1、 2019-2020 学年学年山西省太原市迎泽区山西省太原市迎泽区高三（上）高三（上）10 月月考数学试卷（文科）月月考数学试卷（文科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，每小题有且只有一个正确选项）分，每小题有且只有一个正确选项） 1 （5 分）若集合 Ax|x（x1）0，By|yx2，则（ ） AAB BAB CABR DBA 2 （5 分）若复数 z，则 （ ） A1 B1 Ci Di 3 （5 分）设非空集合 P，Q 满足 PQP，则（ ） AxQ，有 xP BxQ，有 xP Cx0Q，使得 x0P Dx0P，使得 x
2、0P 4 （5 分）已知 a（），blog23，clog47，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bbac Ccab Dacb 5 （5 分）已知ABC 中，E 是 BC 上一点，若，则 +（ ） A1 B2 C3 D4 6 （5 分）如图是函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，xR）在区间，上的图象，为了得 到 ysinx（xR）的图象，只需将函数 f（x）的图象上所有的点（ ） A向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 C向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
3、，纵坐标不变 D向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 7 （5 分）函数 f（x）|lnx|x2的图象大致为（ ） A B C D 8 （5 分）如图示，在圆 O 中，若弦 AB6，AC10，则的值为（ ） A16 B2 C32 D16 9（5 分） 已知圆 O 的半径为 1， PA、 PB 为该圆的两条切线， A、 B 为两切点， 那么的最小值为 （ ） A B C D 10 （5 分）在ABC 中，若，则的最小值为（ ） A B C D 11 （5 分）若 （，）且 3cos24sin（） ，则 sin2 的值为（ ） A B C D 12（5 分） 已
4、知 O 是平面上一定点， A、 B、 C 是平面上不共线的三个点， 动点 P 满足+ （ +）0，+） ，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的（ ） A外心 B内心 C重心 D垂心 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在题中的横线上分，把答案填在题中的横线上 13 （5 分）已知两个单位向量 与 的夹角为 60，则向量在向量 方向上的投影为 14 （5 分）若点 M 是ABC 所在平面内一点，且满足，则ABM 与ABC 的面积之比 值为 15 （5 分） 16（5 分） 将函数的图象沿着 x 轴向右平移 a 个单位 （a0）
5、 后的图象关于 y 轴对称， 则 a 的最小值为 三、解答题（本大题三、解答题（本大题 4 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （12 分）已知函数 f（x）2sinx（sinx+cosx）a 的图象经过点（） ，aR （1）求 a 的值，并求函数 f（x）的单调递增区间； （2）若当 x0，时，不等式 f（x）m 恒成立，求实数 m 的取值范围 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 （1）求角 A 的大小； （2）若 a2，求ABC 面积的最大值 19 （12 分）
6、设函数 f（x）lnx+x22ax+a2，aR （1）当 a0 时，曲线 yf（x）与直线 y3x+m 相切，求实数 m 的值； （2）若函数 f（x）在1，3上存在单调递增区间，求 a 的取值范围 20 （12 分）如图，D 是直角ABC 斜边 BC 上一点，ABAD，记CAD，ABC （1）证明：sin+2cos21； （2）若，求 +2 的值 21 （12 分）已知函数 f（x）ex，g（x）lnx+a （1）设 h（x）xf（x） ，求 h（x）的最小值； （2）若曲线 yf（x）与 yg（x）仅有一个交点 P，证明：曲线 yf（x）与 yg（x）在点 P 处有相同 的切线，且 选做题
7、：请在选做题：请在 22、23 题中任选一题作答，写清题号如果多做，则按所做第一题记分题中任选一题作答，写清题号如果多做，则按所做第一题记分 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为：（ 为参数） 以直角坐标 系的原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （1）求直线 l 的直角坐标方程； （2）若点 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 距离的最大值，并求出此时点 P 的坐标 23设函数 f（x）|x+1|+|x1|，xR，不等式 f（x）2的解集为 M （1）求 M； （2）当 a，bM 时，证明：|a+b|ab
