1、10.10.比和比例比和比例 知识要点梳理知识要点梳理 一、比的意义和性质 1.比的意义 两个数相除又叫做两个数的比。 比的写法和读法:表示数 a 与数 b(b 不能为零)的比，写作 a:b，也可以写作a b。“:”是比号，读作“比”， 所以 a:b 读作 a 比 b。 比的前项和后项:比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数 叫做比的后项。前项除以后项所得的商是比的结果，叫做比值。例如: 4 ： 5=45=0.8 前项 比号 后项 比值 2.比的基本性质 比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0 除外)，比值不变。 二、比、分数和除法 比与分数相比，比的前项相当于相当于分子，比的后项相当于分母
2、，比值相当于分数值，比号相当于分数线。比 可以写成分数形式，如 7:4 可读作:七比四。 比与除法比较，比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于除法中的除数，比值相当于商，比号相 当于除号。（只能说相当于只能说相当于） 比、分数和除法之间的联系与区别如下表所示: 名称 比 分数 除法 联系 前项 分子 被除法 ：（比号） 一（分数线） （除号） 后项 分母 除数 比值 分数值 商 区别 同类量的比表示两同类量的比表示两 个数的个数的倍比关系倍比关系；不；不 同类量的比表示一同类量的比表示一 分数是一种数分数是一种数 除法是一种运算除法是一种运算 个新的量。个新的量。 三、求比值与化简比 1
3、.1.求比值求比值 前项除以后项所得的商是比的结果，叫比值。 同类量的比，其比值没有单位名称;不同类量的比，其比值有单位名称。例如: 100 千米:5 时=20 千米/时 2.2.化简比化简比 比的前项和后项都是整数，并且是互质数是互质数，这样的比就是最简整数比。 把两个数的比化成最简整数比的，称为化简比或比的化简。 四、比例的意义和性质 1.1.比例的意义比例的意义 表示两个比相等的式子叫做比例。组成比便的四个数，叫做比例的项，两端的两项叫做比例配外项，中间 的两项叫做比例的内项。例如: 2.2.比例的基本性质比例的基本性质 在比例单，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。 例
4、如:15:60=12:48 可得:6012=1548 如果把比例写成分数形式，等号两边的分子和分母分别交叉相乘，所得的积相等。 五、比和比例的区别 名称 比 比例 意义 两个数的比表示两个数相除 表示两个比相等的式子 各部 分名 称 组成 比由两个数组成，后项不能为 0。 比例由四个数组成， 四个数 一般包含两种情况:表示两个同 类量的倍数关系 两个不同类量的比产生新的量 都不能为 0。 基本 性质 比的前项和后项同时除以相同的 数(0 除外).比值不变。 在比例里， 两个外项的积等 于两个内项的积。 六、解比例 根据比例的基本性质，如果已经知道比例中的任何三项，就可求出这个比例中的另外一个未
5、知项。求比例 中的未知项，叫做解比例解比例。 解比例时，先根据比例的基本性质把原比例改写成两个外项乘积与两个内项乘积相等形式的方程，再用已 知的两项的乘积除以另一个已知项求出未知项。 七、比例尺 1.1.比例尺的意义比例尺的意义 图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。即， 图上距离：实际距离 = 比例尺或 图上距离 实际距离 = 比例尺 2.比例尺的分类 数值比例尺：1:200000 或 1 200000 线段比例尺： 八、比的应用 在生活和生产实践中，常常需要把一个量按照一定的比来进行分配。这种分配方式叫做按比例分配。 按比例分配应用题的解答步骤: (1)找出或求出要分的总数； (2)
