1、 1 第第 1313 讲讲 圆（三）圆（三） 模块一模块一 切线的性质和判定切线的性质和判定 1 1切线的性质：切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 如图，直线AB与O相切于点P，连接OP，则OPAB. 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 总结：根据圆的切线性质定理，以后在题中看到圆的切线，连半径，得垂直. 2 2切线的判定：切线的判定： 定义：和圆只有一个交点的直线是圆的切线 距离：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 根据圆的切线判定定理，以后在题中证明圆的切线，连
2、半径，证垂直. 模块二模块二 切线长定理切线长定理 1 1切线长定理：切线长定理： 切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的 切线长 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，并且这点和圆心的连线平 分两条切线的夹角 如图所示，PA、PB分别与O切于点A、B，则PAPB，OP平分APB 2 2三角形的内切圆三角形的内切圆 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三条内角平分线 的交点 注意： （1）内心的确定：三条内角平分线的交点，内心一定在三角形的内部 （2）内心到三角形的三边距离相等，都等于内切圆的半径 （3） 常见
3、结论： 如图， 2 bca ADAF ， 2 acb BDBE ， 2 abc CECF ， 1 () 2 ABC Sr abc ， 2 ABC S r abc 模块三模块三 弦切角定理弦切角定理 1 1弦切角定理：弦切角定理： 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角. 弦切角就是切线与弦所夹的角 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 如图所示， 直线AB切圆O于点A，AC为圆O的弦，CmA是弦切角BAC所夹的弧， ADC是CmA所对的圆周角，则BACADC A P B A P B g g g O A B D F EC O g 2 模块一 切线的性质和判定 （1）
4、 如图 1-1，AB是O的直径，1OA，AC是O的弦， 过点C的切线交AB的延长线于点D， 若21BD ， 则ACD_ （2） 如图 1-2， 直线AB与O相切于点A，AC、CD是O的两条弦， 且/CD AB， 若O的半径为 5 2 ，4CD ， 则弦AC的长为_ （3）如图 1-3，CB切O于点B，CA交O于点D且AB为O的直径，点E是ABD上异于点A、D的一点若 40C，则E的度数为_ O A B C D 图 1-1 图 1-2 图 1-3 （4）PA，PB是O的切线，C是圆周上异于A、B的一点，若50P，则C_ 【解析】【解析】（1）112.5（连接OC） ； （2）2 5（连接AO并延
5、长交CD） ； （3）40（连接OD） ； （4）65或115 已知：如图，AB是O的直径，直线CD与O相切于点C，AC平分DAB （1）求证：ADDC； （2）若2AD ， 1 tan 2 DAC，求O直径AB的长 【解析】【解析】（1）连接OC则OCOA，1= 2 AC平分DAB，1= 32= 3 /AD OCDOCE 又直线DE与Oe相切于点C， OCDC于C90OCE 90DADDC （2）在RtADC中， 1 tan 2 DC DAC AD ， 11 21 22 DCAD C O D AB O D CB E A 例题 1 例题 2 3 2 1 O E D C BA O E D C B
6、A 3 由勾股定理得5AC 连接BC AB是O的直径，90ACBD 又1= 3， ACBADC ACAB ADAC ，即 5 = 25 AB 解得 5 2 AB O直径AB的长是 5 2 【教师备课提示】【教师备课提示】例 1 和例 2 主要考查切线的性质，见切线，连切点，得垂直 （1）如图 3-1，在ABC中，BCAC，以BC为直径的O与边AB相交于点D，DEAC，垂足为点E判 断DE与O的位置关系，并证明你的结论； （2）已知：如图 3-2，RtABC中，90ACB，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点求证： 直线EF是半圆O的切线 A B C O D E 图 3-1 图 3-2
