1、专练 10 四边形中比值问题 1.在矩形 的 边上取一点 ，将 沿 翻折，使点 恰好落在 边上点 处 (1)如图 1，若 ，求 的度数； (2)如图 2，当 ，且 时，求 的长； (3)如图 3，延长 ，与 的角平分线交于点 ， 交 于点 ，当 时，求 出的值 【答案】 (1)解：矩形 ， ， 由折叠的性质可知 BF=BC=2AB， ， ， ， (2)解：由题意可得 ， ， ， ， 由勾股定理得 ， ， ； (3)解：过点 作 于点 又 ，即 ， 又BM 平分 ， ， ， NG=AN， ， 整理得： 2.如图 1，将直角三角板放在正方形 ABCD 上，使三角板的直角顶点 E 与正方形 ABCD
2、 的顶点 A 重合，三 角板的一边交边 CD 于点 F，另一边交 CB 的延长线于点 G。 (1)求证：EF=EG； (2)如图 2，移动三角板，使顶点 E 始终在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，其他条件不变，(1)中的结论是否 仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由； (3)如图 3，将(2)中的“正方形 ABCD”改为“矩形 ABCD，且使三角板的一边经过点 B，其他条件不变，若 AB=3，BC=6，则 =_。 【答案】 (1)证明：四边形 ABCD 是正方形， D=DAB=ABG=90 ，ED=BE， DEF+BEF=90 ， GEF=90 ， GEB+BEF=90 ，
3、 DEF=GEB， Rt FEDRt GEB(ASA)， EF=EG； (2)成立，证明如下： 如图，过点 E 分别作 BC、CD 的垂线，垂足分别为 H、I，则 EH=EI，HEI=90 ， GEH+HEF=90 ，IEF+HEF=90 ， IEF=GEH， Rt FEIRt GEH(ASA)， EF=EG； (3)2 【解析】(3)如图，过点 E 分别作 BC、CD 的垂线，垂足分别为 M、N，则MEN=90 ， EMAB，ENAD， CENCAD， CEMCAB， ， ， ， ， NEF+FEM=GEM+FEM=90 ， GEM=FEN， GME=FNE=90 ， GMEFNE， . 3
4、.如图， ABC 中，BA=BC，COAB 于点 O，AO=4，BO=6。 (1)求 BC，AC 的长。 (2)若点 D 是射线 OB 上的一个动点，作 DEAC 于点 E，连结 OE。 当点 D 在线段 OB 上时，若 AOE 是以 AO 为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的 OD 的长。 设 DE 交直线 BC 于点 F，连结 OF，CD，若 S OBF：S OCF=1：4，则 CD 的长为多少？(直接写出结果) 【答案】 (1)解：AB=OA+BO=4+6=10， BC=AB=10， COAB， OC= = =8， AC= = =4 (2)解： i)如图，当 OA=OE=4 时，过 O
5、 作 ONAC 于 N， AN=NE， DEAC， ONDE， OA：OD=AN：NE=1， OD=ON=4； ii)当 OA=EA=4 时，如图， 在 AOC 和 ADE 中， ) ， AOCADE(AAS)， AD=AC=4 ， OD=AD-OA=4 -4. i)当 D 在线段 OB 上时， 如图，过 B 作 BGEF 于 G， S OBF：S OCF=1：4， BF：CF=1:4， BF= CB= ， EFAC，BGAC， BGCE， A=DBG，ACB=GBF， AB=BC， A=ACB， DBG=GBF， DBF 为等腰三角形， BD=BF= ， OD=OB-BD=6- = ， (
6、) ； i)当 D 在线段 OB 的延长线上时， 如图，过 B 作 BGEF 于 G， 同理得 BF：CF=1:4， BF=2， 同理得 DBF 为等腰三角形， BD=BF=2， 在 Rt COD 中， ( ) . 4.某数学课外兴趣小组成员在研究下面三个有联系 的问题，请你帮助他们解决： (1)如图 1，矩形 ABCD 中，AB8，BC6，将矩形对折，使得点 B、点 D 重叠，折痕为 EF，过点 F 作 AB 的垂线交 AB 于点 G，求 EF 的长； (2)如图 2，矩形 ABCD 中，ABa，BCb，点 E，F 分别在 AB，DC 上，点 G，H 分别在 AD，BC 上且 EFGH，求
