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本文(专练11 四边形中的最值问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(教师版含解析))为本站会员(hua****011)主动上传,七七文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知七七文库(发送邮件至373788568@qq.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

专练11 四边形中的最值问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(教师版含解析)

1、专练 11 四边形中的最值问题 1.综合与实践 (1)任意一个四边形 通过剪裁,都可以拼接成一个三角形,方法如下:如图 1,E,F,G,H 分别是 边 , , , 的中点,连接 ,P 是线段 的中点,连接 , ,沿线段 , , 剪开,将四边形 分成,四部分,按如图 2 所示的方式即可拼成一个无缝隙 也不重叠的 关于在拼接过程中用到的图形的变换,说法正确的是( ) A.是轴对称 B.是平移 C.是中心对称 D.是中心对称 (2)如图 3,连接 , , ,判断四边形 的形状,并说明理由 (3)若 是一个边长为 4 的等边三角形,则四边形 的对角线 的最小值为 _ 【答案】 (1)C (2)四边形

2、是平行四边形 理由:由题意可知, , , , , , , , , 四边形 是平行四边形 (3) 【解析】(1)观察图象可知,是中心对称,是平移 故答案为:C(3)如图 4,过点 O 作直线 ,作 于点 T,连接 交直线 于点 , 连接 , 此时 的值最小,最小值 的长 在 中, , , , , , 的最小值 2.阅读下面材料,并解决问题: (1)如图 1,等边三角形 ABC 内有一点 P,若点 P 到顶点 A,B,C 的距离分别为 3,4,5,求APB 的度 数; 为了解决本题,我们可以将 ABP 绕顶点 A 逆时针旋转到 ACP处,此时 ACP ABP,这样就 可以利用旋转变换,将三条线段

3、PA,PB,PC 转化到一个三角形中,从而求出APB=_; (2)基本运用: 请你利用第(1)题的思想方法,解答下面问题: 如图2,在 ABC中,CAB=90 ,AB=AC,E,F为BC上的点,且EAF=45 求证:EF2=BE2+FC2; (3)能力提升:在正方形 ABCD 中,点 E 为对角线 AC(不含点 A)上任意一点,AB=4 如图 3,将 ADE 绕点 D 逆时针旋转 90 得到 DCF,连结 EF a把图形补充完整(无需写画法); b求 EF2的取值范围; 如图 4,求 BE+AE+DE 的最小值 【答案】 (1)150 (2)证明:如图,把 ABE 绕点 A 逆时针旋转 90

4、得到 ACE 由旋转的性质得,AE=AE,CE=BE,CAE=BAE,ACE=B,EAE=90 EAF=45 , EAF=CAE+CAF=BAE+CAF=BACEAF=90 45 =45 , EAF=EAF 在 EAF 和 EAF 中, , EAF EAF(SAS), EF=EF CAB=90 ,AB=AC, B=ACB=45 , ECF=45+45=90, 由勾股定理得,EF2=CE2+FC2 , 即 EF2=BE2+FC2 (3)解:a如图, DCF 即为所求 b方法一: , FDE 是等腰直角三角形, EF2=2DE2 , 16EF232 方法二:四边形 ABCD 是正方形, BC=AB

5、=4,B=90 ,DAE=ACD=45 , ADE 绕点 D 逆时针旋转 90 得到 DCF, DCF=DAE=45 ,AE=CF, ECF=ACD+DCF=90 设 AE=CF=x,EF2=y,则 EC= , , 即 20, 当 时,y 有最小值,最小值为 16,当 x=42 时,y 有最大值,最大值为 32, 16EF232 如图,将 ABE 绕点 A 顺时针旋转 60 得到 AFG,连结 EG,DF作 FHAD,交 DA 的延长线于点 H 由旋转的性质可知:AF=AB=4, AEG 是等边三角形, AE=EG DFFG+EG+DE,BE=FG, AE+BE+DE 的最小值为线段 DF 的

6、长 在 Rt AFH 中,FAH=30 , , , 在 Rt DFH 中, , BE+AE+ED 的最小值为 【解析】(1)解:150 【解法提示】 ACP ABP, AP=AP=3,CP=BP=4,APC=APB 由题意知旋转角PAP=60, APP为等边三角形, PP=AP=3,APP=60 易证 PPC 为直角三角形,且PPC=90, APB=APC=APP+PPC=60+90=150 3.如图,在矩形 中, , , 是边 上一点,将 沿直线 对折, 得到 (1)如图 1,当直线 经过点 时,求 的长 (2)如图 2,连接 ,当 时,求 的面积 (3)如图 3,当射线 交线段 于点 时,

