1、6.6.混合运算和简便运算混合运算和简便运算 知识要点梳理知识要点梳理 一、四则混合运算的顺序 同级运算(只含有加减，或只含有乘除)，从左到右依次计算；含有两级的运算，先算二级(乘除)，后算一 级(加减)；算式里有括号的，要先算小括号里面的，再算中括号，最后算中括号外面的。 二、四则混合运算定律 1.1.加法交换律加法交换律: :a+b=b+a，即交换两个加数的位置，和不变。 2.2.加法结合律加法结合律: :(a+b)+c=a+(b+c)，即先把前两个数相加或者 先把后两个数相加和不变。 3.3.乘法交换律乘法交换律: :ab=ba，即交换两个因数的位置，积不变。 4.4.乘法结合律乘法结合
2、律: :(ab)c=a(bc)，即前两个数先乘，或后两个数先乘积不变。 5.5.乘法分配律乘法分配律: :(ab)c=acbc，即两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再 相加。逆运算:abac=a(bc)。 6.6.减法性质减法性质: :a-b-c=a-(b+c)，即一个数连续减去两个数可用这个数减去这两个数的和。一个数连续减去两个数可用这个数减去这两个数的和。 7.7.除法性质除法性质: :abc=a(bc)，即一个数连续除以两个数，可以用这个数除以这两个除数的积。 三、分数运算几种常用的间算方法 1.1.裂项公式裂项公式: :这是对分配律的逆向运用，常用的方法是分数拆项，
3、主要有以下几种形式: (1)分子、分母分别为两个相邻自然数的和与积时两个相邻自然数的和与积时：n:(n:1) n(n:1) = 1 n + 1 n:1 (2)分母为两个相邻自然数的积时: 1 n(n:1) = 1 n 1 n:1 (3)分母是差为 a（a0）的两个自然数的积时： 1 n(n:a) = (1 n 1 n:1) 1 a（给小六名校的人讲） （给小六名校的人讲） 2.2.数字变形法数字变形法: :这是一种从数字特点出发， 创新变形， 巧妙地运用运算性质， 根据规律达到简算目的的方法， 如: 1997 1998较接近 1，可将其转化为1 1 1998，然后根据情况运用适当的方法。 考点
4、精讲分析考点精讲分析 典例精讲典例精讲 考点 1 1 四则混合运算顺序的运用四则混合运算顺序的运用 【例【例 1 1】计算：2 2 3 *(2 1 6 1.6 1.25) 1 3 5+ 【精析】【精析】本题含有小括号中括号，按照运算顺序，先算小括号里面的乘法后算减法，再算中括号，最后算 中括号外面的除法。此外要掌握小数分数的互化。 【答案】2 2 3 *(2 1 6 1.6 1.25) 1 3 5+ = 2 2 3 *(2 1 6 2) 1 3 5+ = 2 2 3 *1 6 8 5+ = 8 3 15 4 = 10 【归纳总结】【归纳总结】掌握有括号的混合运算顺序是解题的关键，其次要会小数与
5、分数的互化。 考点 2 2 应用加法运算律的简便运算应用加法运算律的简便运算 【例【例 2 2】计算:4.75-9.63+(8.25-1.37) 【精析】【精析】先去掉小括号，使 4.75 和 8.25 相加凑整，再运用减法的性质:a-b-c=a-(b+c), 使运算过程简便。 【答案】【答案】原式=4.75+8.25-9.63-1.37 =13-(9.63+1.37) =13-11 =2 【归纳总结】【归纳总结】熟练掌握去括号和减法的性质是解本题的关键。 考点 3 3 应用乘法运算律的简便运算应用乘法运算律的简便运算 【例 3】计算：333387 1 2 79 + 790 66661 1 4
6、（好题） （好题） 【精析】可把分数化成小数后，利用积的变化规律和乘法分配律使计算简便。 【答案】原式=333387.579+79066661.25 =33338.75790+79066661.25 =(33338.75+66661.25)790 =100000790 =79000000 【归纳总结】【归纳总结】做此类题，先把分数化成小数后，利用积的变化规律和乘法分配律使计算简便。 考点 4 4 拆分法计算分数运算拆分法计算分数运算 【例【例 4 4】计算:99 + 97 1 6 + 95 1 12 + 93 1 20 + 91 1 30 + 89 1 42 + 87 1 56 + 85 1
7、72 + 83 1 90 + 81 1 110 【精析】【精析】 本题属于典型的带分数计算， 一般分成分数加整数， 整数部分 99+97+95+利用等差数列求和公式， 分数部分是典型的裂项公式的应用，分项计算再合并即可。 【答案】(99 + 97 + 95 + +85 + 83 + 81) + (1 6 + 1 12 + 1 20 + 1 30 + + 1 90 + 1 110) = (99 + 81) 10 2 + (1 2 1 3 + 1 3 1 3 + 1 4 1 4 + + 1 5 1 9 + 1 10 1 11) = 900+ (1 2 1 11) = 900 9 22 【归纳总结】
