1、专练 11 四边形中的最值问题 1.综合与实践 (1)任意一个四边形 通过剪裁，都可以拼接成一个三角形，方法如下：如图 1，E，F，G，H 分别是 边 ， ， ， 的中点，连接 ，P 是线段 的中点，连接 ， ，沿线段 ， ， 剪开，将四边形 分成，四部分，按如图 2 所示的方式即可拼成一个无缝隙 也不重叠的 关于在拼接过程中用到的图形的变换，说法正确的是( ) A.是轴对称 B.是平移 C.是中心对称 D.是中心对称 (2)如图 3，连接 ， ， ，判断四边形 的形状，并说明理由 (3)若 是一个边长为 4 的等边三角形，则四边形 的对角线 的最小值为 _ 【答案】 (1)C (2)四边形
2、是平行四边形 理由：由题意可知， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形 (3) 【解析】(1)观察图象可知，是中心对称，是平移 故答案为：C(3)如图 4，过点 O 作直线 ，作 于点 T，连接 交直线 于点 ， 连接 ， 此时 的值最小，最小值 的长 在 中， ， ， ， ， ， 的最小值 2.阅读下面材料，并解决问题： (1)如图 1，等边三角形 ABC 内有一点 P，若点 P 到顶点 A，B，C 的距离分别为 3，4，5，求APB 的度 数； 为了解决本题，我们可以将 ABP 绕顶点 A 逆时针旋转到 ACP处，此时 ACP ABP，这样就 可以利用旋转变换，将三条线段
3、PA，PB，PC 转化到一个三角形中，从而求出APB=_； (2)基本运用： 请你利用第(1)题的思想方法，解答下面问题： 如图2，在 ABC中，CAB=90 ，AB=AC，E，F为BC上的点，且EAF=45 求证：EF2=BE2+FC2； (3)能力提升：在正方形 ABCD 中，点 E 为对角线 AC(不含点 A)上任意一点，AB=4 如图 3，将 ADE 绕点 D 逆时针旋转 90 得到 DCF，连结 EF a把图形补充完整(无需写画法)； b求 EF2的取值范围； 如图 4，求 BE+AE+DE 的最小值 【答案】 (1)150 (2)证明：如图，把 ABE 绕点 A 逆时针旋转 90
4、得到 ACE 由旋转的性质得，AE=AE，CE=BE，CAE=BAE，ACE=B，EAE=90 EAF=45 ， EAF=CAE+CAF=BAE+CAF=BACEAF=90 45 =45 ， EAF=EAF 在 EAF 和 EAF 中， ， EAF EAF(SAS)， EF=EF CAB=90 ，AB=AC， B=ACB=45 ， ECF=45+45=90， 由勾股定理得，EF2=CE2+FC2 ， 即 EF2=BE2+FC2 (3)解：a如图， DCF 即为所求 b方法一： ， FDE 是等腰直角三角形， EF2=2DE2 ， 16EF232 方法二：四边形 ABCD 是正方形， BC=AB
5、=4，B=90 ，DAE=ACD=45 ， ADE 绕点 D 逆时针旋转 90 得到 DCF， DCF=DAE=45 ，AE=CF， ECF=ACD+DCF=90 设 AE=CF=x，EF2=y，则 EC= ， ， 即 20， 当 时，y 有最小值，最小值为 16，当 x=42 时，y 有最大值，最大值为 32， 16EF232 如图，将 ABE 绕点 A 顺时针旋转 60 得到 AFG，连结 EG，DF作 FHAD，交 DA 的延长线于点 H 由旋转的性质可知：AF=AB=4， AEG 是等边三角形， AE=EG DFFG+EG+DE，BE=FG， AE+BE+DE 的最小值为线段 DF 的
6、长 在 Rt AFH 中，FAH=30 ， ， ， 在 Rt DFH 中， ， BE+AE+ED 的最小值为 【解析】(1)解：150 【解法提示】 ACP ABP， AP=AP=3，CP=BP=4，APC=APB 由题意知旋转角PAP=60， APP为等边三角形， PP=AP=3，APP=60 易证 PPC 为直角三角形，且PPC=90， APB=APC=APP+PPC=60+90=150 3.如图，在矩形 中， ， ， 是边 上一点，将 沿直线 对折， 得到 (1)如图 1，当直线 经过点 时，求 的长 (2)如图 2，连接 ，当 时，求 的面积 (3)如图 3，当射线 交线段 于点 时，