7、 （3） 已知： 如图 3-3，P是AOB的角平分线OC上一点，PEOA于E 以P点为圆心，PE长为半径作P 求 证：P与OB相切 （4）如图 3-4，已知O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心、OA长为半径的O与BC相切于M，与AB、 AD分别相交于E、F 求证：CD与O相切； 若正方形ABCD的边长为 1，求O的半径 O P C E A B A F D O E BMC 图 3-3 图 3-4 【解析】【解析】（1）DE与O相切，理由如下： 连接CD、OD， BC为直径，90BDC， CDAB，又ACBC， ADBD，DO是ABC的中位线， O F E C B A 例题 3 A B C
8、O D E 4 /DO AC，又DEAC； DEDO，DE是O的切线； （2）连接OF，CF 90ACB， 90AB ， AC是直径， 90AFCBFC ， E是BC的中点，FEBE， BBFE， OAOF， AOFA ， 90BFEOFA， 90OFE， OFEF OF是半径，F在半圆O上， 直线EF是半圆O的切线 （3）过P点作PDOB于D， OC平分AOB，P是OC上一点，且PEOA， PDPE， PE是P的半径， PD是半径， P与OB相切 （4）连结OM，作ONCD于N点 BC切O于M， OMBC， 四边形ABCD是正方形，AC是对角线，ONCD， OMON，即ON是O的半径， CD
9、与O相切 由易知四边形OMCN是正方形， 2OCOM，设O半径为r， 正方形ABCD的边长为 1， 对角线2AC ， 22rr， 2 22 21 r ，即O的半径为22 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查切线的判定，是中考证明切线第一问的必考题 （1）切点已知时（已知直线上有一点在圆上） ，连半径，证垂直； （2）切点未知时，作垂直，证半径（点到直线的距离和半径相等） 已知，如图，AB是O的直径，点E是AD的中点，连接BE交AC于点G，BG的垂直平分线CF交BG于H交AB 于F点 （1）求证：BC是O的切线； 例题 4 A B C E F O O P C E A B D A F D
10、 O E BMC N 5 （2）若8AB ，6BC ，求BE的长 【解析】【解析】（1）连接AECF垂直平分BG，CBCG，1= 2 AB是Oe的直径，90E，3+ 4=90 312 ，2+ 4=90=AE ED，4ABE 2+90ABEBC是Oe的切线 （2）BC是O的切线，90ABC 由勾股定理，可得10AC ，6CGCB，4AG 可证AEGBEA ， 41 82 AEAG EBAB ， 设AEx，2BEx由勾股定理，可得 222 (2 )8xx 解得 8 5 5 x 16 5 2 5 BEx 如图 5-1 所示，在ABC中，2ABAC，90A ，O为BC的中点，动点E在BA边上自由移动，
11、动点F 在AC边上自由移动 （1）点E，F的移动过程中，OEF是否能成为45EOF 的等腰三角形？若能，请直接写出OEF为等腰 三角形时动点E，F的位置；若不能，请说明理由 （2）当45EOF 时，设BEx，CFy，求y与x之间的函数解析式，写出x的取值范围 （3）在满足（2）中的条件时，若以O为圆心的圆与AB相切（如图 5-2） ，试探究直线EF与O位置关系，并 证明你的结论 图 5-1 A E F BOC 图 5-2 BOC A E F 【解析】【解析】（1）点E，F移动的过程中，OEF能成为45EOF的等腰三角形 此时点E，F的位置分别是： E是BA的中点，F与A重合 2BECF E与A
12、重合，F是AC的中点 （2）在OEB和FOC中， H G A O F B C D E 4 3 2 1 H G A O F B C D E 例题 5 6 135EOBFOC，135EOBOEB， FOCOEB OEBFOC， OBBE FCOC BEx，CFy， 22 1 222 2 OBOC， 2 (12)yx x （3）如图，过O作OM、ON、OP分别垂直于AB、AC、EF于M、N、P，很容易证得 四边形AMON为正方形， （于是本题就转化成了我们很熟悉的一个基本图形： 如图，四边形AMON为正方形，E，F分别在AM、AN上，且45EOF，我们以 前证明过的结论有： MEFNEF，或AEF的
13、周长等于2OM等 而对于本题只需证明OEF中EF边上的高OPOM，即可 延长AM至Q，使得MQFN， 则可证得MQONFO） FONQOM，OFOQ， 45EOF，90MON， 45FONEOM， 45QOMMOE， 即45EOQ， EOQEOF， 又OEOE，OFOQ， EOQEOF， AB为O切线，OMAB于M， OM为O半径 又OM为EOQ中EQ边上的高线，OP为EOF中EF边上的高线， OPOM， EF为O切线 另解：可证BEOOEFCOF ，BEOOEF ，EFOOFC， OMOPON，EF为O切线 【教师备课提示】【教师备课提示】例题 3 主要讲方法，例 4 和例 5 主要是综合练
