1、4. 4.数的整除数的整除 知识要点梳理知识要点梳理 一、整除意义 整数 a 除以整数 b(bO)，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说 a 能被 b 整除;或者说 b 能整除 a。 整除的条件: 1.1.除数、被除数都是整数。 2.2.被除数除以除数，商是整数而且余数为零。 二、因数和倍数 1.1.如果 ab=c(且 a、b、c 均为非 0 自然数)， 那么我们说。就是 a 与 b 的倍数，a 与 b 就是。的因数，因数和倍数是相互依存的。我们只在自然数(零除 外)范围内研究倍数和因数。 2.一个数因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身; 一个数倍数的个数是无限的，其
2、中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 3.3.求一个数因数的方法求一个数因数的方法: :利用积与因数的关系一对一对找，找出哪两个数的乘积等于这个数，那么这两个数 就是这个数的因数。如 16=116=28 =44，那么 16 的因数就有 1、2、4、8、16，计算时一定不要忘了 1 和这个数本身都是它的因数，注意按照一定的顺序以防遗漏。 4.4.求一个数倍数的方法求一个数倍数的方法: :这个数本身分别乘以 1、2、3、4、5(即正整数)得到的积就是这个数的倍数。 三、常见数的倍数的特征 2 的倍数的特征:数的个位是 0,2,4,6,8。 5 的倍数的特征:数的个位是 0,5。 3 的倍数的特征
3、:数的各个数位上数字的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 9 的倍数特征:数的各个数位上数字的和是 9 的倍数。 4 或 25 倍数的特征:数的末两位数是 4 或 25 的倍数。 8 或 125 的倍数特征:数的末三位数是 8 或 125 的倍数。 7、11、13 倍数特征:数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(大减小)是 7、11 或 13 的倍数。 11 倍数特征:如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差(大减小)能被 11 整除，那么它必能被 11 整除。 四、质数、合数、分解质因数 1.1.若一个数的因数只有 1 和它本身， 这个数就是质数， 也叫素数。 最小的
4、质数是 2， 也是质数中唯一的偶数。 2.2.若一个数的因数除了 1 和它本身外还有其他的因数，这个数就是合数。最小的合数是 4。 3.3.每个合数都可以写成几个素数相乘的形式， 其中每个质数都是这个合数的因数， 叫做这个合数的质因数。 4.4.把一个合数用质因数相乘的形式质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 5.5.分解质因数的方法:把一个合数分解质因数，通常运用短除法。短除法。 6.6.1 既不是质数也不是合数。 五、奇数和偶数 1.1.在自然数中，不是 2 的倍数的数叫奇数，奇数的个位数字一定是 1、3、5、7、9。 2.2.在自然数中，是 2 的倍数的数叫偶数，偶数个 位数字是
5、0,2,4,6,8 的数。0 是偶数。 3.3.相邻两个自然数之和为奇数，相邻自然数之积为偶数。 4.4.求奇、偶数的方法 偶数偶数=偶数 奇数奇数=偶数 奇数偶数=奇数 偶数偶数=偶数 奇数奇数=奇数 奇数偶数=偶数 六、最大公因数和最小公倍数 1.1.几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 （理解最大的（理解最大的 那个！那个！ ） 2.2.如果两个整数只有公因数 1，那么称这两个数互质。(a.互质是两个数之间，质数是指一个数，互质的两 个数的最大公因数就是 1。b.两个互质的数未必都是质数。c.两个不同的质数一定互质。) 3.3.两
