1、专练 21 二次函数的图像变换问题 1.已知抛物线 y=ax2+bx+3 经过 A(3，0)，B(1，0)两点(如图 1)，顶点为 M. (1)a、b 的值； (2)设抛物线与 y轴的交点为 Q(如图 1)，直线 y=2x+9 与直线OM交于点 D现将抛物线平移，保持顶点在 直线 OD 上.当抛物线的顶点平移到 D 点时，Q 点移至 N 点，求抛物线上的两点 M、Q 间所夹的曲线 MQ 扫过的区域的面积； (3)设直线 y=2x+9 与 y 轴交于点 C，与直线 OM 交于点 D(如图 2).现将抛物线平移，保持顶点在直线 OD 上.若平移的抛物线与射线 CD(含端点 C)没有公共点时，试探求
2、其顶点的横坐标 h 的取值范围. 【答案】 (1)解：将 A(-3，0)，B(-1，0)代入抛物线 y=ax2+bx+3 中，得： ， 解得：a=1、b=4 (2)解：连接 MQ、QD、DN， 由图形平移的性质知：QNMD，即四边形 MQND 是平行四边形； 由(1)知，抛物线的解析式：y=x2+4x+3=(x+2)2-1，则点 M(-2，-1)， 当 x=0 时，y=3， Q(0，3)； 设直线 OM 的解析式为 y=kx， -2k=-1， k= ， 直线 OM：y= x，联立直线 y=-2x+9，得： ， 解得 则 D( )； 曲线 QM 扫过的区域的面积：S=S MQND=2S MQD
3、； (3)解：由于抛物线的顶点始终在 y= x 上，可设其坐标为(h， h)，设平移后的抛物线解析式为 y=(x-h)2+ h； 当平移后抛物线对称轴右侧部分经过点 C(0，9)时，有： h2+ h=9，解得：h= (依题意，舍去正值) 当平移后的抛物线与直线 y=-2x+9 只有一个交点时，依题意： ， 消去 y，得：x2-(2h-2)x+h2+ h-9=0， 则： =(2h-2)2-4(h2+ h-9)=-10h+40=0，解得：h=4， 结合图形，当平移的抛物线与射线 CD(含端点 C)没有公共点时，h 或 h4 2.定义：如果一条抛物线 yax2+bx+c(a0)与 x 轴有两个交点，
4、那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点 的三角形称为这条抛物线的“特征轴三角形”.显然，“特征轴三角形”是等腰三角形. (1)抛物线 yx22 x 对应的“特征轴三角形”是_；抛物线 y x 22 对应的“特征轴三角形” 是_.(把下列较恰当结论的序号填在横线上：腰与底边不相等的等腰三角形；等边三角形； 非等腰的直角三角形；等腰直角三角形.) (2)若抛物线 yax2+2ax3a 对应的“特征轴三角形”是直角三角形，请求出 a 的值. (3)如图，面积为 12 的矩形 ABCO 的对角线 OB 在 x 轴的正半轴上，AC 与 OB 相交于点 E，若 ABE 是抛物线 yax2+bx+c 的“特
5、征轴三角形”，求此抛物线的解析式. 【答案】 (1)； (2)解：设抛物线 yax2+2ax3a 与 x 轴的交点坐标为 A，B，顶点为 D， A(3，0)，B(1，0)，D(1，4a)， 抛物线 yax2+2ax3a 对应的“特征轴三角形”是直角三角形， AB2AD2+BD2 ， 164+16a2+4+16a2 ， a ； (3)解：如图， 四边形 ABCD 是矩形， AECEOEBE， S ABE 矩形 12 3 ， ABE 是抛物线的“特征轴三角形”，根据抛物线的对称性得，AEAB， AEABBE， ABE 是等边三角形， 过点 A 作 AHBE， AHABsinABE AB BE， B
6、E23 ， BE2 ， AH3，EH ， A(3 ，3)，E(2 ，0)，B(4 ，0)， 设抛物线解析式为 ya(x3 )2+3，将点 E(2 ，0)代入得，a1， y(x3 )2+3x2+6 x24. 过点 A，B，E 三点的抛物线的解析式 yx2+6 x24. 【解析】解：(1)由抛物线 yx22 x 可得顶点坐标为： ，与 x 轴的交点坐标为： ， 抛物线 yx22 x 对应的“特征轴三角形”是等边三角形； 由抛物线 y x22 可得顶点坐标为： ，与 x 轴的交点坐标为： ， 抛物线 y x22 对应的“特征轴三角形”是等腰直角三角形； 故答案为； 3.已知抛物线 ，直线 ，直线 (