14、习下证明切线的方法，结合相似的简单计算 模块二模块二 切线长定理切线长定理 （1） 如图 6-1，PA、PB、DE分别切O于A、B、C， 若10PO ，PDE周长为 16， 则O的半径为_ （2） 如图 6-2， 梯形ABCD中，/AB CD，O是AB上一点， 以O为圆心的半圆与AD、CD、BC都相切 已知6AD ， 4BC ，则AB的长为_ 例题 6 BOC QM E A P FN AF N E M Q O P 7 P D A C O E B 图 6-1 图 6-2 【解析】【解析】（1）连接OA PA、PB、DE都与O相切，PAPBDCDAECEB， PDE 周长 PDDEPEPDDCCE
15、PE16PDDAEBPEPAPB 8PA ， 22 6OAPOPA， 即O的半径为 6 （2）连接OD、OC， AD、CD、BC都是半圆O的切线， 由切线长定理得，OD平分ADC，OC平分BCD， 6AOAD，4BOBC， 6410ABAOBO 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要是考察切线长定理，至少有 2 条及以上切线，并且和长度有关 （1） 如图 7-1 所示，ABC的内切圆与三边AB、BC、CA分别切于D、E、F，11cmAC ，13cmAB ，14cmBC ， 则AD _，BE _，CF=_ （2）如图 7-2，O为RtABC的内切圆，90ACB，4AC ，3BC ，则内切圆半
16、径为_ C F E ADB C 3 4 BA O 图 7-1 图 7-2 【解析】【解析】（1）5cm、8cm 和 6cm； （2）解法一：连接OA，OB，OC， 4AC ，3BC ，5AB BOCAOCAOBABC SSSS ， 设三角形的底BC，AB，AC各为a，b，c， 即 1111 2222 arbrcrab， 34 1 345 r ， 解法二： 设O切BC，AC，AB于M，N，P三点， 由切线长定理可知：CNCM，ANAP，BMBP， ()()CMCNCBBMACAN O DC BA 例题 7 AB C D O C 3 4 BA O C M BPA O N 8 BCACBPAP 34
17、52BCACAB CMCN，1CM ， 由90C，OMBC，ONAC可证得四边形OMCN为正方形 1OMMC，即O的半径1r 【教师备课提示教师备课提示】直角三角形的内切圆半径 2 abc r （其中a、b为直角边，c为斜边） 模块三 弦切角定理 如图，BC为半圆的直径，O为圆心，10BC ，AD与半圆相切于D，DAAB，4AD 求证：CDDE 【解析】【解析】连接CE，ADEDCE ， /CE AD， ADEDEC ， DCEDEC ， CDDE 已知AB是O的弦，直线l在平面上，过A、B两点分别作ACl于点C，BDl于点D （1）如图 9-1，若AB是O的直径，直线l切O于点E，过点E作E
18、FAB于点F求证： 2 EFAC BD； （2） 如图 9-2，AB是O的弦， 直线l切O于点E， 过点E作EFAB于点F， 此时EF、AC、BD有什么关系？ （3）如图 9-3，AB是O的弦，直线l交O于 1 E、 2 E两点，过 1 E、 2 E分别作 11 E FAB于点 1 F， 22 E FAB 于点 2 F，此时直接写出 11 E F、 22 E F、AC、BD有什么关系？ A l F B C E D O 图 9-1 图 9-2 图 9-3 【解析】【解析】（1）如图，连接AE、EB A B C D E OO E D C B A l OF E D C BA O E2 E1 A B
19、C D l F2 F1 例题 8 例题 9 9 CD切O于E， CEAEBA ， 又90CEFB ， ACEEFB， EFBE ACEA 同理可得AEFBDE BDBE EFAE ， 2 EFAC BD （2）连接AE、BE CD切O于E， CEAEBA ， 90CEFB ， ACEEFB， EFBE ACEA 同理可得AEFBDE BDBE EFAE ， 2 EFAC BD （3） 1222 E FE FAC BD具体证明同上题 【教师备课提示教师备课提示】例 8 和例 9 主要考查弦切角定理的应用 如图，已知AB为O的弦，C为O上一点，C=BAD，且BDAB于B （1）求证：AD是O的切线