6、个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数。 如果这两个数互素，那么它们的最大公因数就是 1。 4.4.几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 考点精讲分析考点精讲分析 典例精讲典例精讲 考点 1 1 整除的意义整除的意义 【例【例 1 1】在下面算式中，被除数能被除数整除的有( )。 A.265=5.2 B.357=5 C.0.90.3=3 D.227=3 【精析】【精析】A. 26=5=51，因为有余数 1，所以被除数不能被除数整除。B.357=5，被除数、除数、商 都是整数且余数为零，则被除数能被除数整除。C.0.90.3=
7、3， 被除数、除数都为小数，不符合整除的意义。D.227 =31，因为有余数 1，不符合整除的意义。 重点提示重点提示 整除与除尽的区别 除尽除尽 整数整数 2.65=5.2 357=5 0.90.3=3 【答案】【答案】B 【归纳总结】【归纳总结】整除特点:被除数和商都是整数，除数是非 0 自然数且余数为 0；除尽的特点:被除数、商和除 数(除数不为 0)既可以是整数也可以是有限小数，余数为 0。 考点 2 2 因数和倍数因数和倍数 【例【例 2 2】 18 的因数共有( )个。 【精析】【精析】 1118=18,1 和 18 是 18 的因数；29=18,2 和 9 是 18 的因数；36
8、=18,3 和 6 是 18 的因数；所 以 18 的所有因数是 1,2,3,6,9,18，共 6 个。 【答案】【答案】6 【归纳总结】【归纳总结】要求一个数的因数有几个，首先一一列出它所有的因数，然后数出它因数的个数。 【例【例 3 3】下列算式中被除数是除数倍数的是（ ） 。 A.120.3 B.1.20.3 C.123 D.3 5 3 5 【精析】【精析】A. 120.3 中 0.3 是小数不符合倍数的意义；B.1.20.3 中 1.2 和 0.3 都是小数不符合倍数的意 义；C.123 中 12 和 3 都是自然数，而且整除，即 12 是 3 的倍数。D. 3 5 3 5 中被除数和
9、除数都是分数，不符合倍数的意义。 【答案】C 【归纳总结】【归纳总结】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数。 考点 3 3 2，3，5 倍数特征倍数特征 【例【例 4 4】 73既是 2 的倍数，又是 5 的倍数，同时也是 3 的倍数，求这个四位数。 【精析】【精析】本题考查 2,3,5 的倍数的特征。一个数同时是 2,3,5 的倍数，这个数个位上的数字一定是 0，并且 各个数位上的数字之和是 3 的倍数，所以这个四位数百位上的数字是 2,5 和 8。 【答案】【答案】这个四位数是 7230 , 7530 和 7830。 【归纳总结】【归纳总结】明确 2、3、5
10、 的倍数特征：一个数个位上的数字是 0，且各个数位上的数字之和是 3 的倍数。 考点 4 4 最大公因数和最小公倍数最大公因数和最小公倍数 【例【例 5 5】将 A,B 分解质因数分别是:A =27ll,B=5711,A,B 的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 【精析】【精析】本题中，A 和 B 已被分解质因数，我们可以看出，A 和 B 的公有质因数是 7 和 11,所以它们的最大 公因数是 711=77。A 和 B 除了公质 因数 7 和 11，还分别独有质因数 2 和 5，所以它们的 最小公倍数是 7x11 x2x5=7700 【答案】【答案】77 770 【归纳总结】【归纳总结
