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初三上册数学直升班培优讲 义:第11讲 圆一(教师版)

1、 1 第第 1111 讲讲 圆圆( (一一) ) 模块一模块一 圆的基本概念圆的基本概念 定 义 示例剖析 圆:圆:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转 一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆 固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径 由圆的定义可知:由圆的定义可知: (1)圆上的各点到圆心的距离都等于半径长;在一个平 面内,到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上因此, 圆是在一个平面内,所有到一个定点的距离等于定长的点组成 的图形 (2)要确定一个圆,需要两个基本条件,一个是圆心的 位置,另一个是半径的长短,其中,圆心确定圆的位置,半径 长确定圆的大小 表示为“O” 圆心相同且半径相

2、等的圆叫做同圆; 圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆; 能够重合的两个圆叫做等圆 弦和弧:弦和弧: 1连接圆上任意两点的线段叫做弦经过圆心的弦叫做 直径,并且直径是同一圆中最长的弦,直径等于半径的 2 倍 2圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧 以A、B为端点的弧记作AB,读作弧AB 在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧 3圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一 条弧都叫做半圆 4在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫 做劣弧 表示:劣弧AB 优弧ACB或AmB 圆心角和圆周角:圆心角和圆周角: 1顶点在圆心的角叫做圆心角 2顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角

3、 圆O 半径圆心 A O 等圆 O O 同心圆 O Cm 劣弧 优弧 弦 B A O O D C B A 圆周角 圆心角 2 扇形和弓形扇形和弓形 1一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫 扇形,设扇形的圆心角为,则扇形的面积和弧长: 2 360 Sr , 180 lr 2由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形 模块二模块二 垂径定理垂径定理 1 1圆的对称性圆的对称性 圆是轴对称图形,也是中心对称图形,其对称轴是任意一条过原点的直线,对称中心是圆心 2 2垂径定理垂径定理 垂径定理:垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧 推论:推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,

4、并且平分弦所对的两条弧 注意:注意:垂径定理中的五个元素“过圆心” 、 “垂直弦” 、 “平分弦” 、 “平分优弧” 、 “平分劣弧” ,构成知二 推三. 模块三模块三 圆周角定理圆周角定理 定理 示例 定理:定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对 的圆周角都相等,且都等于它所对的圆心 角的一半 如图, 1 2 ACBADBAOB 推论推论 1 1:半圆(或直径)所对的圆周角是直 角,90的圆周角所对的弧(或弦)是半圆 (或直径) 如图,AB是半圆(AB是直径) ,则90ACB 扇形 A B OO B A弓形 D 图1 O C B A 图3 O C BA 3 推论推论 2 2:圆内接四边形的对角

5、互补 如图,四边形ABCD是O的内接四边形,则 180ABCD ,由推论 2,我们可以得到圆内接 四边形的外角等于内对角,如图,即DCEA 模块一 圆的基本概念 判断下列正误 (1)半径相等的两个圆是等圆 ( ) (2)过圆心的线段是直径 ( ) (3)半圆所对的弦是直径 ( ) (4)直径是圆中最大的弦 ( ) (5)半圆是弧 ( ) (6)长度相等的弧是等弧 ( ) (7)两个端点能够重合的弧是等弧 ( ) (8)圆中任意一条弦所对的弧有两条,其中一条优弧,一条劣弧 ( ) (9)圆的半径是R,则弦长的取值范围是大于 0 且不大于 2R ( ) 【解析】【解析】正确的是(1) (3) (4

6、) (5) (9) 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查圆的基本概念 (1) 如图 2-1,AB为O的直径,CD是O的弦,AB、 CD的延长线交于点E, 若2A BD E,18E,AOC _ (2)如图 2-2,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为 16cm 2,则该半圆的半径为_ E D C B A 图4 O 例题 1 例题 2 4 图 2-1 图 2-2 【解析】【解析】(1)54(连结OD即可) (2)如图,连三条半径,由已知小正方形半径为 4cm, 设大正方形半径为 2x, 则 222 5(4)4xx, 整理得 2 280 xx, 解得 1 4x , 2 2x (

