1、 2019-2020 学年山西省运城市高三（上）期末数学试卷（理科）学年山西省运城市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、单选题一、单选题 1 （5 分）已知集合 Mx|ylnx+1，Py|yex，则 MP（ ） A BR C （1，+） D （0，+） 2 （5 分）已知复数 z 满足（1+i）z4i（i 为虚数单位） ，则 （ ） A2+2i B22i C1+2i D12i 3 （5 分）已知向量，向量，则向量 在 方向上的投影为（ ） A1 B1 C D 4 （5 分）若过椭圆内一点 P（2，1）的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ） A8x+9y250 B3x4y50 C4x+3y
2、150 D4x3y90 5 （5 分）若 sin（），（0，） ，则 tan2（ ） A B C D 6 （5 分）在各项均为正数的等比数列an中，a12，且 a2，a4+2，a5成等差数列，记 Sn是数列an的前 n 项和，则 S6（ ） A62 B64 C126 D128 7 （5 分）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分 家万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函 数的图象的特征如函数的图象大致是（ ） A B C D 8 （5 分）已知 a1，b1，且 logab+logba，abba，则如图
3、所示的程序框图输出的 S（ ） A B2 C D3 9 （5 分）已知向量，设函数，则下列关于函 数 f（x）的性质描述错误的是（ ） A函数 f（x）在区间上单调递增 B函数 f（x）图象关于直线对称 C函数 f（x）在区间上单调递减 D函数 f（x）图象关于点对称 10 （5 分）已知 P，A，B，C，D 是球 O 的球面上的五个点，四边形 ABCD 为梯形，ADBC，ABDC AD2，BCPA4，PA面 ABCD，则球 O 的体积为（ ） A16 B C D 11 （5 分）已知 F1，F2为椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上异于顶点的任意一点，K 点是F1PF2 内切圆的圆心，过 F1作
4、F1MPK 于 M，O 是坐标原点，则|OM|的取值范围为（ ） A （0，1） B C （0，） D 12 （5 分）定义：如果函数 f（x）的导函数为 f（x） ，在区间a，b上存在 x1，x2（ax1x2b）使得 f （x1），f（x2），则称 f（x）为区间a，b上的“双中值函数“已知函 数 g（x）是0，2上的“双中值函数“，则实数 m 的取值范围是（ ） A B （，+） C （） D （） 二、填空题二、填空题 13 （5 分）已知 f（x）lnx+2xf（1） （其中 f表示 f（x）的导函数） ，则 f（2） 14（5分） 已知平面四边形ABCD 中， BAD120， BCD
5、60， ABAD2， 则 AC的最大值为 15 （5 分）已知数列an为正项的递增等比数列，a1+a582，a2a481，记数列的前 n 项和为 Tn， 则使不等式成立的最大正整数 n 的值是 16 （5 分）若（其中 m 为整数） ，则称 m 是离实数 x 最近的整数，记作xm下列关于 函数 f（x）|xx|的命题中，正确命题的序号是 函数 yf（x）的定义域为 R，值域为； 函数 yf（x）是奇函数； 函数 yf（x）的图象关于直线（kZ）对称； 函数 yf（x）是周期函数，最小正周期为 1； 函数 yf（x）在区间上是增函数 三、解答题三、解答题 17 （12 分）在ABC 中，角 A，
6、B，C 的对边分别是 a，b，c，且 a8，ccosAcosB2asinCcosBccosC （1）求 tanB 的值； （2）若，求 b 的值 18 （12 分）在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，CF平面 ABCD，CFDE，ABCF2DE 2，G 为 BF 的中点 （1）求证：CGAF； （2）求平面 BCF 与平面 AEF 所成角的正弦值 19 （12 分）设 Sn为等差数列an的前 n 项和，且 a215，S565 （）求数列an的通项公式； （）设数列bn的前 n 项和为 Tn，且 TnSn10，求数列|bn|的前 n 项和 Rn 20 （12 分）已知函数 f
