1、18.18.工程问题工程问题 知识要点梳理知识要点梳理 一、基本概念一、基本概念 1 1工程问题：工程问题：做某件事，制造某种产品， 完成某项任务或工程等，都叫做工程问题。 2 2工程问题的三个基本量是工作效率、工作时间和工作总量。 （1）工作效率：单位时间内完成的工作量，它是衡量一个人工作快慢的量。 （2）工作时间：完成工作总量所需的时间。 （3）工作总量：完成一项工作的总量。 一般都是把工作总量看做单位一般都是把工作总量看做单位“1 1”。 二、基本数量关系二、基本数量关系 1 1一般公式：一般公式： 工作总量工作效率工作时间 工作效率工作总量工作时间 工作时间工作总量工作效率 甲工效乙工
2、效甲乙合作工效之和 特别注意：工作量和工作效率都可以直接相加求和，但工作时间不能。 2 2巧解工程问题：巧解工程问题：一般不知道工作总量的时候，我们常常用假设法假设法求解。我们把工作总量假设为单 位“1”，这个巧解方法的公式有： （1）一般给出工作时间，工作效率 1 工作时间。 （2）一般给出工作效率1 ，就可以知道工作时间为 a。 三、基本三、基本方法方法 算术方法、比例方法、方程方法。 考点精讲分析考点精讲分析 典例精讲典例精讲 考点考点 1 1 简单的工程问题简单的工程问题 【例例 1 1】 一件工作，甲单独 10 天完成，乙单独 15 天完成，甲乙合做（ ）天完成。 【精析精析】 根据
3、题意，把这件工作总量看作单位“1”，甲的工作效率是 1 10，乙的工作效率是 1 15 ，甲、 乙的工作效率和是 1 10 + 1 15，再用工作总量除以工作效率和就等于合作的工作时间。 【答案答案】 把这件工作总量看作单位“1”， 1 ( 1 10 + 1 15) = 1 3+2 30 = 1 1 6 = 6（天） 【归纳总结归纳总结】 此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，要求甲乙合做需要 多少天可以完成，应求出甲乙工作效率和。 考点考点 2 2 合作工程问题合作工程问题（就是这个概念了）（就是这个概念了） 【例例 2 2】 一件工作，甲、乙合作需 4 小时完成，甲、
4、丙合作需 5 小时完成，乙、丙合作需 6 小时完成， 乙单独做这件工作需多少个小时完成？ 【精析精析】 首先把这件工作看作单位“1”，根据工作效率工作量工作时间，分别求出甲乙、甲丙、 乙丙的工作效率，再把它们求和，即可求出三人的工作效率之和的 2 倍，进而求出三人的工作效率之和是 多少；然后用三人的工作效率之和减去甲丙的工作效率，求出乙的工作效率；最后根据工作时间工作量 工作效率，用 1 除以乙的工作效率，求出乙单独做这件工作需多少个小时完成即可。 【答案答案】 (1 4 + 1 5 + 1 6) 2 1 5 = 37 60 2 1 5 = 37 120 1 5 = 13 120 1 13 1
5、20 = 9 3 13（小时） 答：乙单独做这件工作需9 3 13个小时完成。 【归纳总结归纳总结】 此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量工 作效率工作时间，工作效率工作量工作时间，工作时间工作量工作效率。 【例例 3 3】 一项工程，甲单独完成要 30 天，乙单独完成要 45 天，丙单独完成要 90 天。现由甲、乙、丙 三人合作完成此工程。在工作过程中甲休息了 2 天，乙休息了 3 天，丙没有休息，最后把这项工程完成了。 问这项工程前后一共用了多少天？ 【精析精析】 由题意可知，甲、乙、丙三人的工作效率分别为 1 30、 1 45、 1 90，设全部完成共
6、用 x 天，则甲工 作了 x2 天，乙工作了 x3 天，丙工作了 x 天，由此可得方程： 1 30 ( 2)+ 1 45 ( 3)+ 1 90 = 1， 解此方程即可。 【答案答案】 设全部完成共用 x 天， 1 30 ( 2) + 1 45 ( 3) + 1 90 = 1 1 30 1 15 + 1 45 1 15 + 1 90 = 1 1 15 = 17 15 x17 答：这项工程前后一共用了 17 天。 【归纳总结归纳总结】 通过设未知数，根据工作效率工作时间工作量列出等量关系式是完成本题的关键。 考点考点 3 3 工作总量为工作总量为“2 2”的工程问题的工程问题 【例例 4 4】 搬