8、+3| 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，每小题有且只有一个正确选项）分，每小题有且只有一个正确选项） 1 （5 分）若集合 Ax|x（x1）0，By|yx2，则（ ） AAB BAB CABR DBA 【分析】利用不等式的解法求出集合 A，函数的值域求解集合 B，然后判断两个集合的关系 【解答】解：集合 Ax|x（x1）0 x|0 x1，By|yx2y|y0 可知：AB 故选：B 【点评】本题考查函数值域的求法，不等式的解法，集合的关系，是基本知识的考查 2 （5 分）若复数 z，则 （
9、 ） A1 B1 Ci Di 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案 【解答】解：z， 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题 3 （5 分）设非空集合 P，Q 满足 PQP，则（ ） AxQ，有 xP BxQ，有 xP Cx0Q，使得 x0P Dx0P，使得 x0P 【分析】根据交集运算结果判定集合关系，再结合 Venn 图判断元素与集合的关系即可 【解答】解：PQP，PQ A 错误；B 正确；C 错误；D 错误 故选：B 【点评】本题考查命题真假的判断，考查子集的关系 4 （5 分）已知 a（），blog23，clog
10、47，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bbac Ccab Dacb 【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解 【解答】解：， 0a（）（）01， blog23log49clog47log441， a，b，c 的大小关系为 acb 故选：D 【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解 能力，考查函数与方程思想，是基础题 5 （5 分）已知ABC 中，E 是 BC 上一点，若，则 +（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据向量的运算法则，由，表示向量，求出 + 即可 【解答】解：由条件得，+（） ； ； 32； 由于，+321
11、 故选：A 【点评】本题考查了向量的线性表示，属于基础题 6 （5 分）如图是函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，xR）在区间，上的图象，为了得 到 ysinx（xR）的图象，只需将函数 f（x）的图象上所有的点（ ） A向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 C向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函
12、数的解析 式，再根据函数 yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】解：根据函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，xR）在区间，上的图象， 可得 A1，+，2 再根据五点法作图，2 （）+0，求得 ，故函数 f（x）sin（2x+） 故把 f（x）的图象向右平移个单位长度，可得 ysin2x 的图象； 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，可得 ysinx 的图象， 故选：D 【点评】本题主要考查由函数 yAsin（x+）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出 A， 由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，还考查了函数 yAsin（x+）的图象变换规律，属
13、于中档 题 7 （5 分）函数 f（x）|lnx|x2的图象大致为（ ） A B C D 【分析】根据函数的定义域，极限，单调性判断 【解答】解：f（x）的定义域为x|x0，排除 A 当 x0+时，f（x）+，排除 D 当 x1 时，f（x）lnx，f（x）， 令 f（x）0 解得 x2， 当 x2 时，f（x）0， f（x）在（2，+）上是减函数，排除 B 故选：C 【点评】本题考查了函数图象的判断，通常从函数的单调性，特殊点等方面采用排除法判断 8 （5 分）如图示，在圆 O 中，若弦 AB6，AC10，则的值为（ ） A16 B2 C32 D16 【分析】先计算 、，再利用 ，即可求得结
