1、2019-2020 学年山西省高三（上）期末数学试卷（理科） （学年山西省高三（上）期末数学试卷（理科） （A 卷）卷） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的. 1 （5 分）已知全集 UR，集合 Ax|log2x1，Bx|x2x0，则 AB（ ） Ax|1x2 Bx|x2 Cx|1x2 Dx|1x4 2 （5 分）已知复数 z 满足，则 z（ ） A B C D 3 （5 分）由我国引领的 5G 时代已经到来，5G 的发展将直接
2、带动包括运营、制造、服务在内的通信行业 整体的快速发展，进而对 GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民 经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值如图是某单位结合近年数据，对今后几年的 5G 经济产 出所做的预测结合右图，下列说法错误的是（ ） A5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 D设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 4 （5 分）展开式中 x2的系数为（ ） A10 B24 C32 D56 5 （5 分）已知函数 f（x）aex+x+b，
3、若函数 f（x）在（0，f（0） ）处的切线方程为 y2x+3，则 ab 的值 为（ ） A1 B2 C3 D4 6 （5 分）函数在，的图象大致为（ ） A B C D 7（5 分） 如图， 在四棱锥 PABCD 中， ADBC， AD2， BC3， E 是 PD 的中点， F 在 PC 上且， G 在 PB 上且，则（ ） AAG3EF，且 AG 与 EF 平行 BAG3EF，且 AG 与 EF 相交 CAG2EF，且 AG 与 EF 异面 DAG2EF，且 AG 与 EF 平行 8 （5 分） 已知等差数列an的前 n 项和为 Sn， a22， S728， 则数列的前 2020 项和为
4、（ ） A B C D 9 （5 分） “角谷定理”的内容为对于每一个正整数如果它是奇数则对它乘 3 再加 1，如果它是偶数则 对它除以 2， 如此循环， 最终都能够得到 1 右图为研究角谷定理的一个程序框图 若输入 n 的值为 10 则 输出 i 的值为（ ） A5 B6 C7 D8 10 （5 分）设抛物线 x22py（p0）的焦点为 F，准线为 l过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B设 ，AF 与 BC 相交于点 E若|CF|2|AF|，且ACE 的面积为，则 p 的值（ ） A B2 C D 11 （5 分）现有一副斜边长相等的直角三角板若将它们的斜边 AB 重合，其中一个三
5、角板沿斜边折起形 成三棱锥 ABCD，如图所示，已知，三棱锥的外接球的表面积为 4，该三棱 锥的体积的最大值为（ ） A B C D 12 （5 分）设函数 f（x）sin（x+） ，其中 0，已知 f（x）在0，2上有且仅 有 4 个零点，则下列 的值中满足条件的是（ ） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）若，则 与 的夹角为 14 （5 分）记 Sn为等比数列an的前 n 项和，若数列Sn2a1也为等比数列，则 15 （5 分）某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重 100g，次品重 110g
6、，现有 5 袋产品（每袋装有 10 个产品） ，已知其中有且只有一袋次品（10 个产品均为次品） 如果将 5 袋产品以 15 编号，第 i 袋取出 i 个产品（i1，2，3，4，5） ，并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量 y，若 次品所在的袋子编号是 2，此时的重量 y g；若次品所在的袋子的编号是 n，此时的重量 y g 16 （5 分）已知点 P 是双曲线右支上一动点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，动点 Q 满足下列 条件：，则点 Q 的轨迹方程 为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算
7、步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都题为必考题，每个试题考生都 必须作答必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 csin2Bbsin（A+B）0 （1）求角 B 的大小； （2）设 a4，c6，求 sinC 的值 18 （12 分）为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点， 决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大 面积养
