1、专练专练 12 四边形中有关角的计算问题四边形中有关角的计算问题 1.如图 1，在 ABC 中，ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧 作正方形 ADEF. (1)如果 ABAC，BAC90 ， 当点 D 在线段 BC 上时(与点 B 不重合) ，如图 2，线段 BD、CF的数量关系为_， 线段 BD、CF所在 直线的位置关系为_； 当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图 3，中的结论是否仍然成立?并说明理由; (2)如果ABAC，BAC是锐角，点D在线段BC上，当ACB_ 时，CFBC (点C、F不重合). 【答案】 (1)BD=CF
2、；BDCF； 解：当点 D 在 BC 的延长线上时的结论仍成立. 由正方形 ADEF 得 AD=AF，DAF=90 ， BAC=90 ， DAF=BAC， DAB=FAC， 又AB=AC， DABFAC， CF=BD，ACF=ABD. BAC=90 ，AB=AC， ABC=45 ， ACF=45 ， BCF=ACB+ACF=90 度. 即 CFBD. (2)45 【解析】解：(1)正方形 ADEF 中，AD=AF， BAC=DAF=90 ， BAD=CAF， 又AB=AC， DABFAC， BD=CF，B=ACF=45 ， ACB+ACF=90 ，即 BDCF， 故答案为：BD=CF；BDCF
3、 ( 2 )当ACB=45 时，CFBD(如图). 理由：过点 A 作 AGAC 交 CB 的延长线于点 G， 则GAC=90 ， ACB=45 ，AGC=90 -ACB， AGC=90 -45 =45 ， ACB=AGC=45 ， AC=AG， DAG=FAC(同角的余角相等)，AD=AF， GADCAF， ACF=AGC=45 ， BCF=ACB+ACF=45 +45 =90 ，即 CFBC. 2.已知：菱形 和菱形 ， ，起始位置点 在边 上，点 在 所在直线上，点 在点 的右侧，点 在点 的右侧，连接 和 ，将菱形 以 为旋转中心逆时针旋转 角( ). (1)如图 1，若点 与 重合，
4、且 ，求证： ； (2)若点 与 不重合， 是 上一点，当 时，连接 和 ， 和 所 在直线相交于点 ； 如图 2，当 时，请猜想线段 和线段 的数量关系及 的度数； 如图 3，当 时，请求出线段 和线段 的数量关系及 的度数； 在的条件下，若点 与 的中点重合， ， ，在整个旋转过程中，当点 与 点 重合时，请直接写出线段 的长. 【答案】 (1)证明：如图 1，在菱形 ABCD 和菱形 ABCD中，BADBAD90 ， 四边形 ABCD，四边形 ABCD都是正方形， DABDAB90 ， DADBAB， ADAB，ADAB， ADDBAB(SAS)， DDBB； (2)解：解：如图 2 中
5、，结论：AC BM，BPC45 ； 理由：设 AC 交 BP 于 O， 四边形 ABCD，四边形 ABCD都是正方形， MAADAC45 ， AACMAB， MAMA， MAAMAA45 ， AMA90 ， AA AM， ABC 是等腰直角三角形， AC AB， = ， AACMAB， AACMAB， = ，ACAABM， AC BM， AOBCOP， CPOOAB45 ，即BPC45 ； 解：如图 3 中，设 AC 交 BP 于 O， 在菱形 ABCD 和菱形 ABCD中，BADBAD60 ， CABCAB30 ， AACMAB， MAMA， MAAMAA30 ， AA AM， 在 ABC
6、中，BABC，CAB30 ， AC AB， = ， AACMAB， AACMAB， = ，ACAABM， AC BM， AOBCOP， CPOOAB30 ，即BPC30 ； 如图 4 中，过点 A 作 AHAC 于 H， 由题意 ABBCCDAD2，可得 AC AB2 ， 在 Rt AAH 中，AH AA1，AH AH ， 在 Rt AHC 中，CH = - = ， ACAHCH ， 由可知，AC BM， BM1 . 3.如图，菱形 的边长为 1， ，点 E 是边 上任意一点(端点除外)，线段 的垂直 平分线交 ， 分别于点 F，G， ， 的中点分别为 M，N (1)求证： ； (2)求 的最