7、1)当 m=0 时，若直线 经过此抛物线的顶点，求 b 的值 (2)将此抛物线夹在 与 之间的部分(含交点)图象记为 ，若 - ， 判断此抛物线的顶点是否在图象 上，并说明理由； 图象 上是否存在这样的两点： 和 ，其中 ？若存在，求相应的 和 的取值范围 【答案】 (1)解：当 m=0 时，抛物线： 则顶点坐标为(0，-2) 把(0，-2)代入 ，可得 b=-2 (2)解：抛物线的顶点不在图像 C 上，理由如下： 因为 ， 所以抛物线顶点为(m，2m-2) 当 x=m 时，对于 ，对于 因为 所以 所以 即顶点在 的下方 所以抛物线的顶点不在图像 C 上 解：设直线 与抛物线交于 A、B 两
8、点，且 解得 因为 ，且对于 ，y 随 x 的增大而增大 所以 所以 ，此时 设直线 与抛物线交于 C，D 两点，且 所以 所以 因为 所以 ， 所以 因为 ，且对于 ，y 随 x 的增大而增大， 所以 所以 ，此时 因为 ， 又因为 所以 又因为 所以 ，即 因为 ，即点 A 在抛物线对称轴的左侧，则在抛物线对称轴的右侧，必存在点 A 的对称点 ，其中 所以 因为抛物线的开口向上， 所以当 xm 时，y 随 x 的增大而减小， 因为抛物线顶点在 的下方，故点 C 也在抛物线对称轴左侧， 设 是抛物线上 A、C 两点之间的任意一点，则有 所以 又因为在抛物线上必存在其对称点 ，其中 所以 也即
9、抛物线上 A、C 两点之间的任意点的对称点都在点 D 下方 同理，抛物线上 B、D 两点之间的部分所有点的对称点都在点 A 上方 所以图像 C 上不存在这样的两点： 和 ，其中 4.若抛物线 l1的顶点 A 在抛物线 l2上，抛物线 l2的顶点 B 在抛物线 l1上(点 A 与点 B 不重合)，我们把这样 的两抛物线 l1 ， l2称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条。 (1)在图 1 中，抛物线 l1：y=-x2+4x-3 与 l2：y=a(x-4)2-3 互为“伴随抛物线”，则点 A 的坐标为_，a 的 值为_； (2)在图 2 中，已知抛物线 l3：y=2x2-8
10、x+4，它的“伴随抛物线”为 l4 ， 若 l3与 y 轴交于点 C，点 C 关于 l3 的对称轴对称的点为 D，诸求出以点 D 为顶点的 l4的解析式； (3)若抛物线 y=a1(x-m)2+n 的任意一条“伴随抛物线”的解析式为 y=a2(x-h)2+k，请写出 a1与 a2的关系式，并 说明理由。 【答案】 (1)(2，1)；1 (2)解：将 y=2x2-8x+4 化成顶点式，得 y=2(x-2)2-4， C(0，4)，抛物线 l3 的对称轴为直线 x=2，顶点坐标为(2，-4)。 点 C 关于对称轴 x=2 的对称点为 D (4，4) 设 l4：y=a0(x-4)2+4， 将点(2，-
11、4)代入，得-4=4a0+4 解得 a0=-2 以点 D 为顶点的 4 的解析式为 y=-2(x-4)2+4 (3)解：a1=-a2 ， 理由如下：由“伴随抛物线”的定义可知点(h，k)在抛物线 y=a1(x-m)2+n 上，点(m，n)在抛物线 y=a2(x-h)2+k 上， +得：(a1+a2)(m-h)2=0， 伴随抛物线的顶点不重合，a1=-a2 【解析】解：(1) y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1， 抛物线 l1 的顶点 A 的坐标为(2，1)， 抛物线 l1：y=-x2+4x-3 与 l2：y=a(x-4)2-3 互为“伴随抛物线”， 点 A(2，1)在抛物线 l2 上，