14、论 【解答】解：设圆的半径等于 R，则R6cosOABR618， R10cosOACR1050， 501832， 故选：C 【点评】本题主要考查向量在几何中的应用等基础知识，解答关键是利用向量数量积的几何意义，属于 中档题 9（5 分） 已知圆 O 的半径为 1， PA、 PB 为该圆的两条切线， A、 B 为两切点， 那么的最小值为 （ ） A B C D 【分析】 要求的最小值， 我们可以根据已知中， 圆 O 的半径为 1， PA、 PB 为该圆的两条切线， A、 B 为两切点，结合切线长定理，设出 PA，PB 的长度和夹角，并将表示成一个关于 x 的函数，然 后根据求函数最值的办法，进行
15、解答 【解答】解：如图所示：设 OPx（x0） ， 则 PAPB， APO，则APB2， sin， （12sin2） （x21） （1） x2+323， 当且仅当 x2时取“” ，故的最小值为 23 故选：D 【点评】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法判别式法，同 时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力 10 （5 分）在ABC 中，若，则的最小值为（ ） A B C D 【分析】根据向量的加减的几何意义可得 3（a2b2）2c2，再根据余弦定理和正弦定理可得 6sinBcosA sinC，化简整理可得 tanA5tanB，再根据基本不等式即可求出最
16、小值 【解答】解：， 3（+）3（+） 3（+） （）3（|2|2）2|2， 即 3（a2b2）2c2， 由余弦定理可得 a2b2+c22bccosA， 3（c22bccosA）2c2， 6bccosAc2， 即 6bcosAc， 6sinBcosAsinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB， 5sinBcosAsinAcosB， tanA5tanB， A，B 是三角形的内角， tanA0，tanB0， 5tanB+22， 当且仅当 tanA，tanB时取等号， 的最小值为 2， 故选：B 【点评】本题考查了向量的加减的运算以及正余弦定理，三角函数的化简和基本不等式，属于中档题
17、 11 （5 分）若 （，）且 3cos24sin（） ，则 sin2 的值为（ ） A B C D 【分析】由条件化简可得 3（cos+sin）2，平方可得 1+sin2，从而解得 sin2 的值 【解答】解：（，） ，且 3cos24sin（） ， 3（cos2sin2）4（cossin） ， 化简可得：3（cos+sin）2， 平方可得 1+sin2，解得：sin2， 故选：C 【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题 12（5 分） 已知 O 是平面上一定点， A、 B、 C 是平面上不共线的三个点， 动点 P 满足+ （ +）0，+） ，则点 P 的轨迹一
18、定通过ABC 的（ ） A外心 B内心 C重心 D垂心 【分析】将提取出来，转化成 t（+） ，而 t（+）表示与共线的 向量，点 D 是 BC 的中点，故 P 的轨迹一定通过三角形的重心 【解答】解：设它们等于 t， +（+） 而+2 （+）表示与共线的向量 而点 D 是 BC 的中点，所以即 P 的轨迹一定通过三角形的重心 故选：C 【点评】本题主要考查了空间向量的加减法，以及三角形的三心等知识，属于基础题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在题中的横线上分，把答案填在题中的横线上 13 （5 分）已知两个单位向量
19、与 的夹角为 60，则向量在向量 方向上的投影为 【分析】运用向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，向量的投影概念，计算即可得到所 求值 【解答】解：两个单位向量和夹角为 60， 可得 11， （ ） 2 1 ， 向量 在向量 方向上的投影为， 故答案为： 【点评】本题考查向量数量积的定义和性质，以及向量投影的求法，考查运算能力，属于基础题 14 （5 分）若点 M 是ABC 所在平面内一点，且满足，则ABM 与ABC 的面积之比 值为 【分析】可画出图形，取 BC 边的中点 D，从而得出，从而根据可得出 ，从而根据三角形的面积公式即可得出ABM 与ABC 的面积之比值 【解答】解：
20、如图，取 BC 的中点为 D，则， ， ， ， ， ， 故答案为： 【点评】本题考查了长度为 0 的向量为零向量，向量加法的平行四边形法则，向量的数乘运算，向量数 乘的几何意义，三角形的面积公式，考查了计算能力，属于基础题 15 （5 分） 4 【分析】利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简求解即可 【 解 答 】 解 ： 原 式 故答案为：4 【点评】本题列出两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力 16（5 分） 将函数的图象沿着 x 轴向右平移 a 个单位 （a0） 后的图象关于 y 轴对称， 则 a 的最小值为 【分析】利用辅助角公式进行化简，结合平移
