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本文(专练12 四边形中有关角的计算问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(教师版含解析))为本站会员(hua****011)主动上传,七七文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知七七文库(发送邮件至373788568@qq.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

专练12 四边形中有关角的计算问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(教师版含解析)

1、专练专练 12 四边形中有关角的计算问题四边形中有关角的计算问题 1.如图 1,在 ABC 中,ACB 为锐角,点 D 为射线 BC 上一点,连接 AD,以 AD 为一边且在 AD 的右侧 作正方形 ADEF. (1)如果 ABAC,BAC90 , 当点 D 在线段 BC 上时(与点 B 不重合) ,如图 2,线段 BD、CF的数量关系为_, 线段 BD、CF所在 直线的位置关系为_; 当点 D 在线段 BC 的延长线上时,如图 3,中的结论是否仍然成立?并说明理由; (2)如果ABAC,BAC是锐角,点D在线段BC上,当ACB_ 时,CFBC (点C、F不重合). 【答案】 (1)BD=CF

2、;BDCF; 解:当点 D 在 BC 的延长线上时的结论仍成立. 由正方形 ADEF 得 AD=AF,DAF=90 , BAC=90 , DAF=BAC, DAB=FAC, 又AB=AC, DABFAC, CF=BD,ACF=ABD. BAC=90 ,AB=AC, ABC=45 , ACF=45 , BCF=ACB+ACF=90 度. 即 CFBD. (2)45 【解析】解:(1)正方形 ADEF 中,AD=AF, BAC=DAF=90 , BAD=CAF, 又AB=AC, DABFAC, BD=CF,B=ACF=45 , ACB+ACF=90 ,即 BDCF, 故答案为:BD=CF;BDCF

3、 ( 2 )当ACB=45 时,CFBD(如图). 理由:过点 A 作 AGAC 交 CB 的延长线于点 G, 则GAC=90 , ACB=45 ,AGC=90 -ACB, AGC=90 -45 =45 , ACB=AGC=45 , AC=AG, DAG=FAC(同角的余角相等),AD=AF, GADCAF, ACF=AGC=45 , BCF=ACB+ACF=45 +45 =90 ,即 CFBC. 2.已知:菱形 和菱形 , ,起始位置点 在边 上,点 在 所在直线上,点 在点 的右侧,点 在点 的右侧,连接 和 ,将菱形 以 为旋转中心逆时针旋转 角( ). (1)如图 1,若点 与 重合,

4、且 ,求证: ; (2)若点 与 不重合, 是 上一点,当 时,连接 和 , 和 所 在直线相交于点 ; 如图 2,当 时,请猜想线段 和线段 的数量关系及 的度数; 如图 3,当 时,请求出线段 和线段 的数量关系及 的度数; 在的条件下,若点 与 的中点重合, , ,在整个旋转过程中,当点 与 点 重合时,请直接写出线段 的长. 【答案】 (1)证明:如图 1,在菱形 ABCD 和菱形 ABCD中,BADBAD90 , 四边形 ABCD,四边形 ABCD都是正方形, DABDAB90 , DADBAB, ADAB,ADAB, ADDBAB(SAS), DDBB; (2)解:解:如图 2 中

5、,结论:AC BM,BPC45 ; 理由:设 AC 交 BP 于 O, 四边形 ABCD,四边形 ABCD都是正方形, MAADAC45 , AACMAB, MAMA, MAAMAA45 , AMA90 , AA AM, ABC 是等腰直角三角形, AC AB, = , AACMAB, AACMAB, = ,ACAABM, AC BM, AOBCOP, CPOOAB45 ,即BPC45 ; 解:如图 3 中,设 AC 交 BP 于 O, 在菱形 ABCD 和菱形 ABCD中,BADBAD60 , CABCAB30 , AACMAB, MAMA, MAAMAA30 , AA AM, 在 ABC

6、中,BABC,CAB30 , AC AB, = , AACMAB, AACMAB, = ,ACAABM, AC BM, AOBCOP, CPOOAB30 ,即BPC30 ; 如图 4 中,过点 A 作 AHAC 于 H, 由题意 ABBCCDAD2,可得 AC AB2 , 在 Rt AAH 中,AH AA1,AH AH , 在 Rt AHC 中,CH = - = , ACAHCH , 由可知,AC BM, BM1 . 3.如图,菱形 的边长为 1, ,点 E 是边 上任意一点(端点除外),线段 的垂直 平分线交 , 分别于点 F,G, , 的中点分别为 M,N (1)求证: ; (2)求 的最

