1、2018-2019 学年山西省五地市联考高三（上）期末数学试卷（理科）学年山西省五地市联考高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的. 1 （5 分）若复数 z 满足1i，其中 i 为虚数单位，则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （5 分）已知集合 Mx|2x2x30，Nx|x|（x2）0，全集 UR，则下列关于集合 M，N 叙 述正确的是（
2、） AMNM BMNN C （UM）N DN（UM） 3 （5 分）双曲线1（a0，b0）的一个顶点到一条浙近线的距离等于，则双曲线的离心 率为（ ） A B C D 4 （5 分）已知等差数列an，a12，若 a1，a3+2，a6+8 成等比数列，则 S10（ ） A B C70 或 D16 或 5 （5 分） 已知实数 x， y 满足约束条件， 若目标函数 z3xy 的最大值为 2， 则 a 的值为 （ ） A1 B C1 D2 6 （5 分）已知实数 a2ln2，b2+2ln2，c（ln2）2，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Acab Bcba Cbac Dacb 7 （5 分）某几
3、何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 8 （5 分）函数 f（x）lgx2的图象大致为（ ） A B C D 9 （5 分）已知角 +的终边与单位圆 x2+y21 交于 P（x0，） ，则 sin2 等于（ ） A B C D 10 （5 分）若数列an满足 a11，a21，an+2an+an+1，则称数列an为斐波那契数列，斐波那契螺旋线 是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的 经典黄金比例作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中画一个圆心角为 90的扇形， 连起来的弧线就是斐波那契螺旋线， 如图所示的
4、7 个正方形的边长分别为 a1， a2， ， a7， 在长方形 ABCD 内任取一点，则该点不在任何一个扇形内的概率为（ ） A1 B1 C D 11 （5 分）已知抛物线 C：y28ax（a0）的焦点 F 与双曲线 D：（a0）的焦点重合，过 点 F 的直线与抛物线 C 交于点 A，B，则|AF|+2|BF|的最小值为（ ） A3+4 B6+4 C7 D10 12 （5 分）如图，已知矩形 ABCD 中，AB2AD，E 为边 AB 的中点，将ADE 沿直线 DE 翻折成A1DE， 若 M 是线段 A1C 的中点，则ADE 在翻折过程中，下列命题： 线段 BM 的长是定值； 存在某个位置，使
5、DEA1C； 点 M 的运动轨迹是一个圆； 存在某个位置，使得 MB面 A1DE 正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知向量 （x，2） ， （2，1） ，若 与 2 共线，则 14 （5 分）已知等比数列an的公比 q0，其前 n 项和为 Sn，且 S26，S430，数列bn满足 bnlog2an2 1，则数列前 n 项和 Tn 15（5 分） 一个五位自然数数称为 “跳跃数” ， 如果同时有或（例如 13284， 40329 都是“跳跃数” ，而 12
6、345，54371，94333 都不是“跳跃数” ） ，则由 1，2，3，4，5 组成没有重复 数字且 1，4 不相邻的“跳跃数”共有 个 16 （5 分）已知 f（x），x1，2，且x1，x21，2，x1x2，1 恒成立，则 a 的取值范围是 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 5 小题，共计小题，共计 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （12 分） 已知ABC 的三内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c， ccosA+3acosC0， tan （2019+2A） （1）求角 tanC 的大小； （
7、2）若 C 为钝角且 c，求ABC 的周长的取值范围 18 （12 分）如图所示的多面体 ABCDEF 满足：正方形 ABCD 与正三角形 FBC 所在的两个平面互相垂直， FBAE 且 FB2EA （1）证明：平面 EFD平面 ABFE； （2）求二面角 EFDC 的余弦值 19 （12 分）2022 年北京冬季奥运会即第 24 届冬季奥林匹克运动会，将在 2022 年 2 月 4 至 2 月 20 日在北 京和张家口联合举行某研究机构为了解大学生对冰壶运动的兴趣，随机从某大学学生中抽取了 120 人 进行调查，经统计男生与女生的人数之比为 11：13，男生中有 30 人表示对冰壶运动有兴趣
