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初三上册数学直升班培优讲 义:第13讲 圆三(教师版)

1、 1 第第 1313 讲讲 圆(三)圆(三) 模块一模块一 切线的性质和判定切线的性质和判定 1 1切线的性质:切线的性质: 定理:圆的切线垂直于过切点的半径. 如图,直线AB与O相切于点P,连接OP,则OPAB. 推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 总结:根据圆的切线性质定理,以后在题中看到圆的切线,连半径,得垂直. 2 2切线的判定:切线的判定: 定义:和圆只有一个交点的直线是圆的切线 距离:到圆心距离等于半径的直线是圆的切线 定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 根据圆的切线判定定理,以后在题中证明圆的切线,连

2、半径,证垂直. 模块二模块二 切线长定理切线长定理 1 1切线长定理:切线长定理: 切线长:过圆外一点画圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的 切线长 切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线长相等,并且这点和圆心的连线平 分两条切线的夹角 如图所示,PA、PB分别与O切于点A、B,则PAPB,OP平分APB 2 2三角形的内切圆三角形的内切圆 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,内心是三条内角平分线 的交点 注意: (1)内心的确定:三条内角平分线的交点,内心一定在三角形的内部 (2)内心到三角形的三边距离相等,都等于内切圆的半径 (3) 常见

3、结论: 如图, 2 bca ADAF , 2 acb BDBE , 2 abc CECF , 1 () 2 ABC Sr abc , 2 ABC S r abc 模块三模块三 弦切角定理弦切角定理 1 1弦切角定理:弦切角定理: 弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角. 弦切角就是切线与弦所夹的角 弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 如图所示, 直线AB切圆O于点A,AC为圆O的弦,CmA是弦切角BAC所夹的弧, ADC是CmA所对的圆周角,则BACADC A P B A P B g g g O A B D F EC O g 2 模块一 切线的性质和判定 (1)

4、 如图 1-1,AB是O的直径,1OA,AC是O的弦, 过点C的切线交AB的延长线于点D, 若21BD , 则ACD_ (2) 如图 1-2, 直线AB与O相切于点A,AC、CD是O的两条弦, 且/CD AB, 若O的半径为 5 2 ,4CD , 则弦AC的长为_ (3)如图 1-3,CB切O于点B,CA交O于点D且AB为O的直径,点E是ABD上异于点A、D的一点若 40C,则E的度数为_ O A B C D 图 1-1 图 1-2 图 1-3 (4)PA,PB是O的切线,C是圆周上异于A、B的一点,若50P,则C_ 【解析】【解析】(1)112.5(连接OC) ; (2)2 5(连接AO并延

5、长交CD) ; (3)40(连接OD) ; (4)65或115 已知:如图,AB是O的直径,直线CD与O相切于点C,AC平分DAB (1)求证:ADDC; (2)若2AD , 1 tan 2 DAC,求O直径AB的长 【解析】【解析】(1)连接OC则OCOA,1= 2 AC平分DAB,1= 32= 3 /AD OCDOCE 又直线DE与Oe相切于点C, OCDC于C90OCE 90DADDC (2)在RtADC中, 1 tan 2 DC DAC AD , 11 21 22 DCAD C O D AB O D CB E A 例题 1 例题 2 3 2 1 O E D C BA O E D C B

6、A 3 由勾股定理得5AC 连接BC AB是O的直径,90ACBD 又1= 3, ACBADC ACAB ADAC ,即 5 = 25 AB 解得 5 2 AB O直径AB的长是 5 2 【教师备课提示】【教师备课提示】例 1 和例 2 主要考查切线的性质,见切线,连切点,得垂直 (1)如图 3-1,在ABC中,BCAC,以BC为直径的O与边AB相交于点D,DEAC,垂足为点E判 断DE与O的位置关系,并证明你的结论; (2)已知:如图 3-2,RtABC中,90ACB,以AC为直径的半圆O交AB于F,E是BC的中点求证: 直线EF是半圆O的切线 A B C O D E 图 3-1 图 3-2

