1、专练 09 四边形中的面积和周长问题 1.如图 1，在正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、CD 的中点，连接 AE、BF，交点为 G (1)求证：AEBF； (2)将 BCF 沿 BF 对折，得到 BPF(如图 2)，延长 FP 到与 BA 的延长线于点 Q，求 的值； (3)将 ABE 绕点 A 逆时针方向旋转，使边 AB 正好落在 AE 上，得到 AHM(如图 3)，若 AM 和 BF 相交 于点 N，当正方形 ABCD 的面积为 4 时，求四边形 GHMN 的面积 【答案】 (1)证明：如图 1， E，F 分别是正方形 ABCD 边 BC，CD 的中点， CF=BE， 在 Rt
2、ABE 和 Rt BCF 中， Rt ABERt BCF(SAS)， BAE=CBF， 又BAE+BEA=90 ， CBF+BEA=90 ， BGE=90 ， AEBF (2)解：如图 2，根据题意得， FP=FC，PFB=BFC，FPB=90 CDAB， CFB=ABF， ABF=PFB， QF=QB， 令 PF=k(k0)，则 PB=2k 在 Rt BPQ 中，设 QB=x， ， ， = (3)解：如图 3， 正方形 ABCD 的面积为 4， 边长为 2，AM=AB= BAE=EAM，AEBF， AN=AB=2， AHM=90 ， GNHM， AGNAHM ， ， ， 四边形 ， 四边形
3、GHMN 的面积是 2.如图，四边形ABCD为矩形，连接对角线AC，分别作BAC、BCA、ACD、DAC的角平分线AE、 CE、CF、AF (1)当 ABBC 时，求证：四边形 AECF 是菱形； (2)设 AB4，BC3，分别作 EMAC 于点 M，FNAC 于点 N，求 MN 的长； (3)分别作 EGBC 于点 G，FHCD 于点 H，当 GC3，HC4 时，求矩形 ABCD 的面积 【答案】 (1)解：四边形 ABCD 为矩形， ABCD， BACDCA， AE 平分BAC，CF 平分ACD， EACFCA， AECF， 同理，AFCE， 四边形 AECF 是平行四边形， ABBC，
4、BACACB， AE 平分BAC，CE 平分ACB， EACECA， AECE， 四边形 AECF 是菱形 (2)解：过 E 作 EHBC 于点 H，EGAB 于点 G，分别作 EMAC 于点 M，FNAC 于点 N， B90 ， 四边形 BHEG 为矩形， AE 平分BAC，CE 平分ACB， EMEGEH， 四边形 BHEG 是正方形， BGBH， EMEGEH，AEAE，CECE， Rt AEGRt AEM(HL)，Rt CEHRt CEM(HL)， AMAG，CMCH， AB4，BC3， AC5， 设 AMAGx，CMCHy，BHBGz，则 ，解得， ， AM3，CM2， 由(1)知四
5、边形 AECF 是平行四边形， AFCE，AFCE， FANECM， ANFCME90 ， ANFCME(AAS)， ANCM2， MNAMAN321 (3)解：过 E 作 EKAB 于点 K，ELAC 于点 L，如图， 矩形 ABCD 中 ABCD， BACACD， AE、CF 分别平分BAC 和ACD， KAEHCF， 四边形 AECF 是平行四边形， AECF， AKECHF90 ， AEKCHF(AAS)， AKCH4， AE 平分BAC，CE 平分ACB， EKELEG， AEAE，CECE， Rt AEKRt AEL(HL)，Rt CEGRt CEL(HL)， AKAL4，CGCL
6、3， ACAL+CL4+37， EKEG，EKBBEGB90 ， 四边形 BGEK 为正方形， BGBK， 不妨设 BGBKx，则 AB4+x，BC3+x， 在 Rt ABC 中，由勾股定理得，(x+3)2+(x+4)272 ， 解得， ，或 (舍去)， AB4+x ，BC3+x - ， 矩形 ABCD 的面积ABBC24 3.如图，正方形 中， ，点 在边 上，且， 将 沿 翻折至 ，延长 交边 于点 ，连接 、 (1)求证： (2)求证： ； (3)求 的面积 【答案】 (1)证明：四边形 是正方形， ， ， 将 对折得到 ， ， ， 又 ， (2)证明： ， ， ， ， ， 设 ， 则