8、，女生中有 15 人表示对冰壶运动没有兴趣 （1）完成 22 列联表，并回答能否有 99%的把握认为“对冰壶是否有兴趣与性别有关”？ 有兴趣 没有兴趣 合计 男 30 女 15 合计 120 （2）若将频率视为概率，现再从该校全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取 1 名学生，抽取 5 次， 记被抽取的 5 名学生中对冰壶有兴趣的人数为 X，若每次抽取的结果是相互独立的，求 X 的分布列，期 望和方差 附：参考公式，其中 na+b+c+d 临界值表： P（K2K0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 K0 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 2
9、0 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的离心率 e，且点 P（，1）在椭圆 C 上 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若椭圆 C 的左焦点为 F，右顶点为 A，点 M（s，t） （t0）是椭圆 C 上的动点，直线 AM 与 y 轴交 于点 D，点 E 是 y 轴上一点，EFDF，EA 与椭圆 C 交于点 G，若AMG 的面积为 2，求直线 AM 的方程 21 （12 分）已知 f（x）xex，g（x） （1）若 f（x）g（x）恒成立，求 a 的取值范围， （2）若关于 x 的方程 f（x）g（x）有两个不同的解，求 a 的取值范围 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果
10、多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 （本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中直线 l 的参数方程为（t 为参数） 在以坐标原点为极 点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中曲线 C 的极坐标方程为 2cos （1）若曲线 C 关于直线 l 对称，求 a 的值； （2）若 A、B 为曲线 C 上两点且AOB，求|OA|+|OB|的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|xa|+|x+2|
11、 （1）若 a1解不等式 f（x）x21； （2）若 a0，b0，c0且 f（x）的最小值为 4bc求证： 2018-2019 学年山西省五地市联考高三（上）期末数学试卷（理科）学年山西省五地市联考高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的. 1 （5 分）若复数 z 满足1i，其中 i 为虚数单位，则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限
12、 C第三象限 D第四象限 【分析】直接由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案 【解答】解：由题意可知， zi（1i）1+i， 复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（1，1） ， 复数 z 在复平面内对应的点在第一象限， 故选：A 【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 2 （5 分）已知集合 Mx|2x2x30，Nx|x|（x2）0，全集 UR，则下列关于集合 M，N 叙 述正确的是（ ） AMNM BMNN C （UM）N DN（UM） 【分析】可以求出集合 M，N，然后进行交集、并集和补集的运算，从而判断出每个选项的正误 【解答】解：，UR， ， （UM）Nx|x
13、2N，N（UM） 故选：D 【点评】本题考查了描述法的定义，交集、并集和补集的混合运算，子集、空集的定义，考查了计算能 力，属于基础题 3 （5 分）双曲线1（a0，b0）的一个顶点到一条浙近线的距离等于，则双曲线的离心 率为（ ） A B C D 【分析】由题意不妨取双曲线的一个顶点为（a，0） ，一条渐近线方程为 bxay0，由点到直线的距离 公式列式求得即，代入离心率公式得答案 【解答】解：根据双曲线的对称性，不妨取双曲线的一个顶点为（a，0） ，一条渐近线方程为 bxay0， 则由题意可得：，即， 双曲线的离心率 e 故选：C 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查点到直线距离公式的应
