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小升初数学《探索规律》知识要点梳理+考点精讲分析(含答案)

1、11.11.探索规律探索规律 知识要点梳理知识要点梳理 探索规律一般分为重复的规律(周期问题)和变换的规律, 其中变换的规律又分为数字排列律, 计算式规律, 图形排列规律,图形变换规律。 数字排列规律数字排列规律: : 数列填空,要在数列中相邻两个数的和、差、积、商 中发现共同点,寻找规律。 数组填空,一般先看到每组第一个数与组数的关系, 再分别看每组中后几个数与本组中的第一个数的关系。 数阵或数表填空,要分析数的横行或竖列中各数的关系, 找出规律。 图形的变化规律图形的变化规律: : 先确定有儿种图形,然后观察每种图形在不同组的位置变化,最后找出图形的排列规律。 颜色交替规律颜色交替规律:

2、: 通过发现两组颜色的变化来找出规律。 间隔排列物体个数之问的变化规律:两种物体间隔着排成一行,排在两端的物体个数比中间多 1 个。或者说 排在中问的物体个数比两端的少 1 个。 解决周期问题主要是找到循环重复的部分,用有余除法进行解答,而探索变换的规律时要注意观察,比较 和归纳总结,对学生的综合能力要求较高,学生要多加练习不同的题型。 考点精讲分考点精讲分析析 典例精讲典例精讲 考点 1 1 数字排列规律数字排列规律 【例【例 1 1】找规律填空。 (1)1,5,9,13,17,( ), ( ) (2)10,11,13,16,( ),25 (3)1,3,7,15,31,( ) (4)1,1,

3、2,3,5,8,( ), ( ) (5)4,9,16,25,( ), ( ) 【精析】本题先比较相邻两个数的差,发现规律,(1)的差都相等是 4,(2)的差是 1 ,2,3,4的有序自然 数,(3)的差是 2,4,8,16的倍数关系数列,(4)的差是 0,1,1,2,3 又重复本来的数列,再总结下可以发 现从第三个数开始每个数等于前两个数的和,(5)的差是 5,7,9.奇数列,再总结下发现每个数是自然数 的平方。然后根据规律填空即可。 【答案】【答案】(1)1,5,9,13,17,( 21),(25) (2)10,11,13,16,(20),25 (3)1,3,7,15,31,(63) (4)

4、1,1,2,3,5,8,(13),(21) (5)4,9,16,25,(36),(49) 【归纳总结】【归纳总结】此类题是数列找规律题目,解决时可以先观察数字之间的联系,如果直接看不出来的话通常 可以算出数列相邻两个数字的差,然后再观察差的规律,根据规律推出差,进行加法计算,算出空的数字, 此题中的(I)是小学比较重要的等差数列,(2)和(3)可以称为二阶数列(相邻两数差构成基本数列),(4)是著 名的兔子数列(也叫斐波那切数列),(5)是平方数列,总结这些数列的特点,可以帮助我们更好的解答数列 找规律的题目。 【例【例 2 2】将1 7化成小数后,小数点后第 2011 位数是( )。 【精析

5、】【精析】先把1 7化成小数,然后认真观察,看小数部分从哪一位开始每几位数重复为一个周期,再用有余数 除法计算出余数,余几就是周期内第几个数。1 7 = 0.142857,每 6 位为一个周期,20116=3351,即 2011 位是第 336 个周期的第一个数字“1” 。 【答案】【答案】1 【归纳总结】【归纳总结】周期问题也是找规律的一种方式,发现重复的部分,然后用有余除法进行计算,商表示有一 个完整的周期,余数表示最后不完整第几个数。 考点 2 2 计算式找规律计算式找规律 【例【例 3 3】先观察下面各算式,找出规律,再填空。 (1)123456799=111111111 (2)123

6、4567918=222222222 (3)1234567927=( ) (4)1234567954=( ) (5)( )72=88888888 (6)( )( )=999999999 【精析】 经过对比观察, 题中前 4 个算式的第一个因数都是 12345679, 所以(5)和(6)的第一个空填 12345679: 第一个式子乘 9 后得到 111111111,对比第二个式子乘 18 得到 222222222,18 是 9 的 2 倍,222222222 也是 111111111 的 2 倍,也就是第二个乘数扩大 2 倍,积也相应地扩大 2 倍,这样,规律就找出来了。接着发现 27 是 9 的

7、 3 倍,54 是 9 的 6 倍,这样(3)的空填 1111111113=333333333,(4)的空填 666666666,同理,(6)的空也可以填。 【答案】【答案】(1)123456799=111111111 (2)1234567918=222222222 (3)1234567927=(333333333) (4) 1234567954=(666666666) (5)(12345679)72=888888888 (6)(12345679)(81)=999999999 【归纳总结】【归纳总结】解决此类题关键是观察给出的式子,对比找出各部分量的相同点和不同点,对于不同点找其 中的关系,根

