1、32.32.综合应用综合应用 知识要点梳理知识要点梳理 一、一、鸽巢原理鸽巢原理 1.定义：定义：鸽巢原理又叫抽屉原理，它是组合数学的一个 基本原理。 2.2.类型：类型： （1）吧 n+1 个元素分成 n 类，不管怎么分，则一定有一类有 2 个或 2 个以上的元素。 （2）吧 m 个元素任意放入 n（nm）各集合，则一定有一个集合至少要有 k 个元素，其中 k= n m （当 n 能 整除 m 时） ，或 k= n m +1（当 n 不能整除 m 时）这里的 n m 表示不大于 n m 的最大整数。 3.3.解题的步骤解题的步骤: 第一步:分析题意，分清什么是“东西” ，什么是“抽屉” 。
2、第二步:制造抽屉。这是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。根据题目的条件和结论，结合有关的数学 知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。 第三步第三步: :运用抽屉原理。运用抽屉原理。 二、二、植树问题植树问题 1.定义定义:植树问题是指在某个固定图形上，给定点之间的距离或其他条件，在这个图形上最多能分布多少个 这样的点的问题。 2.2.公式公式: : 直线植树问题:计算两端点时，树木数=路线长度树木间隔+1 计算一端点时，树木数=路线长度:树木间隔 不计算两端点时，树木数=路线长度树木间隔-1 圆周植树问题:树木数=路线长度树木间隔 三、鸡兔同笼
3、问题三、鸡兔同笼问题 方法:假设法，方程法，抬脚法，列表法。 假设法解题思路:提出假设一产生差异一分析原因一解决差异。 公式 1;(兔的脚数 x 总只数一总脚数):(兔的脚数一鸡的脚数)=鸡的只数; 总只数-鸡的只数=兔的只数 公式 2;(总脚数一鸡的脚数 x 总只数):(兔的脚数一鸡的脚数)=兔的只数; 总只数-兔的只数=鸡的只数 公式公式 3;(3;(设兔为设兔为 x x 只，鸡为（总只数只，鸡为（总只数- -x x） ） ） 4x + 2(4x + 2(总只数总只数- -想）想）= =总脚数总脚数（用这种方法，所以一定要学会解方程！ ！ ）（用这种方法，所以一定要学会解方程！ ！ ） 考
4、点精讲分析考点精讲分析 典例精讲典例精讲 考点考点 1 1 鸽巢原理鸽巢原理 【例【例 1 1】 张阿姨给孩子买衣服，有红、黄、白三种颜色，但结果总是至少有两个孩子的颜色一样，她至少 有( )个孩子。 A.4 B.2 C.3 【精析精析】把颜色的种类看作“抽屉” ，把孩子的数量看作物体的个数，根据抽屉原理得出:孩子的个数至少 比颜色的种类多 1 时，才能至保证少有两个孩子的颜色一样，即 3+1=4(个)。 【答案【答案】A 【归纳总结归纳总结】元素大于抽屉数，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数” ，把谁看作“物体个数” 。 【例【例 2 2】把 56 个苹果装在 9 个袋子里，有一个袋子
5、至少装( )个苹果。 A.5 B.6 C.7 【精析【精析】把 56 个苹果装在 9 个袋子里，将这 9 个袋子当做 9 个抽屉,56 9 =6 个2 个，即平均每个袋 子里装 6 个后，还余下 2 个.根据抽屉原理可知，总有一个袋子至少要装 6+1=7 个，据此即可判断.解:56 9=6(个).2(个),6+1 =7(个)。 【答案答案】 C 【归纳总结归纳总结】在此类抽屉问题中，至少数=物体数除以抽屉数的商+1(有余的情况下)。 【例例 3 3】 考点 2 植树问题 园林工人沿公路一侧植树，每隔 6 米种一棵，一共种了 36 棵，从第 1 棵到最后一棵的距离有多远? 【精析精析】根据题干，