14、用，是中档题 4 （5 分）已知等差数列an，a12，若 a1，a3+2，a6+8 成等比数列，则 S10（ ） A B C70 或 D16 或 【分析】等差数列an的公差设为 d，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差 d，检验求得 d，由等差数列的求和公式可得所求和 【解答】解：等差数列an的公差设为 d，a12，若 a1，a3+2，a6+8 成等比数列， 可得（a3+2）2a1（a6+8） ， 即（2+2d+2）22（2+5d+8） ， 化为 2d2+3d20， 解得 d2 或 d， 当 d2 时，a3+224+20，不满足等比数列，故舍去， 当 d时，S10102+
15、109 故选：A 【点评】本题考查等比数列的中项性质和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算 能力、推理能力，属于基础题 5 （5 分） 已知实数 x， y 满足约束条件， 若目标函数 z3xy 的最大值为 2， 则 a 的值为 （ ） A1 B C1 D2 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值 【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，A（a1，a） ，B（，a） ，C（0，1） ， 由 z3xy，得 y3xz， 由图象可知当直线 y3xz，经过点 B 时，直线 y3xz 的截距最大，此时 z 最大为 2， 即 3xy2，3a2，
16、 得 a1， 故选：C 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，要熟练掌握 目标函数的几何意义 6 （5 分）已知实数 a2ln2，b2+2ln2，c（ln2）2，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Acab Bcba Cbac Dacb 【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出 【解答】解：易知 12ln22，2+2ln22，0（ln2）21， cab 故选：A 【点评】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 7 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 【分析】根据三视图知该几何体
17、可由一个大正四棱锥挖去一个小正四棱锥而得， 结合图中数据求出它的体积 【解答】解：根据三视图可知，该几何体可由一个大正四棱锥挖去一个小正四棱锥而得， 其直观图如图所示， 则该几何体的体积为 故选：C 【点评】本题考查了利用几何体三视图求体积的应用问题，是基础题 8 （5 分）函数 f（x）lgx2的图象大致为（ ） A B C D 【分析】由 f（1）0 排除 C；判断 f（x）的图象在 y2lgx 的图象的下方，排除 D；求出 f（）的范 围排除 A 【解答】解：由 f（x）lgx2，得 f（1）0 排除 C； 由 x1 时，01，f（x）2lgx，x1 时，f（x）的图象在 y2lgx 的
18、图象的下方，排除 D； 由 f（）0，又4， f（），即f（）0，排除 A 故选：B 【点评】本题考查函数的图象及图象变换，考查函数值的运算，是中档题 9 （5 分）已知角 +的终边与单位圆 x2+y21 交于 P（x0，） ，则 sin2 等于（ ） A B C D 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式、二倍角的余弦公式，求得 sin2 的值 【解答】解：角 +的终边与单位圆 x2+y21 交于 P（x0，） ，sin（+）， sin2cos2（+）1+21+2， 故选：B 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题 10 （5 分
19、）若数列an满足 a11，a21，an+2an+an+1，则称数列an为斐波那契数列，斐波那契螺旋线 是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的 经典黄金比例作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中画一个圆心角为 90的扇形， 连起来的弧线就是斐波那契螺旋线， 如图所示的 7 个正方形的边长分别为 a1， a2， ， a7， 在长方形 ABCD 内任取一点，则该点不在任何一个扇形内的概率为（ ） A1 B1 C D 【分析】由题意求得数列an的前 8 项，求得长方形 ABCD 的面积，再求出 6 个扇形的面积和，由测度 比是面积比得答案
