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初三上册数学直升班培优讲 义:第12讲 圆二(教师版)

1、 1 第第 1212 讲讲 圆(二)圆(二) 模块一模块一 弧、弦、圆心角弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距、圆周角、弦心距之间的关系之间的关系 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等 推论:推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们 所对应的其余各组量分别相等 总结:总结:在同圆或等圆中,弧、弦、圆心角、圆周角和弦心距的关系 1弧、圆心角、圆周角可以转换,弧相等,则圆心角相等,圆周角相等;圆心角相等,则弧相等,圆周角 相等 2弦和弦心距可以相互转化,弦相等,则弦心距相等;弦心距相等,弦相等 3弧和弦不可以相互转

2、化,弧相等,则弦相等;弦相等,弧不一定相等,因为弧对应的弦只有一条,而弦 对应的弧有两条 模块二模块二 基本定理综合基本定理综合 模块三模块三 点、直线和圆的位置关系初步点、直线和圆的位置关系初步 1 1点和圆的位置关系有点和圆的位置关系有三种三种: 点在圆上、点在圆内和点在圆外,这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定设O的半 径为r,点P到圆心O的距离为d, 则有:点在圆外dr; 点在圆上dr; 点在圆内dr. 2 2三角形的外接圆三角形的外接圆 (1)确定圆的条件:不在同一直线上的三点确定一个圆 (2)外接圆定义:经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三

3、条边垂直平分 线的交点,叫做三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形 注意:注意: (1)外心的确定:三条垂直平分线的交点,锐角三角形的外心在它的内部;直角三角形的外心在斜边中点 处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半) ;钝角三角形的外心在它的外部 (2)外心到三个顶点的距离相等,都等于外接圆的半径 3 3直线和圆的关系有三种:相交、相切和相离直线和圆的关系有三种:相交、相切和相离 位置关系 定义 图形 性质及判定 直线l与O相交 直线与圆有两个交点, 直线叫做 圆的割线 r O O d l dr 直线l与O相切 直线与圆有唯一交点, 直线叫做 圆的切线,交点叫做圆的切点 r O O

4、 d l dr 直线l与O相离 直线与圆没有交点 r O O d l dr 2 模块一 弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系 (1)如图 1-1,已知O中,ABAC,65C,则A_ (2)如图 1-2,=BC AD,弦AB与弦CD交于点E,90CEB,则CAB等于_ (3)如图 1-3,ABC中,70A,O截ABC的三边所截得的弦都相等,则BOC_ A BC O g A B C g E D A B C g O 图 1-1 图 1-2 图 1-3 【解析】【解析】(1)50; (2)45; (3)125 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查弧、弦、圆心角、圆周角和弦心距的关系 已知

5、:如图,MN是O的直径,点A是半圆上一个三等分点,点B是AN的中点,P是MN上一动点,O的半 径为 1,则PAPB的最小值是_ O M N A B P O M N A B P B 【解析】【解析】作B点关于MN的对称点B,连结AB与MN交于点P, 易证得,此时PAPB取得最小值 根据圆的对称性,B点在O上,且B NBN, A是半圆的三等分点, 1 3 ANMAN,60AON,B是AN的中点, 1 30 2 BONAON,30B ON,90AOBAONB ON , O半径为 1,1OAOB,22ABOA,PAPB的最小值为2 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查弧和圆心角的关系,综合将

6、军饮马 例题 1 例题 2 例题 3 3 (1)在同圆中,CD所对的圆心角小于180,且2ABCD(AB可以是优弧) ,那么弦AB和弦CD的大小关系 为( ) AABCD BABCD CABCD D无法确定 (2) (嘉祥月考)如图,在O中,2ABCD,那么( ) A2ABCD B2ABCD C2ABCD DAB与2CD的大小关系不能确定 【解析】【解析】(1)D; (2)如图所示,作DECD,则2CECD, 在CDE中CDDECE,2CDCE, 2ABCD,ABCE, ABCE,即2ABCD故选A 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查弧和弦的关系 模块二 基本定理综合 已知:在半径

7、为2 5的Oe内,有互相垂直的两条弦AB,CD,它们相交于P点 (1)设BC的中点为F,连接FP并延长交AD于E,求证:EFAD (2)若8AB ,6 2CD ,求O、P两点之间的距离 【解析】【解析】(1)F为BC的中点,CPB为直角三角形,PFFC,CPFC 又AC ,DPECPF ,ADPE 90AD ,90DPEDEFAD (2)作OMAB于M,ONCD于N,OMPN为矩形 连接OB,OD,OP,由垂径定理,得4AMBM,3 2CNDN 由勾股定理,得2OM ,2ON 6OP 如图所示,圆O是ABC的外接圆,BAC与ABC的平分线相交于点I,延长AI交圆O于点D,连结BD、 CD (1