6、根据已知的比求出总分数； (3)按照要分配的各部分占总数的几分之几，分别求出侮一部分是多少。 九、正比例和反比例 1.1.成正比例的量成正比例的量 两种相关联的笙，一种 41 变化，另一种里也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数比值(商)一定，这 两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。例如，汽车的速度一定，那么它所行驶的路 程与所用的时间就成正比例。 用字母表达式表示为：y x = k（一定） 2.2.成反比例的量成反比例的量 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种 la 中相对应的两个数的积一定，这两种 量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。例
7、如，火车行驶的路程一定，那么它行驶的时间与 行驶的速度就成反比例。 用字母表达式表示为:xy=k(一定) 口诀:商正积反。即两个量若商(或比值)一定则成正比例关系，若乘积一定则成反比例关系。 考点精讲分析考点精讲分析 典例精讲典例精讲 考点 1 1 比的意义和性质比的意义和性质 【例【例 1 1】一个比的前项是 8，如果前项增加 16,要使比值不变，后项应该( )。 A.增加 16 B.乘以 2 C.乘以 3 【精析】【精析】前项增加 16 相当于把前项扩大到原来的 3 倍，根据比的基本性质，要使比值不变，后项也要扩大 到原来的 3 倍。 【答案】【答案】C 【归纳总结】【归纳总结】比的基本性
8、质:比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0 除外)，比值不变。 考点 2 2 比、分数和除法比、分数和除法 【例【例 2 2】9:36=（ ）%=（ ）：（ ）=（ ）（小数） 【精析】【精析】根据除法与比的关系及比的基本性质，9:36 =1:4;根据比的基本性质及与分数的关系；求出的商 用小数表示是 0.25，再把小数化成百分数 25%。 【答案】【答案】25、1、4、0.25。 【归纳总结】【归纳总结】比、分数和除法的关系。比与分数:比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于 分数值，比号相当于分数线;比与除法:比的前项相当于被除数，比的后项相当于除数，比值相当于商，比 号相当于
9、除号。 考点 3 3 求比值与化简比求比值与化简比 【例【例 3 3】化简比和求比值。 （1）12:32 （2）2.5:0.45 （3）20 分： 3 4时 【精析】【精析】化简比和求比值。求比值就是用比的前项除以后项所得的商;化简比就是根据比的基本性质，化成 最简整数比。 【答案】【答案】（1）12：32 = 3:8 = 3 8 （2）2.5：0.45 = 250:45 = 50:9 = 50 9 （3）20 分： 3 4时 = 20 分：45 分 = 4:9 = 4 9 【归纳总结】【归纳总结】求比值是得到一个数值，它可以是整数、分数或小数;化简比得到一个比。不同单位要首先化 成相同的单位
10、，再求比值或化简比。 考点 4 4 比例的意义和性质比例的意义和性质 【例【例 4 4】甲数的3 4等于乙数的 2 3，甲数：乙数=（ ）：（ ）。 【精析】【精析】比例的基本性质。根据已知条件可得等式等式: :甲数甲数 = 乙数乙数 ，再根据比例的基本性质，内项之 ，再根据比例的基本性质，内项之 积等于外项之积来解答。积等于外项之积来解答。甲数 3 4 = 乙数 2 3，则甲数:乙数=8:9（性质的逆用 性质的逆用） 【答案】【答案】8、9 【归纳总结】【归纳总结】根据等式写比例式，注意相乘的两个数要么同时作为内项，要么同时作为外项。 考点 5 5 解比例解比例 【例【例 5 5】解比例。
11、（1）12:18=15:x （2）3.5:x=0.7:5 （3） x 1:20% = 2 3 【精析】解比例。根据比例基本性质，两内项之积等于两外项之积，化简方程；再依据等式的基本性质“等 号两边同时除以(或乘以)相同的数(0 除外)，等式仍然成立”来解答。 【答案】(1)12:18=15:x 12x=1815 x=22.5 (2)3.5:x=0.7:5 0.7x=3.55 x=25 （3） x 1:20% = 2 3 3x = 2 1.2 x = 0.8 【归纳总结】【归纳总结】比例方程根据比例的基本性质和等式的性质来解，同时注意“=”上下要对齐。 考点 6 6 比例尺比例尺 【例【例 6