8、殖，已知鱼苗甲的自然成活率为 0.8，鱼苗乙、丙的自然成活率均为 0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗 是否成活相互独立 （1）试验时从甲、乙、丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为 X，求 X 的分布列和数学期望； （2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买 n 尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活 率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响，使不能自然成活的鱼苗的成 活率提高了 50%若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利 10 元，不成活则亏损 2 元，且扶贫工作组的扶贫目 标是获利不低于 37.6 万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？ 19 （12 分）如图，圆柱的轴
9、截面 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 P 是圆弧 CD 上的一动点（不与 C，D 重 合） ，点 Q 是圆弧 AB 的中点，且点 P，Q 在平面 ABCD 的两侧 （1）证明：平面 PAD平面 PBC； （2）设点 P 在平面 ABQ 上的射影为点 O，点 E，F 分别是PQB 和POA 的重心，当三棱锥 PABC 体积最大时，回答下列问题 （i）证明：EF平面 PAQ； （ii）求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的正弦值 20 （12 分）已知椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是椭圆上一动点（与左、 右顶点不重合） ，已知PF1F2的内切圆半径的最大值为，椭圆的离心率为
10、（1）求椭圆 C 的方程； （2） 过 F2的直线 l 交椭圆 C 于 A， B 两点， 过 A 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于另一点 Q （Q 不与 A， B 重合） 设 ABQ 的外心为 G，求证为定值 21 （12 分）已知函数 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）如果方程 f（x）m 有两个不相等的解 x1，x2，且 x1x2，证明： （二） 选考题： 共（二） 选考题： 共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、 23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做， 则按所做的第一题计分如果多做， 则按所做的第一题计分.选修选修 4-4： 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22 （
11、10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（s 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos+2sin+90 （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数 f（x）|x+1|+|2x4| （1）求不等式 f（x）6 的解集； （2）若函数 yf（x）的图象最低点为（m，n） ，正数 a，b 满足 ma+nb6，求的取值范围 2019-2020 学年山西省高三（上）期末数学试卷（理科）
12、 （学年山西省高三（上）期末数学试卷（理科） （A 卷）卷） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的. 1 （5 分）已知全集 UR，集合 Ax|log2x1，Bx|x2x0，则 AB（ ） Ax|1x2 Bx|x2 Cx|1x2 Dx|1x4 【分析】集合 A 与集合 B 的公共元素构成集合 AB 【解答】解：由题意得 Ax|log2x1x|0 x2，Bx|x2x0 x|x0 或 x1， AB
13、x|1x2 故选：A 【点评】 本题考查集合的交集及其求法， 是基础题 解题时要认真审题， 注意对数函数性质的灵活运用 2 （5 分）已知复数 z 满足，则 z（ ） A B C D 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：， 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题 3 （5 分）由我国引领的 5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业 整体的快速发展，进而对 GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民 经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值如图是某单位结合近年数据，对今后几年的