7、的值； (3)如图 3， 四边形 ABCD 中， ABC90 ， ABAD8， BCCD4， AMDN， 点 M， N 分别在边 BC， AB 上，求 的值. 【答案】 (1)解：四边形 ABCD 是矩形， AABCC90 ，ABCD , AD=BC=6, ADB+ABD=90 , BD , FGAB 于 G， FGE=90 ，FG=BC=6， FGAA 翻折，EFBD，ADB+AEF=180 ， 又FEG+AEF=180 ， FEGBDA，又FGE =A, EFGDBA， ，代入数据： ,解得 , (2)解：如图，过点 G 作 GMCB 于 M，过点 E 作 ENCD 于点 N 四边形 AB
8、CD 是矩形， ABCD90 ，ABCD，ADBC， GMBC，ENCD， GMCDAB=a，ENADBC=b， EFGH，BCD90 ， EFC+GHC180 ，DFE+EFC180 ， EFNGHC，又ENFGMH90 ， EFNGHM， ， (3)解：如图，过点 D 作 EFBC，交 BC 的延长线于 F，过点 A 作 AEEF，连接 AC， ABC90 ，AEEF，EFBC， 四边形 ABFE 是矩形， EF90 ，AEBF，EFAB8， ADAB，BCCD，ACAC， ACDACB(SSS)，ADCABC90 ， ADE+CDF90 ，且ADE+EAD90 ， EADCDF，且EF9
9、0 ，ADEDCF， ， AE2DF，DE2CF， DC2CF2+DF2 ， 16CF2+(82CF)2 CF4(不合题意舍去)，CF ， BFBC+CF AE， 由(1)可知： . 5.如图， 四边形 中， ， ， ， ， 于 E， 交 于 F (1)若 ，求 的值 (2)若 ，求 的值 (3)若 ，过 A 点作 交 的延长线于 M，求 的值 【答案】 (1)解：如图 1，过 B 点作 于 H， ， ， ， 四边形 为矩形， ， ， ， (2)解： ， ， ， 延长 、 交于点 G，如图 2， ， ，四边形 是矩形， 则有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， (3)解：延长 、 交于点
10、N，如图 3 ， ， ， ， 解得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 6.在四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 AB、AD 边上一点，DFC2FCE (1)如图 1，若四边形 ABCD 是正方形，DFC60 ，BE4，则 AF_ (2)如图 2，若四边形 ABCD 是菱形，A120 ，DFC90 ，BE4，求 的值 (3)如图 3，若四边形 ABCD 是矩形，点 E 是 AB 的中点，CE12，CF13，求 的值 【答案】 (1) (2)解：过 E 作 EGBC，如图 1： DFC90 ，DFC2FCE， FCEBCE45 ， A120 ， B60 ， BG2， BCCDABAD (3
11、)解：延长 FE 交 CB 延长线于点 M，如图 2： 在 AFE 与 BME 中， * AFEBME(ASA)， BMAF，MEEF， DFC2FCE， CE 是FCB 的角平分线， CMCF13， 在 Rt MEC 中， ， EMBEMB，EBMEBC90 ， EMBEMC， 【解析】解：(1)四边形 ABCD 是正方形，DFC60 ， DCF30 ， DFC2FCE， FCEECB30 ， DF4， 故答案为： 7.如图，矩形 ABCD 中，已知 AB6.BC8，点 E 是射线 BC 上的一个动点，连接 AE 并延长，交射线 DC 于点 F.将 ABE 沿直线 AE 翻折，点 B 的对应