12、6】 在一副比例尺为 1:6000000 的地图上， 甲、 乙两地的距离为 3 厘米， 甲、 乙两地的实际距离为( ) 千米。 【精析】【精析】已知比例尺、图上距离，求实际距离3 1 6000000 = 18000000 【答案】【答案】180 【归纳总结】【归纳总结】已知比例尺、图上距离，求实际距离。厘米化成千米，小数点向左移动 5 位；千米化成厘米， 小数点向右移动 5 位。 考点 7 7 比的应用比的应用 【例【例 7 7】水是由氢和氧按 1:8 的重量化合而成的，90 千克水中，含氢和氧( )。 A.1 千克，89 千克 B.8 千克，82 千克 C.10 千克，80 千克 D.80
13、千克，10 千克 【精析】【精析】比的应用一按比例分配问题。因为氢和氧按 1:8 化合成水，氢占水的九分之一，氧占水的九分之 八，然后用乘法解答。90 1 9 = 10（千克），90 8 9 = 80（千克）。 【答案】【答案】C 【归纳总结】【归纳总结】本题的关键是分别求出氢和氧占水的几分之几，然后再根据一个数的几分之几的意义，用乘 法解答。 考点 8 8 正比例和反比例正比例和反比例 【例【例 8 8】下面每组的两个量中，成反比例的量是( )。 A.汽车行驶的时间一定，行驶的速度和路程 B.长方形的周长一定，长和宽 C.圆珠笔的单价一定，购买的本数和总价 D.圆柱体的体积一定，它的底面积和
14、高 【精析】【精析】辨识正、反比例。判断两种量是否成反比例，要看这两种量相对的数是否乘积一定。 A:路程:时间=速度(一定)，是商一定，成正比例关系。 B:长+宽=周长:2(一定)，是和一定，不成比例。 C:总价:数量=单价(一定)，是商一定，成正比例关系。 D:圆柱的底面积 x 高=体积(一定)，是乘积一定，成反比例关系。 【答案】【答案】D 【归纳总结】【归纳总结】两个量，商(或比值)一定成正比例，乘积一定成反比例，和或差一定，不成比例。 名题精析名题精析 【例】【例】 ( (西安某铁一中分班西安某铁一中分班) )甲、 乙、 丙三批货物总价值是 2580 万元， 甲、 乙、 丙三批货物的数
15、量比为 3:4:6， 单位质量的价格比为 5:4:2，则这批货物中甲值( )万元。 【精析】精析】比和比例应用。根据关系式:数量单价=总价，可得这三批货物每种货物的总价比 为:(35):(44):(62)=15:16: 12。甲的价值为 15 15:16:12 2580 = 900。 【答案】【答案】900 【归纳总结】【归纳总结】本题的关键是求出三批货物的总价值比，再根据按比例分配的方法解答。 毕业升学训练 一、填空题一、填空题 1.1.10 25 = 2:5 = ( )% = ( )(小数)。 2.2.在一个比例里，两个内项互为倒数，其中一个外项是3 4，另外一个外项是( )。 3.3.在
16、比例尺为 1:2000 地图上量得甲、乙两地的距离是 36 厘米，甲、乙两地的实际距离是( )米。 4.4.根据下面的条件写出最简整数比。 已知大圆的直径是 4 厘米，小圆的直径是 2 厘米。 大圆半径与小圆半径的比是（ ）。 大圆周长与小圆周长的比是（ ）。 大圆面积与小圆面积的比是( )。 5.5.从学校到家，点点用 9 分，笑笑用 10 分，点点和笑笑的速度比是( )。 6.6.A 的2 3等于 B 的 3 4，A：B=（ ）：（ ）。 7.7.六(1)班女生人数是男生的7 8，也就是说这个班女生人数与男生人数的比是( )，女生人数与全班人数的 比是( )，男生人数与全班人数的比是( )
17、。 二、选择题二、选择题 1.1.把 25 克糖溶解在 100 克水中，糖与糖水的质量比是( )。 A.1:5 B.1:4 C.4:5 D.不能确定 2.2.下面各组的两个比不能组成比例的是( )。 A.7:8 和 14:16 B.0.6：0.2 和 3:1 C.19:110 和 10:9 3.3.生产同样多的零件，小张用 4 小时，小李用了 6 小时，小李和小张的工效比是( )。 A.4:6 B.6:4 C.2:3 D.3:2 4.4.化简比的依据是( )。 A.比的意义 B.比的基本性质 C.比例的基本性质 D.商不变规律 5.5.车轮的直径一定，所行驶的路程和车轮的转数成( )。 A.正