8、据关系进行填空。 考点 3 3 图形找规律图形找规律 【例【例 4 4】观察下列图形,根据排列规律在 上画出相应的图形: (第 30 个图形)。 【精析】观察题目所给图形的规律,发现图形 以“”的顺序循环出现,所以前两个空中应为“” “” 。由于所给图形是 6 个一组的顺序 循环出现,且 306=5,那么第 30 个图形应为“” 【答案】 【归纳总结】【归纳总结】对于此类根据图形规律画图题,先由所给图形寻找规律(几个一组循环出现或对称出现等), 再判断所对应出现的图形。 【例【例 5 5】用小棒按照如下方式摆图形。 摆 n 个八边形需要( )根小棒,用 2010 根小棒可摆( )个八边形。 【

9、精析】【精析】此题数形结合,需要同学们认真观察,比较,归纳出每组图形所用小棒数量特征。第一个图一个 八边形用 8 根小棒, 第二个图有两个八边形, 在第一个图的基础上只多用 7 根小木棒(因为有公用的一边), 因此摆 n 个只需在第一个的基础上再增加(n-1)个 7 根小棒,用式子表示是 8+7(n-1),化简即是 7n+1;第 二问正好相反,给小棒数问有多少个八边形,其实可以得到一个方程 7n+1=2010,算出 n=287。 、 【答案】【答案】7n+1 287 【归纳总结】【归纳总结】此题考查学生观察图形,寻找规律与归纳公式的综合能力,学生在解答时一定要比较图形之 间的变化规律,然后在第

10、一个图形的基础上总结第 n 个图形的算式表达式,在不确定正确与否时可以代入 前几个图形进行检验。 考点 4 周期问题周期问题找规律 【例【例 6 6】1991 年 1 月 1 日是星期二,(1)该月的 22 日是星期几?该月 28 日是星期几?(2) 1994 年 1 月 1 日是星期几? 【精析】【精析】(1)一个星期是 7 天,因此,7 天为一个循环,这类题在计算天数时,可以采用“算尾不算头”的 方法。(22-1)7=3,没有余数,该月 22 日仍是星期二;(28-1)7=36,从星期二的后一天周三开始 数 6 天,28 日是星期一。 (2)1991 年、1993 年是平年,1992 年是

11、闰年,从 1991 年 1 月 2 日到 1994 年 1 月 1 日共 365 +366+365=1096 天,10967 = 1564,从星期三开始数 4 天,1994 年 1 月 1 日是星期六。 【答案】【答案】(1)(22-1)7=3 周,22 日是周二;(28-1)7=3 周6 天,28 日是周一。 (2)365+366+365=1096(天),10967=156 周4 天,故 1 月 1 日是周六。 【归纳总结】【归纳总结】周期问题也是常见的一种找规律的题目,前面的例 2 和例 4 都可以用周期问题解决。此题属 于较难的日期周期问题,首先需要找出天数差,一定要注意“算头不算尾”或

12、者“算尾不算头” ,算出天数 差后除以周期 7,商表示过多少周,没有余数,星期不变,有余数,余几表示从这天往后数几天(不包括这 天)。 名题精析名题精析 【例】【例】 ( (西安高新某中入学西安高新某中入学) )如下图是一组有规律的图案, 它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成, 依次规律,第 20 个图案有( )个三角形。 【精析】此题先观察每个图形中三角形的个数的特征,我们发现每次多 1 个正方形时会加上 3 个空白三角 形,所以第 20 个图案在第一个图案有 4 个空白三角形的基础上增加了(20-1)3,用式子表示是:4+(20-1) 3=61 个。 当然, 也可以理解为先有 1 个

13、空白三角形, 再每次加 3 个, 那么第 20 个图案有 1+203=61 个。 【答案】【答案】61 【归纳总结】【归纳总结】 此类题目要观察每个图形比前一个增加的部分,如果增加的部分相等(也就是等差),那么就利用等差数列 公式或者在不变的部分增加相同变量的思路去解答。 毕业升学训练毕业升学训练 一、填空题一、填空题 1.1.先观察算式,找出规律再填数。 219=189 3219=2889 43219=38889 ( )9=488889 ( )9=( ) 2.2.找规律填空。 (1)1 1 4,3 2 9,5 3 16,7 5 25,9 8 36, ( ) , ( ) (2)1.1,2.2,