6、此题属于两端都要栽的情况:间隔数=植树棵数一 1，由此可以求出从第 1 棵到最后一棵 之间有 36 一 1 = 35 个间隔，再乘以 6 即可解决问题。 【答案【答案】(36 一 1) x6=35 x6=210(米) 答:从第一棵到最后一棵的距离是 210 米。 【归纳总结归纳总结】两端都要栽时，间隔数=植树棵数-1，由此即可解答。 【例例 4 4】一个正方形花坛的周长是 120 米，在它四周每隔 3 米放一个花盆，每个角上都有一盆花，每边放多 少盆花? 【精析精析】用正方形的周长除以 4，求出每条边的长度，再根据两端都要栽的计算方法:棵数=间隔数+1，进行 解答。 【答案答案】120 4 3
7、 +1 =10 +1 =11(棵) 答:每边放 11 盆花。 【归纳总结归纳总结】本题关键是求出每条边的长度，再根据棵数=间隔数+1 的计算方法进行计算。 考点 3 鸡兔同笼 【例例 5 5】 松鼠妈妈采松子，晴天每天可采 20 个，雨天每天只能采 12 个，它一连几天采了 112 个松子，平 均每天采 14 个，这几天当中有几天是雨天? 【精析【精析】一连几天采了 112 个，平均每天采 14 个，可以求出采松子的总天数，再用假设法就可以求出雨天 的天数。 【答案【答案】 采松子的天数:112 14 =8(天)假设 8 天全为晴天， 则可采 20 x8=160(个)雨天的天数:(160 一
8、442) (20 一 12) = 6(天) 答:这几天雨天有 6 天。 【归纳总结【归纳总结】把两种不同的量假设成同一量，算出总量，和实际总量相比较得出差异。 名题精析名题精析 【例例】(江西某师大附中入学)房间里有 4 条腿的椅子和 3 条腿的凳子共 16 个，如果椅子腿数和凳子腿数加 起来共 60 条，那么有( )把椅子。 【精析精析】这是一道典型的简单的鸡兔同笼问题，可用假设法。假设 16 个都是凳子，得出腿的总数，并求出 总差。 【答案答案】假设 16 个全是椅子，则 16 x4=64(条) (64 一 60）(4 一 3) =4(把) 16 一 4=12(把) 【归纳总结归纳总结】此
9、题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论;也可以用方程 进行解答。 毕业生学训练毕业生学训练 一、填空题一、填空题 1. 30 只鸽子飞进 7 个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进( )只鸽子。 2.在一个正方形花坛的四周种树，四个顶点各种一棵，每边种 5 棵，共种( )棵。 3.笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有 16 个头，从下面数，有 52 个脚，那么鸡有( )只，兔有 ( ) 只。 4. 13 只鸡放进 4 个鸡笼里，至少有( )只鸡要放进同一个鸡笼里。 5.在 100 米的人行道两边栽树，每隔 4 米栽一棵(两端都要栽)需要栽( )棵树 6.在一条马路一边从头至尾植
10、树 36 棵，每相邻两棵树之间隔 8 米，这条马路有( )。 7 一个鱼塘的周长是 1500 米，沿鱼塘周围每隔 6 米栽一棵杨树，需要种（ ）棵杨树。 8.全班 46 人去划船，一共租了 9 条船，每条大船坐 6 人，每条小船坐 4 人，他们租用了( )条大船。 二、选择题二、选择题 1 一副扑克牌加上大、小王共有 54 张，至少抽取( )张牌就一定能保证有两张同色。 A.5 B.6 C.7 D.13 2.小明要到一栋楼的第巧层上去，他从第一层走到第五层用了 100 秒，如果用同样的速度走到 15 层，还要 ( )秒。 A.200 8.250 0.300 D.350 3.数学竞赛共 10 题