12、点为点 B，延长 AB 交直线 CD 于点 M. (1)如图 1，若点 E 为线段 BC 的中点，求证：AMFM； (2)如图 2，若点 B恰好落在对角线 AC 上，求 的值； (3)若 ，求线段 AM 的长. 【答案】 (1)证明：四边形 ABCD 为矩形， ABCD， F=BAF， 由折叠可知：BAF=MAF， F=MAF， AM=FM. (2)解：由(1)可知 ACF 是等腰三角形，AC=CF， 在 Rt ABC 中，AB=6，BC=8， CF=AC=10， ABCF， ABEFCE， (3)解：当点 E 在线段 BC 上时，如图，A B的延长线交 CD 于点 M， 由 ABCF 可得：
13、 ABEFCE， ，即 CF=4， 由(1)可知 AM=FM. 设 DM=x，则 MC=6-x，则 AM=FM=10-x， 在 Rt ADM 中，AM2=AD2+DM2 ， 即(10-x)2=82+x2 ， 解得：x= 则 AM=10-x=10- = 当点 E 在 BC 的延长线上时，如图， 由 ABCF 可得： ABEFCE ，即 CF=4， 则 DF=6-4=2， 设 DM=x，则 AM=FM=2+x， 在 Rt ADM 中，AM2=AD2+DM2 ， 即(2+x)2=82+x2 ， 解得：x=15， 则 AM=2+x=17 综上所述：AM 的长为 或 17. 8.看图： (1)(探究证明
14、)： 某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究， 提 出下列问题，请你给出证明. 如图 1，矩形 ABCD 中，EFGH，EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，GH 分别交 AD，BC 于点 G，H.求证： ； (2)(结论应用)：如图 2，在满足(1)的条件下，又 AMBN，点 M，N 分别在边 BC，CD 上，若 ， 则 的值为_； (3)(联系拓展)：如图 3，四边形 ABCD 中，ABC=90 ，AB=AD=8，BC=CD=4，AMDN，点 M，N 分别 在边 BC，AB 上，则 =_. 【答案】 (1)证明：过点 A 作 APEF，交 CD 于
15、P，过点 B 作 BQGH，交 AD 于 Q，如图 1， 四边形 ABCD 是矩形， ABDC，ADBC. 四边形 AEFP、四边形 BHGQ 都是平行四边形， AP=EF，GH=BQ. 又GHEF， APBQ， QAT+AQT=90 . 四边形 ABCD 是矩形， DAB=D=90 ， DAP+DPA=90 ， AQT=DPA. PDAQAB， (2) (3) 【解析】(2)如图 2， EFGH，AMBN， 由(1)中的结论可得 ， ( 3 )过点 D 作平行于 AB 的直线，交过点 A 平行于 BC 的直线于 R，交 BC 的延长线于 S，如图 3， 则四边形 ABSR 是平行四边形. A
16、BC=90 ， 平行四边形 ABSR 是矩形， R=S=90 ，RS=AB=8，AR=BS. AMDN， 由(1)中的结论可得 设 SC=x，DS=y，则 AR=BS=4+x，RD=8-y， 在 Rt CSD 中，x2+y2=16， 在 Rt ARD 中，(4+x)2+(8-y)2=64， 解由、组成的方程组得： * ， * (舍去) AR=4+x= ， 9.矩形 ABCD 中，AB8，AD12.将矩形折叠，使点 A 落在点 P 处，折痕为 DE. (1)如图，若点 P 恰好在边 BC 上，连接 AP，求 的值； (2)如图，若 E 是 AB 的中点，EP 的延长线交 BC 于点 F，求 BF
17、 的长. 【答案】 (1)解：如图中，取 DE 的中点 M，连接 PM. 四边形 ABCD 是矩形， BADC90 ， 由翻折可知，AOOP，APDE，23，DAEDPE90 ， 在 Rt EPD 中，EMMD， PMEMDM， 3MPD， 13+MPD23， ADP23， 1ADP， ADBC， ADPDPC， 1DPC， MOPC90 ， POMDCP， ， . (2)解：如图中，过点 P 作 GHBC 交 AB 于 G，交 CD 于 H.则四边形 AGHD 是矩形，设 EGx，则 BG 4x AEPD90 ，EGPDHP90 ， EPG+DPH90 ，DPH+PDH90 ， EPGPDH