7、求 的最大值 【答案】 (1)解:当 经过点 时,即 , , 三点共线 , 将 沿直线 对折 设 , , 在 中, , , (2)解:过 作 交 于点 ,交 于 结合题意,得: 设 ,则 , , 在 中, 解得: (舍)或 (3)解: 在以 为圆心,半径为 3 的圆弧上运动 如图,当 与圆只有一个交点时, 取最大值,此时 在 和 中 4.阅读 如图 1,四边形 OABC 中,OA=a,OC=4,BC=3,AOC=BCO=90 ,经过点 O 的直线 l 将四边形分成 两部分,直线 l 与 OC 所成的角设为 ,将四边形 OABC 的直角OCB 沿直线 l 折叠,点 C 落在点 D 处, 我们把这

8、个操作过程记为 FZ,a. 理解若点 D 与点 A 重合,则这个操作过程为 FZ45 ,4; 尝试 (1)若点 D 与 OA 的中点重合,则这个操作过程为 FZ_,_; (2)若点 D 恰为 AB 的中点(如图 2),求 =_; (3)经过 FZ45 ,a操作,点 B 落在点 E 处,若点 E 在四边形 OABC 的边 AB 上,试解决下列问题: 求出 a 的值; 点P,Q 分别为边 OA上的两个动点,且点Q 始终在点P 右边,PQ=1,连接CP,QE,在P,Q两点的运 动过程中,PC+PQ+QE 是否存在最小值,若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由. 【答案】 (1)45 ;8 (2)

9、30 (3)如图 3:过点 B 作 BHOA 于点 H, COA=90 ,COF=45 FOA=45 点 B 与点 E 关于直线 1 对称 OFA=OFB=90 OAB=45 HBA=90-45 =45 =HAB BH=AH OCOA,BHOA .OC/BH BC/OA. 四边形 BCOH 是平行四边形 BH=CO=4,OH=BC=3 OA=OH+AH=OH+BH=3+4=7 a 的值为 7; 如图 4:过点 B 作 BHOA 于点 H,过点 F 作 OA 的对称点 Q,连接 AQ、EQ、OB QAO=FAO=45 ,QA=FA, QAF=90 在 Rt BHA 中,AB= 在 Rt OFA

10、中,AFO=90 ,AOF=OAF=45 AF=OF= AQ=AF= 在 R OCB,OB= 在 Rt OFB 中,BF=AB-AF=5- 由折叠可得:BF=EF= - = AE=AF-EF= - = 在 Rt QAE 中: 根据两点之间线段最短可得,当点 E、P、Q 三点共线时,PE+PF=PE+PQ 最短,最小值为线段 EQ 长 PE+PF 的最小值的是 【解析】(1)点 D 与 OA 的中点重合,如图 1: 由折叠得:COP=DOP=45 ,C=ODP=90 CP=FD OP=OP Rt OCPRt ODP(HL) OD=OC=4 D 为 OA 的中点 OA=a=8 则这个操作过程为 F

11、Z45 ,8; 故答案为:45 ,8; ( 2 )如图 2:延长 MD、OA 交于点 N AOC=BCO=90 AOC+BCO= 180 BC/OA B=DAN 在 BDM 和 ADN 中 B=DAN ,BD=AD, BDM=ADN BDMADN(ASA) DM=DN ODM=OCM=90 OM=ON. MOD=NOD 由折可得MOD=MOC= COA=3=90 =30 5.如图,四边形ABCD是正方形, ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕 点 B 逆时针旋转 60 得到 BN,连接 EN、AM、CM. (1)求证: AMBENB; (2)当 M 点在何处时,A

12、MCM 的值最小; 当 M 点在何处时,AMBMCM 的值最小,并说明理由; (3)当 AMBMCM 的最小值为 时,求正方形的边长. 【答案】 (1)证明:ABE 是等边三角形, BABE,ABE60 . MBN60 , MBNABNABEABN. 即BMANBE. 又MBNB, AMBENB(SAS) (2)解:当 M 点落在 BD 的中点时,AMCM 的值最小 如图,连接 CE,当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时, AMBMCM 的值最小. 理由如下:连接 MN.由知, AMBENB, AMEN. MBN60 ,MBNB, BMN 是等边三角形. BMMN. AMBMCMENMN