7、 (3) 已知: 如图 3-3,P是AOB的角平分线OC上一点,PEOA于E 以P点为圆心,PE长为半径作P 求 证:P与OB相切 (4)如图 3-4,已知O是正方形ABCD对角线上一点,以O为圆心、OA长为半径的O与BC相切于M,与AB、 AD分别相交于E、F 求证:CD与O相切; 若正方形ABCD的边长为 1,求O的半径 O P C E A B A F D O E BMC 图 3-3 图 3-4 【解析】【解析】(1)DE与O相切,理由如下: 连接CD、OD, BC为直径,90BDC, CDAB,又ACBC, ADBD,DO是ABC的中位线, O F E C B A 例题 3 A B C

8、O D E 4 /DO AC,又DEAC; DEDO,DE是O的切线; (2)连接OF,CF 90ACB, 90AB , AC是直径, 90AFCBFC , E是BC的中点,FEBE, BBFE, OAOF, AOFA , 90BFEOFA, 90OFE, OFEF OF是半径,F在半圆O上, 直线EF是半圆O的切线 (3)过P点作PDOB于D, OC平分AOB,P是OC上一点,且PEOA, PDPE, PE是P的半径, PD是半径, P与OB相切 (4)连结OM,作ONCD于N点 BC切O于M, OMBC, 四边形ABCD是正方形,AC是对角线,ONCD, OMON,即ON是O的半径, CD

9、与O相切 由易知四边形OMCN是正方形, 2OCOM,设O半径为r, 正方形ABCD的边长为 1, 对角线2AC , 22rr, 2 22 21 r ,即O的半径为22 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查切线的判定,是中考证明切线第一问的必考题 (1)切点已知时(已知直线上有一点在圆上) ,连半径,证垂直; (2)切点未知时,作垂直,证半径(点到直线的距离和半径相等) 已知,如图,AB是O的直径,点E是AD的中点,连接BE交AC于点G,BG的垂直平分线CF交BG于H交AB 于F点 (1)求证:BC是O的切线; 例题 4 A B C E F O O P C E A B D A F D

10、 O E BMC N 5 (2)若8AB ,6BC ,求BE的长 【解析】【解析】(1)连接AECF垂直平分BG,CBCG,1= 2 AB是Oe的直径,90E,3+ 4=90 312 ,2+ 4=90=AE ED,4ABE 2+90ABEBC是Oe的切线 (2)BC是O的切线,90ABC 由勾股定理,可得10AC ,6CGCB,4AG 可证AEGBEA , 41 82 AEAG EBAB , 设AEx,2BEx由勾股定理,可得 222 (2 )8xx 解得 8 5 5 x 16 5 2 5 BEx 如图 5-1 所示,在ABC中,2ABAC,90A ,O为BC的中点,动点E在BA边上自由移动,

11、动点F 在AC边上自由移动 (1)点E,F的移动过程中,OEF是否能成为45EOF 的等腰三角形?若能,请直接写出OEF为等腰 三角形时动点E,F的位置;若不能,请说明理由 (2)当45EOF 时,设BEx,CFy,求y与x之间的函数解析式,写出x的取值范围 (3)在满足(2)中的条件时,若以O为圆心的圆与AB相切(如图 5-2) ,试探究直线EF与O位置关系,并 证明你的结论 图 5-1 A E F BOC 图 5-2 BOC A E F 【解析】【解析】(1)点E,F移动的过程中,OEF能成为45EOF的等腰三角形 此时点E,F的位置分别是: E是BA的中点,F与A重合 2BECF E与A