8、根据各项的特点，把分数拆开，把通项公式写成前后能消去的形式，消去中间部分。 考点 5 混合简便运算 【例 5】计算： （1）2356 2356 2356 2357 （2） 1 22 + 1 42;1 + 1 62;1 + + 1 1002;1（这类型也不错） （这类型也不错） （3）(1 + 1 2 + 1 3 + 1 4) ( 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5) (1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5) ( 1 2 + 1 3 + 1 4) 【精析】(1)此题构思巧妙，新颖别致。要仔细观察，抓住特点，巧妙解答，若按常规算法太复杂，这里面 把除数化为假分数时，分子不必算
9、出来，其分子部分 23562357+2356=23562358，其中 2356 可与被除数 中的 2356 约分。 (2)本题难点忽略 1 2=1，将其中一项利用平方差公式展开再利用裂项公式：1 n(n:a) = (1 n 1 n:1) 1 a得： 1 22;1 = 1 (2;1)(2:1) = 1 13 = (1 1 2) 1 2以此类推本题就解出来了。 (3)这道题算式都较长，要进行简算，就得整体观察，寻找规律，合理分组变换。数字可分为四个数群，将 每一数群中相同的几个数可用一个字母来表示，使算式相同。 【答案】 （1）2356 2356 2356 2357 = 2356 23562357
10、:2356 2357 = 2356 2357 23562357:2356 = 2356 2357 2356(2357:1) = 2357 2358 （2） 1 22 + 1 42;1 + 1 62;1 + + 1 1002;1 = 1 (2 1) (2 + 1) + 1 (4 1) (4 + 1) + 1 (6 1) (6 + 1) + + 1 (100 1) (100 + 1) = 1 13 + 1 35 + 1 57 + + 1 99101 = 1 2 (1 1 3 + 1 3 1 3 + 1 5 1 7 + + 1 99 1 101) = 1 2 (1 1 101) = 50 101 （
11、3）设1 2 + 1 3 + 1 4 = a，1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 = b， 原式= (1 + a) b (1 + b) a = b + ab a ab = b a = 1 5 【归纳总结【归纳总结】熟练掌握常用方法:变形约分法，裂项消项法，整体代换法。 名题精析 【例】【例】( (西安某铁一中分班西安某铁一中分班) )9 3 4 + 99 3 4 + 999 3 4 + 9999 3 4 【精析】本题不难看出，碰到 9 要凑整十整百数，将9 3 4写成10 1 4即可，以此类推，都可以写成一个整数减 一个分数1 4，然后整数与整数结合分数与分数结合。 【答案】【答案】9
12、 3 4 + 99 3 4 + 999 3 4 + 9999 3 4 = 10 1 4 + 100 1 4 + 1000 1 4 + 10000 1 4 = 11110 1 = 11109 【归纳总结】【归纳总结】本题凑整法比较实用，把一个分数写成一个整数减另一个分数。 毕业升学训练毕业升学训练 一、填空题一、填空题 1.1.用字母表示加法结合律是（ ） ， 乘法分配律是( )。 2.2.根据运算定律填写。 680-173-27=680-(173 27 ) (28 )4=28(25 ) 12599=125(100- ) 18a-a8= . 3.3.在横线上填上合适的数，在切里填上合适的运算符号
13、。 316+58+42=316+（ ） 298-35+165=298-（ ） 100254=100（ ） 5619+4419=（ ） 4.4.指出下列各题的简便运算运用了什么运算定律或运算性质。 (1)436+(564+329)=1000+329 ( ) (2)78101=78(100+1)=7800+78 ( ) 5.5.在里填上适当的数。 （1）1(6-2.8)=0.125 （2）1 (4 5 1 5) = 3 6.6.算式1 4 7 6 5 2 3 8 7 5 = 8 25中有一个运算符号写错了，把他改成正确的算式是： （ ） 。 7.7.若A 4 5 B = C 75% = E 2 3
14、 = D 3 2,则 A，B，C，D，E 从小到大依次是（ ）（ ）（ ） （ ）（ ） 。 8.8.小明在计算 5.a+b.9 时，错算成了 8.a+b.6，结果是 10，那么 5.a+b.9=( )。 （这种题不难） 9.9.在下面式子中的里填上合适的运算符号，使等式成立。 (1)50.8-(20+9.60.4)5=34 (2)16.2 *(4 1 7 1 200 700) 1 2 7+ = 8.1 (3)14.7(1.6+1.9)1.4=3 (4)78-100=(204.5) 2 (5)1 2 *2 3 (1 8 + 1 4)+ = 2 (6) 8 15 * 4 25 ( 3 10 1
15、5)+ = 6 2 3 二、判断题二、判断题 1.1.ABC=A(BC)( ) 2.2.7899=78100-99 ( ) 3.3.24+42+76+58=(24+76)+(42+58)( ) 4.整数乘法运算律，对小数乘法也同样适用。 （ ） 三、计算题三、计算题 1.1.计算。 (1)123+35+367 (2)30143 (3)12548 (4)5632+6856 2.2.脱式计算(能简算的要简算) (1)42 6 13 7 13 (2)( 1 4 + 1 6 1 3) 12 (3)*1 (4 1 3 1.75 2)+ 3.5 (4) ) . + .( (这道题出得不怎好，改为：这道题出
