1、11.11.探索规律探索规律 知识要点梳理知识要点梳理 探索规律一般分为重复的规律(周期问题)和变换的规律， 其中变换的规律又分为数字排列律， 计算式规律， 图形排列规律，图形变换规律。 数字排列规律数字排列规律: : 数列填空，要在数列中相邻两个数的和、差、积、商 中发现共同点，寻找规律。 数组填空，一般先看到每组第一个数与组数的关系， 再分别看每组中后几个数与本组中的第一个数的关系。 数阵或数表填空，要分析数的横行或竖列中各数的关系， 找出规律。 图形的变化规律图形的变化规律: : 先确定有儿种图形，然后观察每种图形在不同组的位置变化，最后找出图形的排列规律。 颜色交替规律颜色交替规律:
2、: 通过发现两组颜色的变化来找出规律。 间隔排列物体个数之问的变化规律:两种物体间隔着排成一行，排在两端的物体个数比中间多 1 个。或者说 排在中问的物体个数比两端的少 1 个。 解决周期问题主要是找到循环重复的部分，用有余除法进行解答，而探索变换的规律时要注意观察，比较 和归纳总结，对学生的综合能力要求较高，学生要多加练习不同的题型。 考点精讲分考点精讲分析析 典例精讲典例精讲 考点 1 1 数字排列规律数字排列规律 【例【例 1 1】找规律填空。 (1)1，5，9，13，17，( )， （ ） (2)10，11，13，16，( )，25 (3)1，3，7，15，31，( ) (4)1，1，
3、2，3，5，8，( )， （ ） (5)4，9，16，25，( )， （ ） 【精析】本题先比较相邻两个数的差，发现规律，(1)的差都相等是 4,(2)的差是 1 ,2,3,4的有序自然 数，(3)的差是 2,4,8,16的倍数关系数列，(4)的差是 0,1,1,2,3 又重复本来的数列，再总结下可以发 现从第三个数开始每个数等于前两个数的和，(5)的差是 5,7,9.奇数列，再总结下发现每个数是自然数 的平方。然后根据规律填空即可。 【答案】【答案】(1)1,5,9,13,17,( 21),(25) (2)10，11，13，16，(20),25 (3)1，3，7，15，31，(63) (4)
4、1，1，2，3，5，8，(13)，(21) (5)4，9，16，25，(36)，(49) 【归纳总结】【归纳总结】此类题是数列找规律题目，解决时可以先观察数字之间的联系，如果直接看不出来的话通常 可以算出数列相邻两个数字的差，然后再观察差的规律，根据规律推出差，进行加法计算，算出空的数字， 此题中的(I)是小学比较重要的等差数列，(2)和(3)可以称为二阶数列(相邻两数差构成基本数列),(4)是著 名的兔子数列(也叫斐波那切数列),(5)是平方数列，总结这些数列的特点，可以帮助我们更好的解答数列 找规律的题目。 【例【例 2 2】将1 7化成小数后，小数点后第 2011 位数是( )。 【精析
5、】【精析】先把1 7化成小数，然后认真观察，看小数部分从哪一位开始每几位数重复为一个周期，再用有余数 除法计算出余数，余几就是周期内第几个数。1 7 = 0.142857，每 6 位为一个周期，20116=3351，即 2011 位是第 336 个周期的第一个数字“1” 。 【答案】【答案】1 【归纳总结】【归纳总结】周期问题也是找规律的一种方式，发现重复的部分，然后用有余除法进行计算，商表示有一 个完整的周期，余数表示最后不完整第几个数。 考点 2 2 计算式找规律计算式找规律 【例【例 3 3】先观察下面各算式，找出规律，再填空。 (1)123456799=111111111 (2)123
6、4567918=222222222 (3)1234567927=（ ） (4)1234567954=（ ） (5)（ ）72=88888888 (6)（ ）（ ）=999999999 【精析】 经过对比观察， 题中前 4 个算式的第一个因数都是 12345679， 所以(5)和(6)的第一个空填 12345679: 第一个式子乘 9 后得到 111111111，对比第二个式子乘 18 得到 222222222,18 是 9 的 2 倍，222222222 也是 111111111 的 2 倍，也就是第二个乘数扩大 2 倍，积也相应地扩大 2 倍，这样，规律就找出来了。接着发现 27 是 9 的
7、 3 倍，54 是 9 的 6 倍，这样(3)的空填 1111111113=333333333,(4)的空填 666666666，同理，(6)的空也可以填。 【答案】【答案】(1)123456799=111111111 (2)1234567918=222222222 (3)1234567927=(333333333) (4) 1234567954=(666666666) (5)(12345679)72=888888888 (6)(12345679)(81)=999999999 【归纳总结】【归纳总结】解决此类题关键是观察给出的式子，对比找出各部分量的相同点和不同点，对于不同点找其 中的关系，根