7、舍去) 大正方形半径为 8cm,则半圆的半径为4 5cm 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查对圆的概念的理解,圆上所有点到圆心的距离都等于半径,连半径是一个很 好的思路 模块二模块二 垂径定理垂径定理 (1)如图 3-1,CD为O的直径,ABCD于E,8cmDE ,2cmCE ,则AB _ (2)如图 3-2,矩形ABCD与圆心在AB上的O交于点G、B、F,8cmGB ,1cmAG ,2cmDE ,则EF _ (3) (安徽芜湖中考)如图 3-3,在O内有折线OABC,其中8OA ,12AB ,60AB ,则BC的长 为_ 图 3-1 图 3-2 图 3-3 O E D C BA

8、例题 3 A O B E D C D EF C BA G O C 5 【解析】【解析】(1)8cm; (2)过O点作OHCD于H 由题意得:4cmOG ,5cmAO ,则3cmEH , OHEF, 1 2 EHEF,6cmEF (3)20 【教师备课提示】【教师备课提示】 这道题主要考查垂径定理的应用,作垂线, 连半径是求弦长,求半径, 求弦心距的常见思路 (1)如图 4-1,过O内一点M的最长弦长为 12cm,最短弦长为 8cm,则OM长为_ (2)如图 4-2,点P是半径为 5 的O内一点,且3OP ,在过点P的所有O的弦中,弦的长度为整数的条 数有_ 图 4-1 图 4-2 【解析】【解

9、析】(1)2 5cm; (2)4 条. 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查最短弦的问题 (1)直径为 50cm 的O中,弦AB/弦CD,又40cmAB ,48cmCD ,则AB和CD两弦的距离为_ (2) (郴州中考) 已知在O中, 半径5r ,AB、CD是两条平行弦, 且8AB ,6CD , 则AC的长为_ 【解析】【解析】(1)22cm 或 8cm (2)此题要分四种情况讨论,不仅要讨论弦AB、CD在圆心的同、异侧,还要讨论A、C两点在两弦垂 直平分线的同、异侧如下图 例题 4 例题 5 D EF C BA G O H O M g g O P g 6 连接半径,作出垂径,求解是

10、不困难的 图(1)中2AC ;图(2)中5 2AC ;图(3)中5 2AC ;图(4)中7 2AC AC的长为2或5 2或7 2 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查平行线的问题,注意分类讨论 如图,P为O外一点,过点P引两条割线PAB和PCD,点M,N分别是AB,CD的中点,连接MN交AB,CD与 E,F (1)求证:PEF为等腰三角形; (2)探究:当点P在O上或O内时其它条件不变,结论还成立吗? 图 6-1 图 6-2 图 6-3 【解析】【解析】(1)连结OM,ON,分别交AB,CD于G,H. M,N分 别 是AB,CD的 中 点 , O MA B,ONCD, 即 90MGE

11、NHF . 又OMON,MN ,由此得MEGNFH, 即PEFPFE,PEPF,即PEF为等腰三角形. (2)PEF依旧是等腰三角形,证明方法和(1)类似. 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题是利用垂径定理证明等量关系,也是垂径定理经典应用之一. 图(4)图(3)图(2)图(1) AB CD O E F AB CD O E F AB CD O E FF E O DC BA 例题 6 P M B D N C A E F g O G H P M B D N C A E F g O P M N A B F F g O M A CN B D F E P g O 7 模块三 圆周角定理 (1)已知A

12、、B为O圆周上任意两点,C是优弧AB上一点,请你判断ACB与AOB的大小关系 根据上面的推理,可以发现_ (2)若点D是优弧AB上任意一点,试判断ADB与ACB的大小关系根据上面的推理,可以发现: _ (3)如果点D在劣弧AB上,此时ADB和ACB的大小关系还一样吗?可以得到什么结论? 【解析】【解析】(1)应分为三种情况: 辅助线如图所示,证明过程不再赘述 可以发现:在同圆或等圆中,同弧所对圆周角是圆心角的一半 (2)由(1)可知,ADBACB ,可以发现:在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等 (3)如图,ADB与ACB互补可以得到:圆内接四边形的对角互补 【教师备课提示】【教师备课提示】这