7、（x）exsinx （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）如果对于任意的，f（x）kx 总成立，求实数 k 的取值范围 21 （12 分）过 x 轴上动点 A（a，0）引抛物线 yx2+1 的两条切线 AP、AQ，P、Q 为切点 （1）若切线 AP，AQ 的斜率分别为 k1和 k2，求证：k1k2为定值，并求出定值； （2）求证：直线 PQ 恒过定点，并求出定点坐标； （3）当最小时，求的值 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为：（t 为参数） ，它与曲线 C： （y 2）2x21 交于 A，B 两点 （1）求|AB|的长； （2）在以 O 为极点，x 轴
8、的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 P 的极坐标为，求点 P 到 线段 AB 中点 M 的距离 23已知函数（a0，b0，c0）的图象过定点 A（1，3） （1）求证：； （2）求 3a+2b+c 的最小值 2019-2020 学年山西省运城市高三（上）期末数学试卷（理科）学年山西省运城市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题一、单选题 1 （5 分）已知集合 Mx|ylnx+1，Py|yex，则 MP（ ） A BR C （1，+） D （0，+） 【分析】可以求出集合 M，P，然后进行交集的运算即可 【解答】解： Mx|x0，Py|y0， MP（0，
9、+） 故选：D 【点评】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，对数函数的定义域，指数函数的值域，考查了 计算能力，属于基础题 2 （5 分）已知复数 z 满足（1+i）z4i（i 为虚数单位） ，则 （ ） A2+2i B22i C1+2i D12i 【分析】化简复数，得到代数式 z2+i，再求共轭复数即可 【解答】解：， 故选：B 【点评】本题主要考查复数的除法以及共轭复数，同时考查了计算能力，是基础题 3 （5 分）已知向量，向量，则向量 在 方向上的投影为（ ） A1 B1 C D 【分析】根据向量 在 方向上的投影，带入数值即可 【解答】解：向量，向量； （1）（3）+（2）438
10、5； 向量 在 方向上的投影 故选：B 【点评】本题主要考查向量的投影，熟记公式是解决本题的关键，属于简单题 4 （5 分）若过椭圆内一点 P（2，1）的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ） A8x+9y250 B3x4y50 C4x+3y150 D4x3y90 【分析】设出 A、B 坐标，利用平方差法，求解直线的斜率，然后求解直线方程 【解答】解：设弦的两端点为 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，P 为 AB 中点，A，B 在椭圆上， ， 两式相减得：， x1+x24，y1+y22， 可得：， 则 k，且过点 P（2，1） ，有 y1（x2） ， 整理得 8x+9y250 故选：
11、A 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题 5 （5 分）若 sin（），（0，） ，则 tan2（ ） A B C D 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式，求得 tan2 的值 【解答】解：sin（）cos，（0，） ， sin，tan， 则 tan2， 故选：A 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题 6 （5 分）在各项均为正数的等比数列an中，a12，且 a2，a4+2，a5成等差数列，记 Sn是数列an的前 n 项和，则 S6（ ） A62 B64 C126 D128 【分析】a2，a
12、4+2，a5成等差数列，可得 a2+a52（a4+2） ，把已知代入解得 q再利用求和公式即可得 出 【解答】解：设正数的等比数列an的公比为 q0，a12， a2，a4+2，a5成等差数列， a2+a52（a4+2） ， 2q+2q42（2q3+2） ，解得 q2 S6126 故选：C 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题 7 （5 分）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分 家万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函 数的图象的特征如函数
