1、专练 15 函数中的面积问题 1.如图，平面直角坐标系中，一次函数yx+b的图象交x轴负半轴于点A ， 交y轴正半轴于点B ， 且 的面积为 32 (1)直接写出一次函数的解析式_； (2)动点 P 从点 A 出发，以每秒 个单位长度的速度向终点 B 运动，点 P 出发的同时，动点 Q 从点 O 出 发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 x 轴正半轴运动，当点 P 停止运动时，动点 Q 也随之停止运动，连接 PQ ， 设点 P 的运动时间为 t ， 的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式，并直接写出自变量 t 的取值范围； (3)在(2)的条件下，D 为 AB 中点，连接 OD ， 交直线
2、PQ 于点 F ， 若 OF3DF ， 求线段 的 长 【答案】 (1) (2)如图，过点 Q 作 于点 C， 由(1)知， ， 是等腰直角三角形， ， 点 P 运动到点 B 的时间为 (秒)， ， 由题意得： ， ， 又 ， 是等腰直角三角形， ， 则 的面积 ， 即 ； (3)如图，过点 P 作 轴于点 G，过点 F 作 轴于点 E， 则 是等腰直角三角形， ， ， 点 D 是等腰 的斜边 AB 的中点， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 轴于， 轴， ， ， ，即 ， 解得 或 (不符题意，舍去)， 经检验， 是所列分式方程的解， ， 则在 中， 【解析
3、】(1)由一次函数 的图象可知， ， 对于一次函数 ， 当 时， ，解得 ，即 ， 则 ， 当 时， ，即 ， 则 ， 的面积为 32，且 轴 轴， ， 解得 或 (舍去)， 故一次函数的解析式为 ； 2.如图，已知抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，且 . (1)求点 的坐标和此抛物线的解析式； (2)若点 为第二象限抛物线上一动点，连接 ， ， ，求 面积的最大值； (3)点 在抛物线的对称轴上，若线段 绕点 逆时针旋转 后，点 的对应点 恰好也落在 此抛物线上，求点 的坐标 【答案】 (1)解：由题可得 ， ， 点 的坐标为 ， . 将点 ， 坐标代入抛物线解析式得： ， ，
4、解得 ， ， 物线解析式为 (2)解：设直线 的解析式为 ， 将 ， 代入， 可得 ， ， 解得： ， ， 直线 的解析式为 . 过点 作 轴交 于点 ， 设 ，则 ， ， 面积最大值 (3)解：如图所示，过 作 垂直对称轴交对称轴于点 ， 设对称轴与 轴交于点 ， ， 抛物线的对称轴为 . 设点 的坐标为 ，由题可知 ， ， 则 ， . 在 和 中， ， ， ， ， ， . 下面分两种情况讨论 当 时，点 的坐标为 ， 代入抛物线解析式可得 ， 解得 或 (舍去)， 此时点 的坐标为 ； 当 时，点 的坐标为 ， 代入抛物线解析式可得 ， 解得 (舍去)或 ， 此时点 的坐标为 综上所述，点
5、 的坐标为 或 3.如图所示，已知抛物线 与一次函数 的图象相交于 ， 两点，点 是抛物线上不与 ， 重合的一个动点. (1)请直接写出 ， ， 的值； (2)当点 在直线 上方时，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ， 的长度为 ，求出 关于 的解析式； (3)在(2)的基础上，设 面积为 ，求出 关于 的解析式，并求出当 取何值时， 取最大 值，最大值是多少？ 【答案】 (1)解： ， ， (2)解： (3)解： 当 时， 取最大值 . 4.如图，在直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=x2+(2k- 1)x+k+1 的图象与 x 轴相交于 O、A 两点 (1)求这个二次