8、据关系进行填空。 考点 3 3 图形找规律图形找规律 【例【例 4 4】观察下列图形，根据排列规律在 上画出相应的图形: (第 30 个图形)。 【精析】观察题目所给图形的规律，发现图形 以“”的顺序循环出现，所以前两个空中应为“” “” 。由于所给图形是 6 个一组的顺序 循环出现，且 306=5，那么第 30 个图形应为“” 【答案】 【归纳总结】【归纳总结】对于此类根据图形规律画图题，先由所给图形寻找规律(几个一组循环出现或对称出现等)， 再判断所对应出现的图形。 【例【例 5 5】用小棒按照如下方式摆图形。 摆 n 个八边形需要( )根小棒，用 2010 根小棒可摆( )个八边形。 【
9、精析】【精析】此题数形结合，需要同学们认真观察，比较，归纳出每组图形所用小棒数量特征。第一个图一个 八边形用 8 根小棒， 第二个图有两个八边形， 在第一个图的基础上只多用 7 根小木棒(因为有公用的一边)， 因此摆 n 个只需在第一个的基础上再增加(n-1)个 7 根小棒，用式子表示是 8+7(n-1)，化简即是 7n+1；第 二问正好相反，给小棒数问有多少个八边形，其实可以得到一个方程 7n+1=2010，算出 n=287。 、 【答案】【答案】7n+1 287 【归纳总结】【归纳总结】此题考查学生观察图形，寻找规律与归纳公式的综合能力，学生在解答时一定要比较图形之 间的变化规律，然后在第
10、一个图形的基础上总结第 n 个图形的算式表达式，在不确定正确与否时可以代入 前几个图形进行检验。 考点 4 周期问题周期问题找规律 【例【例 6 6】1991 年 1 月 1 日是星期二，(1)该月的 22 日是星期几?该月 28 日是星期几?(2) 1994 年 1 月 1 日是星期几? 【精析】【精析】(1)一个星期是 7 天，因此，7 天为一个循环，这类题在计算天数时，可以采用“算尾不算头”的 方法。(22-1)7=3，没有余数，该月 22 日仍是星期二；(28-1)7=36，从星期二的后一天周三开始 数 6 天，28 日是星期一。 (2)1991 年、1993 年是平年，1992 年是
11、闰年，从 1991 年 1 月 2 日到 1994 年 1 月 1 日共 365 +366+365=1096 天，10967 = 1564，从星期三开始数 4 天，1994 年 1 月 1 日是星期六。 【答案】【答案】(1)(22-1)7=3 周，22 日是周二；(28-1)7=3 周6 天，28 日是周一。 (2)365+366+365=1096(天)，10967=156 周4 天，故 1 月 1 日是周六。 【归纳总结】【归纳总结】周期问题也是常见的一种找规律的题目，前面的例 2 和例 4 都可以用周期问题解决。此题属 于较难的日期周期问题，首先需要找出天数差，一定要注意“算头不算尾”或
12、者“算尾不算头” ，算出天数 差后除以周期 7，商表示过多少周，没有余数，星期不变，有余数，余几表示从这天往后数几天(不包括这 天)。 名题精析名题精析 【例】【例】 ( (西安高新某中入学西安高新某中入学) )如下图是一组有规律的图案， 它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成， 依次规律，第 20 个图案有( )个三角形。 【精析】此题先观察每个图形中三角形的个数的特征，我们发现每次多 1 个正方形时会加上 3 个空白三角 形，所以第 20 个图案在第一个图案有 4 个空白三角形的基础上增加了(20-1)3，用式子表示是:4+(20-1) 3=61 个。 当然， 也可以理解为先有 1 个
13、空白三角形， 再每次加 3 个， 那么第 20 个图案有 1+203=61 个。 【答案】【答案】61 【归纳总结】【归纳总结】 此类题目要观察每个图形比前一个增加的部分，如果增加的部分相等(也就是等差)，那么就利用等差数列 公式或者在不变的部分增加相同变量的思路去解答。 毕业升学训练毕业升学训练 一、填空题一、填空题 1.1.先观察算式，找出规律再填数。 219=189 3219=2889 43219=38889 （ ）9=488889 （ ）9=（ ） 2.2.找规律填空。 （1）1 1 4，3 2 9，5 3 16，7 5 25，9 8 36， （ ） ， （ ） （2）1.1，2.2，