7、小值; (3)当点 E 在 上运动时, 的大小是否变化?为什么? 【答案】 (1)解:连接 CF, FG 垂直平分 CE, CF=EF, 四边形 ABCD 为菱形, A 和 C 关于对角线 BD 对称, CF=AF, AF=EF; (2)解:连接 AC, M 和 N 分别是 AE 和 EF 的中点,点 G 为 CE 中点, MN= AF,NG= CF,即 MN+NG= (AF+CF), 当点 F 与菱形 ABCD 对角线交点 O 重合时, AF+CF 最小,即此时 MN+NG 最小, 菱形 ABCD 边长为 1,ABC=60 , ABC 为等边三角形,AC=AB=1, 即 MN+NG 的最小值

8、为 ; (3)解:不变,理由是: EGF=90 ,点 N 为 EF 中点, GN=FN=EN, AF=CF=EF,N 为 EF 中点, MN=GN=FN=EN, FNG 为等边三角形, 即FNG=60 , NG=NE, FNG=NGE+CEF=60 , CEF=30 ,为定值 4.如图,在平面直角坐标系中,A(6,a),B(b,0),M(0,c),P 点为 y 轴上一动点,且(b2)2+|a6|+ 0. (1)求点 A、B、M 的坐标和四边形 AMOB 的面积; (2)当 P 点在线段 OM 上运动时,是否存在一个点 P 使 S PAB S 四边形AMOB , 若存在,请求出 P 点的坐 标;

9、若不存在,请说明理由. (3)不论 P 点运动到直线 OM 上的任何位置(不包括点 O、M),PAM、APB、PBO 三者之间是否都存 在某种固定的数量关系,如果存在,请利用所学知识找出并证明;如果不存在,请说明理由. 【答案】 (1)解:(b2)2+|a6|+ - 0, 又(b2)2 , 0,|a6|0, - 0, a6,b2,c6. M(0,6),B(2,0),A(6,6), S 四边形 AMOB (2+6)624 (2)解:存在.设 P(0,m). S PAB S 四边形 AMOB , 四边形 AMOB 是直角梯形, 24 m2 (6m)6 24, m1, P(0,1). (3)解:如图

10、 21 中,当点 P 在线段 OM 上时,结论:APBPBOPAM; 理由:作 PQAM,则 PQAMON, 1PAM,2PBO, 1+2PAM+PBO, 即APBPAM+PBO, APBPBOPAM; 如图 22 中所示,当点 P 在 MO 的延长线上时,结论:APB+PBOPAM. 理由:AMOB, PAM3, 3APB+PBO, APB+PBOPAM. 如图 23 中,当点 P 在 OM 的延长线上时,结论:PBOPAM+APB. 理由:AMOB, 4PBO, 4PAM+APB, PBOPAM+APB. 5.已知在四边形 ABCD 中, , , . (1) _ 用含 x、y 的代数式直接

11、填空 ; (2)如图 1,若 平分 ,BF 平分 ,请写出 DE 与 BF 的位置关系,并说明理 由; (3)如图 2, 为四边形 ABCD 的 、 相邻的外角平分线所在直线构成的锐角. 若 , ,试求 x、y. 小明在作图时,发现 不一定存在,请直接指出 x、y 满足什么条件时, 不存在. 【答案】 (1) (2)解: . 理由:如图 1, 平分 ,BF 平分 , , , 又 , , 又 , , ; (3)解: 由(1)得: , 、DF 分别平分 、 , , 如图 2,连接 DB, 则 , , , 解方程组: , 可得: ; 当 时, , 、 相邻的外角平分线所在直线互相平行, 此时, 不存

12、在. 【解析】解:(1) , , , . 故答案为 . 6.数学概念 百度百科这样定义凹四边形:把四边形的某些边向两方延长,其他各边有不在延长所得直线的同一旁,这 样的四边形叫做凹四边形. 如图,在四边形ABCD中,画出DC所在直线MN,边BC、AD分别在直线MN的两旁,则四边形ABCD 就是凹四边形. (1)性质初探 在图所示的凹四边形 ABCD 中,求证:BCDABD. (2)深入研究 如图,在凹四边形 ABCD 中,AB 与 CD 所在直线垂直,AD 与 BC 所在直线垂直,B、D 的角平分 线相交于点 E. 求证:ABCD180 ; 随着A 的变化,BED 的大小会发生变化吗?如果有变