7、小值； (3)当点 E 在 上运动时， 的大小是否变化？为什么？ 【答案】 (1)解：连接 CF， FG 垂直平分 CE， CF=EF， 四边形 ABCD 为菱形， A 和 C 关于对角线 BD 对称， CF=AF， AF=EF； (2)解：连接 AC， M 和 N 分别是 AE 和 EF 的中点，点 G 为 CE 中点， MN= AF，NG= CF，即 MN+NG= (AF+CF)， 当点 F 与菱形 ABCD 对角线交点 O 重合时， AF+CF 最小，即此时 MN+NG 最小， 菱形 ABCD 边长为 1，ABC=60 ， ABC 为等边三角形，AC=AB=1， 即 MN+NG 的最小值
8、为 ； (3)解：不变，理由是： EGF=90 ，点 N 为 EF 中点， GN=FN=EN， AF=CF=EF，N 为 EF 中点， MN=GN=FN=EN， FNG 为等边三角形， 即FNG=60 ， NG=NE， FNG=NGE+CEF=60 ， CEF=30 ，为定值 4.如图，在平面直角坐标系中，A(6，a)，B(b，0)，M(0，c)，P 点为 y 轴上一动点，且(b2)2+|a6|+ 0. (1)求点 A、B、M 的坐标和四边形 AMOB 的面积； (2)当 P 点在线段 OM 上运动时，是否存在一个点 P 使 S PAB S 四边形AMOB ， 若存在，请求出 P 点的坐 标；
9、若不存在，请说明理由. (3)不论 P 点运动到直线 OM 上的任何位置(不包括点 O、M)，PAM、APB、PBO 三者之间是否都存 在某种固定的数量关系，如果存在，请利用所学知识找出并证明；如果不存在，请说明理由. 【答案】 (1)解：(b2)2+|a6|+ - 0， 又(b2)2 ， 0，|a6|0， - 0， a6，b2，c6. M(0，6)，B(2，0)，A(6，6)， S 四边形 AMOB (2+6)624 (2)解：存在.设 P(0，m). S PAB S 四边形 AMOB ， 四边形 AMOB 是直角梯形， 24 m2 (6m)6 24， m1， P(0，1). (3)解：如图
10、 21 中，当点 P 在线段 OM 上时，结论：APBPBOPAM； 理由：作 PQAM，则 PQAMON， 1PAM，2PBO， 1+2PAM+PBO， 即APBPAM+PBO， APBPBOPAM； 如图 22 中所示，当点 P 在 MO 的延长线上时，结论：APB+PBOPAM. 理由：AMOB， PAM3， 3APB+PBO， APB+PBOPAM. 如图 23 中，当点 P 在 OM 的延长线上时，结论：PBOPAM+APB. 理由：AMOB， 4PBO， 4PAM+APB， PBOPAM+APB. 5.已知在四边形 ABCD 中， ， ， . (1) _ 用含 x、y 的代数式直接
11、填空 ； (2)如图 1，若 平分 ，BF 平分 ，请写出 DE 与 BF 的位置关系，并说明理 由； (3)如图 2， 为四边形 ABCD 的 、 相邻的外角平分线所在直线构成的锐角. 若 ， ，试求 x、y. 小明在作图时，发现 不一定存在，请直接指出 x、y 满足什么条件时， 不存在. 【答案】 (1) (2)解： . 理由：如图 1， 平分 ，BF 平分 ， ， ， 又 ， ， 又 ， ， ； (3)解： 由(1)得： ， 、DF 分别平分 、 ， ， 如图 2，连接 DB， 则 ， ， ， 解方程组： ， 可得： ； 当 时， ， 、 相邻的外角平分线所在直线互相平行， 此时， 不存
12、在. 【解析】解：(1) ， ， ， . 故答案为 . 6.数学概念 百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这 样的四边形叫做凹四边形. 如图，在四边形ABCD中，画出DC所在直线MN，边BC、AD分别在直线MN的两旁，则四边形ABCD 就是凹四边形. (1)性质初探 在图所示的凹四边形 ABCD 中，求证：BCDABD. (2)深入研究 如图，在凹四边形 ABCD 中，AB 与 CD 所在直线垂直，AD 与 BC 所在直线垂直，B、D 的角平分 线相交于点 E. 求证：ABCD180 ； 随着A 的变化，BED 的大小会发生变化吗？如果有变