7、， ， ， 在直角三角形 中，由勾股定理得， ， 解得 ， ， ， (3)解：过点 作 于点 ， 则 ， 又FGN=EGC， ， ， ， FN ， S CGF= CGFN 3 4.如图，四边形 ABCD 中，AD=CD，DAB=ACB=90 ，过点 D 作 DEAC，垂足为 F，DE 与 AB 相交 于点 E (1)求证：AB AF=CB CD (2)已知 AB=15cm，BC=9cm，P 是射线 DE 上的动点，设 DP=xcm(x 0)，四边形 BCDP 的面积为 ycm2 求 y 关于 x 的函数关系式；当 x 为何值时， PBC 的周长最小，并求出此时 y 的值。 【答案】 (1)证明
8、： DAB=90 DAF+BAC=90 DFAC DFA=90 ，DAF+ADF=90 BAC=ADF， DFA=ACB=90 DFAACB ， AB AF=CB AD， AD=CD， AB AF=CB CD ； (2)解： AB=15，BC=9，ACB=90 ， AC= ， AD=CD， DEAC， AF=CF=6， y= ； BC=9， PBC 的周长=PB+PC+BC， 当 PB+PC 最小时， PBC 的周长最小， 由(1)知，点 C 关于直线 DE 的对称点是点 A， PB+PC=PB+PA， 当 P、A、B 三点共线时 PB+PA 最小， 此时 DP=DE，PB+PA=AB， AB
9、 AF=CB AD， 15 6=9AD， AD=10， FE 是 ABC 中位线， AE= AB=7.5， DE= ， 当 x= 时， PBC 周长最小， y=3x+27= . 5.如图，矩形 ABCD 中，AB8cm，BC6cm，点 O 为对角线的中点，点 P 从点 A 出发，沿折线 AD-DO-OC，以每秒 2厘米的速度向终点运动，当点 P 与点A 不重合时，过点 P 作PQAB 于点 Q，以PQ 为边向右作正方形 PQMN，点 P 运动的时间为 t(秒). (1)求点 N 落在 BD 上时 t 的值； (2)当点 O 在正方形 PQMN 内部时，t 的取值范围_； (3)当直线 DN 平
10、分 BCD 面积时求出 t 的值. 【答案】 (1)解：如图，当点 N 落在 BD 上时， 四边形 PQMN 是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当 时，点 N 落在 BD 上； (2) (3)解：设直线 DN 与 BC 交于点 E， 直线 DN 平分 面积， ， 如图，点 P 在 AD 上，过点 E 作 交 AD 于点 H， ， ， ， ， ， ， ，解得 ； 如图，点 P 在 DO 上，连接 OE， 有 OE=4， ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， ，即 ， ， ，解得 ； 如图，点 P 在 OC 上，设 DE 与 OC 交于点 S，连接 OE，交 PQ 于点 R，
11、 有 OE=4， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， ，解得 ， 综上：t 的值为 ， ， . 【解析】解：(2)如图，当 MN 过点 O 时， ， ， 四边形 PQMN 是正方形， ， 点 O 是 DB 中点， QM=BM， ，解得 ， 如图，当 PQ 过点 O 时， 四边形 ABCD 是矩形， ， AB=8，AD=6， DB=10， 点 O 是 DB 的中点， DO=5， ，解得 ， 当点 O 在正方形 PQMN 内部时，t 的范围是 ； 故答案为： ； 6.如图，四边形 是正方形，点 是射线 上的动点，连接 ，以 为对角线作正方
12、形 ( 按逆时针排列)，连接 . (1)当点 在线段 上时. 求证： ； 求证： ； (2)设正方形 的面积为 ，正方形 的面积为 ，以 为原点的四边形的面积为 ，当 时，请直接写出 的值. 【答案】 (1)解：证明： 四边形 和四边形 都是正方形 ， ， 即 证明： 方法一：在线段 上截 ，连接 ，设 与 相交于点 四边形 和四边形 都是正方形 ， ， ， ，即 在 中， 方法二：连接 四边形 和四边形 都是正方形 ， ， ， 即 在 和 中， ， (2)解： 或 根据 ，设 DC=5n，GC= ，FD=n，由(1)有， ， 从而有 根据 ，设 DC=5n，GC= ，FD=n， 从而有 故答
13、案为： 或 . 7.如图 1，在正方形 中， 为线段 上一点，连接 ，过 作 交 于 ，连 接 . (1)求证： ； (2)如图 2， ， 为 中点， ， 分别为线段 ， 上的动点，满足 ， 则在 ， 运动过程中，当以 为对角线的正方形 的一边恰好落在 的某一边上时，直 接写出正方形 的面积. 【答案】 (1)证明：连接 AC 与 BD 相交于 O，作 GHAB，GIBC， AHG=BIG=90 ， 四边形 ABCD 为正方形， ABE=90 ，BAC=ABD=CBD=45 ，AOG=90 , ,BD=2OD， HG=GI(角平分线上的点到角两端距离相等)， HGI=360 -BHG-BIG-