7、求 的最大值 【答案】 (1)解：当 经过点 时，即 ， ， 三点共线 ， 将 沿直线 对折 设 ， ， 在 中， ， ， (2)解：过 作 交 于点 ，交 于 结合题意，得： 设 ，则 ， ， 在 中， 解得： (舍)或 (3)解： 在以 为圆心，半径为 3 的圆弧上运动 如图，当 与圆只有一个交点时， 取最大值，此时 在 和 中 4.阅读 如图 1，四边形 OABC 中，OA=a，OC=4，BC=3，AOC=BCO=90 ，经过点 O 的直线 l 将四边形分成 两部分，直线 l 与 OC 所成的角设为 ，将四边形 OABC 的直角OCB 沿直线 l 折叠，点 C 落在点 D 处， 我们把这
8、个操作过程记为 FZ，a. 理解若点 D 与点 A 重合，则这个操作过程为 FZ45 ，4； 尝试 (1)若点 D 与 OA 的中点重合，则这个操作过程为 FZ_，_； (2)若点 D 恰为 AB 的中点(如图 2)，求 =_； (3)经过 FZ45 ，a操作，点 B 落在点 E 处，若点 E 在四边形 OABC 的边 AB 上，试解决下列问题： 求出 a 的值； 点P，Q 分别为边 OA上的两个动点，且点Q 始终在点P 右边，PQ=1，连接CP，QE，在P，Q两点的运 动过程中，PC+PQ+QE 是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由. 【答案】 (1)45 ；8 (2)
9、30 (3)如图 3：过点 B 作 BHOA 于点 H， COA=90 ，COF=45 FOA=45 点 B 与点 E 关于直线 1 对称 OFA=OFB=90 OAB=45 HBA=90-45 =45 =HAB BH=AH OCOA，BHOA .OC/BH BC/OA. 四边形 BCOH 是平行四边形 BH=CO=4，OH=BC=3 OA=OH+AH=OH+BH=3+4=7 a 的值为 7； 如图 4：过点 B 作 BHOA 于点 H，过点 F 作 OA 的对称点 Q，连接 AQ、EQ、OB QAO=FAO=45 ，QA=FA， QAF=90 在 Rt BHA 中，AB= 在 Rt OFA
10、中，AFO=90 ，AOF=OAF=45 AF=OF= AQ=AF= 在 R OCB，OB= 在 Rt OFB 中，BF=AB-AF=5- 由折叠可得：BF=EF= - = AE=AF-EF= - = 在 Rt QAE 中: 根据两点之间线段最短可得,当点 E、P、Q 三点共线时，PE+PF=PE+PQ 最短，最小值为线段 EQ 长 PE+PF 的最小值的是 【解析】(1)点 D 与 OA 的中点重合，如图 1: 由折叠得：COP=DOP=45 ，C=ODP=90 CP=FD OP=OP Rt OCPRt ODP(HL) OD=OC=4 D 为 OA 的中点 OA=a=8 则这个操作过程为 F
11、Z45 ，8； 故答案为：45 ，8； ( 2 )如图 2:延长 MD、OA 交于点 N AOC=BCO=90 AOC+BCO= 180 BC/OA B=DAN 在 BDM 和 ADN 中 B=DAN ,BD=AD, BDM=ADN BDMADN(ASA) DM=DN ODM=OCM=90 OM=ON. MOD=NOD 由折可得MOD=MOC= COA=3=90 =30 5.如图，四边形ABCD是正方形， ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕 点 B 逆时针旋转 60 得到 BN，连接 EN、AM、CM. (1)求证： AMBENB； (2)当 M 点在何处时，A
12、MCM 的值最小； 当 M 点在何处时，AMBMCM 的值最小，并说明理由； (3)当 AMBMCM 的最小值为 时，求正方形的边长. 【答案】 (1)证明：ABE 是等边三角形， BABE，ABE60 . MBN60 ， MBNABNABEABN. 即BMANBE. 又MBNB， AMBENB(SAS) (2)解：当 M 点落在 BD 的中点时，AMCM 的值最小 如图，连接 CE，当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时， AMBMCM 的值最小. 理由如下：连接 MN.由知， AMBENB， AMEN. MBN60 ，MBNB， BMN 是等边三角形. BMMN. AMBMCMENMN