13、化，请探索BED 与A 的数量关系；如果没 有变化，请求出BED 的度数. 【答案】 (1)证明：如图，延长 DC 交 AB 于点 E. BEC 是 AED 的一个外角， ADBEC. 同理，BBECBCD. BCDADB. (2)解：证明：如图，延长 BC、DC 分别交 AD、AB 于点 F、G. 由题意可知AFCAGC90 . 又在四边形 AFCG 中，AFCAGCAFCG360 ， AFCG180 . FCGBCD， ABCD180 . 解：由(1)可知，在凹四边形 ABED 中， AABEADEBED. 同理，在凹四边形 EBCD 中， BEDEBCEDCBCD. BE 平分ABC，
14、ABEEBC. 同理，ADEEDC. ，得ABCD2BED. 由(2)可知，在凹四边形 ABCD 中，ABCD180 . 2BED180 ， BED90 . 7.如图，1、2 是四边形 ABCD 的两个不相邻的外角. (1)猜想并说明12 与A、C 的数量关系； (2)如图，在四边形 ABCD 中，ABC 与ADC 的平分线交于点 O .若A50 ，C150 ，求BOD 的度数； (3)如图，BO、DO 分别是四边形 ABCD 外角CBE、CDF 的角平分线.请直接写出A、C 与O 的 的数量关系_. 【答案】 (1)解：猜想： ， ， 又 ， ； (2)解： ， ， ， 又 、 分别平分 与
15、 ， ， ， ， ； (3)C-A=2O 【解析】解：(3) 、 分别是四边形 外角 、 的角平分线. ， ， 由(1)可知： ， ， ， . 答： 、 与 的的数量关系为 . 故答案为： C-A=2O . 8.如图 ，在 中， ，点 分别在边 上， ，连接 ，点 分别为 的中点. (1)图 中线段 与 的数量关系是_，位置关系是_； (2)把 绕点 逆时针旋转到图 的位置，连接 .请判断 与 是否相等， 请说明理由； (3)试判断 的形状，并说明理由. 【答案】 (1)PM=PN；PMPN (2)解： 理由如下 ， 由旋转得 (3)解： 是等腰直角三角形 点 、 、 分别为 、 、 的中点
16、， 点 、 、 分别为 、 、 的中点 ， ， 是等腰直角三角形 【解析】解：(1)如图 1 中，点 P，N 是 BC，CD 的中点， 点 P，M 是 CD，DE 的中点， AB=AC，AD=AE， BD=CE， PM=PN， PNBD， DPN=ADC， PMCE， DPM=DCA， BAC=90 ， ADC+ACD=90 ， MPN=DPM+DPN=DCA+ADC=90 ， PMPN， 故答案为：PM=PN，PMPN. 9.如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在对角线 AC 上，点 F 在射线 BC 上，且四边形 DEFG 是正方形，连接 CG (1)求证：AECG (2)求证：ACG=
17、90 (3)若 AB ，当点 E 在 AC 上移动时，AE2+CE2是否有最小值？若有最小值，求出最小值 (4)当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 30 时，直接写出EFC 的度数 【答案】 (1)证明：如图 1 四边形 ABCD、四边形 DEFG 都是正方形 DA=DC，DE=DG，ADC=EDG=90 ADC-EDC =EDG-EDC ADE=CDG， 在 ADE 和 CDG AD=CD，ADE=CDG，DE=DG ADECDG(SAS) AE=CG (2)证明：如图 1四边形 ABCD 是正方形 DAC=ACD=45 . ADECDG DAE=DCG=45 ACG=ACD
18、+DCG=90 (3)解：有最小值 如图 1：连接 EG ACG=90 ECG 是直角三角形，AE=CG AE2+EC2=EC2+CG2=EG2 ， 四边形 DEFG 是正方形， EG= DE， DE 的值最小时，EG 的值最小， 当 DEAC，DE= AC= AB=2 ,AE2+CE2 时的值最小， AE2+EC2 =EG2=( DE) 2=(2 ) 2=8 (4)EFC=120 或 30 【解析】(4)如图 2，当ADE=30 时 CED=EAD+ADE=45 +30 =75 , DEF=90 CEF=90 -75 =15 EFC=180 -ECF-CEF=180 -45 -15 = 12
