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小升初数学《工程问题》知识要点梳理+考点精讲分析(含答案)

1、18.18.工程问题工程问题 知识要点梳理知识要点梳理 一、基本概念一、基本概念 1 1工程问题:工程问题:做某件事,制造某种产品, 完成某项任务或工程等,都叫做工程问题。 2 2工程问题的三个基本量是工作效率、工作时间和工作总量。 (1)工作效率:单位时间内完成的工作量,它是衡量一个人工作快慢的量。 (2)工作时间:完成工作总量所需的时间。 (3)工作总量:完成一项工作的总量。 一般都是把工作总量看做单位一般都是把工作总量看做单位“1 1”。 二、基本数量关系二、基本数量关系 1 1一般公式:一般公式: 工作总量工作效率工作时间 工作效率工作总量工作时间 工作时间工作总量工作效率 甲工效乙工

2、效甲乙合作工效之和 特别注意:工作量和工作效率都可以直接相加求和,但工作时间不能。 2 2巧解工程问题:巧解工程问题:一般不知道工作总量的时候,我们常常用假设法假设法求解。我们把工作总量假设为单 位“1”,这个巧解方法的公式有: (1)一般给出工作时间,工作效率 1 工作时间。 (2)一般给出工作效率1 ,就可以知道工作时间为 a。 三、基本三、基本方法方法 算术方法、比例方法、方程方法。 考点精讲分析考点精讲分析 典例精讲典例精讲 考点考点 1 1 简单的工程问题简单的工程问题 【例例 1 1】 一件工作,甲单独 10 天完成,乙单独 15 天完成,甲乙合做( )天完成。 【精析精析】 根据

3、题意,把这件工作总量看作单位“1”,甲的工作效率是 1 10,乙的工作效率是 1 15 ,甲、 乙的工作效率和是 1 10 + 1 15,再用工作总量除以工作效率和就等于合作的工作时间。 【答案答案】 把这件工作总量看作单位“1”, 1 ( 1 10 + 1 15) = 1 3+2 30 = 1 1 6 = 6(天) 【归纳总结归纳总结】 此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系,要求甲乙合做需要 多少天可以完成,应求出甲乙工作效率和。 考点考点 2 2 合作工程问题合作工程问题(就是这个概念了)(就是这个概念了) 【例例 2 2】 一件工作,甲、乙合作需 4 小时完成,甲、

4、丙合作需 5 小时完成,乙、丙合作需 6 小时完成, 乙单独做这件工作需多少个小时完成? 【精析精析】 首先把这件工作看作单位“1”,根据工作效率工作量工作时间,分别求出甲乙、甲丙、 乙丙的工作效率,再把它们求和,即可求出三人的工作效率之和的 2 倍,进而求出三人的工作效率之和是 多少;然后用三人的工作效率之和减去甲丙的工作效率,求出乙的工作效率;最后根据工作时间工作量 工作效率,用 1 除以乙的工作效率,求出乙单独做这件工作需多少个小时完成即可。 【答案答案】 (1 4 + 1 5 + 1 6) 2 1 5 = 37 60 2 1 5 = 37 120 1 5 = 13 120 1 13 1

5、20 = 9 3 13(小时) 答:乙单独做这件工作需9 3 13个小时完成。 【归纳总结归纳总结】 此题主要考查了工程问题的应用,对此类问题要注意把握住基本关系,即:工作量工 作效率工作时间,工作效率工作量工作时间,工作时间工作量工作效率。 【例例 3 3】 一项工程,甲单独完成要 30 天,乙单独完成要 45 天,丙单独完成要 90 天。现由甲、乙、丙 三人合作完成此工程。在工作过程中甲休息了 2 天,乙休息了 3 天,丙没有休息,最后把这项工程完成了。 问这项工程前后一共用了多少天? 【精析精析】 由题意可知,甲、乙、丙三人的工作效率分别为 1 30、 1 45、 1 90,设全部完成共

6、用 x 天,则甲工 作了 x2 天,乙工作了 x3 天,丙工作了 x 天,由此可得方程: 1 30 ( 2)+ 1 45 ( 3)+ 1 90 = 1, 解此方程即可。 【答案答案】 设全部完成共用 x 天, 1 30 ( 2) + 1 45 ( 3) + 1 90 = 1 1 30 1 15 + 1 45 1 15 + 1 90 = 1 1 15 = 17 15 x17 答:这项工程前后一共用了 17 天。 【归纳总结归纳总结】 通过设未知数,根据工作效率工作时间工作量列出等量关系式是完成本题的关键。 考点考点 3 3 工作总量为工作总量为“2 2”的工程问题的工程问题 【例例 4 4】 搬

