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初三上册数学直升班培优讲 义:第14讲 圆四(教师版)

1、第第 1414 讲讲 圆(圆(四)四) 模块一模块一 圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系 圆和圆的位置关系:圆和圆的位置关系:圆和圆外离、圆和圆外切、圆和圆相交、圆和圆内切、圆和圆内含五种,这五种关系 由两圆圆心的距离与两圆半径之和或差的大小关系决定 设 1 O、 2 O的半径分别为r、R(其中Rr) ,两圆圆心距为d,则有: dRr两圆外离;dRr两圆外切;RrdRr两圆相交; dRr两圆内切;0dRr两圆内含 说明:说明:圆和圆的位置关系,既考虑了他们公共点的个数,又注意到位置的不同,若以两圆的公共点的个数 来分,又可分为三大类:相离、相切、相交,其中相离两圆没有公共点,它包括外离与内含两种

2、情况;相切两 圆只有一个公共点,它包括内切与外切两种情况 模块二模块二 圆幂定理圆幂定理 1 1相交弦定理相交弦定理 相交弦定理:相交弦定理:圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等 如图,弦AB和CD交于O内一点P,则PA PBPC PD 2 2切割线定理切割线定理 切割线定理:切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线 段长的比例中项 如图,PT是O的切线,PAB为O的割线,则 2 PTPA PB 3 3割线定理割线定理 割线定理:割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长 的积相等 如图,PAB和PCD为O的两条割线

3、,则PA PBPC PD 模块一 圆和圆的位置关系 (1)若两圆的直径分别是 2 和 6,两圆的圆心距是 4,则两圆的位置关系是( ) A外离 B外切 C相交 D内切 (2)两圆的圆心距为 3,两圆的半径分别是方程 2 430 xx的两个根,则两圆的位置关系是( ) A相交 B外离 C内含 D外切 (3)若两个圆相切于A点,它们的直径分别为 10cm、4cm,则这两个圆的圆心距为_ (4)已知 1 O与 2 O两圆内含, 12 3OO , 1 O的半径为 5,那么 2 O的半径r的取值范围是_ 例题 1 A C B D P O T A O B P D A O B P C 【解析】【解析】(1)

4、B; (2)A; (3)7cm 或 3cm; (4)02r或8r 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查圆和圆的位置关系 如图, 1 O与 2 O相交于A、B两点, 1 O在 2 O的圆周上, 1 O的弦AC交 2 O于D点,求证:线段 1 O D与 BC垂直 A 1 O 2 O D C B A 1 O 2 O D C B 【解析】【解析】连 1 OC、 1 O B、AB,则 在 2 O中, 1 CABDO B 在 1 O中, 1 1 2 CABCO B, 于是有 11 1 2 DO BCO B, 即 1 O D是 1 CO B的平分线 又 11 OCO B,则 1 CO B是等腰三角

5、形, 且 1 CO B是顶角,所以 1 O DBC 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查两圆的公共弦,常作为两圆的圆周角中间的联系. (1) 如图3-1, 已知 1 O与 2 O外切, 外公切线AB与 1 O、 2 O分别相切于A、B两点,AB与 12 O O的夹角30P, 若 12 2OO ,求两圆的半径及外公切线长 (2)如图 3-2, 1 O与 2 O外离,AB,CD是内公切线交于P点, 12 O O是圆心距,若 12 10cmOO ,且 1 O的 半径为 2cm, 2 O的半径为 3cm,求两条内公切线长及它们所夹锐角的度数 A 1 O 2 O B P A D 1 O 2 O

6、 C P B 图 3-1 图 3-2 【解析】【解析】(1)连接 1 O A、 2 O B,作 21 O CO A于C, 则四边形 2 ACO B是矩形, 2 O CAB, 2 O BAC, 21 30CO OP , 在 12 RtOCO中, 12 2OO , 21 30CO O, 1 1OC 例题 2 例题 3 22 2 213O CAB, 即外公切线长为3 设 1 O、 2 O的半径分别为R、r, 则2Rr,1Rr, 3 2 R , 1 2 r , 即两圆半径分别为 3 2 和 1 2 (2)连接 1 O A, 2 O B,过 12 16Rrr点作 1 /O E AB交 2 O B的延长线

7、与点E, 则四边形 1 AO EB是矩形, 1 AOBE, 1 O EAB, 2 235O E 在 11 RtOO E中, 22 2 1055 3ABO E 即两圆的内公切线长为5 3cm 在 12 RtOO E中, 2 12 51 102 O E OO , 12 30OO E, 两条内公切线夹角为60 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查公切线的求法,外公切线和内公切线的求法. (1)如图 4-1,矩形内放置 8 个半径为 1cm 的圆,其中相邻两个圆都相切,并且左上角和右下角的两个圆和矩 形的边相切,则该矩形的面积为_ (2)如图 4-2,PQ、 1 PO、 1 OQ分别是以 1