13、CM. 根据“两点之间线段最短”，得 ENMNCMEC 最短 当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AMBMCM 的值最小，即等于 EC 的长 (3)解：过 E 点作 EFBC 交 CB 的延长线于 F， EBF90 60 30 . 设正方形的边长为 x，则 BF x，EF . 在 Rt EFC 中， EF2FC2EC2 ， ( )2( xx)2 解得，x (舍去负值). 正方形的边长为 . 6.定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等 邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题： (1)如图 1，正方形 中，E
14、是 上的点，将 绕 B 点旋转，使 与 重合，此时点 E 的 对应点 F 在 的延长线上，则四边形 为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图 2，已知四边形 是“直等补”四边形， ， ， ，点 到直线 的距离为 求 的长 若 M、N 分别是 、 边上的动点，求 周长的最小值 【答案】 (1)解：如图 1 由旋转的性质得：F=BEC，ABF=CBE，BF=BE BEC+BED=180 ，CBE+ABE=90 ， F+BED=180 ， ABF+ABE=90 即FBE=90 ， 故满足“直等补”四边形的定义， 四边形 为“直等补”四边形； (2)解：四边形 是“直等补”四边形，AB=BC， A+B
15、CD=180 ，ABC=D=90 ， 如图 2，将 ABE 绕点 B 顺时针旋转 90 得到 CBF， 则F=AEB=90 ，BCF+BCD=180 ，BF=BE D、C、F 共线， 四边形 EBFD 是正方形， BE=FD， 设 BE=x，则 CF=x-1， 在 Rt BFC 中，BC=5， 由勾股定理得： ，即 ， 解得：x=4 或 x=3(舍去)， BE=4 如图 3，延长 CD 到 P，使 DP=CD=1，延长 CB 到 T，使 TB=BC=5, 则 NP=NC，MT=MC, MNC 的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NPPT 当 T、M、N、P 共线时， MNC 的周长取得最小值
16、 PT， 过 P 作 PHBC，交 BC 延长线于 H， F=PHC=90 ,BCF=PCH, BCFPCH, , 即 ， 解得： , 在 Rt PHT 中，TH= , , 周长的最小值为 7.如图，在菱形 ABCD 中，ABC120 ，AB4 ，E 为对角线 AC 上的动点(点 E 不与 A，C 重合)， 连接 BE，将射线 EB 绕点 E 逆时针旋转 120 后交射线 AD 于点 F (1)如图 1，当 AEAF 时，求AEB 的度数； (2)如图 2，分别过点 B，F 作 EF，BE 的平行线，且两直线相交于点 G 试探究四边形 BGFE 的形状，并求出四边形 BGFE 的周长的最小值；
17、 连接 AG，设 CEx，AGy，请直接写出 y 与 x 之间满足的关系式，不必写出求解过程 【答案】 (1)如图 1 中， 四边形 ABCD 是菱形， BCAD，BACDAC， ABC+BAD180 ， ABC120 ， BAD60 ， EAF30 ， AEAF， AEFAFE75 ， BEF120 ， AEB120 75 45 (2)如图 2 中，连接 DE ABAD，BAEDAE，AEAE， BAEDAE(SAS)， BEDE，ABEADE， BAF+BEF60 +120 180 ， ABE+AFE180 ， AFE+EFD180 ， EFDABE， EFDADE， EFED， EFBE
18、， BEFG，BGEF， 四边形 BEFG 是平行四边形， EBEF， 四边形 BEFG 是菱形， 当 BEAC 时，菱形 BEFG 的周长最小，此时 BEABsin302 ， 四边形 BGFE 的周长的最小值为 8 如图 21 中，连接 BD，DE，过点 E 作 EHCD 于 H ABAD，BAD60 ， ABD 是等边三角形， BDBA，ABD60 ， BGEF， EBG180 120 60 ， ABDGBE， ABGDBE， BGBE， ABGDBE(SAS)， AGDEy， 在 Rt CEH 中，EH EC xCH x， DH|4 x|， 在 Rt DEH 中，DE2EH2+DH2 ，