7、运一个仓库的货物,甲需要 10 小时,乙需要 12 小时,丙需要 15 小时,有同样的仓库 A 和 B,甲在 A 仓库,乙在 B 仓库,同时开始搬运货物,丙开始帮助甲搬运,中途又转向帮助乙搬运,最后两个 仓库货物同时搬完。问丙帮助甲、乙各多少时间? 【精析精析】 据题意可以看做三个人一共完成了两个仓库的任务,那么因为三人自始至终都在工 作,那 么用的时间是2 ( 1 10 + 1 12 + 1 15) = 8小时,在这个时间甲完成了一个仓库的 1 10 8 = 4 5,那么丙运了这个 仓库的1 4 5 = 1 5,丙帮助甲用了 1 5 1 15 = 3小时,则帮助乙的工作用了 835 小时。

8、【答案答案】 三人搬完仓库用时:2 ( 1 10 + 1 12 + 1 15) = 8(小时) 甲完成了一个仓库的: 1 10 8 = 4 5 则丙运了这个仓库的:1 4 5 = 1 5 丙用时1 5 1 15 = 3(小时) 丙帮助乙的工作用时:835(小时) 答:丙帮助甲工作了 3 小时,帮助乙工作了 5 小时。 【归纳总结归纳总结】 将两个仓库的任务看作是由三个人共同完成,然后求出完成任务的时间是解决本题的关 键。 考点考点 4 4 注水排水问题注水排水问题 【例例 5 5】 一水池装有一个进水管和一个排水管。如果单开进水管,5 小时可将空池灌满;如果单开排 水管,7 小时可将整池水排完

9、。现在先打开进水管,2 小时后打开排水管,请问:再过多长时间池内将恰好 存有半池水? 【精析精析】 把池水总量看做整体“1”, 则注水速度为1 5, 排水速度为 1 7; 打开放水管2时后进水量为 1 5 2, 那么所求时间为(1 2 1 5 2) (1 5 1 7),解决问题。 【答案答案】 (1 2 1 5 2) (1 5 1 7) = 1 10 2 35 = 1 10 35 2 = 1 3 4(小时) 答:再过1 3 4小时池内将积有半池水。 【归纳总结归纳总结】 把池水总量看做整体“1”,表示出注水速度和排水速度是解答的关键。 名题精析名题精析 【例例】 (西安某交大附中入学)(西安某

10、交大附中入学)现有甲乙两种净化水的设备,这两种设备净化水的量 m(吨)与工作 时间 t(时)之间的关系如图所示,现有 10 吨自来水需要在 6 小时内(包括 6 小时)全部净化。若先单独 使用乙净水设备一段时间,再加入甲净水设备一起进行净化,问甲净水设备最少工作多长时间可以完成净 化任务? 【精析精析】 从图中可以看出,乙前两小时可净化水 3 吨。后面必须把各自的效率求出来,乙的效率是每 小时 0.5 吨水,甲的效率每小时 1 吨水。乙在 6 小时净化 5 吨,还有 5 吨需要甲净化,所以需要 1 小时。 【答案答案】 乙前 2 小时可净化水 3 吨,后面每小时净化(43)(42)0.5(吨)

11、 0.542(吨) 乙在 6 小时净化 325(吨) 甲净化设备最少需要(105)15(小时) 答:甲净水设备最少工作 5 小时可以完成净化任务。 【归纳总结归纳总结】 本题考查了工程问题结合 s-t 图,根据题意理解图中所给的条件很关键。 毕业升学训练毕业升学训练 一、选择题一、选择题 1 1 两个修路队 5 天合修 2500 米长的一段路, 乙队每天修 300 米, 甲队每天修多少米?正确列式是 ( ) 。 A25005300 B (2500300)5 C25003005 2 2修一条路,甲队 5 天修了这条路的1 3,乙队 1 3天修了这条路的 1 12, ( )队修得快。 A甲队 B乙

12、队 C一样快 3 3一个水池装有甲、乙两个进水管,单开甲管1 2小时将空池注满,单开乙管 1 5小时将空池注满,两管同 时打开,几小时可以注满空池? 正确列式是( ) 。 A1.2(120) B1.2(120) C1(10.510.2) D1.2(120)1.2 4 4小明家 4 天用去一瓶油的1 4,照这样,这瓶油能用( )天。 A16 B 1 16 C1 5 5一项工作原来 10 小时才能完成,现在工作效率提高了 25,现在需要( )小时。 A7.5 B.8 C.12.5 二、填空题二、填空题 1 1一项工程,甲独做要 10 天,乙独做要 8 天,甲乙两队工作效率比是( ) 。 2 2一项