8、)求证:BDCDDI (2)若圆O的半径为 10cm,120BAC,求BDC的面积 P E D O B F C A N M P E D O B F C A 例题 4 例题 5 A C D B O A C D B O E 4 B A C D I gO B A C D I gO 【解析】【解析】(1)AD平分BAC,BADCAD ,BDCD,BDCD DBCDAC ,BADDBC , BI平分ABC,ABICBI , BADABIDBCCBI , BADABIBID,DBIBID,BDDI,BDCDDI (2)连接BO、DO, 120BAC,60BAD, 120BOD,60BCD, BDCD,BC

9、D是等边三角形, 10cmBODO,10 3cmBD , 22 3 (10 3)75 3cm 4 BCD S 如图,已知ABC是O的内接三角形,ABAC,点P是AB的中点,连接PA,PB,PC (1)如图 6-1,若60BPC求证:3ACAP (2)如图 6-2,若 24 sin 25 BPC,求tanPAB的值 图 6-1 图 6-2 【解析】【解析】(1)证明:BCBC,60BACBPC 又ABAC,ABC为等边三角形 60ACB,点P是AB的中点, 30ACP又60APCABC ,90PAC 在RtPAC中,30ACP,3ACAP (2)解:连接AO并延长交PC于E,交BC于F,过点E作

10、EGAC于点G,连接OC ABAC,AFBC,BFCF 点P是AB的中点,ACPPCB EGEF 图 图 P A B C C B P A O O 图 图 P A B C C B P A O O 例题 6 5 BPCFOC 24 sinsin 25 FOCBPC 设24FCa,则25OCOAa,7OFa,32AFa 在RtAFC中, 222 ACAFFC,40ACa 在RtAGE和RtAFC中,sin EGFC FAC AEAC , 24 3240 EGa aEGa 12EGa 121 tantan 242 EFa PABPCB CFa 在ABC中,ACBC,M是它的外接圆上包含点C的AB的中点

11、,AC上的点X使得MXAC,求证: AXXCCB 解法一:过点M作/MN AC交O于1C , 过点N作NEAC于E ANCM,AECX, AMBM,MNBC MNBC,BCEX,AXXCCB; 解法二:如图,在XA上取一点D,使得XDXC, 连接MC,MB,MD,MA, 由XCXD,XMCD,MDMC, 又M是圆上包含点C的弧AB的中点 MAMB,又MBCMAD , MDCMCDBAM ,AMDBMC , MADMBC,ADBC AXADDX,AXXCBC; 解法三:如图,过M点作MEBC交BC延长线于E, 连结MA、MB、MC, M是圆上包含点C的弧AB的中点, MAMB, MXAC,MEB

12、C, 90AXMBEM , 又MAXMBE, AMXBME, MXME,AXBE MCEMABMBAMCA , MCXMCE, CXCE, AXBEBCCEBCCX (类似此方法还可以“延长BC到E,使CECX,连结ME” ) 解法四:如图,延长AC到F,使FXAX,连结MA、MB、MC、MF, M是圆上包含点C的弧AB的中点, 例题 7 C B P A O F G E A O XM B C E N A O XM B C D A O XM B C A O XM B C E 6 MAMB,MABMBA, MXAC,AXFX, MAMF, MBMF,MAFMFA, MACMBC ,MBCMFC ,

13、 MCAMFCCMF ,MCAMBAMAB , MABMFCCMF , BACBMC ,CBMCAM , MABBACCAMBMCCBM , MFCCMFBMCCBM , BMCCMF , MBCMFC,CFBC, AXFXXCCFXCBC 此法还可以连接FB,利用等腰三角形的性质可以证得结论 【教师备课提示】【教师备课提示】此题为阿基米德折弦定理,还有很多种不同的解法,老师们可以引导学生拓展思维,多总结 方法. 模块三 点、直线和圆的位置关系 (1)已知矩形ABCD的边6AB ,8AD 如果以点A为圆心作A,使B、C、D三点中在圆内和在圆外都至 少有一个点,那么A的半径r的取值范围是_ (2

14、)(七中育才月考) 一个已知点到圆周上的点的最大距离为 5cm, 最小距离为 1cm, 则此圆的半径为_ 【解析】【解析】(1)610r; (2)当点在圆外时, 51 2cm 2 r ,当点在圆内时, 51 3cm 2 r 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查点和圆的位置关系 (1)确定已知弧AB所在圆的圆心 (2)在ABC中,90C,3cmAC ,4cmBC ,则它的外接圆的直径为_ (3)ABC中,10ABAC,12BC ,则其外接圆的半径为_ 【解析】【解析】(1)在AB上任取一点C,连接AC、BC 作弦AC、BC的中垂线,他们的交点即为圆心O 例题 8 例题 9 B A A

15、O XM B C F 7 (2)5cm; (3) 25 4 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查确定圆的条件和三角形的外接圆 (1)如图 10-1,ABC为等边三角形,6AB ,动点O在ABC的边上从点A出发沿着ACBA的 路线匀速运动一周,速度为 1 个长度单位每秒,以O为圆心,3为半径的圆在运动过程中与ABC的边第二 次相切时是出发后第_秒 (2)如图 10-2,直线AB、CD相交于点O,30AOC,半径为 1cm 的P的圆心在直线AB上,开始时, 6cmPO 如果P以 1cm/秒的速度沿由A向B的方向移动,那么当P的运动时间t(秒)满足条件 时,P与直线CD相交 C B A O