14、5G 经济产 出所做的预测结合右图，下列说法错误的是（ ） A5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 D设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 【分析】本题结合图形即可得出结果 【解答】解：由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位， 而后期是信息服务商处于领先地位，故 D 项表达错误 故选：D 【点评】本题主要考查数学文字及图形的阅读理解能力本题属基础题 4 （5 分）展开式中 x2的系数为（ ） A10 B24 C32 D56 【分析】求（1+） （1+2x） 4
15、 的展开式中 x2系数，只要求出（1+2x） 4 的展开式中含 x2的项及 x3的系数， 然后合并同类项可求 【解答】解： （1+） （1+2x）4的展开式中 x2系数，只要求出（1+2x）4的展开式中含 x2的项及 x3的系 数， （1+2x）4的展开式的通项 Tr+12rxr 令 r3 可得 T4423x332x3； 令 r2 可得 T322x224x2 故 x2的系数为 24+3256， 故选：D 【点评】本题主要考查了二项展开式的通项在求解展开式的指定项中的应用，解题的关键是求出通项中 的 r 的值 5 （5 分）已知函数 f（x）aex+x+b，若函数 f（x）在（0，f（0） ）处
16、的切线方程为 y2x+3，则 ab 的值 为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】求得 f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，结合已知切线方程可得 a，b 的方程，解得 a，b， 可得所求值 【解答】解：f（x）aex+x+b 的导数为 f（x）aex+1，所以 f（0）a+12，解得 a1， f（0）a+b1+b3，所以 b2，所以 ab2， 故选：B 【点评】本题考查导数的几何意义，考查直线方程的运用，方程思想和运算能力，属于基础题 6 （5 分）函数在，的图象大致为（ ） A B C D 【分析】由函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解 【解答】解：是奇函数，排除 A；，排除 B
17、，C 故选：D 【点评】本题考查利用函数解析式确定函数图象，属于基础题 7（5 分） 如图， 在四棱锥 PABCD 中， ADBC， AD2， BC3， E 是 PD 的中点， F 在 PC 上且， G 在 PB 上且，则（ ） AAG3EF，且 AG 与 EF 平行 BAG3EF，且 AG 与 EF 相交 CAG2EF，且 AG 与 EF 异面 DAG2EF，且 AG 与 EF 平行 【分析】取 CF 的中点 H，连接 DH，GH，根据线线平行的判定定理与性质定理，先证明四边形 ADHG 为平行四边形，从而得到 AGDH，且 AGDH，再在PDH 中，利用中位线定理，可得 EFDH，且 ，即
18、可得解 【解答】解：取 CF 的中点 H，连接 DH，GH， 在PBC 中，所以 GHBC，且， 又因为 ADBC 且 AD2，所以 GHAD，且 GHAD， 所以四边形 ADHG 为平行四边形，所以 AGDH，且 AGDH 在PDH 中，E、F 分别为 PD 和 PH 的中点，所以 EFDH，且， 所以 EFAG，且，即 AG2EF 故选：D 【点评】本题考查空间中线与线的位置关系及数量关系，灵活运用线线平行的判定定理与性质定理是解 题关键，属于基础题 8 （5 分） 已知等差数列an的前 n 项和为 Sn， a22， S728， 则数列的前 2020 项和为 （ ） A B C D 【分析
19、】本题先根据等差数列的通项公式和求和公式可列出关于 a1和 d 的方程组，解出 a1和 d 的值， 即可得到数列an的通项公式，也即求出数列的通项公式，根据通项公式的特点采用裂项相 消法求出前 2020 项和 【解答】解：由题意，设等差数列an的公差为 d，则 ，解得 数列an的通项公式为 an1+（n1）1n，nN* 设数列的前 n 项和为 Tn， 则 Tn+ + 1+ 1 T2020 故选：A 【点评】本题主要考查等差数列的基础知识，以及裂项相消法求前 n 项和，考查了方程思想的应用本 题属中档题 9 （5 分） “角谷定理”的内容为对于每一个正整数如果它是奇数则对它乘 3 再加 1，如果
20、它是偶数则 对它除以 2， 如此循环， 最终都能够得到 1 右图为研究角谷定理的一个程序框图 若输入 n 的值为 10 则 输出 i 的值为（ ） A5 B6 C7 D8 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算 n 的值并输出相应变量 i 的值， 模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 i0，n10 不满足条件 n1，满足条件 n 是偶数，n5，i1 不满足条件 n1，不满足条件 n 是偶数，n16，i2 不满足条件 n1，不满足条件 n 是偶数，n8，i3 不满足条件 n1，不满足条件 n 是偶数，n4，i4 不满