21、求出函数解析式，利用函数关于 y 轴对称，建立方程进行 求解即可 【解答】解：f（x）2sin（x） ， 将 f（x）的图象沿着 x 轴向右平移 a 个单位（a0）后的图象关于 y 轴对称， 得 y2sin（xa） ， 此时得a+k，得 ak， a0， 当 k1 时，a， 即 a 的最小值为， 故答案为： 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式以及三角函数的图象变换求出函数的解 析式，利用对称性建立方程是解决本题的关键比较基础 三、解答题（本大题三、解答题（本大题 4 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
22、骤） 17 （12 分）已知函数 f（x）2sinx（sinx+cosx）a 的图象经过点（） ，aR （1）求 a 的值，并求函数 f（x）的单调递增区间； （2）若当 x0，时，不等式 f（x）m 恒成立，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）根据函数 f（x）的图象过点（）求出 a 的值， 再化 f（x）为正弦型函数，求出它的单调递增区间； （2）求出 x0，时 f（x）的最小值，再求 m 的取值范围 【解答】解： （1）函数 f（x）2sinx（sinx+cosx）a 的图象经过点（） ， 2sin（sin+cos）a1， 即 2a1，解得 a1； 函数 f（x）2sinx（sinx
23、+cosx）1 2sin2x+2sinxcosx1 2+sin2x1 sin2xcos2x sin（2x） ； 令+2k2x+2k，kZ； 解得+kx+k，kZ； f（x）的单调递增区间为+k，+k，kZ； （2）当 x0，时，2x， sin（2x）（）1； 又不等式 f（x）m 恒成立， 实数 m 的取值范围是 m1 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换问题，是基础题 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 （1）求角 A 的大小； （2）若 a2，求ABC 面积的最大值 【分析】 （1）把条件中所给的既有角又有边的
24、等式利用正弦定理变化成只有角的形式，整理逆用两角和 的正弦公式，根据三角形内角的关系，得到结果 （2）利用余弦定理写成关于角 A 的表示式，整理出两个边的积的范围，表示出三角形的面积，得到面 积的最大值 【解答】解： （1）， （2cb） cosAacosB， 由正弦定理，得： （2sinCsinB） cosAsinAcosB 整理得 2sinCcosAsinBcosAsinAcosB 2sinCcosAsin（A+B）sinC 在ABC 中，sinC0 cosA，A （2）由余弦定理 cosA，a2 b2+c220bc2bc20 bc20，当且仅当 bc 时取“” 三角形的面积 Sbcsin
25、A5 三角形面积的最大值为 5 【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，本题解题的关键是角和边的灵活互化，两个定理的灵活应用和 两角和的公式的正用和逆用，属于中档题 19 （12 分）设函数 f（x）lnx+x22ax+a2，aR （1）当 a0 时，曲线 yf（x）与直线 y3x+m 相切，求实数 m 的值； （2）若函数 f（x）在1，3上存在单调递增区间，求 a 的取值范围 【分析】 （1）将 a0 代入 f（x） ，求出 f（x）的导数，得到 f（x）3，解得 x 的值，求出切点坐标， 代入求出 m 的值即可； （2）假设函数 f（x）在1，3上不存在单调递增区间，必有 g（x）0，得到关
26、于 a 的不等式组，解出 即可 【解答】解： （1）当 a0 时，f（x）lnx+x2，x（0，+） ， f（x）+2x0， 令 f（x）3，解得：x1 或 x， 代入 f（x）得切点坐标为（1，1） ，或（，ln2） ， 将切点坐标代入直线 y3x+m，解得：m2 或 mln2； （2）f（x）+2x2a，x1，3， 设 g（x）2x22ax+1， 假设函数 f（x）在1，3上不存在单调递增区间，必有 g（x）0， 于是，解得：a， 故要使函数 f（x）在1，3上存在单调递增区间， 则 a 的范围是（，） 【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查曲线的切线方程以及导数的应用，是一道中档题 2
27、0 （12 分）如图，D 是直角ABC 斜边 BC 上一点，ABAD，记CAD，ABC （1）证明：sin+2cos21； （2）若，求 +2 的值 【分析】（1） 利用诱导公式可求得 2， 进而利用诱导公式求得 sincos2， 整理得 sin+cos2 0原式得证 （2）根据正弦定理可求得 sinsin 进而利用（1）中的结论求得 sin（12sin2）代入 sin sin 即可求得 sin，进而求得 的值，即可求解+2 的值 【解答】 （1）证明：BAD（2）2， sinsin（2）cos2， 即 sin+cos20 sin+2cos2sin+cos2+10+11，得证 （2）解：ADC
