1、 1 第第 1616 讲讲 四点共圆（二）四点共圆（二） 模块一：四点共圆的判定（二）模块一：四点共圆的判定（二） 两条线段被一点分成（内分或外分）两段长的乘积相等，则这两条线段的四个端点共圆 四边形ABCD的对角线AC、BD交于H， 若AH CHBH DH，则ABCD、 、 、四点共圆. 四边形ABCD的对边BA、CD的延长线交于P， 若PA PBPD PC，则ABCD、 、 、四点共圆. 模块二：四点共圆的应用模块二：四点共圆的应用 模块三：四点共圆的构造模块三：四点共圆的构造 模块一模块一 四点共圆的判定（二）四点共圆的判定（二） （1）如图 1-1，若过相交两圆的公共弦上一点P作一个圆
2、的弦CD，另一圆的弦EF求证：C、D、E、F四点共 圆 （2）如图 1-2，AD为ABC中BC边上的高线，DEAB于点E，DFAC于点F求证：B、C、F、E四点 共圆 图 1-1 图 1-2 【解析】【解析】（1）在圆O中，OP DPAP BP 在圆 O 中，EP FPAP BP，所以CP DPEP FP，故C、D、E、F四点共圆 （2）ADBC，DEAB，DFAC， 2 ADAE AB，AE ABAF AC， AE ABAF AC，B、E、F、C四点共圆 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查利用圆幂定理证明四点共圆 P O O F E D C B A F E D C B A 例题
3、1 D C A B H O B C D A P 2 如图，P是O外一点，PA和PB是O的切线，A、B为切点，PO与AB交于点M，过M任作O的弦CD求证： C、O、D、P四点共圆 【解析】【解析】连接OC、OD，PA、PB是切线， OAPA，ABOP，AMBM， 2 AMOM PM，AM BMCM DM， OM PMCM DM，C、O、D、P四点共圆 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要让孩子们进行练习，主要是例题 1 的拔高练习 模块二模块二 四点共圆的应用四点共圆的应用 （1） 如图 3-1， 四边形ABCD是正方形，M是BC上一点，MEAM交BCD的外角平分线于E， 求证：AMEM
4、（2） 如图 3-2， 正方形ABCD的中心为O， 面积为 1989cm 2， P为正方形内一点， 且45OPB，:5:14PA PB ， 求PB的长 图 3-1 图 3-2 【解析】【解析】（1）连接AC、AE， 四边形ABCD是正方形， CE是外角平分线， ，A、M、C、E四点共圆， ， A B C D E M OP D C BA 45ACD 45DCE90ACE 90AME 45AEMACB 45EAMAMEM 例题 2 例题 3 M E D C B A C O A P B D M C O A P B D M 3 （2）连接OA、OB，ABCD是正方形， 90AOB，45OAB， 45O
5、PB，A、B、O、P四点共圆， 90APB 在RtABP中，90APB， 222 PAPBAB， 设5PAk，14PBk，则 22 251961989kk， 解得 2 9k ，3k ，42cmPB （1）如图 4-1，在五边形ABCDE中，ABCADE ，AECADB 求证：BACDAE （2） 如图 4-2， 锐角ABC，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，DGCE于G，EFBD于F 求证：FG/BC 图 4-1 图 4-2 【解析】【解析】（1）设BDCE、相交于O，连接AO AECADB ，A、O、D、E四点共圆， AOEADE ，DOEDAE ， ABCADE ，ABCAOE ， A
6、、O、C、B四点共圆，BACBOC ， BOCDOE ，BACDAE （2）连接DE，BD、CE是高线， 90BECBDC ， B、C、D、E四点共圆， CBDCED ， DGCE，EFBD， 90EFDDGE ， D、E、F、G四点共圆， DFGDEG ，DFGDBC ， FG/BC 【教师备课提示】【教师备课提示】例 3 和例 4 主要考查四点共圆的应用 E D C B A GF E D CB A 例题 4 O P D C AB O A B C D E A BC D E FG 4 如图， 已知ABC中，AH是高，AT是角平分线， 且TDAB，TEAC 求证：（1）AHDAHE；（2） BH
7、CH BDCE 【解析】【解析】（1）TDAB，TEAC， 90ADTAET ， A、D、T、E四点共圆，且AT是直径， AHBC，90AHT， H也在圆上，即A、D、T、H、E五点共圆 AT是角平分线，DTET， ADAE，AHDAHE （2）由（1）可知，BT BHBD BA，CH CTCE CA， BHBA BDBT ， CHCA CECT AT是角平分线， ABAC BTCT ， BHCH BDCE 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查四点共圆的应用练习，主要是例 3 和例 4 的拔高练习 模块三 四点共圆的构造 （1）如图 6-1，在四边形ABCD中，98DAC，82DBC