20、 （2）若O的半径为 3，4AB ，求AD的长 C B AD O C B AD O E 【解析】【解析】（1）证明：如图，连接AO并延长交O于点E， 连接BE，则90ABE 90EABE EC ，CBAD ， 90EABBAD AD是O的切线 （2）在RtABE中， 222 EBAEAB，所以 22 642 5EB 易知BADAEB，EABADB， 例题 10 l O F E D C BA l OF E D C B A 10 AEEB ADAB ，即 62 5 4AD ，解得 12 5 5 AD 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题是弦切角定理的逆应用，主要用于证明直线是圆的切线 模块一 切
21、线的性质和判定 （1）如图 1-1，PA切O于A，PO交O于B，若6cmPA，4cmPB ，则O的半径是_ （2）如图 1-2，半径为 3 的O切直线AC于B，3AB ，3BC ，则AOC的度数是_ （3） 如图1-3，AB是O的直径， 点C在AB的延长线上，CD与O相切于点D 若18C， 则C D A_ O A B P O A B C C D BO A 图 1-1 图 1-2 图 1-3 【解析】【解析】（1） 5 2 cm； （2）75； （3）126 已知：如图，在RtABC中，90C，点E在斜边AB上，以AE为直径的O与BC边相切于点D，连接AD （1）求证：AD是BAC的平分线； （
22、2）若3AC ， 3 tan 4 B ，求O的半径 B DC A E O B DC A E O 1 2 3 演练 1 演练 2 11 【解析】【解析】（1）连接OD，ODOA，12 ， BC为O的切线， 90ODB， 90C，ODBC ， /OD AC， 32 ，13 ， AD是BAC的平分线 （2）在RtABC中，90C， 3 tan 4 B ，3AC ， 4BC ，5AB ， 在RtODB中， 3 tan 4 OD B BD ， 设3ODOAx，则4BDx，5OBx， 8ABx，85x ，解得 5 8 x ， 半径 15 = 8 OA 如图，ABBC，以AB为直径的O交AC于点D，过D作D
23、EBC，垂足为E （1）求证：DE是O的切线； （2）作DGAB交O于G，垂足为F，若30A ，8AB ，求弦DG的长 【解析】【解析】（1）连接OD， ABBC， AC OAOD， AADO ADOC ， /DO BC DEBC， ODDE， OD半径，DE是O的切线 （2）连接BD， AB是直径，90ADB， 30A ， 4 3AD ， DGAB， 90AFD，2DGDF， 2 3DF ， 24 3DGDF 演练 3 C A O G F B E D 12 如图，在RtABC中，90ABC，以AB为直径的O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE （1）求证：DE与O相切； （2）连接OE，若
24、 3 os 5 cBAD ， 28 3 BE ，求OE的长 【解析】【解析】（1）证明：如图所示，连接OD，BD，AB是O的直径，90ADBBDC 在RtBDC中， E是BC的中点， 1 2 DEBC； D E B E ， 12 O D O B ， 34 ； 2490ABC ，1390ODE ，即ODDE，DE是O的切线； （2） 3 cos 5 AB BAD AC ，设3ABk，5ACk， 在RtABC中， 222 ABBCAC， 222 9(2)25kBEk，得 7 3 k ， 35 3 AC，OE是中位线， 135 26 OEAC 模块二 切线长定理 （1）如图，O是ABC的内切圆，D、
25、E、F是切点，18cmAB ，20cmBC ，12cmAC ，又直线MN切 O于G，交AB、BC于M、N，则BMN的周长为_ （2）RtABC中，90C，6AC ，8BC ， 则ABC的内切圆半径r _ 【解析】【解析】（1）26cm； （2）2 模块三 弦切角定理 O E D C B A 4 32 1 O E D C B A 演练 4 演练 5 演练 6 A B F M G NDC E O 13 已知：如图，C为O上一点，DA交O于B，连接AC、BC，且DCBCAB 求证： （1）DC为O的切线； （2） 2 CDAD BD A C O BD A C O BD E 【解析】【解析】（1）连接CO并延长交O于E，连接BE 可知CE是O的直径，90CBE，90EBCE CABE ，DCBCAB ，DCBE ， 90DCBBCE， CE是直径，CE是O的切线 （2）DCBCAB，D是公共角， BDCCDA， CDBD ADDC ，即 2 CDAD BD 设圆半径为r，则 3 23 2 rr，得2r ， 外接圆的面积为4 14