16、得不怎好，改为：) ) =(80+80/19)*11/8+(100+100/19)*9/10=(80+80/19)*11/8+(100+100/19)*9/10 =110+110/19+90+90/19=200+200/19=110+110/19+90+90/19=200+200/19 3. 求71 1 6 6 7 + 61 1 5 5 6 + 51 1 4 4 5 + 41 1 3 3 4 + 31 1 2 2 3 1的值。 冲刺名校提升冲刺名校提升 一、填空题一、填空题 1.(1.(西安高新某中入学西安高新某中入学) )计算:7 14 1 14 =（ ） 2.(2.(西安某工大附中分班西安
17、某工大附中分班) )1 与一个数的倒数的差是5 7，这个数是（ ） 。 3.(3.(西安某工西安某工大附中分班大附中分班) )用 4.02 乘以一个两位数， 得到的乘积是一个整数， 那么这个乘积的 10 倍是( )。 4.(4.(西安高新某中入学西安高新某中入学) )如果2015 2016 2017 = 2017 a，则 a=（ ） 。 5.5. ( (西安某铁一中分班西安某铁一中分班) )小英比小明小 5 岁，今年他们的年龄和是老师年龄的一半，再过巧年，他们的年龄 和等于老师的年龄，今年小英的年龄是( )岁。 二、二、( (西安某交大附中入学西安某交大附中入学) )计算题计算题 1.1.99
18、9 8 9 + 99 8 9 + 9 8 9 + 1 3 （出得挺好的题） 2. 2. (2 1 2016 5 3 4 + 7 2015 2016 5.75) 57 1 2 3. 1 31 + 302 3131 + 121212 313131 + 17171717 31313131 4. 4. 8 4 5 *7.8 + 1 4 (2.75 + 1.25)+ 5.(1 + 1 2 + + 1 2015) ( 1 2 + 1 3 + 1 2016) (1 + 1 2 + + 1 2016) ( 1 2 + 1 3 + 1 2015) 5.5.混合运算和简便运算混合运算和简便运算 毕业升学训练毕业升
19、学训练 一、一、1.1.(a+b)+c=a+(b+c) (a+b)c=ac+bc 2.2.+ 25 4 1 a 10 3.3.58 + 42 35 - 165 25 4 56 + 44 4.4.加法结合律 乘法分配律 5.5.（1）2.5 （2）2 3 6.6. 1 4 7 6 5 2 3 8 7 5= 8 25 7. 7. E A B C D 8.8.7.3 9.9. - + 二二、1.1. 2.2. 3.3. 4 4. 三、三、1.1.【解析】【解析】(1)(1) 123 +35+367 =123+367+35 =490+35 = 525 (2)(2)30143 =(300+1) 43 =
20、30043+143 =12900+43 =12943 (3)(3)12548 =12586 = 10006 =6000 （4 4）5632+6856 =56（32+68） =56100 =5600 2.2.【解析】 （【解析】 （1 1）42- 6 13- 7 13 =42-（ 6 13 + 7 13） =42-1 =41 （2 2）（ 1 4 + 1 6 - 1 3）12 =1 412+ 1 6 12 1 312 =3+2-4 =1 （3 3）1-(41 3 -1.752)3.5 =1-(41 3 -3.5)3.5 =1+3.5-41 3 2 7 = 1 21 （4 4）84 4 191.3
21、75+105 5 19 0.9 =（84+ 4 19） 11 8 +（105+ 5 19） 9 10 =115.5+11 38 +94.5+ 9 38 =115.5+94.5+（11 38 + 9 38） =210+10 19 =21010 19 3.3.【解析】【解析】711 6 6 7+61 1 5 5 6+51 1 4 4 5+41 1 3 3 431 1 2 2 3 -1 =（70+7 6） 6 7 +（60+ 6 5） 5 6+（30+ 3 2） 2 3 1 =706 7+ 7 6 6 7+60 5 6 + 6 5 5 6+30 2 3 + 3 2 2 3-1 =60+50+40+3
22、0+20+15-1 =204 冲刺名校提升冲刺名校提升 一、一、1.1. 1 28 2 2. 7 2或 7 12 3 3.2010 4 4. 2017 2016 5. 5.5 二、二、1.1.【解析】原式=9998 9+ 1 9+99 8 9 + 1 9+9 8 9+ 1 9 =1000+100+10 =1110 2.2.【解析】原式=5.751057.5=1 3.3.【解析】原式= 1 31+ 1013 31101 + 1210101 3110101 + 171010101 311010101 = 1 31 + 3 31 + 12 31 + 17 31 =33 31 4.4.【解析】原式=8.8（7.8+1 4 4） =8.88.8 =1 5.5.【解析】设1 2+ 1 2015=B 1 2 + 1 3 + + 1 2016 =A 原式=（1+B）A-(1+A)B = A+AB-B-AB =A-B = 1 2016 三、三、 【解析】由题意得甲数=153 550%=18