6、函数的解析式； (2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点 B，使 AOB 的面积等于 6，求点 B 的坐标； (3)对于(2)中的点 B，在此抛物线上是否存在点 P,使POB=90 ？若存在，求出点 P 的坐标，并求出 POB 的面积；若不存在，请说明理由 【答案】 (1)解： 函数的图象与 x 轴相交于 O，. ， 二次函数的解析式为 y=x-3x. (2)解：假设存在点 ，过点 作 轴于点 ， 的面积等于 6,。 . 当 时， ，解得 或 3 ， ，即 ，解得 或 (舍去). 又 顶点坐标为 ， ， 下方不存在 点. 点 的坐标为 (3)解： 点 的坐标为 ， , 当 时， . 设 P
7、 点横坐标为 ，则纵坐标为 ，即 ，解得 或 . 在抛物线上仅存在一点 的面积为： 5.如图，二次函数 的图象交 轴于 ， ，交 轴于 ，过 、 画直线 (1)求二次函数的解析式； (2)点 在 轴正半轴上，且 ，求 的长； (3)若 为线段 上一个动点，过点 作 平行于 轴交抛物线于点 ，当点 运动到何处 时，四边形 的面积最大？求出此时点 的坐标及四边形 面积的最大值 【答案】 (1)解：抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A(-1，0)、B(2，0)两点， 设抛物线解析式为 y=a(x+1)(x-2)， 抛物线与 y 轴交于点 C(0，-2)， -2=a 1 (-2)， a=1
8、， 抛物线解析式为 y=(x+1)(x-2)=x2-x-2， (2)解：点 P 在 x 轴正半轴上， 设点 P(m，0)(m0)， PA=m+1，PC= PA=PC， m+1= m= ， OP=m= (3)解：如图，M 为线段 OB 上的一个动点， 设 M(n，0)，(0n2) 过点 M 做 MN 平行于 y 轴交抛物线于点 N， n(n，n2-n-2) OA=1，OC=2，OM=n，MN=|n2-n-2|=-(n2-n-2)=-n2+n+2，MB=2-n， S 四边形 ACNB=S AOC+S 梯形 OCNM+S BMN = OA OC+ (OC+MN) OM+ MB MN， = 1 2+
9、2+(-n2+n+2)n+ (2-n) (-n2+n+2) =-n2+2n+3 =-(n-1)2+4， 0n2， 当 n=1 时，S 四边形 ACNB 面积最大，最大值为 4， M(1，0)，S 四边形 ACNB 面积最大值为 4 6.已知抛物线经过 A(1，0)，B(5，0)，C(0，4)，Q 四个点，且点 Q 在 x 轴下方 (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)P 是抛物线对称轴上的一点，直接写出满足 PA+PC 的值为最小的点 P 坐标； (3)点 Q 是否能使得 ABQ 的面积和 ABC 的面积相等？若能，请直接写出此时的点 Q 的坐标；若不能， 请说明理由 【答案】 (1)设 ，
10、将 、 、 代入解析式， 得 ，解得 ， 解析式： ， 对称轴：直线 (2)连接 BC 与对称轴交于点 P， 根据轴对称的性质，此时 是最小的， 设直线 BC 的解析式为： ， 将 、 代入解析式，得 ，解得 ， ， 令 ，则 ， ； (3)不能，理由如下： 要使得 和 的面积相等，则点 Q 到 AB 的距离要等于 4， 当 时， ，即顶点坐标是 ， 点 Q 在 x 轴下方，且 ， 不存在这样的点 Q 7.已知：在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、 B 两点，点 A 在点 B 的左 侧，若抛物线的对称轴为 x=1，点 A 的坐标为(1，0) (
11、1)求这个二次函数的解析式； (2)设抛物线的顶点为 C，抛物线上一点 D 的坐标为(3，12)，过点 B、 D 的直线与抛物线的对称轴交于点 E 问：是否存在这样的点 F，使得以点 B、C、E、 F为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点F的 坐标；若不存在，请说明理由； (3)在(2)的条件下，若在 BD 上存在一点 P，使得直线 AP 将四边形 ACBD 分成了面积相等的两部分，请你 求出此时点 P 的坐标 【答案】 (1)抛物线的对称轴为 x=1，点 A 的坐标为(-1，0)， B(3，0)， 代入解析式，得 解得： 抛物线的解析式为 y=x2-2x-3， 答：这个二次函数的解析式是