16、 A P D B O C 图 10-1 图 10-2 【解析】【解析】(1)4; (2)48t 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查直线和圆的位置关系 模块一 弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系 (1)如果两条弦相等,那么( ) A这两条弦所对的弧相等 B这两条弦所对的圆心角相等 C这两条弦的弦心距相等 D以上答案都不对 (2)如图,在Oe中,ABAC,40A ,则B_ 例题 10 演练 1 A BC g O 8 【解析】【解析】(1)D; (2)70 模块二 基本定理综合 如图,AC为O的直径,4AC ,B、D分别在AC两侧的圆上,60BAD,BD与AC的交点为E (1)求点

17、O到BD的距离及OBD的度数; (2)若2DEBE,求CD的长 【解析】【解析】(1)作OFBD于点F,连接OD, 60BAD,2120BODBAD , 又OBOD, 30OBD, AC为O的直径,4AC , 2OBOD1OF ,即点O到BD的距离等于 1 (2)OBOD,OFBD于点F,BFDF 由2DEBE,设2BEx, 则4DEx,6BDx,EFx,3BFx 3BF , 3 3 x , 3 3 EF , 在RtOEF中,90OFE,1OF , 3 3 EF , 60OED,30BOE,90DOC, 45C22 2CDOC 已知:如图,在ABC中,ABAC,以AB为直径的Oe分别交BC、A

18、C于点D、E,连接EB交OD于点F (1)求证:ODBE (2)若5DE ,5AB ,求AE的长 C A B D O E F C A B D O E F 【解析】【解析】(1)连接AD, AB是Oe的直径,90ADBAEB , ABAC,CDBD, OAOB,/OD AC, 演练 2 演练 3 B A C D O E F B A C D O E 9 ODBE (2)方法一:90CEBAEB ,CDBD,5AB ,5DE , 5ACAB,22 5BCDE, 在ABE、BCE中,90CEBAEB , 则有 2222 ABAEBCEC, 设AEx,则 2222 5(2 5)(5)xx, 解得:3x

19、,3AE 方法二:ODBE,BDDE,BFEF,设AEx, 1 2 OFx, 在OBF、BDF中,90OFBBFD , 2222 BDDFOBOF, 222 2 5151 ( 5) 2222 xx , 解得:3x ,3AE 方法三:BEAC,ADBC, 11 22 ABC SBC ADAC BE , BC ADAC BE,22 5BCDE,5ACAB,4BE ,3AE 已知点A、B、C、D顺次在O上,ABBD,BMAC于M,求证:AMDCCM A B C M g O D A B C M g O D N A B C M g O D P 【解析】【解析】解法一:补短法 过B点作BNCD交DC延长线

20、于N BMAC,BNCD,90AMBDNB , ABDB,BAMBDN ,ABMDBN, AMDN,BMBN, BCNBADBDABCM , BCMBCN,CMCN, AMDNDCCNDCCM (或延长DC到N,使DNAM,连结BN,也可证得结论 ) 解法二:截长法 在AM上取一点P,使得APDC,连结BP 则很容易证明ABPDBC,BPBC, BMAC,PMCM, AMAPPMDCCM 演练 4 10 模块三 点、直线和圆的位置关系 (1)定义:定点A与O上的任意一点之间的距离的最小值称为点A与O之间的距离现有一矩形ABCD如 图,14cmAB ,12cmBC ,K与矩形的边AB、BC、CD

21、分别相切于点E、F、G, 则点A与K的距离为_ B EA F K CGD (2)一个已知点到圆周上的点的最大距离为 8cm,最小距离为 2cm,则此圆的半径_ (3)如图,已知30MON,在ON上有一点P,5cmOP ,若以P点为圆心,r为半径作圆,当射线OM与 P只有一个公共点时,半径r的取值范围是_ 【解析】【解析】(1)连结KE、AK, 由题意可知K的半径为 6cm,EKAB,6cmBE , 8cmAE , 22 10cmAKAEEK, 点A与K的距离为1064cm (2)5cm 或 3cm; (3) 5 2 r 或5r 已知ABC中,ABAC,D是ABC外接圆劣弧AC上的点(不与点A,

22、C重合) ,延长BD至E (1)求证:AD的延长线平分CDE; (2)若30BAC,ABC中BC边上的高为23,求ABC外接圆的面积 C A B D E F C A B DE gO H F 【解析】【解析】(1)如图,设F为AD延长线上一点 D在ABC外接圆上(A、B、C、D四点共圆) CDFABC 又ABAC,ABCACB , 且ADBACB ,ADBCDF 对顶角EDFADB,故EDFCDF , K G F E DC BA 演练 5 演练 6 N M P O 11 即AD的延长线平分CDE (2)设O为外接圆圆心, 连接AO交BC于H,则AHBC 连接OC,由题意15OACOCA ,75ACB,60OCH 设圆半径为r,则 3 23 2 rr,得2r ,外接圆的面积为4 12