13、道题主要是用于各位老师讲解圆周角定理的证明时候用的一道题,不用自己画图了 (1)一条弦分圆为1:5两部分,则这条弦所对圆周角的度数为_ O O O O C A B D 图3图2图1 D D A B C O O C B A O C B A 图3图2图1 D D A B C O O C B A O C B A 图3图2图1 D D A B C O O C B A O C B A 例题 7 例题 8 O C D A B 8 (2) 如图 8-1,A、B、C、D是O上的点, 直径AB交CD于点E, 已知57C,45D, 则C E B_ (3)如图 8-2,AB为O的弦,ABC的两边BC、AC分别交O于

14、D、E两点,60B,70EDC,则 C_ (4)如图 8-3,ABC内接于O,AB是直径,4BC ,3AC ,CD平分ACB,则弦BD的长为_ 图 8-1 图 8-2 图 8-3 【解析】【解析】(1)30或150; (2)102; (3)50; (4) 5 2 2 【教师备课提示】【教师备课提示】 圆周角定理是圆中倒角的一个基础工具, 需要注意灵活应用,这道题主要是用于大家练习圆周 角定理 如图,ABC是O的内接三角形,点C是优弧AB上一点(点C不与A,B重合) ,设OAB,C猜 想与之间的关系,并给予证明 【解析】【解析】与之间的关系是90 证一:连接OB,则OAOBOBAOAB 1802

15、AOB 11 (1802 )90 22 CAOB 90 证二:连接OB,则OAOB 22AOBC 过O作ODAB于点D,则OD平分AOB 例题 9 D O C B A O C B A C A E B D A C O DB g E C A B O D 9 1 2 AODAOB 在RtAOD中,90OADAOD,90 证三:延长AO交O于E,连接BE,则EC AE是O的直径,90ABE 90BAEE,90 【教师备课提示】【教师备课提示】例 8 和例 9 主要练习下孩子们的圆周角定理的倒角能力 模块一 圆的基本概念 如图,CD是O的直径,87EOD,AE交O于B,且ABOC,求A的度数 【解析】【

16、解析】连结OB,ABOC,OBOC,OBAB, 设Ax,则BOAx.2OBEBOAAx . OEOB,2OEAOBEx . 387EODEAx ,29x ,即29A. (1) 如图 2-1, 点A、D、G、M在半圆O上, 四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形, 设BCa,EFb,NHc, 则下列选项中正确的是( ). Aabc Babc Ccab Dbca O E D C B A O E DC B A 演练 1 演练 2 E O C B A 10 (2) (河南中考)如图 2-2,在半径为5,圆心角等于45的扇形AOB内部作一个正方形CDEF,使点C在OA 上,点D、E在OB上,点F在A

17、B上,则阴影部分的面积为(结果保留)_ 图 2-1 图 2-2 【解析】【解析】(1)选 B(连接OM、OA、OD即可) ; (2) 53 82 (连接OF即可) 模块二 垂径定理 (1)如图 3-1,是一条水平铺设的直径为 2 米的通水管道横截面,其水面宽为 1.6 米,则这条管道中此时水最 深为_米 (2)如图 3-2,已知C是弧AB的中点,半径OC与弦AB相交于点D,如果60OAB,3AB ,那么CD _ (3)(安徽中考) 如图 3-3,O过点BC、 圆心O在等腰直角ABC的内部,90BAC,1OA,6BC , 则O的半径为_ 图 3-1 图 3-2 图 3-3 【解析】【解析】(1)

18、0.4; (2) 3 33 2 ; (3)13 F ED C B A O 演练 3 G M D E N B A HOFC O g A D C B O g A C B 11 O F E DC BA O F E D C BA (1)过O内一点M的最长的弦长为 6cm,最短的弦长为 4cm,则OM的长等于_ (2) 已知O的直径是 10cm,O的两条平行弦6cmAB ,8cmCD , 则弦AB与CD间的距离为_ 【解析】【解析】(1)5cm; (2)AB,CD在圆心O的同侧,当AB,CD在圆心O的同侧时,作OFAB于F, 交CD于E如右图所示 /AB CD,OECD,由垂径定理知: 1 3cm 2