13、CM. 根据“两点之间线段最短”,得 ENMNCMEC 最短 当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时,AMBMCM 的值最小,即等于 EC 的长 (3)解:过 E 点作 EFBC 交 CB 的延长线于 F, EBF90 60 30 . 设正方形的边长为 x,则 BF x,EF . 在 Rt EFC 中, EF2FC2EC2 , ( )2( xx)2 解得,x (舍去负值). 正方形的边长为 . 6.定义:若四边形有一组对角互补,一组邻边相等,且相等邻边的夹角为直角,像这样的图形称为“直角等 邻对补”四边形,简称“直等补”四边形,根据以上定义,解决下列问题: (1)如图 1,正方形 中,E

14、是 上的点,将 绕 B 点旋转,使 与 重合,此时点 E 的 对应点 F 在 的延长线上,则四边形 为“直等补”四边形,为什么? (2)如图 2,已知四边形 是“直等补”四边形, , , ,点 到直线 的距离为 求 的长 若 M、N 分别是 、 边上的动点,求 周长的最小值 【答案】 (1)解:如图 1 由旋转的性质得:F=BEC,ABF=CBE,BF=BE BEC+BED=180 ,CBE+ABE=90 , F+BED=180 , ABF+ABE=90 即FBE=90 , 故满足“直等补”四边形的定义, 四边形 为“直等补”四边形; (2)解:四边形 是“直等补”四边形,AB=BC, A+B

15、CD=180 ,ABC=D=90 , 如图 2,将 ABE 绕点 B 顺时针旋转 90 得到 CBF, 则F=AEB=90 ,BCF+BCD=180 ,BF=BE D、C、F 共线, 四边形 EBFD 是正方形, BE=FD, 设 BE=x,则 CF=x-1, 在 Rt BFC 中,BC=5, 由勾股定理得: ,即 , 解得:x=4 或 x=3(舍去), BE=4 如图 3,延长 CD 到 P,使 DP=CD=1,延长 CB 到 T,使 TB=BC=5, 则 NP=NC,MT=MC, MNC 的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NPPT 当 T、M、N、P 共线时, MNC 的周长取得最小值

16、 PT, 过 P 作 PHBC,交 BC 延长线于 H, F=PHC=90 ,BCF=PCH, BCFPCH, , 即 , 解得: , 在 Rt PHT 中,TH= , , 周长的最小值为 7.如图,在菱形 ABCD 中,ABC120 ,AB4 ,E 为对角线 AC 上的动点(点 E 不与 A,C 重合), 连接 BE,将射线 EB 绕点 E 逆时针旋转 120 后交射线 AD 于点 F (1)如图 1,当 AEAF 时,求AEB 的度数; (2)如图 2,分别过点 B,F 作 EF,BE 的平行线,且两直线相交于点 G 试探究四边形 BGFE 的形状,并求出四边形 BGFE 的周长的最小值;

17、 连接 AG,设 CEx,AGy,请直接写出 y 与 x 之间满足的关系式,不必写出求解过程 【答案】 (1)如图 1 中, 四边形 ABCD 是菱形, BCAD,BACDAC, ABC+BAD180 , ABC120 , BAD60 , EAF30 , AEAF, AEFAFE75 , BEF120 , AEB120 75 45 (2)如图 2 中,连接 DE ABAD,BAEDAE,AEAE, BAEDAE(SAS), BEDE,ABEADE, BAF+BEF60 +120 180 , ABE+AFE180 , AFE+EFD180 , EFDABE, EFDADE, EFED, EFBE

18、, BEFG,BGEF, 四边形 BEFG 是平行四边形, EBEF, 四边形 BEFG 是菱形, 当 BEAC 时,菱形 BEFG 的周长最小,此时 BEABsin302 , 四边形 BGFE 的周长的最小值为 8 如图 21 中,连接 BD,DE,过点 E 作 EHCD 于 H ABAD,BAD60 , ABD 是等边三角形, BDBA,ABD60 , BGEF, EBG180 120 60 , ABDGBE, ABGDBE, BGBE, ABGDBE(SAS), AGDEy, 在 Rt CEH 中,EH EC xCH x, DH|4 x|, 在 Rt DEH 中,DE2EH2+DH2 ,