13、的图象大致是（ ） A B C D 【分析】根据题意，分析函数 f（x）的奇偶性，可以排除 A、B，进而分析当 x+时，f（x） 的函数值，排除 C，即可得答案 【解答】解：根据题意，函数，则 f（x），易得 f（x）为非 奇非偶函数， 排除 A、B， 当 x+时，f（x）0，排除 C； 故选：D 【点评】本题考查分段函数的图象，可以用排除法分析，属于基础题 8 （5 分）已知 a1，b1，且 logab+logba，abba，则如图所示的程序框图输出的 S（ ） A B2 C D3 【分析】根据题目所给信息，输出的值为 a 和 b 中较小的值，分 ab 和 ab 分别计算出 b 和 a 的值
14、即 可 【解答】解：依题意，a1，b1，且 logab+logba， 所以当 ab 时 logab3 当 ab 时 logab， 所以当 ab 时， ba3， 又因为 abba， 所以， 即 a33a， 又因为 a1， 所以 a， 当 ab 时，ab3，又因为 abba，所以，即 b33b，又因为 b1，所以 b， 根据程序框图，输出的为 a 和 b 中较小的一个， 故当 ab 时，输出 a，为，当 ab 时，输出 b 也为 故选：C 【点评】本题借助程序框图考查了对数方程，幂运算等知识，进行幂运算时要特别注意公式的使用是否 正确本题属于基础题 9 （5 分）已知向量，设函数，则下列关于函 数
15、 f（x）的性质描述错误的是（ ） A函数 f（x）在区间上单调递增 B函数 f（x）图象关于直线对称 C函数 f（x）在区间上单调递减 D函数 f（x）图象关于点对称 【分析】首先化简，得到，依次判断选项即可得到答案 【解答】 解 A 选项： 因为，所以 则函数 f（x）在区间上单调递增是正确的 B 选项：，故 B 正确 C 选项：因为，所以 函数 f（x）在区间上有增有减，所以 C 错误 D 选项：，故 D 正确 故选：C 【点评】本题主要考查了三角函数的单调区间和对称轴，中心对称点，同时考查平面向量数量积公式的 应用，熟练掌握公式是解决本题的关键，属于中档题 10 （5 分）已知 P，A
16、，B，C，D 是球 O 的球面上的五个点，四边形 ABCD 为梯形，ADBC，ABDC AD2，BCPA4，PA面 ABCD，则球 O 的体积为（ ） A16 B C D 【分析】利用 ABCD 为等腰梯形找到球小圆的圆心 M 恰为 BC 中点，取 PA 中点 N，在矩形 ANOM 中， 求得半径 OA，得解 【解答】解： 如图，由题意，ABCD 为等腰梯形， 作 AEBC，DFBC 与 E，F， 则 BECF1， 可得 AE， 取 BC 中点 M，连接 AM， 易得 AM2， 故 M 到 A，B，C，D 距离相等， 为球小圆的圆心， 取 PA 中点 N， 则 ANOM 为矩形， 在等腰直角三
17、角形 AMO 中， 得球半径 OA2， 故球 O 的体积为：， 故选：B 【点评】此题考查了球内接几何体及球体积的求法，难度适中 11 （5 分）已知 F1，F2为椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上异于顶点的任意一点，K 点是F1PF2 内切圆的圆心，过 F1作 F1MPK 于 M，O 是坐标原点，则|OM|的取值范围为（ ） A （0，1） B C （0，） D 【分析】由题意画出图形，利用三角形中位线定理结合椭圆定义可得|OM|的取值范围 【解答】解：如图，延长相交于 N 点，连接 OM， K 点是F1PF2内切圆的圆心，PK 平分F1PF2， F1MPK， |PN|PF1|，M 为 F1N
18、中点， O 为 F1F2中点，M 为 F1N 中点， ， |OM|的取值范围为， 故选：C 【点评】 本题考查椭圆的简单性质， 考查椭圆定义的应用， 体现了数形结合的解题思想方法， 是中档题 12 （5 分）定义：如果函数 f（x）的导函数为 f（x） ，在区间a，b上存在 x1，x2（ax1x2b）使得 f （x1），f（x2），则称 f（x）为区间a，b上的“双中值函数“已知函 数 g（x）是0，2上的“双中值函数“，则实数 m 的取值范围是（ ） A B （，+） C （） D （） 【分析】根据题目给出的定义得到 g（x1）g（x2）m，即方程方程 x2mx+m 0 在区间0，2有两个
19、解，利用二次函数的性质能求出 m 的取值范围 【解答】解：函数 g（x）x3x2， g（x）x2mx， 函数 g（x）x3x2是区间0，2上的双中值函数， 区间0，2上存在 x1，x2（0 x1x22） ， 满足 g（x1）g（x2）m， x12mx1x22mx2m， x2mxm， 即方程 x2mx+m0 在区间（0，2）有两个解， 令 f（x）x2mx+m， ， 解得m 实数 m 的取值范围是（，） 故选：D 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查导数的性质及应用等基础知识，考查推理论证能力、运 算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题 二、填空题二、填空题 13 （5