8、 O、 2 O、 3 O为圆心的半圆 1 C、 2 C、 3 C的直径,圆 4 C内切于半圆 1 C 及外切于半圆 2 C、 3 C若24PQ ,圆 4 C的面积为_ 1 C P 213 OOO Q 2 C 3 C 4 C4 O 图 4-1 图 4-2 【解析】【解析】(1) 2 (189 3)cm; (2)连结 14 O O、 34 O O,设 4 O的半径为r, 24PQ , 1 12O P , 13 6OO , 14 12OOr, 34 6O Or, 根据圆的对称性, 14 OOPQ, 222 (12)6(6)rr,解得4r , 4 2 16 O Sr 【教师备课提示】【教师备课提示】这

9、道题主要考查多圆相切问题,连接圆心距 例题 4 A D 1 O 2 O C P B E A 1 O 2 O B P C 模块二 圆幂定理 (1) 如图 5-1, 已知O的弦AB、CD相交于点P,6cmPA,9cmPB ,:1:3PC PD , 则CD _ (2) 如图5-2, 在O中, 弦AB与半径OC相交于点M, 且O M M C ,1.5AM ,4BM , 则OC的长为_ (3) 如图5-3, 点P为弦AB上的一点, 连接OP, 过点P作PCOP,PC交O于C, 且O的半径为3 若4AP , 1PB ,则OP的长为_ A C O P D B A C O M B A C O P B 图 5-

10、1 图 5-2 图 5-3 【解析】【解析】(1)12 2cm; (2)2 2(延长CO交O于点N即可) ; (3)5(延长CP交O于点Q即可) 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查基础的相交弦定理的应用. (1) 如图 6-1, 一圆周上有三点A,B,C, A的平分线交边BC于D, 交圆于E, 已知5BC ,4AC ,6AB , 则AD DE_ (2)如图 6-2,已知AB为O的直径,C为O上一点,CDAB于D,9AD ,4BD ,以C为圆心,CD 为半径的圆与O相交于P,Q两点,弦PQ交CD于E,则PE EQ_ A E D B C A E P ODB C Q 图 6-1 图 6-

11、2 【解析】【解析】(1)AD平分BAC 42 63 DCAC DBAB 又5DCDBBC 2CD ,3BD , 由相交弦定理,得6AD DECD BD; (2)延长DC交C于M,延长CD交O于N 例题 5 例题 6 2 CDAD DB,9AD ,4BD , 6CD 在O、C中,由相交弦定理可知,PE EODE EMCE EN, 设CEx,则6DEx,6ENx 则(6)(6)(66)xxxx,解得3x 所以,3CE ,3DE ,9EM 所以3 927PE EQ 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查相交弦定理,相对来说比较综合. 如图,已知O的弦AB,CD相交于点P,4PA,3PB ,

12、6PC ,EA切O于点A,AE与CD的延长线交于 点E,2 5EA ,求PE的长 【解析】【解析】弦AB,CD交于点P, 由相交弦定理得PA PBPC PD, 4PA,3PB ,6PC , 2PD , EA为O切线,由切割线定理得: 2 ()(8)AEED ECED EDDPPCED ED 2 5AE , 2ED ,10ED (舍去) , 224PEPDDE 如图,已知AB是O的直径,C是圆上一点,延长BC至D,使CDBC,连接AD,过C作CEAD于E,BE 交O于F求证:EF EBAE DE 【解析】【解析】连接OC、AC,OBOA,BCCD,/OC AD, CEAD,OCCE,CE是O的切

13、线 2 ECEF EB,AB是O的直径, 90ACD, CEAD,ACECDE, 2 CEDE AE, EF EBDE AE 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查切割线定理和射影模型的结合,考察综合. O F ED C B AA B C DE F O 例题 7 例题 8 O P E D C B A (1)如图9-1,过点P作O的两条割线分别交O于点A、B和点C、D,已知3PA ,2ABPC,则PD的长 是_ (2) 如图9-2,AB是O的直径, 弦CDAB, 垂足为E,P是BA延长线上的点, 连接PC交O于F, 如果7PF , 13FC ,且:2:4:1PA AE EB ,则CD的长

14、是_ (3)如图 9-3,BC是半圆O的直径,EFBC于点F,5 BF FC 已知点A在CE的延长线上,AB与半圆交 于D,且8AB ,2AE ,则AD的长为_ P AB C O D P F C AO D B E BOF C A D E 图 9-1 图 9-2 图 9-3 【解析】【解析】(1) 15 2 ; (2)4 10; (3)连结BE,BC是O的直径, 90BECBEA , EFBC,由射影定理得 2 5 BFBE CFCE , 5 BE CE , 在RtABE中, 22 2 15BEABAE, 2 3 5 BE CE 由割线定理得AD ABAE AC, 2(22 3)13 82 AE

15、 AC AD AB 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要是割线定理的基础应用. 如图,四边形ABCD内接于以BC为直径的圆O,且ABAD,DA、CB的延长线相交于P点 CEPD于E,PBBO,已知18DC ,求DE的长 例题 9 例题 10 BOF C A D E E P A D B C O E P A D B C O 【解析】【解析】连接AO,AC设O半径为r 1 2 ABBD,AOBDCB /AO DC 设ADx,则2 PAPO ADOC 2PAx 由割线定理有:PA PDPB PC,即223xxxrr 22 1 2 xr, 2 2 xr 2 2 r ABAD CDECBA ,90C