14、ABE=90 ， AGH=AGE-HGE=90 -HGE，IGE=IGH-HGE=90 -HGE, AGH=IGE， 在 AGH 和 EGI 中， AGHEGI(ASA) AG=GE, AGE 为等腰直角三角形，EAG=45 ， BAE=45 -EAC=CAG, ABC=AOG, ABEAOG， , ， ， (2)解：四边形 ABCD 为正方形， ABC=90 ，BC=AB=4, 为 中点， BE=2, , , 设 AP=x，则 若正方形 的一边恰好落在 AE 上，分两种情况 如下图，若为正方形 ， 则 ， ， ， 解得： ， 正 ； 若为正方形 ， 则 ， 解得： ， 正 ； 若正方形 的一
15、边恰好落在 AB 上，分两种情况 如下图，若为正方形 ， 则 , , ， ， ， 解得 ， 正 ； 若为正方形 ， 则 ， ， , 则 ， 解得 ， 正 . 若正方形 的一边恰好落在 BE 上， 由 可知，Q 点和 E 点不可能重合，若 P 点和 B 点重合，如下： 此时 AP=4，又 ， ， ， ,故舍去. 综上所述：正方形 的面积可以为： ， ，1， . 8.能够完全重合的平行四边形纸片 和 按图方式摆放，其中 ， 点 D，G 分别在边 ， 上， 与 相交于点 H (1)(探究)求证：四边形 是菱形 (2)(操作一)固定图中的平行四边形纸片 ，将平行四边形纸片 绕着点 顺时针旋转一定的 角
16、度，使点 F 与点 C 重合，如图，则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为_ (3)(操作二)四边形纸片 绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接 ， ， 如图若 ，则四边形 的面积为_ 【答案】 (1)解： 四边形 和 都是平行四边形 ，即 四边形 是平行四边形 又 平行四边形 是菱形； (2)56 (3)72 【解析】解：操作一：如图，设 AE 与 DF 相交于点 H，AB 与 FG 相交于点 M 四边形 和 是两个完全重合的平行四边形 ， 在 和 中， ， 和 的周长相等 同理可得： 、 、 、 的周长均相等 又 的周长为 则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周
17、长和为 故答案为：56； 操作二：如图，设 AB 与 DG 相交于点 N 四边形 和 是两个完全重合的平行四边形 是等腰三角形，且 平分 ， 在 中， ，即 解得 又 四边形 是平行四边形 ，即 平行四边形 是矩形 则四边形 的面积为 故答案为：72 9.已知：在矩形 ABCD 中，AB=6，AD=2 ，P 是 BC 边上的一个动点，将矩形 ABCD 折叠，使点 A 与 点 P 重合，点 D 落在点 G 处，折痕为 EF。 (1)如图 1，当点 P 与点 C 重合时，则线段 EB=_，EF=_； (2)如图 2，当点 P 与点 B，C 均不重合时，取 EF 的中点 O，连接并延长 PO 与 G
18、F 的延长线交于点 M，连 接 PF，ME，MA。 求证：四边形 MEPF 是平行四边形； 当 tanMAD= 时，求四边形 MEPF 的面积。 【答案】 (1)2；4 (2)解：证明：如图 2， 在矩形 ABCD 中，CDAB， 由折叠(轴对称)性质，得： MGPE， MFO=PEO， 点 O 是 EF 的中点，OF= OE， 又FOM=EOP， FOMEDP MF=PE，四边形 MEPF 是平行四边形 如图 2，连接 PA 与 EF 交于点 H，则 EFPA 且 PH=AH， 又由知： PO= MO，MAEF，则 MAPA， 又 DABA，MAD=PAB， tanMAD= tanPAB=
19、在 Rt PAB 中，tanPAB= 而 AB=6，PB=2， 又在 Rt PEB 中，若设 PE=x，则 BE=6-x， 由勾股定理得： x2-(6-x)2=22，则 PE=x= ， 而 PGMG 且 PG=AD=2 ， 又四边形 MEPF 是平行四边形， 四边形 MEPF 的面积为 PE PG= 。 【解析】(1)过点 F 作 FHAB 于点 H， 将矩形 ABCD 折叠，点 A，点 P，点 C 重合， AE=CE，FEA=FEC， 矩形 ABCD， AD=BC= ， B=90 ，DCAB， CFE=FEA， CFE=FEC CF=CE 设 AE=x，则 CE=x，BE=6-x 在 Rt