19、0 ； 如图 3，当CDE=30 时 DEC=180 -30 -45 =105 DEF=90 CEF=15 EFC=ACB-CEF=45 -15 =30 ； 综上， 满足题意得EFC 的值为 120 或 30 10.如图 1，已知 ，点 A 在直线 EF 上，点 B 在直线 GH 上，且 (1)试判断直线 EF 与 GH 的位置关系，并说明理由； (2)如图 2，若点 B 在直线 GH 上运动，作 ，作 ，试判断 的大小 是否随着点 B 的运动而发生变化？若不变，求出 的大小；若变化，请说明理由 【答案】 (1)解：平行，理由如下， 过 C 作 ， ， ， 又 ， ， ， ， ； (2)解：
20、APB 的大小不会随着点 B 的运动而发生变化，理由如下： CAP=2CAE，CBP=2CBG， CAP+CBP=2CAE+2CBG=2(CAE+CBG)=2 80 =160 ， APB=360 -ACB-(CAP+CBP)=360 -80 -160 =120 所以APB 的大小为 120 11.已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上， 连接 EA，EC，AC. (1)如图 1，若点 P 在线段 AB 的延长线上，判断 ACE 的形状，并说明理由； (2)如图 2，若点 P 在线段 AB 上 若点 P 是线段 AB 的中点，判断 ACE
21、 的形状，并说明理由； 当 时，请直接写出CAE 的度数. 【答案】 (1)解：(1) ACE 等腰三角形 理由如下： 如图，连接 AF，CP， 四边形 ABCD，四边形 FBPE 是正方形 AB=BC，BF=BP，ABC=90 =EFB=EPB， ABF=CBP=90 ，且 AB=BC，BF=BP AFBCPB(SAS) AF=CP，AFB=CPB， AFB+EFB=CPB+EPB AFE=CPE，且 AF=CP，EF=EP， AFECFE(SAS) AE=CE， ACE 是等腰三角形 (2)解：ACE 是直角三角形 理由如下： 点 P 是线段 AB 的中点， AP=PB= AB 设 AP=
22、PB=PE=EF=BF=a，则 AB=2a=BC，CF=3a， AC2=AD2+CD2=8a2 ， CE2=CF2+EF2=10a2 ， AE2=AP2+PE2=2a2 ， CE2=AC2+AE2 ， ACE 是直角三角形 如图,连接 BE， 四边形 ABCD，四边形 FBPE 是正方形, CAB=EBP=45 ，BE= PB, AB= PB, AB=BE, EAB=AEB=67.5 , CAE=EAB+CAB=112.5 . 12. (1)(学习心得) 于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使 问题变得非常容易 例如：如图 1，在 ABC
23、 中，ABAC，BAC90 ，D 是 ABC 外一点，且 ADAC，求BDC 的度 数若以点A 为圆心，AB 为半径作辅助A，则点 C、D 必在A上，BAC是A 的圆心角，而BDC 是圆周角，从而可容易得到BDC_ (2)(问题解决) 如图 2，在四边形 ABCD 中，BADBCD90 ，BDC25 ，求BAC 的度数 (3)(问题拓展) 如图 3，如图，E，F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AEDF连接 CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H若正方形的边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是_ 【答案】 (1)45 (2)解：如图 2，取 BD 的中点
24、O，连接 AO、CO BADBCD90 ， 点 A、B、C、D 共圆， BDCBAC， BDC25 ， BAC25 ， (3) 1 【解析】解：(1)如图 1， ABAC，ADAC， 以点 A 为圆心，点 B、C、D 必在A 上， BAC 是A 的圆心角，而BDC 是圆周角， BDC BAC45 ， 故答案是：45；(3)如图 3，在正方形 ABCD 中，ABADCD，BADCDA，ADGCDG， 在 ABE 和 DCF 中， ， ABEDCF(SAS)， 12， 在 ADG 和 CDG 中， ， ADGCDG(SAS)， 23， 13， BAH+3BAD90 ， 1+BAH90 ， AHB180 90 90 ， 取 AB 的中点 O，连接 OH、OD， 则 OHAO AB1， 在 Rt AOD 中，OD ， 根据三角形的三边关系，OH+DHOD， 当 O、D、H 三点共线时，DH 的长度最小， 最小值ODOH 1 故答案为： 1