18、比例 B.反比例 C.不成比例 6.6.在一幅地图上，用 3 厘米表示实际距离 12 千米，这幅地图的比例尺为( )。 A.1:4 B.1:40000 C.1:4000 D.1:400000 三、计算题三、计算题 1.1.化简求值 (1)143:11 (2)300 千克:1.2 吨 (3)0.9:0.6 (4)3 8： 9 16 2.2.解比例解比例 (1)3.5:x=5:4.2 (2)12:x=0.6:4.8 (3)0.375:x = 1 20:60% (4) 3 4: 5 6 = x: 2 3 四、解决问题四、解决问题 1.1.在一个比例尺是 1:60 的地图上，量得一个正方形花圃的边长是
19、 3 厘米，这个花圃的实际面积是多少平方 米? 2.2.一块长方形草坪的周长是 810 米，长和宽的比是 5:4，这块草坪的面积是多少平方米? 3.3.一台机器 3 小时加工 480 个零件，照这样计算，再工作 4 小时，一共加工多少个零件?(用比例解答) 4.4.一间教室用边长是 0.4 米的正方形地砖铺地面，需要 300 块，如果改用边长是 0.5 米的正方形地砖铺地 面，需要多少块?(用比例解答) 冲刺名校提升 一、填空题一、填空题 1.(1.(西安某工大附中分班西安某工大附中分班) )甲数的3 4等于乙数的 4 3，乙数与甲数的比值是( )。 2.(2.(成都某一中入学成都某一中入学)
20、 )如果 x:y=7122，那么 x 和 y,成( )比例。 3.(3.(西安某工大附中分班西安某工大附中分班) )在比例尺为 1:5000000 的地图上，量得甲、乙两城之间的距离是 4.5 厘米，如果 一辆汽车的速度是 90 千米/时，那么从甲城到乙城需用( )小时。 4.(4.(西安某工大附中分班西安某工大附中分班) )一个长方体的棱长总和是 216 厘米，它的长、宽、高之比是 4:3:2，长方体的体积 是( )立方厘米。 5.(5.(西安高新某中入学西安高新某中入学) )甲厂和乙厂生产的汽车配件数量之比为 5:6，汽车配件价格之比为 10: 9，两厂的总 产值为 6240 万元，则甲厂
21、的产值为( )。 二、选择题二、选择题 1.1. ( (成都某一中入学成都某一中入学) )1 2a = 2 3b，则 a 与 h 的最简整数比是（ ）。 A.4:3 B.3:4 C.2 3: 1 2 D. 1 2: 2 3 2.(2.(成都某七中入学成都某七中入学) )甲比乙多 2 倍，乙比丙多 5 倍，则甲:乙:丙=( )。 A.3:1:2 B.2:1:3 C.3:1:6 D.9:3:2 如果甲比乙多 2 倍，乙比丙多 1/2,则甲：乙：丙=( 9:3:2 ) 3.(3.(西安某工大附中分班西安某工大附中分班) )一个圆柱和圆锥的底面直径的比是 2: 3，体积比是 3:2，则圆柱和圆锥的高之
22、比 是( )。 A.1:1 B.9:8 C.8:9 D.4:9 4.(4.(西安某铁一中分班西安某铁一中分班) )一个正方形广场占地面积约为 2250000 平方米，若按照比例尺 1: 12000 缩小后，其 面积比较接近( )。 A.一个篮球场的面积 B.一张乒乓球台面的面积 C.华商报一个版面的面积 D.数学课本封面的面积 5.(5.(西安某工大附中分班西安某工大附中分班) )一个长方形操场长 110 米，宽 65 米，画在练习本上，应该选比例尺为( )。 A.1:2000 B.1:200 C.1:10000 D.1:400000 6.6. ( (西安某铁一中入学西安某铁一中入学) )下列
23、各题中，两种量成反比例关系的是( )。 A.工作效率一定，工作是时间和工作总量 B.长方形面积一定，它的长和宽 C 一段路程一定，已走路程和剩下路程 D.三角形的高一定，这个三角形的面积和底 7.(7.(西安某交大附中入学西安某交大附中入学) )甲的工作量比乙多1 4， 而乙用的时间比甲多 1 5， 那么甲、 乙两人工作效率的比是 （ ） 。 A.5:4 B.3:2 C.25:24 D.8:5 三、解比例三、解比例 1.1. ( (西安高新某中入学西安高新某中入学) ) 1 18： 2 9 = x： 6 13 2.(2.(西安某铁一中分班西安某铁一中分班) )4x: 1 3 = (3 x):0