19、 y2 x2+(4 x)2 , y2x212x+48, y (0 x12) 8.如图 1,菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,且 AC6cm,BD8cm,分别过点 B、C 作 AC 与 BD 的平行线相交于点 E (1)判断四边形 BOCE 的形状并证明; (2)点 G 从点 A 沿射线 AC 的方向以 2cm/s 的速度移动了 t 秒,连接 BG,当 S ABG2S OBG时,求 t 的值 (3)如图 2,长度为 3cm 的线段 GH 在射线 AC 上运动,求 BGBH 的最小值 【答案】 (1)结论:四边形 BOCE 是矩形 理由:BEOC,ECOB, 四边形 OBEC 是

20、平行四边形, 四边形 ABCD 是菱形, ACBD, BOC90 , 四边形 BOCE 是矩形 (2)如图 2 中,四边形 ABCD 是菱形, OAOC3cm,OBOD4cm, S ABG2S OBG , AG2OG, 2t2(32t)或 2t2(2t3), 解得 t1 或 t3, 满足条件的 t 的值为 1 或 3 (3)如图 2 中,设 OGx,则 BGBH ,欲求 BGBH 的最小值,相当于 在 x 轴上找一点 P(x,0),使得点 P(x,0)到 A(0,4)和 B(3,4)的距离最小,如图 3 中, 作点 B 关于 x 轴的对称点 ,连接 交 x 轴于 P,连接 BP,此时 PAPB

21、 的值最小, A(0,4), (3,4), 当 B 点在 y 轴右侧时, APPBAP , 当 B 点在 y 轴左侧时,由于线段整体移动,同理,得 APPBAP , BGBH 的最小值为 9.如图,O为坐标原点,四边形OABC为矩形,顶点A,C分别在x轴,y轴的正半轴上,点B的坐标为(10, 4),点 D 是 OA 的中点,动点 P 在线段 BC 上以每秒 2 个单位长的速度由点 C 向 B 运动.设动点 P 的运动时 间为 t 秒. (1)当 t=_时,四边形 PODB 是平行四边形? (2)在直线 CB 上是否存在一点 Q,使得四边形 ODPQ 是菱形?若存在,求 t 的值,并求出 Q 点

22、的坐标,若 不存在,请说明理由; (3)在点 P 运动的过程中,线段 PB 上有一点 M,且 PM=5,求四边形 OAMP 的周长最小值. 【答案】 (1)2.5s (2)解:当点 Q 在线段 BC 上时,如图 1, 四边形 ODPQ 是菱形, OQ=OD=5, 在 Rt OCQ 中, ,CP=3+5=8, t=4,点 Q 的坐标为(3,4); 当点 Q 在射线 BC 上时,如图 2, 四边形 ODPQ 是菱形, OQ=OD=5, 在 Rt OCQ 中, ,CP=53=2, t=1,点 Q 的坐标为(3,4); (3)解:如图 3,连接 DM, PM=OD=5,PMOD, 四边形 ODMP 是

23、平行四边形, OP=DM, 四边形 OAMP 的周长=OA+AM+MP+PO=15+AM+PO=15+AM+DM 作点 A 关于直线 BC 的对称点 A,连接 AM,AD. AM=AM, 四边形 OAMP 的周长=15+AM+DM, 所以,当点 A,M,D 三点在同一直线上时,四边形 OAMP 的周长最小, 在 Rt ADA 中, , 所以四边形 OAMP 的周长最小值为 . 【解析】解:(1)四边形 OABC 为矩形,点 B 的坐标为(10,4), BC=OA=10,AB=OC=4. 点 D 是 OA 的中点, OD OA=5, 由题意知,PC=2t, BP=BCPC=102t. 四边形 P

24、ODB 是平行四边形, PB=OD=5, 102t=5, t=2.5, 即当 t=2.5s 时,四边形 PODB 是平行四边形. 故答案为:2.5s; 10.如图 1,矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4 ,将矩形 ABCD 绕着点 A 顺时针旋转,得到矩形 BEFG. (1)当点 E 落在 BD 上时,则线段 DE 的长度等于_ ; (2)如图 2,当点 E 落在 AC 上时,求 BCE 的面积; (3)如图 3,连接 AE、CE、AG、CG,判断线段 AE 与 CG 的位置关系且说明理由,并求 CE 2+AG 2的值; (4)在旋转过程中,请直接写出 的最大值. 【答案】 (1)2 (2