11、，做对一题得 8 分，做错一题(或不做)，倒扣 5 分，小军得 41 分，他做错了( )。 A.3 题 B.4 题 C.5 题 D. 2 题 4.强强一次捐款 175 元，分别是 20 元和 5 元的，共有 23 张，其中 5 元的有( )张。 A.4 8.19 C.13 5.有红、黄、蓝袜子各 10 只，闭着眼睛，任意取出袜子来，使得至少有 2 双袜子不同色，那么至少需要取 ( )只袜子。 A.9 B.5 C.16 D.13 6.把 56 个苹果装在 9 个袋子里，有一个袋子至少装( )个苹果。 A.5 B.6 C.7 7 一个盒子里有 4 个白球、3 个红球和 2 个黄球，至少摸出( )个
12、球才能保证摸出的球一定有两种颜色的 球。 A.3 B.4 C.5 8.鸡兔同笼，15 个头，40 条腿，鸡的只数与兔的只数的最简整数比最简整数比是( )。 （这种提问好 KAWAYI） A.3:1 B.3:8 C. 2: 1 D. 8: 3 三、解决问题三、解决问题 1.小红的存钱罐里有 1 元和 5 角的硬币 32 枚，共有 20 元。则 5 角的有多少枚? 2.在一座长 800 米的大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了 202 盏，相邻两盏之间的距离都相等。 求相邻两盏彩灯之间的距离。 3 一个木工锯一根 19 米的木料，他先把一头损坏部分锯下来 1 米，然后锯了 5 次，锯成同样长的
13、短木条。 每根短木条长多少米? 4.商店委托搬运队运送 100 箱热水瓶，每箱 6 个。双方商定每箱的运费 2. 4 元，如果打破一个，这个不但 不计运费，并且要赔偿 11. 5 元，结果搬运队共得运费 192. 4 元，运送过程中打破了几个热水瓶? 5.某玻璃杯厂要为商场运送 1000 个玻璃杯， 双方商定每个运费为 1 元， 如果打碎一个， 这个不但不给运费， 而且要赔偿 3 元。结果运到目的地后结算时，玻璃杯厂共得运费 920 元。求打碎了几个玻璃杯? 6.育红小学上学期共有学生 750 人，本学期男学生增加 6 1 ，女学生减少 5 1 ，共有 710 人，本学期男，女学 生各有多少人
14、? 冲刺名校提升冲刺名校提升 一、填空题一、填空题 1.(1.(绵阳某中入学绵阳某中入学) )笼子里有若干只鸡和兔， 从上面数有 16 个头， 从下面数， 有 52 个脚， 那么鸡有( )只， 兔有( )只。 2.(2.(成都某四中入学成都某四中入学) )在一次考试中，某班数学得 100 分的有 17 人，语文得 100 的有 13 人，两科都得 100 分的人有 7 人，两科至少有一科得 100 的共有( )人;全班 45 人中两科都不得 100 的有( )。 3.(3.(西安某铁一中分班西安某铁一中分班) )有 5 瓶维生素，其中一瓶少了 4 片。如果用天平至少称( )次就能找到少药片的那
15、 瓶。 4.(4.(成都树德中学入学成都树德中学入学) )暗箱中混放着白、红、蓝、黄四种颜色的球各 8 个，至少需要摸到( )个球，才能 确保从中摸出四个不同色的球。 5.(5.(南昌某中入学南昌某中入学) )房间里有若干个凳子和椅子，每个凳子有 3 条腿，每把椅子有 4 条腿，当它们全被人坐 上后共有 43 条腿(包括每个人的两条腿)，房间里有( )个人。 6.(6.(西安某铁一中入学西安某铁一中入学) )布袋中装有 4 个红球、6 个白球和 8 个黑球，它们除颜色外，完全相同，从袋中最少 摸( )个球，肯定有三种颜色的球。 二、解决问题二、解决问题 1.(1.(西安某铁一中分班西安某铁一中
16、分班)一个房间里有 4 条腿的椅子和 3 条腿的凳子共 16 个，如果椅子的腿数和凳子腿数加 起来共有 60 条，那么有几个椅子和几个凳子? 2.(2.(宝鸡某一中入学宝鸡某一中入学) )某人以相同的速度沿着一排树跑步，从第 1 棵跑到第 6 棵共用了 30 秒(每两棵树之间 的距离相等，树的数量足够多)，如果跑 120 秒，他应该跑到了第几棵树? 3.(3.(临川某中入学临川某中入学) )鸡兔同笼，30 个头，9 条腿，鸡兔相差多少只? 4.(4.(西安某铁一中分班西安某铁一中分班) )从甲地到乙地原来每隔 45 米要安装一根电线杆，加上两端的两根一共有 25 根电线 杆。现在改每隔 60