20、分）已知 f（x）lnx+2xf（1） （其中 f表示 f（x）的导函数） ，则 f（2） 【分析】先求出导函数为，进而可求出 f（1）1，从而可求出 f（2）的值 【解答】解：， f（1）1+2f（1） ，解得 f（1）1， ， f（2） 故答案为： 【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题 14（5 分） 已知平面四边形 ABCD 中， BAD120， BCD60， ABAD2， 则 AC 的最大值为 4 【分析】由题知：四边形 ABCD 为圆内接四边形，AC 的最大值为四边形外接圆的直径，由正弦定理即 可求出 AC 的最大值 【解答】解：因
21、为BAD120，BCD60， 所以 AC 的最大值为四边形外接圆的直径 当 AC 为四边形外接圆的直径时， 得到：ADCABC90， 又因为 ABAD2，BCD60， 所以ACDACB30 在ABC 中，由正弦定理得：，解得：AC4 故答案为：4 【点评】 本题主要考查正弦定理得应用， 判断四边形 ABCD 为圆内接四边形是解题的关键， 属于中档题 15 （5 分）已知数列an为正项的递增等比数列，a1+a582，a2a481，记数列的前 n 项和为 Tn， 则使不等式成立的最大正整数 n 的值是 8 【分析】根据 a1+a582，a2a481 求得，；再求出，代入不等式 ，解不等式即可 【解
22、答】解：因为数列an为正项的递增等比数列， 由 a1+a582，a2a481，解得 a11，q3， ， 故231 n，数列 为首项为 2，公比为的等比数列， 整理得：3n8080 使不等式成立的最大整数 n 为 8 故答案为：8 【点评】 本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和， 同时考查了学生的计算能力， 属于中档题 16 （5 分）若（其中 m 为整数） ，则称 m 是离实数 x 最近的整数，记作xm下列关于 函数 f（x）|xx|的命题中，正确命题的序号是 函数 yf（x）的定义域为 R，值域为； 函数 yf（x）是奇函数； 函数 yf（x）的图象关于直线（kZ）对称； 函数 yf
23、（x）是周期函数，最小正周期为 1； 函数 yf（x）在区间上是增函数 【分析】先根据函数 f（x）的新定义，取特殊 m 值，如：0，1，2，以便画出函数在区间上 的图象，然后根据图象逐一判断每个选项即可 【解答】解：由题意知，f（x）|xx|xm|，画出 f（x）的图象即可找到正确的命题 当 m0 时，f（x）|x|， 当 m1 时，f（x）|x1|， 当 m2 时，f（x）|x2|， 因此，f（x）在上的图象如下所示： 函数 yf（x）的定义域为 R，值域为，偶函数； 图象关于直线（kZ）对称；最小正周期为 1； 在区间上的单调性是先减后增 所以正确 故答案为： 【点评】 本题是新函数定义
24、问题， 考查函数的性质， 画出图象为解题关键， 考查了学生的数形结合能力， 属于中档题 三、解答题三、解答题 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 a8，ccosAcosB2asinCcosBccosC （1）求 tanB 的值； （2）若，求 b 的值 【分析】 （1）由正弦定理知：a2RsinA，c2RsinC 化简 ccosAcosB2asinCcosBccosC 得 2sinAcosB sinAsinB，即 tanB2 （2） 由 tanB2 得到， 因为， a8， 解得， 代入 b2a2+c22accosB 即可 【解答】解： （1）ccosA
25、cosB2asinCcosBccosC 由正弦定理知：a2RsinA，c2RsinC sinCcosAcosB2sinAsinCcosBsinCcosC 又sinC0 cosAcosB2sinAcosBcosC cosAcosB2sinAcosB+cos（A+B） cosAcosB2sinAcosB+cosAcosBsinAsinB 2sinAcosBsinAsinB 又sinA0tanB2 （2）tanB2， 又 accosB16 又a8 由余弦定理知， 【点评】本题第一问考查了正弦定理和两角和差公式，第二问考查了向量的数量积运算和余弦定义，同 时考查了学生的计算能力，属于中档题 18 （1