19、 y2 x2+(4 x)2 ， y2x212x+48， y (0 x12) 8.如图 1，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC6cm，BD8cm，分别过点 B、C 作 AC 与 BD 的平行线相交于点 E (1)判断四边形 BOCE 的形状并证明； (2)点 G 从点 A 沿射线 AC 的方向以 2cm/s 的速度移动了 t 秒，连接 BG，当 S ABG2S OBG时，求 t 的值 (3)如图 2，长度为 3cm 的线段 GH 在射线 AC 上运动，求 BGBH 的最小值 【答案】 (1)结论：四边形 BOCE 是矩形 理由：BEOC，ECOB， 四边形 OBEC 是
20、平行四边形， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD， BOC90 ， 四边形 BOCE 是矩形 (2)如图 2 中，四边形 ABCD 是菱形， OAOC3cm，OBOD4cm， S ABG2S OBG ， AG2OG， 2t2(32t)或 2t2(2t3)， 解得 t1 或 t3， 满足条件的 t 的值为 1 或 3 (3)如图 2 中，设 OGx，则 BGBH ，欲求 BGBH 的最小值，相当于 在 x 轴上找一点 P(x，0)，使得点 P(x，0)到 A(0，4)和 B(3，4)的距离最小，如图 3 中， 作点 B 关于 x 轴的对称点 ，连接 交 x 轴于 P，连接 BP，此时 PAPB
21、 的值最小， A(0，4)， (3，4)， 当 B 点在 y 轴右侧时， APPBAP ， 当 B 点在 y 轴左侧时，由于线段整体移动，同理，得 APPBAP ， BGBH 的最小值为 9.如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B的坐标为(10， 4)，点 D 是 OA 的中点，动点 P 在线段 BC 上以每秒 2 个单位长的速度由点 C 向 B 运动.设动点 P 的运动时 间为 t 秒. (1)当 t=_时，四边形 PODB 是平行四边形？ (2)在直线 CB 上是否存在一点 Q，使得四边形 ODPQ 是菱形？若存在，求 t 的值，并求出 Q 点
22、的坐标，若 不存在，请说明理由； (3)在点 P 运动的过程中，线段 PB 上有一点 M，且 PM=5，求四边形 OAMP 的周长最小值. 【答案】 (1)2.5s (2)解：当点 Q 在线段 BC 上时，如图 1， 四边形 ODPQ 是菱形， OQ=OD=5， 在 Rt OCQ 中， ，CP=3+5=8， t=4，点 Q 的坐标为(3，4)； 当点 Q 在射线 BC 上时，如图 2， 四边形 ODPQ 是菱形， OQ=OD=5， 在 Rt OCQ 中， ，CP=53=2， t=1，点 Q 的坐标为(3，4)； (3)解：如图 3，连接 DM， PM=OD=5，PMOD， 四边形 ODMP 是
23、平行四边形， OP=DM， 四边形 OAMP 的周长=OA+AM+MP+PO=15+AM+PO=15+AM+DM 作点 A 关于直线 BC 的对称点 A，连接 AM，AD. AM=AM， 四边形 OAMP 的周长=15+AM+DM， 所以，当点 A，M，D 三点在同一直线上时，四边形 OAMP 的周长最小， 在 Rt ADA 中， ， 所以四边形 OAMP 的周长最小值为 . 【解析】解：(1)四边形 OABC 为矩形，点 B 的坐标为(10，4)， BC=OA=10，AB=OC=4. 点 D 是 OA 的中点， OD OA=5， 由题意知，PC=2t， BP=BCPC=102t. 四边形 P
24、ODB 是平行四边形， PB=OD=5， 102t=5， t=2.5， 即当 t=2.5s 时，四边形 PODB 是平行四边形. 故答案为：2.5s； 10.如图 1，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4 ，将矩形 ABCD 绕着点 A 顺时针旋转，得到矩形 BEFG. (1)当点 E 落在 BD 上时，则线段 DE 的长度等于_ ； (2)如图 2，当点 E 落在 AC 上时，求 BCE 的面积； (3)如图 3，连接 AE、CE、AG、CG，判断线段 AE 与 CG 的位置关系且说明理由，并求 CE 2+AG 2的值； (4)在旋转过程中，请直接写出 的最大值. 【答案】 (1)2 (2