14、4.3,8.4,16.5,32.6, ( ) , ( ) 3.3.如下图是用棋子摆成的“上”字,如果按照以上规律继续摆下去,那么通过观察,可以发现:第个“上” 字需要( )枚棋子。 4.4.为庆祝“六一”儿童节,某小学举行用火柴棒摆“金鱼”比赛,如图所示: 第 21 堆火柴棒的个数为( ) 。 5.5.观察下列各式: 1 1 + 1 2 1 = 1 2, 1 3 + 1 4 1 2 = 1 12,, 1 5 + 1 6 1 3 = 1 30, 1 7,+ 1 8 1 4 = 1 56,按照这个规律,则第 100 个式子为 ( ) 。 6. 6. 2016 年元旦是星期六,2017 年元旦是星期

15、( )。 7.7.李老师把 1 95 号数字卡片依次发给甲、乙、丙、丁 4 位同学。问第 50 号卡片应发给( )。发完 95 张卡片,丙拿到了( )张,丁拿到了( )张。 8.8.古希腊数学家把数 1,3,6,10,15,21,叫做三角形数,他有一定的规律性则第 24 个三角数与第 22 个 三角数的差为( )。 9.9.我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪 12 种动物按顺序轮流代表年号,例如, 第一年如果属鼠年,第二年就属牛年,第三年就是虎年。如果公元 2016 年属猴年,那么公元 2042 年属 ( )年。 10.10.下面一组图形的阴影变化是有规律的,请根据这个规

16、律把第四幅图的阴影部分画出来。 二、选择题二、选择题 1.1.给定一个列按规律排列的数:1 2, 2 5, 3 10, 4 17,则这列数的第 8 个数是( ) 。 A. 8 63 B. 8 65 C. 7 65 D. 8 64 2.2.老师给同学讲完“用分数表示下图中各部分的面积占总面积的几分之几”之后,小冯给同桌出了一道题 “计算1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32的值”请你帮他写出 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 =( ) 。 A.31 32 B. 15 16 C. 7 8 D.1 3.3.如果有 2016 名学生排成一排,按 1,2,3

17、,4,3,2,1,2,3,4,3,2,1的规律报数,那么第 2010 名学生所报 的数是()。 A.1 B.2 C.3 D.4 4.4.填在下面各正方形中的四个数之问都有相同的规律,根据此规律,m 的值是( )。 A.38 B.52 C.66 D.74 5.5.如图,下列图形都是由面积为 1 的正方形按一定的规律组成,其中,第(1)个图形中面积为 1 的正方形有 2 个,第(2)个图形中面积为 1 的正方形有 5 个,第(3)个图形中面积为 1 的正方形有 9 个,按此规律, 则第(6)个图形中面积为 1 的正方形的个数为( )。 A.20 B.27 C.35 D.40 三、解决问题三、解决问

18、题 1.1.图的变化很多,请你认真仔细地观察,画出第四幅图的答案。 2.2.与应用: 一个西瓜放在桌子上用刀切下去,一刀可以切成 2 块,2 刀最多可以切成 4 块;3 刀最多可以切成 7 块,4 刀最多可以切成 11 块(如图). 上述问题转化为数学模型实际上就是 n 条直线最多把平面分成儿块的问题,有没有规律呢?请先进行试验, 然后回答以下问题。 (1)填表: 直线条数 1 2 3 4 5 6 分成的最 多平面数 2 4 7 11 (2)设 n 条直线把平面最多分成的块数是 S,请写出 S 关于 n 的表达式。(不需要解题过程) 冲刺名校提升冲刺名校提升 一、填空题 1.(1.(西安某交大

19、附中入学西安某交大附中入学) )观察下列各等式:22+42+3=35,33+43+3=46,44+4 4+3=57按这个规律,第 100 个等式为( ) 。 2.(2.(江西某师大附中入学江西某师大附中入学) )联欢会上,小明按照 3 个红气球、2 个黄气球、1 个绿气球的顺序把气球串起来装 饰教室,那么第 31 个气球是( )色。 3.(3.(陕西某师大附中入学陕西某师大附中入学) )把 2015 名学生排成一排,按 1,2,3,4,5,6,7,6,5,4,3,2,1,1,2,3, 4,5,6,7,6,5,4,3,2,循环报数,则第 201 名学生所报的数是( )。 4.(4.(西安高新某中

20、入学西安高新某中入学) )工地准备搭建如图的单顶帐篷需要 17 根钢管,若这样的帐篷按图、图的方式 串起来搭建,则可节省结合处的钢管,那么串搭 8 顶这样的帐篷需要钢管的根数是( )。 5.(5.(西安某交大附中入学西安某交大附中入学) )如图,是由一些棱长为 1 的小正方体木块叠放成的几何体,其中第一个几何体的 表面积为 6,按照图中的叠放规律,第 5 个几何体的表面积为( )。 6.(6.(西安高新某中入学西安高新某中入学) )观察下列一组图形中点的个数,其中第 1 个图中共有 4 个点,第 2 个图中共有 10 个 点,第 3 个图中共有 19 个点,按此规律第 6 个图中共有点的个数是