19、AFAB, 1 4cm 2 CECD连结 OA与OC,5cmOAOC 3cmOE ,4cmOF ,AB与CD之间的距离431cmEF ; AB,CD在圆心O的两侧如右图所示,AB与CD之间的距离437cmEF 综上所述,距离为 7cm 或 1cm (湖北中考)如图,AB是O的直径,且10AB ,弦MN的长为 8,若弦MN的两端在圆上滑动时,始终与AB 相交,记点A、B到MN的距离分别为 1 h, 2 h,则 12 hh等于_ 【解析】【解析】解法一:设AB、MN相交于P, 过O点作OHMN于H,连接NO 由垂径定理 1 4 2 NHMN, 1 5 2 NOAB,3OH , AEMN,BFMN,

20、OHMN,/AE OH BF, AEAP OHOP , BFBP OHOP ,即 1 3 hAP OP , 2 3 hBP OP , 12 3 hhAPBP OP , 当P点在O点左侧时,APBP,()()2APBPAOOPBOOPOP 当P点在O点右侧时,APBP,()(2APBPAOOPBOOPOP) 12 6hh 解法二:极端假设法 (1)当N点运动到与A点重合时, 1 0AEh, 2 BFhBM, 此时ABM是直角三角形, 22 6BMABMN, 12 6hh 演练 4 演练 5 A B E F M N O h1 h2 12 D AB C M NO (2)当MN与AB垂直时, 1 AE

21、hAP, 2 BFhBP, 8MN ,由垂径定理知4MPNP,3OP , 532AP ,538BP , 12 6hh 解法三:连接EO并延长交BF于G, 易证AOEBOG, 1 BGAEh, 21 FGhh, 由解法一可知3OH , 21 26hhOH, 当MN在圆心O的另外一侧时, 12 6hh, 12 6hh 解法四:连接BE,作OHMN于H,延长HO交BE于I, 易得I是BE的中点,则 2 11 22 HIBFh, 1 11 22 OIAEh, 21 1 ()3 2 OHHIOIhh, 12 26hhOH 解法五:延长BF交O于G,连接AG,作OHMN于H交AG于J, 易证 1 GFAE

22、h, 12 11 () 22 OJBGhh, 12121 11 ()() 22 OHOJJHhhhhh, 12 26hhOH 如图,已知AB是半圆O的直径,C为半圆周上一点,M是AC的中点, MNAB于N,试判断MN与AC的数量关系并证明 【解析】【解析】 1 2 MNAC 解法一:连结OM,交AC于D,M是AC的中点,OMAC, 即90ADO, 1 2 ADAC, H P A B E F M N O h1 h2 H G h2 h1 O N M F E B A I A B E F M N O h1 h2 H J AB E F M N O h1 h2 G H 演练 6 O M C A g BN

23、13 OAOM,AODMON ,AODMON, ADMN, 1 2 MNAC 解法二:补全圆,延长MN交O于E, 由垂径定理可知,ENMN,即 1 2 MNME, 2MEMA,又M是AC的中点, 2ACMA,ACME,ACME, 1 2 MNAC 模块三 圆周角定理 (1) (四川成都中考)如图 7-1,ABC内接于O,ABBC,120ABC,AD为O的直径,6AD , 那么BD _ (2) (四川南充中考)如图 7-2,AB是O的直径,点C、D在O上,110BOC,/AD OC,则AOD ( ) A70 B60 C50 D40 (3) (山东泰安中考)如图 7-3,O的半径为 1,AB是O的一条弦,且3AB ,则弦AB所对圆周角的度 数为_ 图 7-1 图 7-2 图 7-3 【解析】【解析】(1)3 3; (2)D; (3)60或120 演练 7 ON M E C BA A O D C B A O D C B A O B 14