13、化,请探索BED 与A 的数量关系;如果没 有变化,请求出BED 的度数. 【答案】 (1)证明:如图,延长 DC 交 AB 于点 E. BEC 是 AED 的一个外角, ADBEC. 同理,BBECBCD. BCDADB. (2)解:证明:如图,延长 BC、DC 分别交 AD、AB 于点 F、G. 由题意可知AFCAGC90 . 又在四边形 AFCG 中,AFCAGCAFCG360 , AFCG180 . FCGBCD, ABCD180 . 解:由(1)可知,在凹四边形 ABED 中, AABEADEBED. 同理,在凹四边形 EBCD 中, BEDEBCEDCBCD. BE 平分ABC,

14、ABEEBC. 同理,ADEEDC. ,得ABCD2BED. 由(2)可知,在凹四边形 ABCD 中,ABCD180 . 2BED180 , BED90 . 7.如图,1、2 是四边形 ABCD 的两个不相邻的外角. (1)猜想并说明12 与A、C 的数量关系; (2)如图,在四边形 ABCD 中,ABC 与ADC 的平分线交于点 O .若A50 ,C150 ,求BOD 的度数; (3)如图,BO、DO 分别是四边形 ABCD 外角CBE、CDF 的角平分线.请直接写出A、C 与O 的 的数量关系_. 【答案】 (1)解:猜想: , , 又 , ; (2)解: , , , 又 、 分别平分 与

15、 , , , , ; (3)C-A=2O 【解析】解:(3) 、 分别是四边形 外角 、 的角平分线. , , 由(1)可知: , , , . 答: 、 与 的的数量关系为 . 故答案为: C-A=2O . 8.如图 ,在 中, ,点 分别在边 上, ,连接 ,点 分别为 的中点. (1)图 中线段 与 的数量关系是_,位置关系是_; (2)把 绕点 逆时针旋转到图 的位置,连接 .请判断 与 是否相等, 请说明理由; (3)试判断 的形状,并说明理由. 【答案】 (1)PM=PN;PMPN (2)解: 理由如下 , 由旋转得 (3)解: 是等腰直角三角形 点 、 、 分别为 、 、 的中点

16、, 点 、 、 分别为 、 、 的中点 , , 是等腰直角三角形 【解析】解:(1)如图 1 中,点 P,N 是 BC,CD 的中点, 点 P,M 是 CD,DE 的中点, AB=AC,AD=AE, BD=CE, PM=PN, PNBD, DPN=ADC, PMCE, DPM=DCA, BAC=90 , ADC+ACD=90 , MPN=DPM+DPN=DCA+ADC=90 , PMPN, 故答案为:PM=PN,PMPN. 9.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 在对角线 AC 上,点 F 在射线 BC 上,且四边形 DEFG 是正方形,连接 CG (1)求证:AECG (2)求证:ACG=

17、90 (3)若 AB ,当点 E 在 AC 上移动时,AE2+CE2是否有最小值?若有最小值,求出最小值 (4)当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 30 时,直接写出EFC 的度数 【答案】 (1)证明:如图 1 四边形 ABCD、四边形 DEFG 都是正方形 DA=DC,DE=DG,ADC=EDG=90 ADC-EDC =EDG-EDC ADE=CDG, 在 ADE 和 CDG AD=CD,ADE=CDG,DE=DG ADECDG(SAS) AE=CG (2)证明:如图 1四边形 ABCD 是正方形 DAC=ACD=45 . ADECDG DAE=DCG=45 ACG=ACD

18、+DCG=90 (3)解:有最小值 如图 1:连接 EG ACG=90 ECG 是直角三角形,AE=CG AE2+EC2=EC2+CG2=EG2 , 四边形 DEFG 是正方形, EG= DE, DE 的值最小时,EG 的值最小, 当 DEAC,DE= AC= AB=2 ,AE2+CE2 时的值最小, AE2+EC2 =EG2=( DE) 2=(2 ) 2=8 (4)EFC=120 或 30 【解析】(4)如图 2,当ADE=30 时 CED=EAD+ADE=45 +30 =75 , DEF=90 CEF=90 -75 =15 EFC=180 -ECF-CEF=180 -45 -15 = 12