26、2 分）在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，CF平面 ABCD，CFDE，ABCF2DE 2，G 为 BF 的中点 （1）求证：CGAF； （2）求平面 BCF 与平面 AEF 所成角的正弦值 【分析】 （1）首先证明 CGAB，CGBF，ABBFB，CG平面 ABF即可得到 AF平面 ABF， CGAF （2）以 D 为坐标原点，DA，DC，DE 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，分别求 出平面 AEF 和平面 BCF 的法向量，带入公式求解即可 【解答】解： （1）CF平面 ABCD，AB平面 ABCD，CFAB， 又四边形 ABCD 是正方形
27、，ABBC， BCCFC，AB平面 BCF， CG平面 BCF，CGAB， 又BCCF2，G 为 BF 的中点，CGBF， ABBFB，CG平面 ABF， AF平面 ABF，CGAF； （2）CF平面 ABCD，CFDE，DE平面 ABCD 以 D 为坐标原点，DA，DC，DE 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 如图所示：则 D（0，0，0） ，A（2，0，0） ，C（0，2，0） ，E（0，0，1）F（0，2，2） ， 设为平面 AEF 的法向量， 则，令 x1，则， 由题意知为平面 BCF 的一个法向量， ， 平面 BCF 与平面 AEF 所成角的正弦值为 【点评
28、】本题第一问考查线线垂直，先证线面垂直时解题关键，第二问考查二面角，建立空间直角坐标 系是解题关键，属于中档题 19 （12 分）设 Sn为等差数列an的前 n 项和，且 a215，S565 （）求数列an的通项公式； （）设数列bn的前 n 项和为 Tn，且 TnSn10，求数列|bn|的前 n 项和 Rn 【分析】 （）设等差数列an的公差为 d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公 差，即可得到所求； （）运用等差数列的求和公式，求得 bn，讨论数列的符号，结合等差数列的求和公式，计算可得所求 和 【解答】解： （）设等差数列an的公差为 d，则由 a215，S565 得
29、 a1+d15，5a1+10d65， 解得 a117，d2， 故 an172（n1）2n+19； （）由（）得：， 易知，当 1n9 时，bn0；当 n10 时，bn0， 1当 1n9 时， 2当 n10 时，Rn|b1|+|b2|+|bn|b1+b2+b9（b10+b11+bn） 故 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题 20 （12 分）已知函数 f（x）exsinx （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）如果对于任意的，f（x）kx 总成立，求实数 k 的取值范围 【分析】 （1）首先求出 f（x） ，然后分别求出当 f（x）0、f（
30、x）0 时 x 的取值范围，即可求出函 数 f（x）的单调区间； （2）令 g（x）f（x）kxexsinxkx，要使 f（x）kx 总成立，只需时 g（x）min0， 求出 g（x） ，令 h（x）ex（sinx+cosx） ，再求出 h（x） ， （） ，所以 h（x）在上 为增函数，所以；最后对 k 分类讨论，求出实数 k 的取值范围即可 【解答】解： （1）由于 f（x）exsinx， 所以， 当，即时，f（x）0； 当，即时，f（x）0 所以 f（x）的单调递增区间为（kZ） ， 单调递减区间为（kZ） ； （2）令 g（x）f（x）kxexsinxkx， 要使 f（x）kx 总成立
31、，只需时 g（x）min0， 对 g（x）求导，可得 g（x）ex（sinx+cosx）k， 令 h（x）ex（sinx+cosx） ， 则 h（x）2excosx0， （） 所以 h（x）在上为增函数， 所以； 对 k 分类讨论： 当 k1 时，g（x）0 恒成立， 所以 g（x）在上为增函数， 所以 g（x）ming（0）0， 即 g（x）0 恒成立； 当时，g（x）0 在上有实根 x0， 因为 h（x）在上为增函数， 所以当 x（0，x0）时，g（x）0， 所以 g（x0）g（0）0，不符合题意； 当时，g（x）0 恒成立， 所以 g（x）在上为减函数， 则 g（x）g（0）0，不符合题