20、 【解答】解：由题意可得，数列an的前 8 项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21 长方形 ABCD 的面积为 1321273 6 个扇形的面积之和为 所求概率 P1 故选：D 【点评】本题考查几何概型概率的求法，考查扇形面积公式的应用，是基础题 11 （5 分）已知抛物线 C：y28ax（a0）的焦点 F 与双曲线 D：（a0）的焦点重合，过 点 F 的直线与抛物线 C 交于点 A，B，则|AF|+2|BF|的最小值为（ ） A3+4 B6+4 C7 D10 【分析】由双曲线方程求出焦点坐标，设 AB 的方程为：xmy+2，联立直线方程与抛物线方程，化为关 于 y 的一元二次方程，利用
21、根与系数的关系结合基本不等式求|AF|+2|BF|的最小值 【解答】解：由题意得，解得 a1，则 F（2，0） ， 设 AB 的方程为：xmy+2， 联立，得 y28my160 设 A（） ，B（，y2） ，则 y1y216 |AF|+2|BF| 当且仅当，即或时取等号 故选：B 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最 值，是中档题 12 （5 分）如图，已知矩形 ABCD 中，AB2AD，E 为边 AB 的中点，将ADE 沿直线 DE 翻折成A1DE， 若 M 是线段 A1C 的中点，则ADE 在翻折过程中，下列命题： 线段 BM 的长是定
22、值； 存在某个位置，使 DEA1C； 点 M 的运动轨迹是一个圆； 存在某个位置，使得 MB面 A1DE 正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】取 CD 中点 F，连接 MF，BF，由余弦定理可得 MB2MF2+FB22MFFBcosMFB，所以 MB 是定值，M 在以 B 为球心，MB 为半径的球上，可判断；A1C 在平面 ABCD 中的射影为 AC， AC 与 DE 不垂直，可判断； 取 CD 中点 F，连接 MF，BF，可得平面 MBF平面 A1DE，MB平面 A1DE，可判断 【解答】解：，取 CD 中点 F，连接 MF，BF，则 MFDA1，BFDE， 由A1DEMFB
23、，MFA1D 为定值，FBDE 为定值， 由余弦定理可得 MB2MF2+FB22MFFBcosMFB，所以 MB 是定值，故正确； 若成立，即 DEA1C，由AEDBEC45，可得 DECE，则 DE面 A1EC， DEA1E，而这与 DA1A1E 矛盾，故错误； ，B 是定点，M 在以 B 为圆心，MB 为半径的圆上，故正确； ，取 CD 中点 F，连接 MF，BF，则 MFDA1，BFDE， 由面面平行的判定定理可得平面 MBF平面 A1DE，即有 MB平面 A1DE，可得错误 故选：B 【点评】本题考查空间线线、线面的位置关系，运用线面、面面平行与垂直的判定和性质定理是解题的 关键 二、
24、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知向量 （x，2） ， （2，1） ，若 与 2 共线，则 【分析】根据平面向量共线定理列方程求出 x 的值，再计算的值 【解答】解：向量 （x，2） ， （2，1） ， 则 2 （2x+2，3） ， 又 与 2 共线， 所以 3x2（2x+2）0，x4， 所以 2 ，即 ， 所以 故答案为： 【点评】本题考查了平面向量的共线定理与坐标运算问题，是基础题 14 （5 分）已知等比数列an的公比 q0，其前 n 项和为 Sn，且 S26，S430，数列bn满足 bnlo
25、g2an2 1，则数列前 n 项和 Tn 【分析】由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，运用对数的运算性质求得 bnlog222n12n 1，（） ，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和 【解答】解：等比数列an的公比 q0，其前 n 项和为 Sn，且 S26，S430， 可得 a1+a1q6，a1+a1q+a1q2+a1q330， 解得 a1q2，则 an2n， bnlog2an21log222n12n1， （） ， 则 Tn（1+）（1） 故答案为： 【点评】本题考查等比数列的通项公式和数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题 15（5 分） 一个五位自然数数称为 “跳跃数” ，