11、】可以通过增加一部分或减少一部分的方法使得所求问题转化为已知数的最小公倍数。 考点 5 5 最大公因数的应用题最大公因数的应用题 【例【例 6 6】一个长方形，长 0.8 米，宽 60 厘米。现在把长方形分成若干个正方形，要使正方形的边长尽可能 长，并且长方形的长、宽没有剩余，可以分多少个正方形? 【精析】精析】要使正方形的边长尽可能地长，并且长方形的长、宽没有剩余，即求长和宽的最大公因数。 【答案】【答案】0.8 米=80 厘米 80=22225 60=2235 60 和 80 的最大公因数是 20, 所以正方形的边长为 20 厘米。 最多能分成(8020) (6020)=43=12(个)
12、答：可以分 12 个正方形。 【归纳总结】【归纳总结】根据最大公因数是两个数的共有质因数，用最大共因数求 “最长” ，长和宽除以最大公因数 的得数相乘。 名题精析名题精析 【例】【例】( (西安某工大附中分班西安某工大附中分班) )一箱玻璃弹子有若干颗(不多于 1000 颗)。如果按 2 颗一次，或 3 颗一次，或 4 颗一次，或 5 颗一次，或 6 颗一次取出时，最后箱子里总是还剩下一颗。如果按 7 颗一次取出时，箱子里 就一颗也不剩。问:箱子中原来最多有多少颗玻璃弹子?(这道题升级？：取这道题升级？：取 2 2 颗最后剩颗最后剩 1 1 颗，取三颗最后剩颗，取三颗最后剩 2 2 颗，取颗，
13、取 4 4 颗最后剩颗最后剩 3 3 颗，咋解？颗，咋解？) ) 【精析】本题考查公倍数和最小公倍数，求公倍数的方法。先求出 2、3、4 、5、6 的最小公倍数，然后根 据题意要求扩大，最后加 1，看是否是 7 的倍数。 【答案】2,3,4,5,6+1=60+1 =61， 61+604=301 是满足条件的最小数。 2,3,4,5,6,7= 420， 满足条件的最大数位 301 +420 =721。 答:箱子中原来最多有 721 颗玻璃弹子。 【归纳总结】【归纳总结】本题属于求公倍数和最小公倍数，解题的关键是掌握求公倍数的方法。注意数字之间的倍数 关系。 毕业升学训练毕业升学训练 一、填空题一
14、、填空题 1.1.在 20 以内的自然数中，既是奇数又是合数的数是( )。 2.2.一个数既是 25 的倍数，又是 25 的因数，这个数是( )。 3.3.分母为 91 的最简真分数有( )个。 4.4.如果 a 是偶数，那么与它相邻的两个偶数是( )和( )。 5.5.48 的因数有( )个。 6.6.一个三位数，同时是 5 和 7 的倍数，这个三位数最小是( )，最大是( )。 7.7.四位数， “3AA1”是 9 的倍数，那么 A=( )。 8.8.在 25A79 这个数的 A 处内填上一个数字，使这个数能被 11 整除，A 应填( )。 9.9.能同时被 2、3 、5 整除的最大三位数
15、是( )。 10.10.有 A,B,C,D 四个自然数，A 和 B 的最小公倍数是 36, C 和 D 的最小公倍数是 90, A, B, C, D 四个数的最 小公倍数是( )。 11.11.把长，宽，高分别是 150 厘米，90 厘米，60 厘米的长方体木料，锯成大小一样的正方体木块没有剩余， 最少可以锯成( )块。 12.12.( )与 60 的最大公因数是 12，最小公倍数是 120。 二、选择题二、选择题 1.1.13 的倍数是( )。 A.合数 B.质数 C.可能是合数，也可能是质数 2.2.甲数是乙数的倍数，丙数是乙数的因数，那么甲数是丙数的( )。 A.倍数 B.因数 C.无法
16、确定 3.3.如果用 a 表示非零自然数，那么偶数可以表示为( )。 A.a+2 B.2a C.a-1 D.2a-1 4.4.一个正方形的边长是一个质数，这个正方形的周长一定是( )。 A.合数 B.奇数 C.质数 5.5.相邻两个自然数的积一定是( )。 A.质数 B.合数 C.奇数 D.偶数 6.6.从 256 里至少减去( )，才能使得到的数同时是 2、3 和 5 的倍数。 A.6 B.16 C.26 D.36 7.7.自然数(0 除外)按因数的个数分，可以分为( )。 A.奇数和偶数 B.质数和合数 C.质数、合数和 1 8.8.a+3 的和是奇数，a 一定是( )。 A.质数 B.合