25、)解:当点 E 落在 AC 上时,过点 B 作 BMAC 于点 M, 在 中,由勾股定理得: , 是直角三角形,BMAC, , , 在 中,由勾股定理得: , 在 中,由勾股定理得: , , ; (3)解:线段 AE 与 CG 的位置关系是垂直,理由如下: 证明:连接 AC、EG,设 AE 与 CG 相交于点 N,AE 与 BC 相交于点 P, 由旋转的性质知: , , , 在等腰 和等腰 中得到: , , , , , 即 ; , , 由矩形的性质可以得到: , ; (4)解:过点 C 作 CH直线 BE 于点 H,过点 G 作 EQ直线 AB 于点 Q, , , , 当 最大时, 最大, 在

26、旋转过程中, , , 当点 、 、 三点共线时, ,此时最大, 的最大值为: . 【解析】解:(1)解:当 落在 上时,如图所示: 四边形 是矩形, 每个内角都等于 90 , , ,由勾股定理得: , 由旋转的性质可知: , , 故答案为:2; 11.如图 1,在等边 ABC 中,AB6cm,动点 P 从点 A 出发以 1cm/s 的速度沿 AB 匀速运动,动点 Q 同 时从点 C 出发以同样的速度沿 BC 的延长线方向匀速运动,当点 P 到达点 B 时,点 P、Q 同时停止运动, 设运动时间为 t(s)过点 P 作 PEAC 于 E,以 CQ、CE 为边作平行四边形 CQFE (1)AE_,

27、CE_;(用含 t 的代数式表示) (2)当平行四边形 CQFE 为菱形时,请求出 t 的值; (3)如图 1,连接 PQ,交 AC 边于点 D,求线段 DE 的长; (4)如图 2,取线段 BC 的中点 M,连接 PM,将 BPM 沿直线 PM 翻折,得 ,连接 ,请求 出 的最小值 【答案】 (1) ; (2)解:当平行四边形 CQFE 为菱形时,则 , ,解得: 即当 时 ,当平行四边形 CQFE 为菱形 (3)解:如图 2 中,作 交 于 是等边三角形, , , , , , 是等边三角形, , , , 在 和 中, , , , (4)解:如图 3 中,连接 , , , , , , 由折

28、叠性质可知, , 的最小值为 ,此时 A、M、 三点共线 【解析】解:(1)依题意可知:AP=CQ=t, 是等边三角形, , , 又PEAC, APE=30 , , , 故答案为: , 12.如图(1),已知 ABC 是等腰直角三角形,BAC90 ,点 D 是 BC 的中点.作正方形 DEFG,使点 A、 C 分别在 DG 和 DE 上,连接 AE、BG. (1)试猜想线段 BG 和 AE 的关系(位置关系及数量关系),请直接写出你得到的结论; (2)将正方形 DEFG 绕点 D 逆时针方向旋转一角度 后(0 90 ),如图(2),通过观察或测量等方法判断 (1)中的结论是否仍然成立?如果成立

29、,请予以证明;如果不成立,请说明理由; (3)若 BCDE2,正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转角度 (0360 )过程中,当 BG为最小值时, 求 AF 的值. 【答案】 (1)解:如图(1) ABC 是等腰直角三角形,BAC=90 ,点 D 是 BC 的中点, BD=CD=AD, 在 BDG 和 ADE 中 BDGADE(SAS), BG=AE,DGB=DEA, 延长 EA 到 BG 于一点 M, GAM=DAE, GMA=EDA=90 , 线段 BG 和 AE 相等且垂直; (2)解:成立, 如图(2),延长 EA 分别交 DG、BG 于点 M、N两点, ABC 是等腰直角三角形,B

30、AC=90 ,点 D 是 BC 的中点, ADB=90 ,且 BD=AD, BDG=ADB-ADG=90 -ADG=ADE, 在 BDG 和 ADE 中 BDGADE(SAS), BG=AE,DEA=DGB, DEA+DNE=90 ,DNE=MNG, MNG+DGM=90 , 即 BGAE 且 BG=AE; (3)解:由(2)知,要使 AE 最大,只要将正方形绕点 D 逆时针旋旋转 270 ,即 A,D,E 在一条直线上时, AE 最大; 正方形 DEFG 在绕点 D 旋转的过程中,E 点运动的图形是以点 D 为圆心,DE 为半径的圆, 当正方形 DEFG 旋转到 G 点位于 BC 的延长线上(即正方形 DEFG 绕点 D 逆时针方向旋转 270 )时,BG 最大,如图(3), 若 BC=DE=m,则 AD= ,EF=m, 在 Rt AEF 中,AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2= AF= ,即在正方形 DEFG 旋转过程中,当 AE 为最大值时,AF= .