14、4.3，8.4，16.5，32.6， （ ） ， （ ） 3.3.如下图是用棋子摆成的“上”字，如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现:第个“上” 字需要( )枚棋子。 4.4.为庆祝“六一”儿童节，某小学举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如图所示: 第 21 堆火柴棒的个数为（ ） 。 5.5.观察下列各式: 1 1 + 1 2 1 = 1 2， 1 3 + 1 4 1 2 = 1 12，, 1 5 + 1 6 1 3 = 1 30， 1 7,+ 1 8 1 4 = 1 56，按照这个规律，则第 100 个式子为 （ ） 。 6. 6. 2016 年元旦是星期六，2017 年元旦是星期
15、( )。 7.7.李老师把 1 95 号数字卡片依次发给甲、乙、丙、丁 4 位同学。问第 50 号卡片应发给( )。发完 95 张卡片，丙拿到了( )张，丁拿到了( )张。 8.8.古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，他有一定的规律性则第 24 个三角数与第 22 个 三角数的差为( )。 9.9.我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪 12 种动物按顺序轮流代表年号，例如， 第一年如果属鼠年，第二年就属牛年，第三年就是虎年。如果公元 2016 年属猴年，那么公元 2042 年属 ( )年。 10.10.下面一组图形的阴影变化是有规律的，请根据这个规
16、律把第四幅图的阴影部分画出来。 二、选择题二、选择题 1.1.给定一个列按规律排列的数：1 2， 2 5， 3 10， 4 17，则这列数的第 8 个数是（ ） 。 A. 8 63 B. 8 65 C. 7 65 D. 8 64 2.2.老师给同学讲完“用分数表示下图中各部分的面积占总面积的几分之几”之后，小冯给同桌出了一道题 “计算1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32的值”请你帮他写出 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 =（ ） 。 A.31 32 B. 15 16 C. 7 8 D.1 3.3.如果有 2016 名学生排成一排，按 1,2,3
17、,4,3,2,1,2,3,4,3,2,1的规律报数，那么第 2010 名学生所报 的数是()。 A.1 B.2 C.3 D.4 4.4.填在下面各正方形中的四个数之问都有相同的规律，根据此规律，m 的值是( )。 A.38 B.52 C.66 D.74 5.5.如图，下列图形都是由面积为 1 的正方形按一定的规律组成，其中，第(1)个图形中面积为 1 的正方形有 2 个，第(2)个图形中面积为 1 的正方形有 5 个，第(3)个图形中面积为 1 的正方形有 9 个，按此规律， 则第(6)个图形中面积为 1 的正方形的个数为( )。 A.20 B.27 C.35 D.40 三、解决问题三、解决问
18、题 1.1.图的变化很多，请你认真仔细地观察，画出第四幅图的答案。 2.2.与应用: 一个西瓜放在桌子上用刀切下去，一刀可以切成 2 块，2 刀最多可以切成 4 块；3 刀最多可以切成 7 块，4 刀最多可以切成 11 块(如图). 上述问题转化为数学模型实际上就是 n 条直线最多把平面分成儿块的问题，有没有规律呢?请先进行试验， 然后回答以下问题。 (1)填表: 直线条数 1 2 3 4 5 6 分成的最 多平面数 2 4 7 11 (2)设 n 条直线把平面最多分成的块数是 S，请写出 S 关于 n 的表达式。(不需要解题过程) 冲刺名校提升冲刺名校提升 一、填空题 1.(1.(西安某交大
19、附中入学西安某交大附中入学) )观察下列各等式:22+42+3=35，33+43+3=46，44+4 4+3=57按这个规律，第 100 个等式为（ ） 。 2.(2.(江西某师大附中入学江西某师大附中入学) )联欢会上，小明按照 3 个红气球、2 个黄气球、1 个绿气球的顺序把气球串起来装 饰教室，那么第 31 个气球是( )色。 3.(3.(陕西某师大附中入学陕西某师大附中入学) )把 2015 名学生排成一排，按 1，2，3，4，5，6，7，6，5，4，3，2，1，1，2，3， 4，5，6，7，6，5，4，3，2，循环报数，则第 201 名学生所报的数是( )。 4.(4.(西安高新某中
20、入学西安高新某中入学) )工地准备搭建如图的单顶帐篷需要 17 根钢管，若这样的帐篷按图、图的方式 串起来搭建，则可节省结合处的钢管，那么串搭 8 顶这样的帐篷需要钢管的根数是( )。 5.(5.(西安某交大附中入学西安某交大附中入学) )如图，是由一些棱长为 1 的小正方体木块叠放成的几何体，其中第一个几何体的 表面积为 6，按照图中的叠放规律，第 5 个几何体的表面积为( )。 6.(6.(西安高新某中入学西安高新某中入学) )观察下列一组图形中点的个数，其中第 1 个图中共有 4 个点，第 2 个图中共有 10 个 点，第 3 个图中共有 19 个点，按此规律第 6 个图中共有点的个数是