7、运一个仓库的货物，甲需要 10 小时，乙需要 12 小时，丙需要 15 小时，有同样的仓库 A 和 B，甲在 A 仓库，乙在 B 仓库，同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后两个 仓库货物同时搬完。问丙帮助甲、乙各多少时间？ 【精析精析】 据题意可以看做三个人一共完成了两个仓库的任务，那么因为三人自始至终都在工 作，那 么用的时间是2 ( 1 10 + 1 12 + 1 15) = 8小时，在这个时间甲完成了一个仓库的 1 10 8 = 4 5，那么丙运了这个 仓库的1 4 5 = 1 5，丙帮助甲用了 1 5 1 15 = 3小时，则帮助乙的工作用了 835 小时。
8、【答案答案】 三人搬完仓库用时：2 ( 1 10 + 1 12 + 1 15) = 8（小时） 甲完成了一个仓库的： 1 10 8 = 4 5 则丙运了这个仓库的：1 4 5 = 1 5 丙用时1 5 1 15 = 3（小时） 丙帮助乙的工作用时：835（小时） 答：丙帮助甲工作了 3 小时，帮助乙工作了 5 小时。 【归纳总结归纳总结】 将两个仓库的任务看作是由三个人共同完成，然后求出完成任务的时间是解决本题的关 键。 考点考点 4 4 注水排水问题注水排水问题 【例例 5 5】 一水池装有一个进水管和一个排水管。如果单开进水管，5 小时可将空池灌满；如果单开排 水管，7 小时可将整池水排完
9、。现在先打开进水管，2 小时后打开排水管，请问：再过多长时间池内将恰好 存有半池水？ 【精析精析】 把池水总量看做整体“1”， 则注水速度为1 5， 排水速度为 1 7； 打开放水管2时后进水量为 1 5 2， 那么所求时间为(1 2 1 5 2) (1 5 1 7)，解决问题。 【答案答案】 (1 2 1 5 2) (1 5 1 7) = 1 10 2 35 = 1 10 35 2 = 1 3 4（小时） 答：再过1 3 4小时池内将积有半池水。 【归纳总结归纳总结】 把池水总量看做整体“1”，表示出注水速度和排水速度是解答的关键。 名题精析名题精析 【例例】 （西安某交大附中入学）（西安某
10、交大附中入学）现有甲乙两种净化水的设备，这两种设备净化水的量 m（吨）与工作 时间 t（时）之间的关系如图所示，现有 10 吨自来水需要在 6 小时内（包括 6 小时）全部净化。若先单独 使用乙净水设备一段时间，再加入甲净水设备一起进行净化，问甲净水设备最少工作多长时间可以完成净 化任务？ 【精析精析】 从图中可以看出，乙前两小时可净化水 3 吨。后面必须把各自的效率求出来，乙的效率是每 小时 0.5 吨水，甲的效率每小时 1 吨水。乙在 6 小时净化 5 吨，还有 5 吨需要甲净化，所以需要 1 小时。 【答案答案】 乙前 2 小时可净化水 3 吨，后面每小时净化（43）（42）0.5（吨）
11、 0.542（吨） 乙在 6 小时净化 325（吨） 甲净化设备最少需要（105）15（小时） 答：甲净水设备最少工作 5 小时可以完成净化任务。 【归纳总结归纳总结】 本题考查了工程问题结合 s-t 图，根据题意理解图中所给的条件很关键。 毕业升学训练毕业升学训练 一、选择题一、选择题 1 1 两个修路队 5 天合修 2500 米长的一段路， 乙队每天修 300 米， 甲队每天修多少米？正确列式是 （ ） 。 A25005300 B （2500300）5 C25003005 2 2修一条路，甲队 5 天修了这条路的1 3，乙队 1 3天修了这条路的 1 12， （ ）队修得快。 A甲队 B乙
12、队 C一样快 3 3一个水池装有甲、乙两个进水管，单开甲管1 2小时将空池注满，单开乙管 1 5小时将空池注满，两管同 时打开，几小时可以注满空池？ 正确列式是（ ） 。 A1.2（120） B1.2（120） C1（10.510.2） D1.2（120）1.2 4 4小明家 4 天用去一瓶油的1 4，照这样，这瓶油能用（ ）天。 A16 B 1 16 C1 5 5一项工作原来 10 小时才能完成，现在工作效率提高了 25，现在需要（ ）小时。 A7.5 B.8 C.12.5 二、填空题二、填空题 1 1一项工程，甲独做要 10 天，乙独做要 8 天，甲乙两队工作效率比是（ ） 。 2 2一项
13、工程，甲队单独做需要 6 天完成，乙队单独做需要 8 天完成，两队合做 1 天完成这 项工程的 （ ） 。 3 3一项工程，甲单独完成需要 8 天，乙单独完成需要 12 天，两人合做（ ）天完成。 4 4生产同一种零件，甲要1 6小时，乙要 1 7小时，丙要 12 分钟，甲乙丙三人中工作效率最高的是（ ） 。 5 5一项工程，甲单独做需 14 天完成，乙队单独做需 7 天完成，丙队单独做需要 6 天完成。现在乙、 丙两队合做 3 天后，剩下的由甲单独做，还要（ ）天才能完成任务。 三、解决问题三、解决问题 1 1甲乙两队合修一条公路，甲队单独修需要 10 天完成，乙队单独修需要 12 天完成。