32、意 综上，可得实数 k 的取值范围是（，1 【点评】此题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题，考查了分类讨论思想的应用，属于中档 题 21 （12 分）过 x 轴上动点 A（a，0）引抛物线 yx2+1 的两条切线 AP、AQ，P、Q 为切点 （1）若切线 AP，AQ 的斜率分别为 k1和 k2，求证：k1k2为定值，并求出定值； （2）求证：直线 PQ 恒过定点，并求出定点坐标； （3）当最小时，求的值 【分析】 （1）设过 A（a，0）与抛物线 yx2+1 的相切的直线的斜率是 k，则该切线的方程为：yk（x a） 由 得 x2kx+（ka+1）0，由此可知 k1k24 （2） 设
33、P （x1， y1） ， Q （x2， y2） ， 由题意知 y12x1a+2， y22x2a+2， 由此可知直线 PQ 的方程是 y2ax+2， 直线 PQ 过定点（0，2） （3）要使 最小，就是使得 A 到直线 PQ 的距离最小，而 A 到直线 PQ 的距离 由引入手能够推导出 的值 【解答】解： （1）设过 A（a，0）与抛物线 yx2+1 的相切的直线的斜率是 k， 则该切线的方程为：yk（xa） 由 得 x2kx+（ka+1）0k24（ka+1）k24ak40 则 k1，k2都是方程 k24ak40 的解，故 k1k24 （2）设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） 由于 y2x
34、，故切线 AP 的方程是：yy12x1（xx1） 则y12x1（ax1）2x1a2x122x1a2（y11）y12x1a+2，同理 y22x2a+2 则直线 PQ 的方程是 y2ax+2，则直线 PQ 过定点（0，2） （3）要使 最小，就是使得 A 到直线 PQ 的距离最小，而 A 到直线 PQ 的距离 当且仅当 即 时取等号设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） 由 得 x22ax10，则 x1+x22a，x1x21， （x1a） （x2a）+y1y2（x1a） （x2a）+（2ax1+2） （2ax2+2） （1+4a2）x1x2+3a（x1+x2）+a2+4（1+4a2）+3a2a+
35、a2+43a2+3 【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系及方程的思想，解题时要认真审题，仔细解答 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为：（t 为参数） ，它与曲线 C： （y 2）2x21 交于 A，B 两点 （1）求|AB|的长； （2）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 P 的极坐标为，求点 P 到 线段 AB 中点 M 的距离 【分析】（1） 设 A， B 对应的参数分别为 t1， t2， 把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2+60t 1250，可得根与系数的关系，根据弦长公式|AB|t1t2|即可得出； （2
36、）点 P 在平面直角坐标系下的坐标为（2，2） ，根据中点坐标的性质可得 AB 中点 M 对应的参数为 根据 t 的几何意义可得点 P 到 M 的距离为|PM|即可 【解答】解： （1）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2+60t1250 设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则 （2）由 P 的极坐标为，可得 xp2，2 点 P 在平面直角坐标系下的坐标为（2，2） ， 根据中点坐标的性质可得 AB 中点 M 对应的参数为 由 t 的几何意义可得点 P 到 M 的距离为 【点评】本题考查了直线与双曲线的相交问题、直线的参数方程的参数的几何意义、极坐标化为直角坐 标、中点
37、坐标公式、两点之间的距离公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题 23已知函数（a0，b0，c0）的图象过定点 A（1，3） （1）求证：； （2）求 3a+2b+c 的最小值 【分析】 （1）由题知：，所以化简即可证明不等式 （2）由（1）知，所以，利用基本不等式即可 求出最小值 【解答】解： （1）因为函数（a0，b0，c0）的图象过定点 A（1，3） ， 所以 所以 当且仅当即，c1 时取等号， 所以 6abc1， 故 （2）由（1）知， . 当且仅当 3a2bc1 即，c1 时取等号， 故 3a+2b+c 的最小值为 3 【点评】本题主要考查不等式的证明以及最值得求解，考查了学生的运算求解能力和逻辑推理能力，属 于中档题