21、( )。 7.(7.(西安某工大附中分班西安某工大附中分班) )按照图所示的规律摆下去，第 20 个图形摆放的黑色棋子的个数是( )。 8.(8.(成都某师大附中入学成都某师大附中入学) )2016 年 5 月 1 日，西安市政府召开“全市建筑垃圾管理工作推进会” ，市长在此会 议上作重要讲话，他说:“如果连市民起码的生命安全都保证不了，还有什么幸福感可言！ ” 。为追查一辆肇 事的渣土车，西安市联合执法部门经过多方走访调查，只有车牌号最后三位数字不能确定，但可以肯定的 是后三位数字只能在 5,2,8 这三个数字中产生(数字可以重复)，据此判断，共有()辆嫌疑渣土车。 9.(9.(西安某铁一中
22、分班西安某铁一中分班) )如图，A、B 两地全长 400 千米，在此道路上距离 A 地 12 千米处有一个广告牌，之后 每往东 27 千米就有一个广告牌。A、B 两地间共有( )个广告牌。 10.(10.(西安某交大附中入学西安某交大附中入学) )将图标和按以下规律摆放: 请推断，第 30 个图标位于图标列的第( )个。 11.(11.(西安某工大附中分班西安某工大附中分班) )对一个整数进行下列操作:如果他是奇数，给他+3；如果他是偶数给他2，若这 个数是 11，第一次操作的结果为 14，第二次操作的结果为 7，第三次操作的结果是 10,依次操作第 2016 次 结果是( )。 12.(12
23、.(成都某七中入学成都某七中入学) )正整数按图中的规律排行: (1)请写出第 20 行，第 21 列的数字（ ） 。 (2)数字 2012 是第( )行，第（ ）列的数。 二、解决问题二、解决问题 1.(1.(西安某交大附中入学西安某交大附中入学) )仔细分析，探究规律. (1)像上面那样摆，第 7 个图形需要用( )根小棒，第， ，个图形需要( )根小棒。 (2)像上面那样摆下去，一个图形用了 85 根小棒，这是第( )个图形。 2.(2.(西安某知中学入学西安某知中学入学) )如图，用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答 有关问题: (1)在第 6 个图中，有
24、( )块白瓷砖，有( )块黑瓷砖。 (2)在铺设第 n 个图形时，用( )块白瓷砖，( )块黑瓷砖。 (3)如果每块黑瓷砖 4 元，每块白瓷砖 3 元，铺设当 n 等于 10 的图形时，共需花多少钱购买瓷砖? 3.(3.(西安高新某中入学西安高新某中入学) )如图用水平线和竖直线将平面分成了若干个面积为 I 的小正方形格子，小正方形的 顶点为格点， 以格点为顶点的多边形为格点多边形， 设格点多边形的面积为 S， 它各边上格点的个数和为 x。 多边形的序号 对变形的面积 S 2 2.5 3 多边形各边上 格点的个数和 x 4 5 6 (1)上图中的格点多边形，其内部都只有 1 个格点，它们的面积
25、 S 与各边上格点的个数和 x 的对应关系如上 表，请将表格的第四列填写完整，请用 x 表示 S，即 S=( )。 (2)进一步探索:请你在下面网格中画出三个不同格点多边形，使这些多边形内部都只有 2 个格点，在这种 情况下，用 x 表示 S，即 S=( )。 11.11.探索规律探索规律 毕业升学训练毕业升学训练 一、一、1.1.54321 654321 5888889 2.2.11 13 49 13 21 64 64.7 128.8 3. 3.42 4.4.128 5.5. 1 199 + 1 200 1 100 = 1 39800 6. 6.一 7.7.乙 24 23 8.8.47 9.
26、9.狗 10.10. 二、二、1 1.B 2.2.A 3.3.B 4.4.D 5.5.B 三、三、1.1.【解析】 2.2.【解析】 (1)4-2=2,7-4=3,11-7=4,发现差的规律,所以第 5 条是 11+5=16,第 6 条是 16+6=22。 (2)S=1+1+2+3+4+.+n=1+(1+n)n2 冲刺名校提升冲刺名校提升 一、一、1 1.101101+4101+3=102104 2 2.红 3 3.6 4.4.94 5.5.38 6.6.64 7 7.440 8 8.50 51 9.9.15 10.10.58 1111.4 12.12.420 45 14 二、二、1.1.(1)15 2n+1 (2)42 2 2.(1)42 30 (2)n(n+1) 4n+6 【解析】 黑:410+6=46( 块) 白:10(10+1) =110(块) 464+1103=514( 元) 3.3.【解析】表格由上到下填 4 和 8 (1)S= - 1 2 x, (2)画图略,满足题意即可，S=1 2x+1。