28、 中由正弦定理 ，即， 则 sinsin， 由（1）得 sincos2（12sin2） ， 即 2 sin2sin0， 解得 sin，或 sin， 0， sin， ，可得 2， +2 【点评】本题主要考查了诱导公式化简求值，正弦定理考查了学生综合分析问题和基本的运算能力， 属于基础题 21 （12 分）已知函数 f（x）ex，g（x）lnx+a （1）设 h（x）xf（x） ，求 h（x）的最小值； （2）若曲线 yf（x）与 yg（x）仅有一个交点 P，证明：曲线 yf（x）与 yg（x）在点 P 处有相同 的切线，且 【分析】 （1）求出 h（x）（x+1）ex，利用导数性质能求出 x1
29、时，h（x）取得最小值 （2） 设 t （x） f （x） g （x） exlnxa， 则， 推导出存在 使得 T（x0）0，求出 t（x） ）的最小值为，由此能证明曲线 yf（x）与 yg （x）在 P 点处有相同的切线，并能求出 【解答】解： （1）f（x）ex，h（x）xf（x）xex， h（x）（x+1）ex， 当 x1 时，h（x）0，h（x）单调递减； 当 x1 时，h（x）0，h（x）单调递增， 故 x1 时，h（x）取得最小值 证明： （2）g（x）lnx+a 设 t（x）f（x）g（x）exlnxa，则， 由（1）得 T（x）xex1 在（0，+）单调递增，又，T（1）0，
30、存在使得 T（x0）0， 当 x（0，x0）时，t（x）0，t（x）单调递减； 当 x（x0，+）时，t（x）0，t（x）单调递增， t（x） ）的最小值为， 由 T（x0）0 得， 曲线 yf（x）与 yg（x）在 P 点处有相同的切线， 又， ， 【点评】本题考查函数的最小值的求法，考查曲线 yf（x）与 yg（x）在点 P 处有相同的切线，且 的证明，考查导数性质、构造法、函数单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解 能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，是中档题 选做题：请在选做题：请在 22、23 题中任选一题作答，写清题号如果多做，则按所做第一题记分题中任选一
31、题作答，写清题号如果多做，则按所做第一题记分 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为：（ 为参数） 以直角坐标 系的原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （1）求直线 l 的直角坐标方程； （2）若点 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 距离的最大值，并求出此时点 P 的坐标 【分析】 （1）把展开两角差的正弦，然后结合极坐标与直角坐标的互化公式即可求 得直线 l 的直角坐标方程； （2）设 P（2cos，sin） ，写出点到直线的距离公式，再由三角函数求最值 【解答】解： （1）由，得， 即，代入，得 直线
32、 l 的直角坐标方程为； （2）由曲线 C 的参数方程（ 为参数） ，可设 P（2cos，sin） ， 则点 P 到直线 l 距离 d（tan） 当 sin（）1 时，点 P 到直线 l 距离取最大值为， 此时 ，kZ，kZ cos，sin， P 点坐标为（） 【点评】 本题考查简单曲线的极坐标方程， 考查点到直线距离公式的应用， 训练了利用三角函数求最值， 是中档题 23设函数 f（x）|x+1|+|x1|，xR，不等式 f（x）2的解集为 M （1）求 M； （2）当 a，bM 时，证明：|a+b|ab+3| 【分析】 （1）由条件利用绝对值的意义求出不等式 f（x）2的解集 M （2）
33、用分析法证明此不等式， 分析使此不等式成立的充分条件为 （a23） （3b2） 0， 而由条件 a， bM 可得（a23） （3b2）0 成立，从而证得要证的不等式 【解答】解： （1）不等式即|x+1|+|x1|2， 而|x+1|+|x1|表示数轴上的 x 对应点到1、1 对应点的距离之和， 和对应点到1、1 对应点的距离之和正好等于 2， 故不等式的解集为 M，； （2）要证|a+b|ab+3|，只要证 3（a+b）2（ab+3）2， 即证：3（a+b）2（ab+3）23（a2+b2+2ab）（a2b2+6ab+9） 3a2+3b2a2b29（a23） （3b2）0， 而由 a，bM，可得a，b， a230，3b20， （a23） （3b2）0 成立， 故要证的不等式|a+b|ab+3|成立 【点评】本题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式的解法，用分析法证明不等式，体现了转化的数学 思想，属于中档题