14、如果两队合修， 几天能修完这条路的1 2? 2 2一项工程，甲、乙两人合做 8 天可完成。甲单独做需 12 天完成。现两人合做几天后，余下的工程 由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为 13，这个工程实际工期为多少天？ 3 3把一篇 1800 字的文章输入电脑，小李需要时间为 30 分，小王需要 45 分，现在是 16 时 10 分，如 果两人合作，能在 16 时 30 分下班完成吗？ 4 4一批布料，如全做衣服可做 20 件，如全做裤子可做 30 条，若做同样的衣服和裤子可做多少套？ 5 5一项工程甲队单独做要 20 小时完成，乙队单独做要 15 小时完成，丙队单独做要 12 小时完成。现
15、在三个队合做 3 小时后，剩下部分由乙、丙两队合做，还要几小时才能完成？ 6 6一项工程，甲队单独做 60 天完成，乙队单独做 48 天完成，丙队单独做 40 天完成。现在由甲、乙 两队合做 10 天，余下的由乙、丙两队合做，还需多少天才能完成？ 冲刺名校提升冲刺名校提升 一、选择题一、选择题 1 1王师傅加工一批零件，1 2小时加工了这批零件的 3 8，全部加工完还需要（ ）小时。 A.1 1 3 B. 3 10 C. 3 4 D. 5 6 2 2 （成都某中入学） （成都某中入学）一个空罐（如图）可盛 9 碗水或 8 杯水。如果将 3 碗水和 4 杯水倒入空罐中，水 面应到达位置（ ） 。
16、 AP B. Q C. R D. S 3 3 （南昌某中入学） （南昌某中入学） 一项工程， 甲单独做要 20 分钟， 乙单独做要 15 分钟， 甲的工作效率比乙低 （ ） 。 A33.3 B20 C25 4 4（临川某中入学）（临川某中入学） 如图是甲、 乙、 丙三个工人单独完成一项工程所需的天数， 工作效率最 高的是 （ ） 。 A.甲 B.乙 C.丙 5 5 （南昌某中入学） （南昌某中入学）服装加工厂加工 1500 套校服，5 天加工了这批校服的2 5，离交货日期只有一周了， 照这样的速度（ ）完成任务。 A能 B不能 C无法确定能否 二、填空题二、填空题 1 1打一份稿件，甲打字员单
17、独打要 10 天，乙打字员单独打要 12 天。甲打字员打 1 天，完成这份稿件 的 （ ） ； 甲、 乙两人合打 1 天， 完成这份稿件的 （ ） ； 甲打字员打 3 天的任务， 乙打字员要打 （ ） 天。 2 2甲、乙合做一项工程要 6 天完成，甲、乙的效率比为 21，甲独做（ ）天完成。 3 3 （西安某交大附中分班） （西安某交大附中分班）母亲节前夕，双胞胎一茹、一诺姐妹俩用红纸折叠桃心送给母亲，一茹单 独折完需要 10 个小时，一诺每小时折 24 个，她们合作 6 小时完成任务，则她们共折了（ ）个桃心。 4 4 （西安某铁一中分班） （西安某铁一中分班）六年级 1 班准备召开毕业联欢
18、会，小军和小强负责布置教室。若两人一起挂 彩条，8 分钟可以挂完；小军单独完成，则需 12 分钟。若两人一起摆桌椅，15 分钟可以摆完；小强单独完 成，则需 20 分钟完成。两人共同完成这两项工作，最短需要（ ）分钟。 5 5 （南昌某中入学） （南昌某中入学）加工一批零件，如果甲乙合作需 12 天完成，现在先由乙加工 3 天，接着再由甲加 工 2 天后，还剩总数的4 5没有完成。已知乙比甲每天少加工 4 个零件，这批零件有（ ）个。 三、解决问题三、解决问题 1 1 （西安某交大附中入学） （西安某交大附中入学）加工一批零件，甲单独做 30 天完成，乙单独做每天完成这批零件的 1 24，现
19、在两人合作，甲中途休息了 2 天，乙也休息了若干天，这样用了 17 天才完成任务，求乙休息了几天？ 2 2 （成都树德中学入学） （成都树德中学入学）甲、乙、丙三个工程队单独完成某项工程的天数和工资如下表。 工程队 单独完成工程用的 天数 每日总工资/万元 甲 10 18 乙 15 12 丙 20 8 若从中选择两个工程队合作，尽快完成工程，应选择哪两个工程队？多少天可以完工？完工后这两队 各得多少工资？ 3 3 （西安某中入学） （西安某中入学） 三人合做一批零件。 已知甲做了 45 个， 是乙丙之和的5 9， 乙和丙的工作效率比是 1 2，乙丙各做了多少个？ 4 4 （成都某中入学） （成