12、 y=x2-2x-3 (2)存在 由(1)可知，顶点 C 的坐标为(1，-4)， B 的坐标为(3，0)，D 的坐标为(3，12) 设直线 BD 的解析式为 y=kx+b1 ， 代入，得 解得 直线 BD 的解析式为 y=-2x+6， 点 E 的坐标为(1，4)， 当 EC，BF 分别为平行四边形对角线时， EC，BF 互相平分 设 F 坐标为(a，b) 则可知 解得 则 F 坐标为(-1,0) 同理，BE，CF 为对角线时，F 坐标为(3，8) BC，EF 为对角线时，F 坐标为(3，-8) 由题意，点 B、C、E、F 为顶点的四边形是平行四边形 答：存在这样的点 F，使得以点 B、C、E、
13、F 为顶点的四边形是平行四边形，点 F 的坐标是(3，8)，(3，-8)， (-1，0) (3)四边形 ACBD 的面积=S ABC+S ABD= 4 12+ 4 4=32， S 四边形 ACBD=16， S ABC=8， S ABP=8， 点 P 的纵坐标为 4 直线 BD 的解析式为 y=-2x+6， 点 P 的坐标为(1，4)， 答：点 P 的坐标是(1，4) 8.如图 ，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象的顶点为 点，与 轴交 于 点，与 轴交于 、 两点， 点在原点的左侧， 点的坐标为 ， ， . (1)求这个二次函数的表达式. (2)经过 、 两点的直线，与 轴交于点 ，在该抛物
14、线上是否存在这样的点 ，使以点 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. (3)如图 ，若点 是该抛物线上一点，点 是直线 下方的抛物线上一动点，当点 运动到 什么位置时， 的面积最大?求出此时 点的坐标和 的最大面积. 【答案】 (1)解：由已知得： ， ， 将 ， ， 三点的坐标代入，得 ， . (2)解：存在. ， 直线 的解析式为： ， 点的坐标为 ， 由 、 、 、 四点的坐标得： ， , 以 、 、 、 为顶点，的四边形为平移四边形， 存在点 ，坐标为 . (3)解：过点 作 轴的平行线与 交于点 ，易得 ，直线 为 ， 设 ，则 ，
15、 ， ， 当 时， 最大，此时 ， 最大为 . 9.如图，抛物线 y(x1)2k 与 x 轴相交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴相交于点 C(0，3)， P 为抛物线上一点，横坐标为 m，且 m0. (1)求此抛物线的解析式； (2)当点 P 位于 x 轴下方时，求 ABP 面积的最大值； (3)设此抛物线在点 C 与点 P 之间部分(含点 C 和点 P)最高点与最低点的纵坐标之差为 h. 求 h 关于 m 的函数解析式，并写出自变量 m 的取值范围； 当 h9 时，直接写出 BCP 的面积. 【答案】 (1)解：因为抛物线 与 轴交于点 ， 把 代入 ，得 ， 解得
16、， 所以此抛物线的解析式为 ， 即 (2)解：令 ，得 ， 解得 ， 所以 ， 所以 ； 由(1)知，抛物线顶点坐标为 ， 由题意，当点 位于抛物线顶点时， 的面积有最大值， 最大值为 ； (3)解：当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 h=9 时 若-m2+2m=9，此时 0，m 无解； 若 m2-2m+1=9，则 m=4， P(4，5)， B(3，0)，C(0，-3)， BCP 的面积= (4+1) 3=6 10.如图，对称轴为直线 x=-1 的抛物线与 x 轴相交于 A，B 两点，C 为抛物线与 y 轴的交点，点 A(-3，0)， 点 C(0，-3). (1)求抛物线的关系式；