25、)解：当点 E 落在 AC 上时，过点 B 作 BMAC 于点 M， 在 中，由勾股定理得： , 是直角三角形，BMAC， , ， 在 中，由勾股定理得： ， 在 中，由勾股定理得： ， ， ； (3)解：线段 AE 与 CG 的位置关系是垂直，理由如下： 证明：连接 AC、EG，设 AE 与 CG 相交于点 N，AE 与 BC 相交于点 P， 由旋转的性质知： ， ， ， 在等腰 和等腰 中得到： ， ， ， ， ， 即 ； ， ， 由矩形的性质可以得到： ， ； (4)解：过点 C 作 CH直线 BE 于点 H，过点 G 作 EQ直线 AB 于点 Q， ， ， ， 当 最大时， 最大， 在
26、旋转过程中， ， ， 当点 、 、 三点共线时， ，此时最大， 的最大值为： . 【解析】解：(1)解：当 落在 上时，如图所示： 四边形 是矩形， 每个内角都等于 90 ， ， ，由勾股定理得： ， 由旋转的性质可知： ， ， 故答案为：2； 11.如图 1，在等边 ABC 中，AB6cm，动点 P 从点 A 出发以 1cm/s 的速度沿 AB 匀速运动，动点 Q 同 时从点 C 出发以同样的速度沿 BC 的延长线方向匀速运动，当点 P 到达点 B 时，点 P、Q 同时停止运动， 设运动时间为 t(s)过点 P 作 PEAC 于 E，以 CQ、CE 为边作平行四边形 CQFE (1)AE_，
27、CE_；(用含 t 的代数式表示) (2)当平行四边形 CQFE 为菱形时，请求出 t 的值； (3)如图 1，连接 PQ，交 AC 边于点 D，求线段 DE 的长； (4)如图 2，取线段 BC 的中点 M，连接 PM，将 BPM 沿直线 PM 翻折，得 ，连接 ，请求 出 的最小值 【答案】 (1) ； (2)解：当平行四边形 CQFE 为菱形时，则 ， ，解得： 即当 时 ，当平行四边形 CQFE 为菱形 (3)解：如图 2 中，作 交 于 是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， (4)解：如图 3 中，连接 ， ， ， ， ， ， 由折
28、叠性质可知， ， 的最小值为 ，此时 A、M、 三点共线 【解析】解：(1)依题意可知：AP=CQ=t， 是等边三角形， ， ， 又PEAC， APE=30 ， ， ， 故答案为： ， 12.如图(1)，已知 ABC 是等腰直角三角形，BAC90 ，点 D 是 BC 的中点.作正方形 DEFG，使点 A、 C 分别在 DG 和 DE 上，连接 AE、BG. (1)试猜想线段 BG 和 AE 的关系(位置关系及数量关系)，请直接写出你得到的结论； (2)将正方形 DEFG 绕点 D 逆时针方向旋转一角度 后(0 90 )，如图(2)，通过观察或测量等方法判断 (1)中的结论是否仍然成立？如果成立
29、，请予以证明；如果不成立，请说明理由； (3)若 BCDE2，正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转角度 (0360 )过程中，当 BG为最小值时， 求 AF 的值. 【答案】 (1)解：如图(1) ABC 是等腰直角三角形，BAC=90 ，点 D 是 BC 的中点， BD=CD=AD， 在 BDG 和 ADE 中 BDGADE(SAS)， BG=AE，DGB=DEA， 延长 EA 到 BG 于一点 M， GAM=DAE， GMA=EDA=90 ， 线段 BG 和 AE 相等且垂直； (2)解：成立， 如图(2)，延长 EA 分别交 DG、BG 于点 M、N两点， ABC 是等腰直角三角形，B
30、AC=90 ，点 D 是 BC 的中点， ADB=90 ，且 BD=AD， BDG=ADB-ADG=90 -ADG=ADE， 在 BDG 和 ADE 中 BDGADE(SAS)， BG=AE，DEA=DGB， DEA+DNE=90 ，DNE=MNG， MNG+DGM=90 ， 即 BGAE 且 BG=AE； (3)解：由(2)知，要使 AE 最大，只要将正方形绕点 D 逆时针旋旋转 270 ，即 A，D，E 在一条直线上时， AE 最大； 正方形 DEFG 在绕点 D 旋转的过程中，E 点运动的图形是以点 D 为圆心，DE 为半径的圆， 当正方形 DEFG 旋转到 G 点位于 BC 的延长线上(即正方形 DEFG 绕点 D 逆时针方向旋转 270 )时，BG 最大，如图(3)， 若 BC=DE=m，则 AD= ，EF=m， 在 Rt AEF 中，AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2= AF= ，即在正方形 DEFG 旋转过程中，当 AE 为最大值时，AF= .