20、都某中入学）一项工程，甲独做 10 天完成，乙独做 12 天完成，现两人合做，完成后共得工资 2200 元，如果按完成工程量分配工资，甲、乙各分得多少元？ 5（成都某七中入学）（成都某七中入学）甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做， 恰好整数天做完；若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比原计划多用半天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去 做，则也比原计划多用半天，已知甲单独做完这件工作要 10 天，且三个人的工作效率各不相同，那么这项 工作由甲、乙、丙三人一起做，要用多少天才能完成？ 18. 工程问题 毕业升学训练 一、1. A 2. B 3. C 4. A 5. B 二、1
21、. 4:5 2. 7/24 3. 4.8 4. 乙 5. 1 三、1. 【解析】1/2（1/10+1/12） =1/211/60 =2 8/11（天） 答：如果两队合修，2 8/11 天能修完这条路的 1/2 。 2.【解析】1/8-1/2=1/24 设两人合作 x 天，那么乙单独做 3x 天，由此可得方程： 1/8x+1/243x=1 1/8x+1/8x=1 1/4x=1 4+43 =4+12 =16（天） 答：这个工程实际工期为 16 天。 3.【解析】1800（180030+180045） 1800100 18（分钟） 从 16 时 10 分到 16 时 30 分共有 20 分钟； 18
22、 分钟20 分钟；所以能完成。 答：如果两人合作，能在 16 时 30 分下班时完成。 4.【解析】1（1/20+1/30） 1（3/60+2/60） 15/60 =12（套） 答：若做同样的衣服和裤子可做 12 套。 5.【解析】设还要 x 小时完成 （1/20+1/15+1/12）3+（1/15+1/12）x=1 解得 x=8/3 答：还需 8/3 小时才能做完。 6.【解析】1-（1/60+1/48）101/48+1/40=13 7/11（天） 答：还需要 13 7/11 天才能完成。 冲刺名校提升冲刺名校提升 一、1. D 2. A 3. C 4. A 5. B 二、1. 1/10 1
23、1/60 3 3/5 2. 9 3. 360 4. 18 5. 240 三、1.【解析】1/30（17-2） =1/3015 =1/2 （1-1/2）1/24 =1/224 =12（天） 17-12=5（天） 答：乙休息了 5 天。 2.【解析】因为，1/101/151/20，所以选甲乙两队合做。 1（1/10+1/15） =11/6 6（天） 186=108（万元） 126=72（万元） 答：应选甲乙两队合做，6 天可以完工，完工后甲队可得工资 108 万元，乙队可得工资 72 万元。 3.【解析】因为乙和丙的工作效率比是 1:2，他们的工作时间一定， 所以乙和丙做的零件的个数比是 1:2，
24、 乙做的零件的个数是： 455/91/1+2 =811/3 =27（个） 丙做的零件的个数是： 455/9-27 =81-27 =54（个） 答：乙做了 27 个，丙做了 54 个。 4.【解析】甲、乙效率比为 1/10:1/12=6:5 甲：22006/6+5=1200（元） 乙：22005/6+5=1000（元） 答：甲、乙各分得 1200 元、1000 元。 5.【解析】甲乙丙整体完成 乙丙甲多 1/2 天。丙甲乙多 1/2 （1）若中是丙最后完成，最后一次完整循环，三种情况结果一样，矛盾（舍） 。 （2）若中是甲最后完成，则中丙最后完成，花 1/2 天，中甲最后完成 1/3 天。 设丙
25、一天能完成工作的 x，则由=（最后一次循环工作量相等） 1/13=x+1/131/3x=2/39 设乙一天能完成工作的 y，则由=：y+x/2=113y=2/39 所以一次循环能完成工作的7/39， 由此可知能进行 5次循环， 剩余 4/39 与甲最后完成 1/3 矛盾 （舍） （3）若（1）中乙是最后完成，设丙一天能完成工作的 x。乙一天能完成工作的 y，则 由=：1/13+y=y+x+1/131/2=x+1/13+1/3y x=1/26，y=3/52 所以一次循环能完成 9/52，由此可知能进行 5 次循环，剩余 7/52=1/13+3/52,符合 所以甲、乙、丙三人一起做这项工作，需要 52/9 天。