17、数 C.奇数 D.偶数 9.9.从 0、1、4、5 这四个数字中选择三个不同的数字，组成既是 3 的倍数，又是 2 的倍数的三位数，有( ) 种不同的组法。 A.2 B.4 C.3 D.5 三、解决问题三、解决问题 1.1.一个长方形周长是 16 米，它的长、宽的米数是两个质数，这个长方形面积是多少平方米? 2.2.两个两位自然数，它们的最大公因数是 8，最小公倍数是 96，这两数的和是多少? 3.3.已知某小学六年级学生超过 100 人，而不足 140 人。将他们按每组 12 人分组，多 3 人；按每组 8 人分， 也多 3 人。这个学校六年级学生有多少人? 4.4.有四个小朋友，他们的年龄
18、一个比一个大一岁，四个人的年龄的乘积是 360。他们中年龄最大是多少岁? 5.5.分一堆苹果，平均每份 3 个，剩下 1 个；平均每份 5 个，剩下 3 个;平均每份 7 个，剩下 5 个。这堆苹果 最少有多少个? 6.6.有 10 名同学参加数学竞赛，每张试卷上有 20 道题。评分方法是答对一题得 5 分，不答得 1 分，答错一 题倒扣 1 分。求这 10 名同学的总分是奇数还是偶数。 7.7.从甲地到乙地原来每隔 45 米要安装一根电线杆，加上两端的两根一共有 65 根电线杆，现在改成每隔 60 米安装一根电线杆，除两端两根不需移动外，中途还要有多少根不必移动? 冲刺名校提升冲刺名校提升
19、一、填空题一、填空题 1.(1.(临川某中入学临川某中入学) )如果 A =3B，那么 A 和 B 的最大公因数是( ),A 和 B 的最小公倍数是( )。 2.(2.(南昌某中学入学南昌某中学入学) )在 6、10、18、51 这四个数中，( )既是合数又是奇数，( )和( ) 互质。 3.(3.(成都某中学分班成都某中学分班) )A、B 两个数是互质数，它们的最大公因数是( )，最小公倍数( )。 4.(4.(西安某交大附中分班西安某交大附中分班) )把 A 分解质因数是 A=abc( ),A 的因数有( )个。 5.(5.(抚州某一中入学抚州某一中入学) )贝贝用一些长 6 厘米，宽 4
20、 厘米长方形纸板拼图形，至少( )张就能拼成一个正方 形。 6.(6.(成都高新某中入学成都高新某中入学) )A=2237,B=2227,A 和 B 的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 7.(7.(陕西某师大附中入学陕西某师大附中入学) )若 m-n =1(m,n 均为不等于 0 的自然数)，则 m,n 的最小公倍数是( )。 8.(8.(陕西某师大附中入学陕西某师大附中入学) )把自然数 a 和 b 分解质因数得到:a=257m,b=35m，如果 a 和 b 的最小公 倍数是 2310，那么 m=( )。 9.(9.(西安某工大附中西安某工大附中) )四名学生恰好一个比一个大一岁，年
21、龄的积为 5040，这四名同学的年龄从小到大的顺 序是( )( )( )( )。 10.(10.(临川某一中入学临川某一中入学) )边长为正整数，面积为 165 平方厘米的形状不同的长方形共( )种。 11.(11.(西安某工大附中分班西安某工大附中分班) )甲乙两数的最小公倍数是 78， 最大公因数是 13， 已知甲数是 26， 乙数是 （ ） 。 二、判断题二、判断题 1.(1.(南昌某中学入学南昌某中学入学) )含有约数 2 的自然数一定是偶数。( ) 2.(2.(成都某外国语学校入学成都某外国语学校入学) )一个数的最大约数就是它的最小倍数。( ) 三、解决问题三、解决问题 1.(1.