26、 如果同时有或（例如 13284， 40329 都是“跳跃数” ，而 12345，54371，94333 都不是“跳跃数” ） ，则由 1，2，3，4，5 组成没有重复 数字且 1，4 不相邻的“跳跃数”共有 14 个 【分析】根据题意，结合跳跃数的定义分 4 种情况讨论，求出每种情况下跳跃数的个数，由加法原理计 算可得答案 【解答】解：根据题意，分 4 种情况讨论： ，先排 4、5 时，4、5 的排法有 2 种，则 1 只有 1 种排法，2、3 安排在剩下的 2 个位置，此时有 22 4 个跳跃数； ，先排 3、5 时，3、5 的排法有 2 种，则 4 只有 1 种排法，1、2 安排在剩下的
27、 2 个位置，此时有 22 4 个跳跃数； ，先排 1、2 时，1、2 的排法有 2 种，则 4 只有 1 种排法，3、5 安排在剩下的 2 个位置，此时有 22 4 个跳跃数； ，先排 1、3 时，1、3 的排法有 2 种，此时只有 2 个跳跃数； 则一共有 4+4+4+214 个跳跃数； 故答案为：14 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题 16 （5 分）已知 f（x），x1，2，且x1，x21，2，x1x2，1 恒成立，则 a 的取值范围是 （， 【分析】利用已知构建出一个新函数 g（x）f（x）x，根据“x1，x21，2，x1x2， 1 恒成立”可以得
28、出 g（x）的单调性，由此问题可以转化成求 g（x） 在1，2内恒成立；再对其进行分类讨论即可求解 【解答】解：x1，x21，2，x1x2，1 恒成立； ； f（x）x 在1，2内单调递减； 令 g（x）f（x）x， g（x）在1，2内单调递减，即 g（x）在1，2内恒成立； 当 x1 时，显然恒成立，aR； 当 x（1，2时，令 t（x），则， 当 x（1，2时，t（x）0， t（x）在（1，2内单调递减， ； ； 故答案为： （， 【点评】本题考查了利用导数求函数的单调性，考查学生的分析能力，计算能力，推理能力，转化能力； 属于中档题 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 5
29、小题，共计小题，共计 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （12 分） 已知ABC 的三内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c， ccosA+3acosC0， tan （2019+2A） （1）求角 tanC 的大小； （2）若 C 为钝角且 c，求ABC 的周长的取值范围 【分析】 （1）tan（2019+2A）tan2AA（0，） 解得 tanA由 ccosA+3acosC 0，利用正弦定理可得：sinCcosA+3sinAcosC0，进而得出 （2）若 C 为钝角，可得 tanC，C（0，） 可得 C又 c利用
30、正弦定理可得：a 2sinA，b2sinB可得ABC 的周长2sinA+2sinB+，利用和差公式及其三角函数的单调性即可得 出 【解答】解： （1）tan（2019+2A） tan2AA（0，） 解得 tanA，或3 ccosA+3acosC0，sinCcosA+3sinAcosC0， tanC3tanA，或 9 （2）若 C 为钝角，tanC，C（0，） C又 c A+B，2 a2sinA，b2sinB ABC 的周长2sinA+2sinB+ 2sinA+2sin（A）+ 2sin（A+）+ A（0，） ，A+（，） ， sin（A+）（，1 ABC 的周长2sin（A+）+（2，2+ 【
31、点评】本题考查了正弦定理、和差公式及其三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中 档题 18 （12 分）如图所示的多面体 ABCDEF 满足：正方形 ABCD 与正三角形 FBC 所在的两个平面互相垂直， FBAE 且 FB2EA （1）证明：平面 EFD平面 ABFE； （2）求二面角 EFDC 的余弦值 【分析】 （1）根据题给的已知条件面面垂直，多次运用面面垂直的性质定理，从而证出线面垂直，得出 所求； （2）根据题给的数量关系，经过论证后建立空间直角坐标系，再用空间向量法进行计算 【解答】解： （1）由题可得，四边形 ABCD 是正方形且三角形 FBC 是正三角形，所以 BC
32、AD，BC AD，FBBC 且FBC60， 又EAFB，2EAFB，所以EAD60，在三角形 EAD 中，根据余弦定理可得：EDAE 平面 ABCD平面 FBC，ABBC，平面 ABCD平面 FBCBC，且 AB平面 ABCD，所以 AB平面 BCF， BCA，EAFB，FBBCB，且 FB、BC平面 FCB，EA、AD平面 EAD，所以平面 EAD平面 FBC，所以 AB平面 EAD， 又ED平面 EAD，所以 ABED， 综上：EDAE，EDAB，EAABA 且 EA、AB平面 ABFE，所以 DE平面 ABFE， 又DE平面 DEF，所以平面 EFD平面 ABFE （2）如图，分别取 B