12、1=a(2-4)2-3， a=1. 故答案为：(2，1)；1； 5.二次函数 y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交 x 轴于点 A(x1 ， 0)、B(x2 ， 0)，且(x1+1)(x2+1)= -8. (1)求二次函数解析式； (2)将上述二次函数图象沿x 轴向右平移 2个单位，设平移后的图象与 y轴的交点为C，顶点为P，求 POC 的面积. (3)在(2)的条件下，若自变量 x 在 m xm+3 时，函数的最小值为-5，则 m_. 【答案】 (1)解：二次函数 y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交 x 轴于点 A(x1 ， 0)、B(x2 ， 0)， x1+ x2=-(k
13、-5)=5-k，x1x2=-(k+4) (x1+1)(x2+1)= -8 x1x2+(x1+ x2)+1=-8 -(k+4)+ 5-k+1=-8 解得：k=5 y=x2-9，此时 b2-4ac=360，故符合题意； (2)解：平移后的二次函数解析式为 y=(x-2)2-9，大致画出图象如下，过点 P 作 PDy 轴于 D 顶点 P 的坐标为(2，-9) PD=2 将 x=0 代入 y=(x-2)2-9 中，得 y=-5 点 C 的坐标为(0，-5) OC=5 POC 的面积= OC PD=5； (3)-3 或 4 【解析】解：(3)二次函数 y=(x-2)2-9 的图象的对称轴为直线 x=2
14、当 m+32，即 m-1 时， 在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小 当 x=m+3 时，y 取最小值，由函数的最小值为-5 (m+3-2)2-9=-5 解得：m=-3 或 m=1(不符合前提条件，舍去)； 当 m2m+3，即-1m2 时， 此时当 x=2 时，y 取最小值，最小值为-9，(不符合题意，舍去) 当 m2 时， 在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大 当 x=m 时，y 取最小值，由函数的最小值为-5 (m-2)2-9=-5 解得：m=4 或 m=0(不符合前提条件，舍去)； 综上：m=-3 或 4 故答案为：-3 或 4. 6.已知抛物线 与 x 轴交于点 A，B 两点(A
15、在 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C. (1)直接写出点 A，B，C 的坐标； (2)将抛物线 经过向下平移，使得到的抛物线与 x 轴交于 B， 两点( 在 B 的右侧)，顶点 D 的对 应点 ，若 ，求 的坐标和抛物线 的解析式； (3)在(2)的条件下，若点 Q 在 x 轴上，则在抛物线 或 上是否存在点 P，使以 为顶点的四 边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由. 【答案】 (1)由题意得抛物线 与 x 轴交于点 A，B 两点(A 在 B 的左侧)与 y轴交于点 C， 当 y=0 时， 即(x+3)(1-x)=0 解得 x1=-3，x2=
16、1， A 的坐标为(-3，0)，B 的坐标为(1，0)， 当 x=0 时，y=-02-2 0+3=3， C 的坐标为(0，3)， 综上：A(-3，0)，B(1，0)，(0，3)； (2)设 B (t，0)， 由题意得 y2 由 y1 平移所得， a=-1， 可设 y2 的解析式为：y2=-(x-1)(x-t)=-x2+(1+t)x-t， D ( ， )， B 和 B 是对称点，D 在对称轴上，BD B =90 ， BD B 是等腰直角三角形， yD = |BB |， = (t-1)， 解得 t=3， B (3，0)， y2=-x2+4x-3； (3)若 Q 在 B 右边，则 P 在 x 轴上方