21、足条件 n1，不满足条件 n 是偶数，n2，i5 不满足条件 n1，不满足条件 n 是偶数，n1，i6 此时，满足条件 n1，退出循环，输出 i 的值为 6 故选：B 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论， 是基础题 10 （5 分）设抛物线 x22py（p0）的焦点为 F，准线为 l过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B设 ，AF 与 BC 相交于点 E若|CF|2|AF|，且ACE 的面积为，则 p 的值（ ） A B2 C D 【分析】 由抛物线的方程 可得焦点的坐标， 由|CF|2|AF|， 可得 AF 的值， 设 A 的坐标
22、可得三角形相似， 可得面积的比，再由ACE 的面积为，求出 p 的值 【解答】解析：根据已知 F（0，） ，l：y，由|CF|2|AF|，得|AF|， 不妨设点 A（x，y） 在第一象限，则 y+，即 yp，所以 x， 易知ABEFCE，所以|EF|2|AE|， 所以ACF 的面积是AEC 面积的 3 倍，即 SACF9， 所以 S9，解得 p， 故选：C 【点评】考查抛物线的性质，属于中档题 11 （5 分）现有一副斜边长相等的直角三角板若将它们的斜边 AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形 成三棱锥 ABCD，如图所示，已知，三棱锥的外接球的表面积为 4，该三棱 锥的体积的最大值为（ ）
23、A B C D 【分析】根据已知得三棱锥 ABCD 的外接球的半径 r1，且 AB 为外接球直径，分别求出 AB，AD， BD，AC，BC 的值且当点 C 到平面 ABD 距离最大时，三棱锥 ABCD 的体积最大，可知此时平面 ABC 平面 ABD，且点 C 到平面 ABD 的距离 d1，再由等体积法求三棱锥的体积的最大值 【解答】解：根据已知得三棱锥 ABCD 的外接球的半径 r1， ADBACB90，AB 为外接球直径，则 AB2，且 AD，BD1，ACBC 当点 C 到平面 ABD 距离最大时，三棱锥 ABCD 的体积最大， 此 时 平 面 ABC 平 面 ABD ， 且 点 C 到 平
24、面 ABD 的距 离 d 1， 故选：B 【点评】本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题 12 （5 分）设函数 f（x）sin（x+） ，其中 0，已知 f（x）在0，2上有且仅 有 4 个零点，则下列 的值中满足条件的是（ ） A B C D 【分析】利用换元思想转化为 ysint 在，2+上有 4 个零点，则需满足 42+5，进而根 据 的取值范围得到 的取值范围即可 【解答】解：设 tx+，则 t2+，所以 ysint 在，2+上有 4 个零点， 可知 42+5，所以 2， 又，所以 2，即，满足的只有 A， 故选：A 【点评】本题考查函数零点与三
25、角函数之间的关系，涉及换元思想，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）若，则 与 的夹角为 【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，求出 与 的夹角的余弦值，可得 与 的夹角 【解答】解：设 与 的夹角为 ，则 0， +4+49+43cos+4437，求得 cos， 故答案为： 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题 14 （5 分）记 Sn为等比数列an的前 n 项和，若数列Sn2a1也为等比数列，则 【分析】根据题意，设等比数列an的公比为 q，求
26、出数列Sn2a1得前三项，由等比数列的定义分析 可得 q 的值，进而由等比数列的前 n 项和公式分析可得答案 【解答】解：根据题意，设等比数列an的公比为 q， 对于等比数列Sn2a1，其前三项为：a1，a2a1，a3+a2a1，则有（a1） （a3+a2a1）（a2a1） 2， 变形可得：（q2+q1）（q1）2， 解可得：q或 0（舍） ，则 q， 则； 故答案为： 【点评】本题考查等比数列前 n 项和公式的应用，涉及等比数列的定义以及应用，属于基础题 15 （5 分）某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重 100g，次品重 110g，现有 5 袋产品（每袋装有 10 个产品） ，已知其中
27、有且只有一袋次品（10 个产品均为次品） 如果将 5 袋产品以 15 编号，第 i 袋取出 i 个产品（i1，2，3，4，5） ，并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量 y，若 次品所在的袋子编号是 2，此时的重量 y 1520 g；若次品所在的袋子的编号是 n，此时的重量 y 1500+10n，n1，2，3，4，5 g 【分析】由题意得到次品是第 2 袋时的正品与次品个数，则重量可求；同样写出次品是第 n（n1，2， 3，4，5）袋时的正品与次品个数，得到重量关于 n 的函数式 【解答】解：第 1 袋取 1 个，第 2 袋取 2 个，第 3 袋取 3 个，第 4 袋取 4
