,如图所示: 则BCD=GCF=90 , DCG=BCF, 设 BC 交 DF 于 P, BFDE, BFD=BCD=90 , DPC=FPB, CDP=FBP, 在 CDG 和 C

27、BF 中, , CDGCBF(ASA), DG=FB,CG=CF, GCF 是等腰直角三角形, FG= CF, 连接 BE, 设CDG=,则CBF=,ADE=90 -, AD=AE, DEA=ADE=90 -, DAE=180 -2(90 -)=2, EAB=90 -2, AB=AE, BEA=ABE= (180 -EAB)= (180 -90+2)=45+, CBE=90 -(45+)=45-, FBE=CBE+CBF=45 -+=45, BFDE, BEF 是等腰直角三角形, EF=BF, EF=DG, EF+EG=DG+EG,即 DE=FG, DE= CF; 情况 2:过点 C 作 CG

28、CF 交 DF 延长线于 G,连接 BE,设 CD 交 BF 于 P,如图所示: GCF=BCD=90 , DCG=BCF, FPD=BPC, FDP=PBC, 在 CDG 和 CBF 中, , CDGCBF(ASA), DG=FB,CG=CF, GCF 是等腰直角三角形, FG= CF, 设CDG=,则CBF=, 同理可知:DEA=ADE=90 -,DAE=2, EAB=90+2, AB=AE, BEA=ABE=45 -, FEB=DEA-AEB=90 -(45 -)=45, BFDE, BEF 是等腰直角三角形, EF=BF, EF=DG, DE=FG, DE= CF; (3)AFCF D

29、F 【解析】解: (1)四边形 ABCD 是正方形, CD=CB,BCD=90 , BCD 是等腰直角三角形, DB= CB, 当点 E、F 与点 B 重合时,则 DE= CF, 故答案为:DE= CF; ( 3 )当 F 在 BC 的右侧时,作 HDDF 交 FA 延长线于 H,如图所示: 由(2)得: BEF 是等腰直角三角形,EF=BF, 在 ABF 和 AEF 中, , ABFAEF(SSS), EFA=BFA= BFE=45 , HDF 是等腰直角三角形, HF= DF,DH=DF, HDF=ADC=90 , HDA=FDC, 在 HDA 和 FDC 中, , HDAFDC(SAS)

30、, CF=HA, DF=HF=HA+AF=CF+AF,即 AF+CF= DF; 当 F 在 AB 的下方时,作 DHDE,交 FC 延长线于 H,在 DF 上取点 N,使 CN=CD,连接 BN,如图 所示: 设DAE=,则CDN=CND=90 -, DCN=2, NCB=90 -2, CN=CD=CB, CNB=CBN= (180 -NCB)= (180 -90+2)=45+, CNE=180 -CND=180 -(90 -)=90+, FNB=90+-(45+)=45, BFN 是等腰直角三角形, BF=NF, 在 CNF 和 CBF 中, , CNFCBF(SSS), NFC=BFC=

31、BFD=45 , DFH 是等腰直角三角形, FH= DF,DF=DH, ADC=HDE=90 , ADF=CDH, 在 ADF 和 CDH 中, , ADFCDH(SAS), CH=AF, FH=CH+CF=AF+CF, AF+CF= DF; 当 F 在 DC 的上方时,连接 BE,作 HDDF,交 AF 于 H,如图所示: 由(2)得: BEF 是等腰直角三角形,EF=BF, 在 ABF 和 AEF 中, , ABFAEF(SSS), EFA=BFA= BFE=45 , HDF 是等腰直角三角形, HF= DF,DH=DF, ADC=HDF=90 , ADH=CDF, 在 ADC 和 HD

32、F 中, , ADCHDF(SAS), AH=CF, HF=AF-AH=AF-CF, AF-CF= DF; 当 F 在 AD 左侧时,作 HDDF 交 AF 的延长线于 H,连接 BE,设 AD 交 BF 于 P,如图所示: AB=AE=AD, AED=ADE, PFD=PAB=90 ,FPD=BPA, ABP=FDP, FEA=FBA, AB=AE, AEB=ABE, FEB=FBE, BFE 是等腰直角三角形, EF=BF, 在 ABF 和 AEF 中, , ABFAEF(SSS), EFA=BFA= BFE=45 , DFH=EFA=45 , HDF 是等腰直角三角形, DH=DF,HF= DF, HDF=CDA=90 , HDA=FDC, 在 HDA 和 FDC 中, , HDAFDC(SAS), AF=CF, AH-AF=CF-AF=HF, CF-AF= DF, 综上所述,线段 AF、CF、DF 三者之间的数量关系:AF+CF= DF 或|AF-CF|= DF, 故答案为:AF+CF= DF 或|AF-CF|= DF.