19、0 ; 如图 3,当CDE=30 时 DEC=180 -30 -45 =105 DEF=90 CEF=15 EFC=ACB-CEF=45 -15 =30 ; 综上, 满足题意得EFC 的值为 120 或 30 10.如图 1,已知 ,点 A 在直线 EF 上,点 B 在直线 GH 上,且 (1)试判断直线 EF 与 GH 的位置关系,并说明理由; (2)如图 2,若点 B 在直线 GH 上运动,作 ,作 ,试判断 的大小 是否随着点 B 的运动而发生变化?若不变,求出 的大小;若变化,请说明理由 【答案】 (1)解:平行,理由如下, 过 C 作 , , , 又 , , , , ; (2)解:

20、APB 的大小不会随着点 B 的运动而发生变化,理由如下: CAP=2CAE,CBP=2CBG, CAP+CBP=2CAE+2CBG=2(CAE+CBG)=2 80 =160 , APB=360 -ACB-(CAP+CBP)=360 -80 -160 =120 所以APB 的大小为 120 11.已知正方形ABCD,P为射线AB上的一点,以BP为边作正方形BPEF,使点F在线段CB的延长线上, 连接 EA,EC,AC. (1)如图 1,若点 P 在线段 AB 的延长线上,判断 ACE 的形状,并说明理由; (2)如图 2,若点 P 在线段 AB 上 若点 P 是线段 AB 的中点,判断 ACE

21、 的形状,并说明理由; 当 时,请直接写出CAE 的度数. 【答案】 (1)解:(1) ACE 等腰三角形 理由如下: 如图,连接 AF,CP, 四边形 ABCD,四边形 FBPE 是正方形 AB=BC,BF=BP,ABC=90 =EFB=EPB, ABF=CBP=90 ,且 AB=BC,BF=BP AFBCPB(SAS) AF=CP,AFB=CPB, AFB+EFB=CPB+EPB AFE=CPE,且 AF=CP,EF=EP, AFECFE(SAS) AE=CE, ACE 是等腰三角形 (2)解:ACE 是直角三角形 理由如下: 点 P 是线段 AB 的中点, AP=PB= AB 设 AP=

22、PB=PE=EF=BF=a,则 AB=2a=BC,CF=3a, AC2=AD2+CD2=8a2 , CE2=CF2+EF2=10a2 , AE2=AP2+PE2=2a2 , CE2=AC2+AE2 , ACE 是直角三角形 如图,连接 BE, 四边形 ABCD,四边形 FBPE 是正方形, CAB=EBP=45 ,BE= PB, AB= PB, AB=BE, EAB=AEB=67.5 , CAE=EAB+CAB=112.5 . 12. (1)(学习心得) 于彤同学在学习完“圆”这一章内容后,感觉到一些几何问题如果添加辅助圆,运用圆的知识解决,可以使 问题变得非常容易 例如:如图 1,在 ABC

23、 中,ABAC,BAC90 ,D 是 ABC 外一点,且 ADAC,求BDC 的度 数若以点A 为圆心,AB 为半径作辅助A,则点 C、D 必在A上,BAC是A 的圆心角,而BDC 是圆周角,从而可容易得到BDC_ (2)(问题解决) 如图 2,在四边形 ABCD 中,BADBCD90 ,BDC25 ,求BAC 的度数 (3)(问题拓展) 如图 3,如图,E,F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点,满足 AEDF连接 CF 交 BD 于点 G,连接 BE 交 AG 于点 H若正方形的边长为 2,则线段 DH 长度的最小值是_ 【答案】 (1)45 (2)解:如图 2,取 BD 的中点

24、O,连接 AO、CO BADBCD90 , 点 A、B、C、D 共圆, BDCBAC, BDC25 , BAC25 , (3) 1 【解析】解:(1)如图 1, ABAC,ADAC, 以点 A 为圆心,点 B、C、D 必在A 上, BAC 是A 的圆心角,而BDC 是圆周角, BDC BAC45 , 故答案是:45;(3)如图 3,在正方形 ABCD 中,ABADCD,BADCDA,ADGCDG, 在 ABE 和 DCF 中, , ABEDCF(SAS), 12, 在 ADG 和 CDG 中, , ADGCDG(SAS), 23, 13, BAH+3BAD90 , 1+BAH90 , AHB180 90 90 , 取 AB 的中点 O,连接 OH、OD, 则 OHAO AB1, 在 Rt AOD 中,OD , 根据三角形的三边关系,OH+DHOD, 当 O、D、H 三点共线时,DH 的长度最小, 最小值ODOH 1 故答案为: 1