28、 个，第 5 袋取 5 个，共取 15 个 若次品是第 2 袋，则 15 个产品中正品 13 个，次品 2 个，此时的重量 y10013+11021520； 若次品是第 n（n1，2，3，4，5）袋，则 15 个产品中次品 n 个，正品 15n 个， 此时的重量 y100（15n）+110n1500+10n，n1，2，3，4，5 故答案为：1520；1500+10n，n1，2，3，4，5 【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，正确理解题意是关键，是基础题 16 （5 分）已知点 P 是双曲线右支上一动点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，动点 Q 满足下列 条件： ， ， 则点Q的轨迹方程为
29、 x2+y2 1（x） 【分析】利用已知条件画出图形，结合双曲线的定义与性质，转化求解轨迹方程即可 【解答】解：设动点 Q 的坐标为（x，y） ，延长 F2Q 交 PF1于点 A，由条件知点 Q 在F1PF2的角平 分线上，结合条件知 QF2PQ，所以在PF2A 中，AF2PQ又 PQ 平分APF2，所以PF2A 为等 腰三角形，即|PF2|PA|，|AQ|QF2|因为点 P 为双曲线上的点，所以|PF1|PF2|2，即|PA|+|AF1| |PF2|2，所以|AF1|2又在F1AF2中，Q 为 AF2的中点，O 为 F1F2的中点，所以|OQ|AF1|1， 所以点 Q 的轨迹是以 O 为圆心
30、，半径为 1 的圆，所以点 Q 的轨迹方程为 x2+y21（x） 故答案为：x2+y21（x） 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，数形结合思想的应用，是中 档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都题为必考题，每个试题考生都 必须作答必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c
31、，且 csin2Bbsin（A+B）0 （1）求角 B 的大小； （2）设 a4，c6，求 sinC 的值 【分析】 （1）由已知结合正弦定理化简可求 cosB，进而可求 B； （2）由余弦定理可得，cosB，代入可求 b，由正弦定理可得，sinC可求 【解答】解：csin2Bbsin（A+B）0， 由正弦定理可得，sinCsin2BsinBsin（A+B）0， 化简可得，2sinCsinBcosBsinBsinC0， sinBsinC0， cosB， B（0，） ， ， （2）由余弦定理可得，cosB， ， b2， 由正弦定理可得，sinC 【点评】本题主要考查了两角和及二倍角的公式，正弦定
32、理，余弦定理的综合应用，属于中等试题 18 （12 分）为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点， 决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大 面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为 0.8，鱼苗乙、丙的自然成活率均为 0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗 是否成活相互独立 （1）试验时从甲、乙、丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为 X，求 X 的分布列和数学期望； （2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买 n 尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活 率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼
33、苗不产生影响，使不能自然成活的鱼苗的成 活率提高了 50%若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利 10 元，不成活则亏损 2 元，且扶贫工作组的扶贫目 标是获利不低于 37.6 万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？ 【分析】 （1）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，分别求出相应概率，由此能求出 X 的分布列和 数学期望 （2）根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为 0.9，依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为 0.95，从而一 尾乙种鱼苗的平均收益为 100.9520.059.4 元设购买 n 尾乙种鱼苗，F（n）为购买 n 尾乙种鱼 苗最终可获得的利润，则 F（n）9.4n376000，由此能
34、求出需至少购买 40000 尾乙种鱼苗，才能确保 获利不低于 37.6 万元 【解答】解： （1）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3， 则 P（X0）0.20.10.10.002， P（X1）0.80.10.2+0.20.90.1+0.20.10.90.044， P（X2）0.80.90.1+0.80.10.9+0.20.90.90.306， P（X3）0.80.90.90.648 故 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.002 0.044 0.306 0.648 E（X）00.002+10.044+20.306+30.6482.6 （2）根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为