17、(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使 PBC 的周长最小?若存在，请求出点 P 的坐标，若不存在，请 说明理由； (3)若点 P 在抛物线上，且 SPOC=4SBOC ， 求点 P 的坐标. 【答案】 (1)解： 抛物线的对称轴为直线 ， 则可设抛物线表达式为 ， 分别将点 A(-3，0)，点 C(0，-3)代入 ， 得 ，解得 . 则二次函数的解析式为 ，即 ； (2)解：存在，理由如下： 令 ，得： 因为点 A、B 关于直线 对称，连接 交直线 于点 P， 设直线 为 ，代入 和 得： ，解得： ， 直线 为： ， 将 代入 中， ， . (3)解：由(2)可知 ， ， 设 P 点
18、坐标为 ， ， ， ， . 当 时， ； 当 时， . 点 P 的坐标为 或 ； 11.如图所示，在平面直角坐标系中，Rt OBC 的两条直角边分别落在 x 轴、y 轴上，且 OB=1,OC=3,将 OBC 绕原点 O 顺时针旋转 90 得到 OAE，将 OBC 沿 y 轴翻折得到 ODC，AE 与 CD 交于点 F. (1)若抛物线过点 A、B、C, 求此抛物线的解析式; (2)求 OAE 与 ODC 重叠的部分四边形 ODFE 的面积; (3)点 M 是第三象限内抛物线上的一动点，点 M 在何处时 AMC 的面积最大？最大面积是多少？求出此时 点 M 的坐标. 【答案】 (1)解：OB=1
19、，OC=3， C(0，-3)，B(1，0)， OBC 绕原点顺时针旋转 90 得到 OAE， A(-3,0)， 所以抛物线过点 A(-3，0)，C(0，-3)，B(1，0)， 设抛物线的解析式为 ，可得 解得 ， 过点 A,B,C 的抛物线的解析式 ； (2)解：OBC 绕原点顺时针旋转 90 得到 OAE， OBC 沿 y 轴翻折得到 COD， E(0，-1)，D(-1,0)， 可求出直线 AE 的解析式为 ,直线 DC 的解析式为 ， 点 F 为 AE、DC 交点， F( - ， - )， S 四边形 ODFE=S AOE-S ADF= ； (3)解：连接 OM，设 M 点的坐标为 ， ，
20、 点 M 在抛物线上， ， = ， 当 时， ， AMC 的面积有最大值， 所以当点 M 的坐标为( ， )时， AMC 的面积有最大值. 12.如图，已知抛物线 的顶点为 ，且过点 ，连接 交 轴于点 (1)直接写出当 时，自变量 的取值范围； (2)设点 是抛物线在 轴下方、顶点左方一段上的动点，连接 ，以 为顶点、 为腰的等 腰三角形的另一顶点 在 轴上，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，连接 ，设 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式； (3)在上述动点 中，是否存在使 的点？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由 【答案】 (1)解：根据图像可知抛物线对称轴为 x=2， 抛物线过
21、O(0，0)， 原点 O 关于对称轴的对称点为(4，0)， 又要 y0， 抛物线图像在 x 轴上方部分即可， 故 或 (2)解：根据抛物线过 M(2，4)，A(1，5)，O(0，0)三点， 设抛物线的解析式为 (a0)， 把 M(2，4)，A(1，5)代入得 ， 解得 ， 这条抛物线的解析式为 ， 设直线 AM 的解析式为： ， 又直线 AM 过点 A(-1，5)、M(2，-4)，代入得 ， 解得： 设直线 AM 的解析式为： ， PO 为腰的等腰三角形的另一顶点 Q 在 x 轴上， 设点 P(x，y)且 0y2， Q 的坐标是(2x，0)， 点 Q 代入直线 AM 的解析式 y3x+2， 点 R 坐标(2x，-6x+2)， QR=6x-2，QR 边上的高是 m， ， 当 0 x ， ， 当 x2， ， S 与 x 之间的函数关系式为： (3)解：S2 代入(3)中函数的解析式即可得， 或 ， 当 ，方程的 0，方程无解； 当 ，解得： ， ， 当 x1 时 ，即抛物线上的 P 点坐标为(1，3)时，S2 成立； 当 x 0(舍去)， 存在动点 P，使 S2，此时 P 点坐标为(1，3)