24、.75 车轮的直径一定，所行驶的路程和车轮的转数成( ) 四、解决问题四、解决问题 1.(1.(西安高新某中入学西安高新某中入学) )下表是有关正方体钢块的一些量，哪两种量是成正比例的量，并说明理由。 棱长/cm 1 2 3 4 5 6 底面积/cm 2 1 4 9 16 25 36 表面积/cm 2 6 24 54 96 150 216 体积/cm 3 1 8 27 64 125 216 重量/g 7.8 62.4 210.6 499.2 975 1684.8 2.( (成都某一中树棵树的入学成都某一中树棵树的入学) )甲乙丙三队共植树 763 棵， 已知甲队植树棵树的1 4等于乙队棵树的
25、1 5， 丙队植树 棵树的1 7等于甲队植树棵树的 1 9，问甲乙丙三队各植树多少棵? 4x: 1 3 = (3 x):0.75 车轮的直径一定，所行驶的路程和车轮的转数成( ) 10.10.比和比例比和比例 毕业升学训练毕业升学训练 一、一、1.1.40 0.4 2 2.4 3 3. 3.720 4.4.2:1 2:1 4:1 5 5.10:9 6.6.9 7 7.7:8 7:15 8:15 二、二、1.1.A 2 2.C 3.3.C 4.4.B 5.5.A 6 6.D 三、三、1.(1)1.(1)【解析】原式=(14311)：(1111) =13: 1 =13 (2)(2)【解析】原式=3
26、00 千克：1200 千克 =1:4 =0.25 (3)(3)【解析】原式=(0.90.6):(0.6:0.6) =3 2：1 =1.5 (4)(4)【解析】原式=(3 8 9 16)：（ 9 16 9 16） =（3 8 16 9 ）：（ 9 16 16 9 ） =2 3：1 =2 3 2.(1)2.(1)【解析】5x=4.2 x=2.94 (2)(2)【解析】0.6x=124.8 x=96 (3)(3)【解析】 1 20 x=60%0.375 0.05x=0.60.375 x=4.5 (4)(4)【解析】5 6 = 3 4 2 3 x=3 5 四、1.【解析】比例尺是 1:60,则正方形花
27、圃的图上边: 实际边长=1:60 实际边长= 180 厘米 实际面积 180180= 32400 平方厘米= 3.24 平方米 答:这个花圃的实际面积是 3.24 平方米。 2.【解析】长+宽=8102=405(米) 长:405 5 5:4 =225( 米) 宽:405 5 5:4 =180(米) 面积:225180 =40500( 平方米) 答:这块草坪的面积是 40500 平方米。 3.【解析】机器的工效一定,那么工作量和工作时间成正比例。 设一共可加工 x 个零件。 480:3=x:(4+3) 3x=480 x7 x=1120 答:一共加工 1120 个零件。 4.【解析】面积一定,那么
28、每块砖的面可积和需要的数量成反比例。 设需要 x 块边长为 0.5 米的地砖。 0.4 2300 = 0.52x x=192 答:需要 192 块边长为 0.5 米的地砖。 冲刺名校提升冲刺名校提升 一、一、1.1.9: 16 2 2.正 3.3.2.5 4.4.5184 5.5.3000 万元 二、二、1.1.A 2 2.D 3 3.B 4.4.D 5 5.A 6 6.B 7 7.B 三三、1 1. 1 18： 2 9=x: 6 13 解：2 9 = 1 18 6 13 2 9 = 1 39 x= 3 26 2.2.4x: 1 3 =(3-x)：0.75 解：1 1 3 = 4 3 4 1-1 3 =3 10 3 = 1 x= 3 10 四、四、1 1.【解析】表面积和底面积成正比例，因为它们的比值定是 6。 重量和体积成正比例，因为它们的比值一定是 7.8g/cm 2.【解析】甲队:乙队=4:5，丙队: 甲队=7:9,则甲队:乙队:丙队=36:45:28。 甲队:763 36 36:45:28 = 252(棵) 乙队:763 45 36:45:28 =315(棵) 丙队:763 28 36:45:28 =196(棵) 答:甲队植树 252 棵，乙队植树 315 棵,丙队植树 196 棵。