33、C 和 AD 的中点 O，G，连接 OF，OG， 因为 BOOC 且三角形 FBC 为正三角形，所以 FOBC， 因为 AGGD，BOOC，所以 OGAB， 由（1）可得，AB平面 FBC，则 OG平面 FBC， 故 OF、OB、OG 两两垂直，分别以 OB、OG、OF 所在直线为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系， 不妨设 BC4，则， 设平面 DEF 的法向量为，平面 DCF 的法向量为， 则， 则， 所以 又二面角 EFDC 是钝二面角，所以二面角 EFDC 的余弦值为 【点评】 （1）本题考查面面垂直的判定，当中多次用到面面垂直的性质定理，熟记定理才能做到灵活运 用，属于中
34、档题； （2）本题考查二面角的求解，考查空间向量的应用，属于基础题 19 （12 分）2022 年北京冬季奥运会即第 24 届冬季奥林匹克运动会，将在 2022 年 2 月 4 至 2 月 20 日在北 京和张家口联合举行某研究机构为了解大学生对冰壶运动的兴趣，随机从某大学学生中抽取了 120 人 进行调查，经统计男生与女生的人数之比为 11：13，男生中有 30 人表示对冰壶运动有兴趣，女生中有 15 人表示对冰壶运动没有兴趣 （1）完成 22 列联表，并回答能否有 99%的把握认为“对冰壶是否有兴趣与性别有关”？ 有兴趣 没有兴趣 合计 男 30 25 55 女 50 15 65 合计 8
35、0 40 120 （2）若将频率视为概率，现再从该校全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取 1 名学生，抽取 5 次， 记被抽取的 5 名学生中对冰壶有兴趣的人数为 X，若每次抽取的结果是相互独立的，求 X 的分布列，期 望和方差 附：参考公式，其中 na+b+c+d 临界值表： P（K2K0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 K0 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 【分析】 （1）填表，利用公式直接求出 K2； （2）对冰壶有兴趣的学生频率为，由题意 XB（5，） ，列出分布列，求出 D（X） ，E（X） 即可 【解答】解： （1）数据填
36、在表格（如原题） ，根据表格求出 k2 ， 故有 99%的把握认为“对冰壶是否有兴趣与性别有关” ； （2）由列表可知，对冰壶有兴趣的学生频率为，将其视为概率， 由题意 XB（5，） ， X 0 1 2 3 4 5 P E（X）np，D（x）npq 【点评】考查独立性检验，二项分布及求期望和方差，中档题 20 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的离心率 e，且点 P（，1）在椭圆 C 上 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若椭圆 C 的左焦点为 F，右顶点为 A，点 M（s，t） （t0）是椭圆 C 上的动点，直线 AM 与 y 轴交 于点 D，点 E 是 y 轴上一点，EFDF，EA 与
37、椭圆 C 交于点 G，若AMG 的面积为 2，求直线 AM 的方程 【分析】 （1）由离心率及过的点和 a，b，c 之间的关系求出椭圆的标准方程； （2）由（1）得 A，F 的坐标，设直线 AM 的方程，与椭圆联立得 M 的坐标，由题意得 D 的坐标，再由 题意得 G 的坐标，所以表示出面积，再由没觉得值得到直线 AM 的值 【解答】解： （1）由题意得 e，a2b2+c2，解得：a24，b22， 所以椭圆的方程：； （2）由（1）得左焦点 F（，0） ，A（2，0） ，设直线 AM：yk（x2） ，由题意得 D（0，2k） ， kDFk， EFDF，kEF直线 EF 的方程：xy，令 x0，
38、则 y，所以点 E（0，） ， 所以 kEA， 所以直线 EA：x2ky+2，联立与椭圆的方程整理得：y，x，所以点 G （，） ； 联立直线 AM 与椭圆的方程整理得： （1+2k2）x28k2x+8k240，解得：x12，x2，y2 ，所以点 M（，） ， 所以点 M，G 关于原点对称，即直线 MG 过原点， SAMG2|yM|，由题意得：2，解得：k， 由点 M（s，t） （t0）得，k，所以直线 AM 为：y（x2） ， 即直线 AM：x+y20 【点评】考查直线与椭圆的综合应用，所以中档题 21 （12 分）已知 f（x）xex，g（x） （1）若 f（x）g（x）恒成立，求 a 的