13、工程,甲队单独做需要 6 天完成,乙队单独做需要 8 天完成,两队合做 1 天完成这 项工程的 ( ) 。 3 3一项工程,甲单独完成需要 8 天,乙单独完成需要 12 天,两人合做( )天完成。 4 4生产同一种零件,甲要1 6小时,乙要 1 7小时,丙要 12 分钟,甲乙丙三人中工作效率最高的是( ) 。 5 5一项工程,甲单独做需 14 天完成,乙队单独做需 7 天完成,丙队单独做需要 6 天完成。现在乙、 丙两队合做 3 天后,剩下的由甲单独做,还要( )天才能完成任务。 三、解决问题三、解决问题 1 1甲乙两队合修一条公路,甲队单独修需要 10 天完成,乙队单独修需要 12 天完成。

14、如果两队合修, 几天能修完这条路的1 2? 2 2一项工程,甲、乙两人合做 8 天可完成。甲单独做需 12 天完成。现两人合做几天后,余下的工程 由乙独自完成,使乙前后两段所用时间比为 13,这个工程实际工期为多少天? 3 3把一篇 1800 字的文章输入电脑,小李需要时间为 30 分,小王需要 45 分,现在是 16 时 10 分,如 果两人合作,能在 16 时 30 分下班完成吗? 4 4一批布料,如全做衣服可做 20 件,如全做裤子可做 30 条,若做同样的衣服和裤子可做多少套? 5 5一项工程甲队单独做要 20 小时完成,乙队单独做要 15 小时完成,丙队单独做要 12 小时完成。现

15、在三个队合做 3 小时后,剩下部分由乙、丙两队合做,还要几小时才能完成? 6 6一项工程,甲队单独做 60 天完成,乙队单独做 48 天完成,丙队单独做 40 天完成。现在由甲、乙 两队合做 10 天,余下的由乙、丙两队合做,还需多少天才能完成? 冲刺名校提升冲刺名校提升 一、选择题一、选择题 1 1王师傅加工一批零件,1 2小时加工了这批零件的 3 8,全部加工完还需要( )小时。 A.1 1 3 B. 3 10 C. 3 4 D. 5 6 2 2 (成都某中入学) (成都某中入学)一个空罐(如图)可盛 9 碗水或 8 杯水。如果将 3 碗水和 4 杯水倒入空罐中,水 面应到达位置( ) 。

16、 AP B. Q C. R D. S 3 3 (南昌某中入学) (南昌某中入学) 一项工程, 甲单独做要 20 分钟, 乙单独做要 15 分钟, 甲的工作效率比乙低 ( ) 。 A33.3 B20 C25 4 4(临川某中入学)(临川某中入学) 如图是甲、 乙、 丙三个工人单独完成一项工程所需的天数, 工作效率最 高的是 ( ) 。 A.甲 B.乙 C.丙 5 5 (南昌某中入学) (南昌某中入学)服装加工厂加工 1500 套校服,5 天加工了这批校服的2 5,离交货日期只有一周了, 照这样的速度( )完成任务。 A能 B不能 C无法确定能否 二、填空题二、填空题 1 1打一份稿件,甲打字员单

17、独打要 10 天,乙打字员单独打要 12 天。甲打字员打 1 天,完成这份稿件 的 ( ) ; 甲、 乙两人合打 1 天, 完成这份稿件的 ( ) ; 甲打字员打 3 天的任务, 乙打字员要打 ( ) 天。 2 2甲、乙合做一项工程要 6 天完成,甲、乙的效率比为 21,甲独做( )天完成。 3 3 (西安某交大附中分班) (西安某交大附中分班)母亲节前夕,双胞胎一茹、一诺姐妹俩用红纸折叠桃心送给母亲,一茹单 独折完需要 10 个小时,一诺每小时折 24 个,她们合作 6 小时完成任务,则她们共折了( )个桃心。 4 4 (西安某铁一中分班) (西安某铁一中分班)六年级 1 班准备召开毕业联欢

18、会,小军和小强负责布置教室。若两人一起挂 彩条,8 分钟可以挂完;小军单独完成,则需 12 分钟。若两人一起摆桌椅,15 分钟可以摆完;小强单独完 成,则需 20 分钟完成。两人共同完成这两项工作,最短需要( )分钟。 5 5 (南昌某中入学) (南昌某中入学)加工一批零件,如果甲乙合作需 12 天完成,现在先由乙加工 3 天,接着再由甲加 工 2 天后,还剩总数的4 5没有完成。已知乙比甲每天少加工 4 个零件,这批零件有( )个。 三、解决问题三、解决问题 1 1 (西安某交大附中入学) (西安某交大附中入学)加工一批零件,甲单独做 30 天完成,乙单独做每天完成这批零件的 1 24,现