18、， EGPPHD， ， PG2EG3x，DHAG4+x， 在 Rt PHD 中，PH2+DH2PD2 ， (3x)2+(4+x)2122 ， 解得：x (负值已经舍弃)， BG4 ， 在 Rt EGP 中，GP ， GHBC， EGPEBF， ， ， BF3. 10.如图，正方形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一个动点(不与 A、C 重合)，连结 BP ， 将 BP 绕点 B 顺 时针旋转 到 BQ ， 连结 QP 交 BC 于点 E ， QP 延长线与边 AD 交于点 F (1)连结 CQ ， 求证： ； (2)若 ，求 的值； (3)求证： 【答案】 (1)解：四边形 ABCD 为
19、正方形， AB=BC，ABC=90 ， BP 绕点 B 顺时针旋转 到 BQ， BP=BQ，PBQ=90 ， ABC-PBC=PBQ-PBC, ABP=CBQ， 在 APB 和 CQB 中， * ， APBCQB(SAS)， AP=CQ (2)设 AP=x，则 AC=4x，PC=3x，由(1)知 CQ=AP=x， ABC 为等腰直角三角形，BC= ， 在 Rt PCQ 中，由勾股定理有： ， 且 PBQ 为等腰直角三角形， ， 又BCQ=BAP=45 ，BQE=45 ， BCQ=BQE=45 ，且CBQ=CBQ， BQEBCQ， ，代入数据： ， BE= ，CE=BC-BE= ， ， 故答案为
20、： (3)在 CE 上截取 CG，并使 CG=FA，如图所示： FAP=GCQ=45 ， 且由(1)知 AP=CQ，且截取 CG=FA， 故有 PFAQGC(SAS)， PF=QG，PFA=CGQ， 又DFP=180 -PFA，QGE=180 -CGQ， DFP=QGE， DA BC， DFP=CEQ， QGE=CEQ， QGE 为等腰三角形， GQ=QE， 故 PF=QE 11.已知：如图，将一块 45 角的直角三角板 与正方形 的一角重合，连接 ，点 M 是 的中点，连接 (1)请你猜想 与 的数量关系是_ (2)如图，把正方形 绕着点 D 顺时针旋转 角( ) 与 的数量关系是否仍成立，
21、若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(温馨提示：延长 到 点 N ， 使 ，连接 ) 求证： ； 若旋转角 ，且 ，求 的值(可不写过程，直接写出结果) 【答案】 (1)AF=2DM (2)AF=2DM 仍然成立， 理由如下：延长 到点 N，使 ，连接 ， M 是 CE 中点， CM=EM 又CMN=EMD， MNCMDE CN=DE=DF,MNC=MDE CNDE， 又 ADBC NCB=EDA ADFDCN AF=DN AF=2DM ADFDCN NDC=FAD， CDA=90 ， NDC+NDA=90 FAD+NDA=90 AFDM ， EDC=90 -45 =45 ， EDM= ED
22、C=30 ， AFD=30 过 A 点作 AGFD 的延长线于 G 点，ADG=90 -45 =45 ADG 是等腰直角三角形， 设 AG=k,则 DG=k，AD=AG sin45 = k， FG=AG tan30 = k， FD=ED= k-k 故 = 【解析】(1)猜想 与 的数量关系是 AF=2DM， 故答案为：AF=2DM； 12.阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心 (1)特例感知：如图(一)，已知边长为 2 的等边 的重心为点 O，求 与 的面积 (2)性质探究：如图(二)，已知 的重心为点 O，请判断 、 是否都为定值？如果是，分别求 出这两个定值：如果不是，请说明理由 (3)性质应用：如图(三)，在正方形 中，点 E 是 的中点，连接 交对角线 于点 M 若正方形 的边长为 4，求 的长度； 若 ，求正方形 的面积 【答案】 (1)解：连接 DE，如图， 点 O 是 的重心， ， 是 ， C 边上的中线， ， 为 ， 边上的中点， 为 的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ； (2)解：由(1)可知， 是定值； 是定值； (3)解：四边形 ABCD 是正方形， ， ， 为 CD 的中点， ，即 ； ，且 ， ， ( ) ， ， ， 又 正方形 ABCD 的面积为：6+6=12