17、，且 CPB Q， yP=yC=3， 此时 P 不在两条抛物线上，不符合题意舍去； 若 Q 在 B 左边， 当 B Q 为边时，则 CPB Q， 此时 yP=yC=3，P 点在 y1 上， 将 yP=3，代入 y1 得 ， 解得 x1=0，x2=-2， 此时 P 的坐标为(-2，3)； 当 B Q 为对角线时，则 B CQP， yC-yB =3， yQ-yP=3， Q 在 x 轴上， yP=-3， 将 yP=-3 代入 y1 得 ， 解得 x1=-1+ ，x2=-1- ， 将 yP=-3 代入 y2 得-x2+4x-3=-3， 解得 x1=0，x2=4， P 的坐标为：(-1+ ，-3)，(-
18、1- ，-3)，(0，-3)，(4，-3)， 综上：P 的坐标为：(-2，3)，(-1+ ，-3)，(-1- ，-3)，(0，-3)，(4，-3). 7.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线与 x 轴交于(p,0)，(q,0)，则该抛物线的解析式可以表示为： y=a(x-p)(x-q)=ax2-a(p+q)x+apq. (1)若 a=1，抛物线与 x 轴交于(1,0)，(5,0)，直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标； (2)若 a=-1，如图(1)，A(-1,0)，B(3,0)，点 M(m,0)在线段 AB 上，抛物线 C1与 x 轴交于 A，M，顶点为 C； 抛物线 C2与 x 轴交于 B，
19、M，顶点为 D.当 A，C，D 三点在同一条直线上时，求 m 的值； (3)已知抛物线 C3与 x 轴交于 A(-1,0)，B(3,0)，线段 EF 的端点 E(0,3)，F(4,3).若抛物线 C3与线段 EF 有公共 点，结合图象，在图(2)中探究 a 的取值范围. 【答案】 (1)解：由题意抛物线的解析式为 ， ，抛物线的顶点坐标为(3，-4) (2)解：如图 1 中，过点 C 作 CEAE 于 E，过点 D 作 DFAB 于 F. 由题意抛物线 C1 为 ， 抛物线 C2 为 ， ， A，C，D 共线，CEDF， ， ， 解得 ， 经检验， 是分式方程的解， (3)解：如图 2-1，当
20、 a0 时， 设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3)， 当抛物线经过 F(4,3)时，3=a 5 1， ， 观察图象可知当 时，满足条件. 如图 2-2 中，当 a0 时，顶点在线段 EF 上时，顶点为(1,3)， 把(1,3)代入 ，可得 ， 观察图象可知当 时，满足条件， 综上所述，满足条件的 a 的范围为： 或 8.如图，二次函数 、 的图像分别为 、 ， 交 轴于点 ，点 在 上，且位于 轴右侧，直线 与 在 轴左侧的交点为 . (1)若 点的坐标为 ， 的顶点坐标为 ，求 的值； (2)设直线 与 轴所夹的角为 . 当 ，且 为 的顶点时，求 的值； 若 ，试说明：当 、 、
21、 各自取不同的值时， 的值不变； (3)若 ，试判断点 是否为 的顶点？请说明理由. 【答案】 (1)解： 的顶点坐标为 ， ， 将点 P(0,2)代入得： ， 解得： ； (2)解：由题意可知， ， 如图所示，过点 A 作 AMy 轴于点 M，则 M(0，n)，MA=m， 直线 与 轴所夹的角为 ， MAP 为等腰直角三角形， MA=MP=m， OP=n-m， P(0，n-m)，代入 得： ， 解得： ； 如图所示，当 时， 将 x=0 代入 ，得 ， ， 当 时， ， 解得： ， ， AP=2m， 当 时，即 ， 解得： ， 点 B 在 y 轴左侧， ， PB= ， ，不变. (3)解：如