8、，70BCD，BCAD，则ACD _ （2）如图 6-2，在ABC的边AB、AC上分别取点Q、P，使得 1 2 PBCQCBA 求证：BQCP 图 6-1 图 6-2 Q P C B A 例题 5 例题 6 A B D E THC BA CD 5 【解析】【解析】（1）28； （2）， 作点P关于BC的对称点M，连接BM、CM， 则，B、M、C、Q四点共圆， ， 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查四点共圆的构造和应用，有互补的角可以构造 在四边形ABCD中，25BAC，20BCA，50BDC，40BDA，求DBA 【解析】【解析】延长到使得，连接AE、CE ， ， ， A、B、C、
9、E四点共圆， ， ， ， D是圆心，DBDA， 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查四点共圆求角度 1 2 PBCQCBA BQCBPCAACQAABP AABPPBCACQBCQ 180AABCACB 180BQCBMCMCPC MBCPBCBCQBQCMBQCP A B C D P E P D C B A BDEDEAD 40ADBADED 20DAEDEA 20ACBACBAED 25CEBCAB 50BDC25DECDCE CDDE 70DABDBA 例题 7 M A BC PQ 6 如图，ABCD是圆内接四边形，AB、DC的延长线交于E，AD、BC的延长线交于F，EP、FQ
10、切圆于P、Q两点，求 证： 222 EPFQEF 【解析】【解析】设BCE的外接圆交EF于G，连接CG PE、QF是O的切线， 2 PEEC ED， 2 QFFC FB， ABCD是圆内接四边形，180CBECDF， B、C、D、E四点共圆，CGFCBE ，FG FEFC FB， 180CGFCDF，C、D、F、G四点共圆，EC EDEG EF， 222 EPFQEC EDFC FBEG EFFG EFEF 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要是考查四点共圆的构造 模块一 四点共圆的判定（二） 如图，圆 1 O、 2 O相交于点A、B，P是BA延长线上一点，割线PCD交圆 1 O于C、D
11、，割线PEF交圆 2 O于E、F求 证：C、D、F、E四点共圆 【解析】【解析】由题意知A、B、D、C四点共圆， 则有PA PBPC PD 又A、B、F、E四点共圆， 则有PA PBPE PF 所以PC PDPE PF， 所以C、D、F、E四点共圆 QP F E D C B A G A B C D E F PQ 例题 8 演练 1 演练 2 O2 O1 P F E D C B A 7 如图，P是O外一点，PA切O于点A，PBC是O的割线，ADPO于D求证：B、C、O、D四点共圆 【解析】【解析】连接OA，OB， PA是切线，OAPA， ADOP， 2 PAPD PO， 又 2 PAPB PC，
12、PD POPB PC， B、C、O、D四点共圆 模块二 四点共圆的应用 （1） 如图 3-1，2AB ，AC平分DAB，180DABDCB，120DCB， 当A B DC B F时， 则AC _ （2）如图 3-2，正方形ABCD的中心为O，面积为 2009，P为正方形内的一点，且45OPB，:4:5PA PB ， 则PB _ 图 3-1 图 3-2 【解析】【解析】（1）31； （2）35 A B C D POOP D C B A P O D CB A 演练 3 演练 4 A D C E B F 8 （2013 年成都中考）如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，90AC ，BDBE，A
13、DBC若 3AD ，5CE ，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQDP，交直线BE与点Q，当点P与A，B两点不 重合时，求 DP PQ 的值 【解析】【解析】由题意得， 90DPQDBQ，D、P、B、Q四点共圆 DQPDBA， 3 =tantan 5 DPAD DQPDBA PQAB 如图，已知在五边形ABCDE中，3BAE，BCCDDE，且1802BCDCDE 求证： BACCADDAE 【解析】【解析】连接BD、CE，BCCD，1802BCD，CBDCDB ， 1803BDE，180BAEBDE，A、B、C、D、E四点共圆 同理A、B、C、E四点共圆，A、B、C、D、E五点共圆， BC
14、CDDE，BACCADDAE 模块三 四点共圆的构造 如图所示，在梯形ABCD中，AD/BC，1BCBD，ABAC，1CD ，且180BACBDC，求CD的长 【解析】【解析】如图，作点D关于BC的对称点D，连接AE、BE、CE 设AE与BC交于点F 由AD/BC，知点A、E到BC的距离相等则 E DC B A A B CD E AFEF 演练 5 演练 6 E D APBC Q E D APBC Q A B D C 9 设， 由，得故A、B、E、C四点共圆 由，得故 又 故 由角平分线的性质得 又因为，所以， 于是，由，解得故 CDCExAFEFm 180BACBDC180BACBEC ABACABCACB AEBACBABCAEC EBFEAC BEAE BFEACE EFCE 2 2mAE EFBE CEx 1BFBE CFCEx 1BFCF 1 1 BF x 1 x CF x 2 2 (1) x mAF EFBF FC x 2 2 (1) x x x 21x 21CD A B D FC E 10