16、EDCAB , CDECBA ABED BCDC 又 2 2 2 24 r AB BCr , 29 2 42 DEDC 模块一 圆和圆的位置关系 (1)图中包含的两圆之间不同的位置关系有_ (2)平面直角坐标系中,O的圆心在原点,半径为 3,A的圆心A的坐标为(3,1),半径为 1,那么O 与A的位置关系是_ (3)已知两圆相切,两圆半径分别为 6cm 和 3cm,则圆心距为_ 【解析】【解析】(1)内含、内切、相交、外切、外离; (2)内切; (3)4.5cm 或 1.5cm 演练 1 演练 2 如图, 1 O和 2 O都经过A,B两点,经过点A的直线CD与 1 O交于点C,与 2 O交于点

17、D,经过B的直线 EF与 1 O交于点E,与 2 O交于点F (1)求证:/CE DF (2)在图中,CD与EF可以分别绕点A和点B转动,当点C与点E重合时,过点E作直线/MN DF,试判断 直线MN与 1 O的位置关系,并证明你的结论 C A EB F D 1 O 2 O M A E B F D 1 O 2 O N 【解析】【解析】(1)在中连接AB,如图所示 ABEC是 1 O的内接四边形, BADE, ADFB是 2 O的内接四边形, 180BADF, 180EF,CEDF, (2)MN与 1 O相切, 过E作 1 O的直径EH,连接AH和AB, /MN DF,MEAD 又DABE,AB

18、EAHE, MEAAHE EH为 1 O的直径, 90EAH, 90AHEAEH, 90MEAAEH EH为 1 O的直径 MN为 1 O的切线 (1) 如图3-1, 1 O与 2 O外切于点T, 它们的半径之比为2:3,AB是它们的外公切线,A、B是切点, 且4 6AB , 则 12 O O的值是_ (2)如图 3-2, 1 O和 2 O的半径为 1 和 2,连接 12 O O交 2 O于点P, 12 5OO ,若将 1 O绕点P按顺时针 方向旋转360,则 1 O与 2 O共相切_次 (3)某人用如下方法测一钢管的内径:将一小段钢管竖直放在平台上,向内放入两个半径为 5cm 的钢球,测得

19、上面一个钢球顶部高16cmDC (钢管的轴截面如图 3-3 所示) ,则钢管的内直径AD长为_ 演练 3 C A EB F D 1 O 2 O M A E B F D 1 O 2 O N A 1 O 2 O T B A D BC 图 3-1 图 3-2 图 3-3 【解析】【解析】(1)连结 1 O A、 2 O B,过 1 O作 12 OCO B于C, 则四边形 1 O ABC是矩形, 1 4 6OCAB, 1 BCAO 设 1 2AOk, 2 3BOk, 221 32COBOAOkkk, 12 235OOkkk, 在 12 RtOCO中, 12 90OCO, 222 1212 OCO CO

20、O,即 222 (4 6)(5 )kk,解得2k , 12 10OO (2)3(如右图所示) (3)18cm 模块二 圆幂定理 (1)如图 4-1,O的弦AB与CD相交于点P,已知3cmPA,4cmPB ,2cmPC ,PD _ (2)如图 4-2,已知O中,弦25cmAB ,M是AB上一点,13cmOA,5cmOM ,则AM _ A C D B O P A B O M 图 4-1 图 4-2 【解析】【解析】(1)6cm; (2)作过O、M两点的直径,分别交O于C、D, 则由相交弦定理可知8 18144AM BMCM DM , 又25AMBM, 16cmAM 或 9cm PO2 O1 演练

21、4 演练 5 1 OP 2 O AOB C P D (1)如图,PC是半圆的切线,且PBOB,过B的切线交PC于点D,若6PC ,则O半径为_, :CD DP _ (2) (2014 石室联中月考)点A是半径为 3 的圆外一点,它到圆的最近点的距离为 5,则过点A的切线长为 _ (3)如图,两圆相交于C、D,AB为公切线,若12AB ,9CD ,则MD _ 【解析】【解析】(1)2 3;1:2; (2)55; (3)AB是两圆的公切线, 2 AMMD MC, 2 BMMD MC, 6AMBM, 2 6(9)MD MD,解得3MD 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查切割线定理的基础应

22、用. 如图, 四边形ABCD是边长为a的正方形, 以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P 延 长AP交BC于点N,求 BN NC 的值 【解析】【解析】连结BP并延长交AD于E,连结CP并延长交AB于M,交DA延长线于F 易知BECF,由弦图的基本模型可知BECM,BMAE, 又由切割线定理可知 2 MAMP MC, 2 MBMP MC, MAMB,即M是AB中点, 1 2 AMBMAEa, 由此可知AFBCa, 3 2 EFa, /DF BC,EPFBPC,APFNPC, 3 2 EFPFAF BCPCCN , 2 3 CNa, 21 33 BNaaa, 1 2 BN NC 演练 6 D C AB N E P M F D C AB N P M D C BA