20、BCE 中,BE2+BC2=EC2 ( ) 解之：x=4 AE=CF=CE=4, BE=6-4=2，DF=CD-CF=6-4=2, 矩形 ADFH， DF=AH=2，AD=FH= ， HE=AB-AH-BE=6-2-2=2, 在 Rt FEH 中， ( ) 故答案为：2，4. 10.中心为 O 的正六边形 的半径为 点 同时分别从 两点出发，以 的速 度沿 向终点 运动，连接 ，设运动时间为 (1)求证：四边形 为平行四边形； (2)求矩形 的面积与正六边形 的面积之比 【答案】 (1)证明：中心为 O 的正六边形 ABCDEF 的半径为 6cm， AB=BC=CD=DE=EF=FA，A=AB
21、C=C=D=DEF=F， 点 P，Q 同时分别从 A，D 两点出发，以 1cm/s 速度沿 AF，DC 向终点 F，C 运动， AP=DQ=t，PF=QC=6-t， 在 ABP 和 DEQ 中， ， ABPDEQ(SAS)， BP=EQ，同理可证 PE=QB， 四边形 PEQB 是平行四边形； (2)由(1)可知四边形 PEQB 是平行四边形 当BQE=90 时，四边形 PEQB 是矩形 过点 B，点 E 作 BNCD，EMCD，连接 OC，OD，过点 O 作 OHCD BNQ=QME=90 ， BQN+NBQ=90 ，BQN+EQM=90 NBQ=EQM NBQMQE 又正六边形 ABCDE
22、F 的半径为 6， 正六边形 ABCDEF 的各边为 6，BCQ=EDQ=120 在 Rt BNC 和 Rt EDM 中，NBC=DEM=30 NC=DM= ，BN=EM= ，解得： ， (舍去) 即当 P 与 F 重合，Q 与 C 重合时，四边形 PEQB 是矩形 此时矩形 PEQB 的面积为 在正六边形 ABCDEF 中，COD=60 ，OC=OD OCD 是等边三角形，OC=OD=CD=6，OH= S 六边形 ABCDEF= = = ， S 矩形 PBQE：S 六边形 ABCDEF= ： =2：3 11.已知：在 中， ，以 为顶点作 ，连接 、 . (1)如图 1，若 ，求 的面积：
23、(2)如图 2，若 为 的中点，连接 并延长交 于 ，求证： (3)如图 3， 为 上一点， ，连接 为 上一点， ， 连接 ，过 作 于 ，若 ，请直接写出 的长. 【答案】 (1)解： (2)证明：过 作 交 延长线于 ， 为 的中点 在 与 中 (3)解： 【解析】(3)在 上取一点 ，使得 ，连接 ，过 作 交 延长线于 ， 先证： ，可得等边 可得 再由角平分线推出 ，而 ，故 . 12. (1)如图 1，点 P 为矩形 对角线 上一点，过点 P 作 ，分别交 、 于点 E、F.若 ， ， 的面积为 ， 的面积为 ，则 _； (2)如图 2，点 为 内一点(点 不在 上)，点 、 、
24、 、 分别为各边的中点.设四 边形 的面积为 ，四边形 的面积为 (其中 )，求 的面积(用含 、 的代数式表示)； (3)如图 3，点 为 内一点(点 不在 上)过点 作 ， ，与各边分别相 交于点 、 、 、 .设四边形 的面积为 ，四边形 的面积为 (其中 )， 求 的面积(用含 、 的代数式表示)； (4)如图 4，点 、 、 、 把 四等分.请你在圆内选一点 (点 不在 、 上)，设 、 、 围成的封闭图形的面积为 ， 、 、 围成的封闭图形的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为 .根据你选的点 的位置，直接写出一个含有 、 、 、 的等式(写出一种情况即可). 【答案】 (1)12 (2)解：如图，连接 、 ， 在 中，因为点 E 是 中点， 可设 ， 同理， ， 所以 四边形 四边形 ， 四边形 四边形 . 所以 四边形 四边形 四边形 四边形 ， 所以 ，所以 . . (3)解：易证四边形 、四边形 是平行四边形. 所以 四边形 ， 四边形 . 所以 ， . (4)解： 答案不唯一，如： 如图 1 或图 2，此时 ； 如图 3 或图 4，此时 . 【解析】解：(1)过 P 点作 ABMN， S矩形AEPM+S矩形DFPM=S矩形CFPN+S矩形DFPM=S矩形ABCD-S矩形BEPN ， 又 矩形 矩形 ，