22、图所示，过点 P 作 CDx 轴，过点 B 作 BDCD 于点 D，过点 A 作 ACCD 于点 C， 则 BDAC， BDPACP， 设 ，则 PD=-x，BD= ， PA=2PB， CP=2PD=-2x，AC=2BD= ， ， 代入 得： ， 化简得： ，解得： ， (舍去)， ，则点 A 是 C1 的顶点. 9.阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数 ya1x2+b1x+c1(a10，a1、b1、c1是常数)与 ya2x2+b2x+c2(a20，a2、b2、c2是常数)满 足 a1+a20，b1b2 ， c1+c20，则这两个函数互为“旋转
23、函数”求函数 y2x23x+1 的旋转函数，小 明是这样思考的，由函数 y2x23x+1 可知，a12，b13，c11，根据 a1+a20，b1b2 ， c1+c2 0，求出 a2 ， b2 ， c2就能确定这个函数的旋转函数 请思考小明的方法解决下面问题： (1)写出函数 yx24x+3 的旋转函数 (2)已知函数 y2(x1)(x+3)的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C ， 点 A、B、C 关于原点的 对称点分别是 A1、B1、C1 ， 试求证：经过点 A1、B1、C1的二次函数与 y2(x1)(x+3)互为“旋转函 数” 【答案】 (1)解：由 yx24x+3 函数
24、可知，a11，b14，c13， a1+a20，b1b2 ， c1+c20， a21，b24，c23， 函数 yx24x+3 的“旋转函数”为 yx24x3(2)若函数 y5x2+(m1)x+n 与 y5x2nx3 互 为旋转函数，求(m+n)2020 的值 解：y5x2+(m1)x+n 与 y5x2nx3 互为“旋转函数”， ， 解得： ， (m+n)2020(2+3)20201 (2)证明：当 x0 时，y2(x1)(x+3)6， 点 C 的坐标为(0，6) 当 y0 时，2(x1)(x+3)0， 解得：x11，x23， 点 A 的坐标为(1，0)，点 B 的坐标为(3，0) 点 A，B，C
25、 关于原点的对称点分别是 A1 ， B1 ， C1 ， A1(1，0)，B1(3，0)，C1(0，6) 设过点 A1 ， B1 ， C1 的二次函数解析式为 ya(x+1)(x3)， 将 C1(0，6)代入 ya(x+1)(x3)，得：63a， 解得：a2， 过点 A1 ， B1 ， C1 的二次函数解析式为 y2(x+1)(x3)，即 y2x2+4x+6 y2(x1)(x+3)2x2+4x6， a12，b14，c16，a22，b24，c26， a1+a22+(2)0，b1b24，c1+c26+(6)0， 经过点 A1 ， B1 ， C1 的二次函数与函数 y2(x1)(x+3)互为“旋转函数
26、” 10.如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 和点B，与 y 轴交于点 C (1)求抛物线 的表达式； (2)如图2，将抛物线 先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线 ，若抛物线 与抛 物线 相交于点 D，连接 ， ， 求点 D 的坐标； 判断 的形状，并说明理由； (3)在(2)的条件下，抛物线 上是否存在点 P，使得 为等腰直角三角形，若存在，求出点 P 的坐 标；若不存在，请说明理由 【答案】 (1)解：将点 代入抛物线 的表达式得： 解得 则抛物线 的表达式为 故抛物线 的表达式为 ； (2)解：由二次函数的平移规律得：抛物线 的表达式为 即 联立 ，解得
27、 则点 D 的坐标为 ； 对于 当 时， ，解得 或 则点 B 的坐标为 当 时， ，则点 C 的坐标为 由两点之间的距离公式得： 则 ， 故 是等腰直角三角形； (3)解：抛物线 的表达式为 设点 P 的坐标为 由题意，分以下三种情况： 当 时， 为等腰直角三角形 是等腰直角三角形， ， 点 D 是 CP 的中点 则 ，解得 即点 P 的坐标为 对于抛物线 的表达式 当 时， 即点 在抛物线 上，符合题意 当 时， 为等腰直角三角形 ， ， 四边形 BCDP 是平行四边形 点 C 至点 B 的平移方式与点 D 至点 P 的平移方式相同 点 C 至点 B 的平移方式为先向下平移 4 个单位长度