35、 0.9， 依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为 0.9+0.10.50.95， 一尾乙种鱼苗的平均收益为 100.9520.059.4 元 设购买 n 尾乙种鱼苗，F（n）为购买 n 尾乙种鱼苗最终可获得的利润， 则 F（n）9.4n376000，解得 n40000 所以需至少购买 40000 尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于 37.6 万元 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查概率的求法及应用，考查相互独立 事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 （12 分）如图，圆柱的轴截面 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 P 是圆弧 CD 上的一动点（
36、不与 C，D 重 合） ，点 Q 是圆弧 AB 的中点，且点 P，Q 在平面 ABCD 的两侧 （1）证明：平面 PAD平面 PBC； （2）设点 P 在平面 ABQ 上的射影为点 O，点 E，F 分别是PQB 和POA 的重心，当三棱锥 PABC 体积最大时，回答下列问题 （i）证明：EF平面 PAQ； （ii）求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的正弦值 【分析】 （1）先证明 PC平面 PAD，再根据线面垂直的性质得出结论； （2） （i）连接 PE 并延长交 BQ 于点 M，连接 PF 并延长交 OA 于点 N，连接 MN，则 MNAQ，根据线 面平行的判定定理证明即可； （ii
37、）以 O 为坐标原点，OA，OB，OP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，求出二面角两个平 面的法向量，利用夹角公式求出即可 【解答】解： （1）证明：因为 ABCD 是轴截面，所以 AD平面 PCD，所以 ADPC， 又点 P 是圆弧 CD 上的一动点（不与 C，D 重合） ，且 CD 为直径，所以 PCPD， 又 ADPDD，PD平面 PAD，AD平面 PAD，所以 PC平面 PAD， PC平面 PBC，故平面 PAD平面 PBC； （2）当三棱锥 PABC 体积最大时，点 P 为圆弧 CD 的中点，所以点 O 为圆弧 AB 的中点，所以四边形 AQBO 为正方形，且 OPAB
38、O， （i）证明：连接 PE 并延长交 BQ 于点 M，连接 PF 并延长交 OA 于点 N，连接 MN，则 MNAQ， 因为 E，F 分别为三角形的重心，所以 EFMN， 所以 EFAQ，又 AQ平面 PAQ，EF平面 PAQ，所以 EF平面 PAQ； （ii）以 O 为坐标原点，OA，OB，OP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图， 则 P（0，0，2） ，A（，0，0） ，B（0，0） ， 设平面 PAB 的法向量， 则，可取， 又平面 PCD 的法向量， 所以 cos， 所以平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的正弦值为 【点评】考查线面平行，线面垂直的判定，考查向
39、量法求二面角的余弦值，正弦值，中档题 20 （12 分）已知椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是椭圆上一动点（与左、 右顶点不重合） ，已知PF1F2的内切圆半径的最大值为，椭圆的离心率为 （1）求椭圆 C 的方程； （2） 过 F2的直线 l 交椭圆 C 于 A， B 两点， 过 A 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于另一点 Q （Q 不与 A， B 重合） 设 ABQ 的外心为 G，求证为定值 【分析】 （1）结合椭圆的几何性质与内切圆半径公式（其中 S 为三角形面积，C 为三角形周长） 即可得解； （2）由题可知，直线 AB 的斜率存在，且不为 0，不妨设直线 AB 为 xmy+1，再
40、由曲直联立得到韦达 定理，然后利用弦长公式求出|AB|，最后利用求两条直线交点的方法得到点 G 的坐标，进而得到|GF2|， 再对进行化简即可 【解答】解： （1）由题意知：，a2c，又 b2a2c2， 设PF1F2的内切圆半径为 r， 则， 故当PF1F2面积最大时，r 最大，即 P 点位于椭圆短轴顶点时， 所以，把代入，解得：， 所以椭圆方程为 （2）由题意知，直线 AB 的斜率存在，且不为 0，设直线 AB 为 xmy+1， 代入椭圆方程得（3m2+4）y2+6my90 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则， 所以 AB 的中点坐标为， 所以 因为 G 是ABQ 的外心，所以