22、(西安某工大附中分班西安某工大附中分班) )有一水果店一天中共进了 6 筐水果， 分别装着香蕉和橘子， 质量分别为 8、 9、 16、 20、22、27 千克，当天只卖了 1 筐橘子，在剩下的水果中，香蕉质量是橘子质量的 2 倍。那么，当天共进 了几筐橘子? 2.(2.(西安某工大附中分班西安某工大附中分班) )小明用 216 元去买一种奥运纪念册，正好将钱用完，回家后，他想如果每本纪念 册能便宜 1 元，那么他就可以多买 3 本，钱也正好用完。那么，纪念册的单价是多少元? 3.(3.(江西某师大附中入学江西某师大附中入学) )在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过
23、 10 的自 然数。甲乙两名运动员各射了 5 箭，每人 5 箭得到的环数的乘积是 1764，但是甲的总环数比乙的少 4 环， 求甲乙的总环数。 4.4.数的整除数的整除 毕业升学训练毕业升学训练 一、一、1.1. 9 2.2.25 3 3.88 4 4.a-2 a+2 5.5.10 6 6.105 980 7.7.7 8 8.1 9.9.990 10.10.180 11.11.30 12.12.24 二、二、1.1.C 2.2.A 3.3.B 4.4.A 5 5.D 6 6.B 7.7.C 8.8.D 9 9.D 三、1.【解析】162=8( 米) 8=3+5 35=15(平方米) 答:这个长
24、方形面积是 15 平方米。 2.【解析】8=222 96=222223 因为这两个数最大公因数是 8,最小公倍数是 96, 所以这两个数只能是 22222=32 和 2223=24；这两个数的和是 32 +24=56。 答:这两数的和是 56。 3.【解析】12=223 8=222 12,8=24 则在 100 和 140 之间 24 的倍数是 120, 120+3=123(人) 答:这个学校六年级学生 123 人。 4.【解析】360=222335=3456 答:他们中年龄最大是 6 岁。 5.【解析】3,5,7 的最小公倍数是 105 这堆苹果是 105-2=103(个) 答:这堆苹果最少
25、有 103 个。 6.【解析】此题考查奇数和偶数。假设一个人 20 道题都答对了,则应得 5 20= 100( 分) 是偶数;；如 果有一道题不答,就失去 5-1=4(分)是偶数；如果有一道题答错,就失去 5 +1=6（分）是偶数。因此,答对、 答错或不答几道题,每个人的得分都是偶数。 答:这 10 名同学的总分是偶数。 7.【解析】45 (65-1)=2880( 米) 45,60 的最小公倍数是 180 2880180=16(根) 16-1=15(根) 答:除两端两根不需移动外,中途还要有 15 根不必移动。 冲刺名校提升冲刺名校提升 一、1.B A 2.51 10 51 3.1 AB 4.
26、a,b,c 均为质数 8 5.6 6.28 168 7.mn 8.11 9.7 8 10.4 11.39 二、1. 2. 三、1.【解析】 香蕉质量是橘子质量的 2 倍,2+1=3。 8+9+16+20+22+27=102(能被 3 整除) 所以:卖掉的只有 9,或 27 这两筐。 (102-9)3=31 千克,剩下的筐中找不到加起来和是 31 的筐。 (102-27) 3=25,25=9+16。 (102-27)3=25(千克) 由条件可知,94 克,164 克的是橘子,剩下的是香蕉,故当天共进了 3 筐橘子。 答: 卖掉的是 27 千克的那一筐。 2.【解析】216=222333=893
27、2169=24(本) 2168=27(本) 答:他所买的纪念册的单价是 9 元。 3. 【解析】 依题知,每射一箭的环数， 只能是下列 11 个数中的一个:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,而甲、 乙 5 箭 总环数的积 17640,这说明在甲、乙 5 箭得到 的环数里没有 0 和 10,而 1764 =1223377 是由 5 箭的环数乘出来的,于是推知每人有两箭中 的环数都是 7,从而可知另外 3 箭的环数是 5 个数:1,2,2,3,3 经过适当的分组之后相乘而得到的，可能的 情形有 5 种: (1)1,4,9； (2)1,6,6； (3)2,2,9； (4)2,3,6； (5)3,3,4. 因此,两人 5 箭的环数有 5 种可能: 6,6,0,3,9 和是 28； 6,6,0,5,6 和是 27； 6,6,1,1,9 和是 27； 6,6,1,2,6 和是 25； 6,6,2,2,4 和是 24. 因为,甲、乙的总环数相差 4,甲的总环数少,所以，甲的总环数是 24,乙的总环数是 28, 答: 甲的总环数是 24,乙的总环数是 28。