17、米安装一根电线杆，除两端的两根不需移动，中间还有多少根不必移动? 32. 32. 综合应用综合应用 毕业升学训练 一、 1. 5 2. 16 3. 6 4. 4 5. 52 6. 280 7. 250 8. 5 二、 1. C 2. B 3. A 4. B 5. D 6. C 7. C 8. C 三、 1. 【解析】假设 32 枚都是 1 元的硬币，则共有 32 元。而现在一共有 20 元，多算了 32-20-12（元） 。如果 用 1 枚 5 角的硬币换 1 枚 1 元的硬币，就要多 1-0.5-0.5（元） ，那么看看这 12 元应该有几个 0.5 元来换， 就有几个 5 角。列式为 12
18、0.5，计算即可。 【解析】5 角-0.5 元， 所以 5 角的硬币有： （132-20）（1-0.5） -（32-20）0.5 -120.5 -24（枚） 答：5 角的硬币有 24 枚。 2.【解析】大桥两边一共挂了 202 盏彩灯，没变各挂 2022-101 盏，101 盏彩灯把 800 米长的大桥分成 101-1-100 段，所以，相邻两盏彩灯之间的距离是 800100-8 米。 3. 【解析】根据题意，把长 19-1-18 米长的木条锯了 5 次，可以锯成 5+1-6 段，所以每根短木条长 186-3 米。 4.【解析】假设全部安全运到，总运费是 240 元，比实际多了 47.6 元，
19、原因在于打破一个不但不给运费还 要赔偿 11.5 元，则打破一个相差 11.9 元。 2.4100-240 元 （240-192.4）（2.46+11.5）-4（个） 答：运送过程中打破了 4 个热水瓶。 5.【解析】假设 1000 个玻璃杯全部运到并完好无损，应得运费 11000-1000 元，实际上少得 1000-920-80 元，这说明运输过程中打碎了玻璃杯。每打碎一个，不但不给运费还要赔偿 3 元，这样玻璃杯厂就少收入 1+3-4 元。又已求出共少收入 80 元，所以打破的玻璃杯数为 804-20 个。 6【解析】假设本学期女学生不是减少 5 1 ，而是增加 6 1 ，半学期应该有 7
20、50（1+ 6 1 ）-875 人，比实际多 875-710-165 人，这 165 人是假设女学生也增加 6 1 多出的人数，而实际女学生减少 5 1 ，所以，这 165 人对应 着女学生的（ 5 1 + 6 1 ）- 30 11 。 上学期女生：750（1+ 6 1 ）-710（ 5 1 + 6 1 ）-450（人） 本学期女生：450（1- 5 1 ）-360（人） 本学期男生：710-360-350（人） 答：本学期男学生有 350 人，女学生有 360 人。 冲刺名校提升冲刺名校提升 一、 1. 6 10 2. 23 22 3. 2 4. 25 5. 8 6. 15 二、 1.【解析
21、】假设法解决问题。 假设 16 个都是椅子， 164-64（条） （64-60）（4-3）-4（个）凳子 16-4-12（个）椅子 答：有 12 个椅子，4 个凳子。 2.【解析】12030（6-1） -1206 -20（个间隔） 20+1-21（棵） 答：应该走到第 21 棵树。 3.【解析】设兔有 x 只，则鸡有（30-x）只，由题意，得 2（30-x）+4x-96 60-2x+4x-96 2x-36 x-18 鸡：30-18-12（只） 18-12-6（只） 答：鸡兔相差 6 只。 4. 【解析】45 （25-1）-4524-1080（米） （甲、乙两地相距 1080 米） 45,60-180（每隔 180 米不必移动） 1080180-1-5（根） 答：中间还有 5 根不必移动。