41、G 是线段 AB 的垂直平分线与线段 AQ 的垂直平分线的交点， AB 的垂直平分线方程为， 令 y0，得 x，即，所以， 所以，所以是定值，为 4 【点评】本题考查直线与椭圆位置关系中的定值问题，解题的关键是曲直联立，充分利用弦长公式和两 点间距离公式，考查学生的运算能力和分析问题的能力，属于中档题 21 （12 分）已知函数 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）如果方程 f（x）m 有两个不相等的解 x1，x2，且 x1x2，证明： 【分析】 （1）对函数求导，分 a0 与 a0 两类讨论，即可得到 f（x）的单调 性； （2）依题意，令 0 x1ax2，要证 f（）0，即证a，即证 x
42、22ax1，进一步 分析知，即证 f（a+x）f（ax） ，利用 f（x）在（a，+）单调递增，可证得结论成立 【解答】解： （1）f（x）2+（x0） ， 当 a0 时，x（0，+） ，f（x）0，f（x）单调递增； 当 a0 时，x（0，a） ，f（x）0，f（x）单调递减； x（a，+） ，f（x）0，f（x）单调递增， 综上，当 a0 时，f（x）在（0，+）单调递增； 当 a0 时，f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+）单调递增 （2）由（1）知，当 a0 时，f（x）在（0，+）单调递增，f（x）m 至多一个根，不符合题意； 当 a0 时，f（x）在（0，a）单调递减，在（a，
43、+）单调递增，则 f（a）0 不妨设 0 x1ax2， 要证 f（）0，即证a，即证 x2+x12，即证 x22ax1 因为 f（x）在（a，+）单调递增，即证 f（x2）f（2ax1） ， 因为 f（x2）f（x1） ，所以即证 f（x1）f（2ax1） ，即证 f（a+x）f（ax） ， 令 g（x）f（a+x）f（ax）2（a+x）+（12a）ln（a+x）+2（ax）+（12a）ln（a x）+ 4x+（12a）ln（a+x）（12a）ln（ax）+ g（x）4+ 4+ 当 x（0，a） ，时，g（x）0，g（x）单调递减，又 g（0）f（a+0）f（a0）0， 所以 x（0，a） ，
44、时，g（x）g（0）0，即 f（a+x）f（ax） ， 即 f（x）f（2ax） ， 又 x1（0，a） ，所以 f（x1）f（2ax1） ，所以 f（）0 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，突出考查等价转化思想、函数与方程思想及分类 讨论思想的综合运用，逻辑思维能力要求高，运算量大，属于难题 （二） 选考题： 共（二） 选考题： 共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、 23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做， 则按所做的第一题计分如果多做， 则按所做的第一题计分.选修选修 4-4： 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲
45、线 C 的参数方程为（s 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos+2sin+90 （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值 【分析】 （1）把参数方程消去参数，可得直角坐标方程；再将 xcos，ysin 代入 l 的极坐标方程， 可得它的直角坐标方程 （2）设点 P（，s） ，代入点到直线的距离公式，求出它的最小值 【解答】解： （1）直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（s 为参数） ，消取参数可知：C 的直角坐标方程为：y24x 将 xcos，
46、ysin 代入 l 的极坐标方程 cos+2sin+90， 可得 l 的直角坐标方程为： x+2y+90 （2）设点 P（，s） ， 则点 P 到直线 l 的距离 d， 当 s2时，距离最小，最小值为 d 【点评】本题主要考查参数方程与极坐标的应用，点到直线的距离公式，函数的最小值问题，属于中档 题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数 f（x）|x+1|+|2x4| （1）求不等式 f（x）6 的解集； （2）若函数 yf（x）的图象最低点为（m，n） ，正数 a，b 满足 ma+nb6，求的取值范围 【分析】 （1）现将 f（x）写为分段函数的形式，然后根据 f（x）6 分别解不等式即可； （2）根据条件求出 f（x）的最小值，然后得到关于 a，b 的方程，再利用基本不等式求出的最值， 从而得到其范围 【解答】解： （1）f（x）|x+1|+|2x4|， 由 f（x）6，得或或， x2，3或 x（1，2）或 x1 综上，x1，3 （2）， 当 x2 时，f（x）min3，最低点为（2，3） ， 即 2a+3b6， ，当且仅当时等号成立， 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和分类讨论思想， 属中档题