28、，再向右平移 2 个单位长度 即点 P 的坐标为 对于抛物线 的表达式 当 时， 即点 在抛物线 上，符合题意 当 时， 为等腰直角三角形 则点 P 在线段 BD 的垂直平分线上 设直线 BD 的解析式 将点 代入得： ，解得 则直线 BD 的解析式 设 BD 的垂线平分线所在直线的解析式为 点 的中点的坐标为 ，即 将点 代入 得： ，解得 则 BD 的垂线平分线所在直线的解析式为 因此有 ，即点 P 的坐标为 由两点之间的距离公式得： 又 ， 为等腰直角三角形 则 解得 或 当 时， ，即点 P 的坐标为 当 时， ，即点 P 的坐标为 对于抛物线 的表达式 当 时， 即点 不在抛物线 上
29、，不符合题意，舍去 当 时， 即点 不在抛物线 上，不符合题意，舍去 综上，符合条件的点 P 的坐标为 或 11.如图 1，抛物线 与抛物线 相交 y 轴于点 C ， 抛物线 与x轴交于A、B两点(点B在点A的右侧)，直线 交x轴负半轴于点N ， 交y轴于点M ， 且 (1)求抛物线 的解析式与 k 的值； (2)抛物线 的对称轴交 x 轴于点 D ， 连接 ，在 x 轴上方的对称轴上找一点 E ， 使以点 A ， D ， E 为顶点的三角形与 相似，求出 的长； (3)如图2，过抛物线 上的动点G作 轴于点H ， 交直线 于点Q ， 若点 是 点 Q 关于直线 的对称点，是否存在点 G(不与
30、点 C 重合)，使点 落在 y 轴上？若存在，请直接写出 点 G 的横坐标，若不存在，请说明理由 【答案】 (1)解：当 时， ， 点 C 的坐标为 (0，4)， 点 C (0，4)在抛物线 的图象上， ， ， 抛物线 的解析式为 ， C (0，4)， ， ， 点 N 的坐标为 ( ，0)， 直线 过 N ( ，0)， , 解得 , 抛物线 的解析式为 ，k 的值为 ； (2)解：连接 ， 令 ，则 , 解得 ， ， 点 A 的坐标为 ( ，0)，点 B 的坐标为 (4，0)， 抛物线 的对称轴为直线 点 A 的坐标为 ( ，0)， C (0，4)， ， ， ， 当 时， ， ， ； 当 时，
31、 ， ， ， 综上， 的长为 或 10； (3)解：如图，点 是点 Q 关于直线 的对称点，且点 在 y 轴上时， 由轴对称性质可知， ， ， ， 轴， 轴 ， ， ， ， 四边形 为菱形， ， 作 轴于点 P， 设 ， ， 则 ， ， ， ， ， ， 令 ，则 ，令 ，则 ， 直线 与坐标轴的交点分别为 M (0，3)，N( ，0)， OM=3，ON=4， 在 中， ， ， ， 解得 ， ， ， ， 经检验 ， ， ， 都是所列方程的解， 综上，点 G 的横坐标为 或 或 或 12.如图，抛物线 与 x 轴正半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B. (1)求直线 的解析式及抛物线顶点坐标； (
32、2)如图 1，点 P 为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点 P 作 轴，垂足为 C， 交 于点 D，求 的最大值，并求出此时点 P 的坐标； (3)如图 2，将抛物线 向右平移得到抛物线 ，直线 与抛物线 交于 M，N 两 点，若点 A 是线段 的中点，求抛物线 的解析式. 【答案】 (1)解：在 中， 令 ，则 ，解得 ， . 令 ，则 ， . 设直线 的解析式为 ，则 ，解得： ， 直线 的解析式为 . ， 抛物线顶点坐标为 (2)解：如图，过点 D 作 轴于 E，则 . ， ， 设点 P 的坐标为 ， 则点 D 的坐标为 ， . ， ， ， ， . 而 ， ， ， ，由二次函数的性质可知： 当 时， 的最大值为 . ， . (3)解：设平移后抛物线 的解析式 ， 联立 ， ， 整理，得： ， 设 ，则 是方程 的两根， . 而 A 为 的中点， ， ，解得： . 抛物线 的解析式 .