39、取值范围， （2）若关于 x 的方程 f（x）g（x）有两个不同的解，求 a 的取值范围 【分析】 （1）讨论 x0 时，不等式恒成立；x0 时，运用取对数、参数分离和构造函数法，求得导数 和单调性，可得最大值，可得所求范围； （2）讨论 x0 时，方程不成立；x0 时，运用取对数、参数分离和构造函数法，求得导数和单调性， 可得最大值和范围，画出图象，可得所求范围 【解答】解： （1）f（x）xex，g（x） 若 x0 时，f（x）0，g（x）0，f（x）g（x）恒成立； 若 x0，f（x）g（x）恒成立等价为 xex， 即 lnx+xax2，即有 a（）max， 设 h（x），h（x）， 令
40、 u（x）1x2lnx，u（x）10， 可得 u（x）在 x0 递减，当 x1 时，u（x）u（1）0，即 h（x）0，h（x）在 x1 递减； 当 0 x1 时，u（x）u（1）0，即 h（x）0，h（x）在 0 x1 递增， 则 h（x）在 x1 处取得极大值，且为最大值 1， 可得 a1； （2）若 x0 时，f（x）0，g（x）0，f（x）g（x）无解； 当 x0 时，f（x）g（x）恒成立等价为 xex， 即 lnx+xax2，即有 a有两解， 设 h（x），h（x）， 令 u（x）1x2lnx，u（x）10， 可得 u（x）在 x0 递减，当 x1 时，u（x）u（1）0，即 h（
41、x）0，h（x）在 x1 递减； 当 0 x1 时，u（x）u（1）0，即 h（x）0，h（x）在 0 x1 递增， 则 h（x）在 x1 处取得极大值，且为最大值 1， 且 x+，h（x）0，当 x，h（x）， 作出 yh（x）的图象如右，可得 0a1 时，关于 x 的方程 f（x）g（x）有两个不同的解， 故 a 的范围是（0，1） 【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想和转化思想，以及构造函数法，考查 导数的运用，属于中档题 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4
42、-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 （本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中直线 l 的参数方程为（t 为参数） 在以坐标原点为极 点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中曲线 C 的极坐标方程为 2cos （1）若曲线 C 关于直线 l 对称，求 a 的值； （2）若 A、B 为曲线 C 上两点且AOB，求|OA|+|OB|的最大值 【分析】 （1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用及极径的应用求出结果 【解答】 解：（1） 直线 l 的参数方程为（
43、t 为参数） 转换为直角坐标方程为 x+ 曲线 C 的极坐标方程为 2cos，整理得 22cos，转换为直角坐标方程为 x2+y22x，转换为（x 1）2+y21 由于曲线关于直线 l 对称，所以圆心（1，0）在直线 l 上， 故 a0 （2）由点 A、B 在圆 2cos 上，且AOB， 所以设AOx， 则：|OA|+|OB|2cos，当且仅当时，等号成立 故 OA|+|OB|的最大值为 2 【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的 恒等变换，正弦型函数性质的应用，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型 选修选修
44、 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|xa|+|x+2| （1）若 a1解不等式 f（x）x21； （2）若 a0，b0，c0且 f（x）的最小值为 4bc求证： 【分析】 （1）对绝对值函数进行分段讨论，解不等式即可； （2）求出 f（x）的最小值，得到 a+b+c2，利用柯西不等式证明即可 【解答】解： （1）当 a1 时，f（x）|x1|+|x+2|， 当 x2 时，2x1x21，得 x2+2x0，所以 x2； 当2x1 时，3x21，得 x24，所以； 当 x1 时，由 2x+1x21，得 x22x20，得 x1+， 综上，不等式的解集为x|x2 或 x1+； （2）证明：因为 f（x）|xa|+|x+2|xax2|a+2|a+24bc， 得 a+b+c2， 所以（2，当且仅当 a+bc1 时成立， 故原命题得证 【点评】考查绝对值不等式的解法，柯西不等式的应用，中档题