21、( )。 7.(7.(西安某工大附中分班西安某工大附中分班) )按照图所示的规律摆下去,第 20 个图形摆放的黑色棋子的个数是( )。 8.(8.(成都某师大附中入学成都某师大附中入学) )2016 年 5 月 1 日,西安市政府召开“全市建筑垃圾管理工作推进会” ,市长在此会 议上作重要讲话,他说:“如果连市民起码的生命安全都保证不了,还有什么幸福感可言! ” 。为追查一辆肇 事的渣土车,西安市联合执法部门经过多方走访调查,只有车牌号最后三位数字不能确定,但可以肯定的 是后三位数字只能在 5,2,8 这三个数字中产生(数字可以重复),据此判断,共有()辆嫌疑渣土车。 9.(9.(西安某铁一中

22、分班西安某铁一中分班) )如图,A、B 两地全长 400 千米,在此道路上距离 A 地 12 千米处有一个广告牌,之后 每往东 27 千米就有一个广告牌。A、B 两地间共有( )个广告牌。 10.(10.(西安某交大附中入学西安某交大附中入学) )将图标和按以下规律摆放: 请推断,第 30 个图标位于图标列的第( )个。 11.(11.(西安某工大附中分班西安某工大附中分班) )对一个整数进行下列操作:如果他是奇数,给他+3;如果他是偶数给他2,若这 个数是 11,第一次操作的结果为 14,第二次操作的结果为 7,第三次操作的结果是 10,依次操作第 2016 次 结果是( )。 12.(12

23、.(成都某七中入学成都某七中入学) )正整数按图中的规律排行: (1)请写出第 20 行,第 21 列的数字( ) 。 (2)数字 2012 是第( )行,第( )列的数。 二、解决问题二、解决问题 1.(1.(西安某交大附中入学西安某交大附中入学) )仔细分析,探究规律. (1)像上面那样摆,第 7 个图形需要用( )根小棒,第, ,个图形需要( )根小棒。 (2)像上面那样摆下去,一个图形用了 85 根小棒,这是第( )个图形。 2.(2.(西安某知中学入学西安某知中学入学) )如图,用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面,请观察下列图形并解答 有关问题: (1)在第 6 个图中,有

24、( )块白瓷砖,有( )块黑瓷砖。 (2)在铺设第 n 个图形时,用( )块白瓷砖,( )块黑瓷砖。 (3)如果每块黑瓷砖 4 元,每块白瓷砖 3 元,铺设当 n 等于 10 的图形时,共需花多少钱购买瓷砖? 3.(3.(西安高新某中入学西安高新某中入学) )如图用水平线和竖直线将平面分成了若干个面积为 I 的小正方形格子,小正方形的 顶点为格点, 以格点为顶点的多边形为格点多边形, 设格点多边形的面积为 S, 它各边上格点的个数和为 x。 多边形的序号 对变形的面积 S 2 2.5 3 多边形各边上 格点的个数和 x 4 5 6 (1)上图中的格点多边形,其内部都只有 1 个格点,它们的面积

25、 S 与各边上格点的个数和 x 的对应关系如上 表,请将表格的第四列填写完整,请用 x 表示 S,即 S=( )。 (2)进一步探索:请你在下面网格中画出三个不同格点多边形,使这些多边形内部都只有 2 个格点,在这种 情况下,用 x 表示 S,即 S=( )。 11.11.探索规律探索规律 毕业升学训练毕业升学训练 一、一、1.1.54321 654321 5888889 2.2.11 13 49 13 21 64 64.7 128.8 3. 3.42 4.4.128 5.5. 1 199 + 1 200 1 100 = 1 39800 6. 6.一 7.7.乙 24 23 8.8.47 9.

26、9.狗 10.10. 二、二、1 1.B 2.2.A 3.3.B 4.4.D 5.5.B 三、三、1.1.【解析】 2.2.【解析】 (1)4-2=2,7-4=3,11-7=4,发现差的规律,所以第 5 条是 11+5=16,第 6 条是 16+6=22。 (2)S=1+1+2+3+4+.+n=1+(1+n)n2 冲刺名校提升冲刺名校提升 一、一、1 1.101101+4101+3=102104 2 2.红 3 3.6 4.4.94 5.5.38 6.6.64 7 7.440 8 8.50 51 9.9.15 10.10.58 1111.4 12.12.420 45 14 二、二、1.1.(1)15 2n+1 (2)42 2 2.(1)42 30 (2)n(n+1) 4n+6 【解析】 黑:410+6=46( 块) 白:10(10+1) =110(块) 464+1103=514( 元) 3.3.【解析】表格由上到下填 4 和 8 (1)S= - 1 2 x, (2)画图略,满足题意即可,S=1 2x+1。