19、在两人合作,甲中途休息了 2 天,乙也休息了若干天,这样用了 17 天才完成任务,求乙休息了几天? 2 2 (成都树德中学入学) (成都树德中学入学)甲、乙、丙三个工程队单独完成某项工程的天数和工资如下表。 工程队 单独完成工程用的 天数 每日总工资/万元 甲 10 18 乙 15 12 丙 20 8 若从中选择两个工程队合作,尽快完成工程,应选择哪两个工程队?多少天可以完工?完工后这两队 各得多少工资? 3 3 (西安某中入学) (西安某中入学) 三人合做一批零件。 已知甲做了 45 个, 是乙丙之和的5 9, 乙和丙的工作效率比是 1 2,乙丙各做了多少个? 4 4 (成都某中入学) (成

20、都某中入学)一项工程,甲独做 10 天完成,乙独做 12 天完成,现两人合做,完成后共得工资 2200 元,如果按完成工程量分配工资,甲、乙各分得多少元? 5(成都某七中入学)(成都某七中入学)甲、乙、丙三人做一件工作,原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做, 恰好整数天做完;若按乙、丙、甲的顺序轮流去做,则比原计划多用半天;若按丙、甲、乙的顺序轮流去 做,则也比原计划多用半天,已知甲单独做完这件工作要 10 天,且三个人的工作效率各不相同,那么这项 工作由甲、乙、丙三人一起做,要用多少天才能完成? 18. 工程问题 毕业升学训练 一、1. A 2. B 3. C 4. A 5. B 二、1

21、. 4:5 2. 7/24 3. 4.8 4. 乙 5. 1 三、1. 【解析】1/2(1/10+1/12) =1/211/60 =2 8/11(天) 答:如果两队合修,2 8/11 天能修完这条路的 1/2 。 2.【解析】1/8-1/2=1/24 设两人合作 x 天,那么乙单独做 3x 天,由此可得方程: 1/8x+1/243x=1 1/8x+1/8x=1 1/4x=1 4+43 =4+12 =16(天) 答:这个工程实际工期为 16 天。 3.【解析】1800(180030+180045) 1800100 18(分钟) 从 16 时 10 分到 16 时 30 分共有 20 分钟; 18

22、 分钟20 分钟;所以能完成。 答:如果两人合作,能在 16 时 30 分下班时完成。 4.【解析】1(1/20+1/30) 1(3/60+2/60) 15/60 =12(套) 答:若做同样的衣服和裤子可做 12 套。 5.【解析】设还要 x 小时完成 (1/20+1/15+1/12)3+(1/15+1/12)x=1 解得 x=8/3 答:还需 8/3 小时才能做完。 6.【解析】1-(1/60+1/48)101/48+1/40=13 7/11(天) 答:还需要 13 7/11 天才能完成。 冲刺名校提升冲刺名校提升 一、1. D 2. A 3. C 4. A 5. B 二、1. 1/10 1

23、1/60 3 3/5 2. 9 3. 360 4. 18 5. 240 三、1.【解析】1/30(17-2) =1/3015 =1/2 (1-1/2)1/24 =1/224 =12(天) 17-12=5(天) 答:乙休息了 5 天。 2.【解析】因为,1/101/151/20,所以选甲乙两队合做。 1(1/10+1/15) =11/6 6(天) 186=108(万元) 126=72(万元) 答:应选甲乙两队合做,6 天可以完工,完工后甲队可得工资 108 万元,乙队可得工资 72 万元。 3.【解析】因为乙和丙的工作效率比是 1:2,他们的工作时间一定, 所以乙和丙做的零件的个数比是 1:2,

24、 乙做的零件的个数是: 455/91/1+2 =811/3 =27(个) 丙做的零件的个数是: 455/9-27 =81-27 =54(个) 答:乙做了 27 个,丙做了 54 个。 4.【解析】甲、乙效率比为 1/10:1/12=6:5 甲:22006/6+5=1200(元) 乙:22005/6+5=1000(元) 答:甲、乙各分得 1200 元、1000 元。 5.【解析】甲乙丙整体完成 乙丙甲多 1/2 天。丙甲乙多 1/2 (1)若中是丙最后完成,最后一次完整循环,三种情况结果一样,矛盾(舍) 。 (2)若中是甲最后完成,则中丙最后完成,花 1/2 天,中甲最后完成 1/3 天。 设丙

25、一天能完成工作的 x,则由=(最后一次循环工作量相等) 1/13=x+1/131/3x=2/39 设乙一天能完成工作的 y,则由=:y+x/2=113y=2/39 所以一次循环能完成工作的7/39, 由此可知能进行 5次循环, 剩余 4/39 与甲最后完成 1/3 矛盾 (舍) (3)若(1)中乙是最后完成,设丙一天能完成工作的 x。乙一天能完成工作的 y,则 由=:1/13+y=y+x+1/131/2=x+1/13+1/3y x=1/26,y=3/52 所以一次循环能完成 9/52,由此可知能进行 5 次循环,剩余 7/52=1/13+3/52,符合 所以甲、乙、丙三人一起做这项工作,需要 52/9 天。