12、重合,F是AC的中点 (2)在OEB和FOC中, H G A O F B C D E 4 3 2 1 H G A O F B C D E 例题 5 6 135EOBFOC,135EOBOEB, FOCOEB OEBFOC, OBBE FCOC BEx,CFy, 22 1 222 2 OBOC, 2 (12)yx x (3)如图,过O作OM、ON、OP分别垂直于AB、AC、EF于M、N、P,很容易证得 四边形AMON为正方形, (于是本题就转化成了我们很熟悉的一个基本图形: 如图,四边形AMON为正方形,E,F分别在AM、AN上,且45EOF,我们以 前证明过的结论有: MEFNEF,或AEF的

13、周长等于2OM等 而对于本题只需证明OEF中EF边上的高OPOM,即可 延长AM至Q,使得MQFN, 则可证得MQONFO) FONQOM,OFOQ, 45EOF,90MON, 45FONEOM, 45QOMMOE, 即45EOQ, EOQEOF, 又OEOE,OFOQ, EOQEOF, AB为O切线,OMAB于M, OM为O半径 又OM为EOQ中EQ边上的高线,OP为EOF中EF边上的高线, OPOM, EF为O切线 另解:可证BEOOEFCOF ,BEOOEF ,EFOOFC, OMOPON,EF为O切线 【教师备课提示】【教师备课提示】例题 3 主要讲方法,例 4 和例 5 主要是综合练

14、习下证明切线的方法,结合相似的简单计算 模块二模块二 切线长定理切线长定理 (1) 如图 6-1,PA、PB、DE分别切O于A、B、C, 若10PO ,PDE周长为 16, 则O的半径为_ (2) 如图 6-2, 梯形ABCD中,/AB CD,O是AB上一点, 以O为圆心的半圆与AD、CD、BC都相切 已知6AD , 4BC ,则AB的长为_ 例题 6 BOC QM E A P FN AF N E M Q O P 7 P D A C O E B 图 6-1 图 6-2 【解析】【解析】(1)连接OA PA、PB、DE都与O相切,PAPBDCDAECEB, PDE 周长 PDDEPEPDDCCE

15、PE16PDDAEBPEPAPB 8PA , 22 6OAPOPA, 即O的半径为 6 (2)连接OD、OC, AD、CD、BC都是半圆O的切线, 由切线长定理得,OD平分ADC,OC平分BCD, 6AOAD,4BOBC, 6410ABAOBO 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要是考察切线长定理,至少有 2 条及以上切线,并且和长度有关 (1) 如图 7-1 所示,ABC的内切圆与三边AB、BC、CA分别切于D、E、F,11cmAC ,13cmAB ,14cmBC , 则AD _,BE _,CF=_ (2)如图 7-2,O为RtABC的内切圆,90ACB,4AC ,3BC ,则内切圆半

16、径为_ C F E ADB C 3 4 BA O 图 7-1 图 7-2 【解析】【解析】(1)5cm、8cm 和 6cm; (2)解法一:连接OA,OB,OC, 4AC ,3BC ,5AB BOCAOCAOBABC SSSS , 设三角形的底BC,AB,AC各为a,b,c, 即 1111 2222 arbrcrab, 34 1 345 r , 解法二: 设O切BC,AC,AB于M,N,P三点, 由切线长定理可知:CNCM,ANAP,BMBP, ()()CMCNCBBMACAN O DC BA 例题 7 AB C D O C 3 4 BA O C M BPA O N 8 BCACBPAP 34

17、52BCACAB CMCN,1CM , 由90C,OMBC,ONAC可证得四边形OMCN为正方形 1OMMC,即O的半径1r 【教师备课提示教师备课提示】直角三角形的内切圆半径 2 abc r (其中a、b为直角边,c为斜边) 模块三 弦切角定理 如图,BC为半圆的直径,O为圆心,10BC ,AD与半圆相切于D,DAAB,4AD 求证:CDDE 【解析】【解析】连接CE,ADEDCE , /CE AD, ADEDEC , DCEDEC , CDDE 已知AB是O的弦,直线l在平面上,过A、B两点分别作ACl于点C,BDl于点D (1)如图 9-1,若AB是O的直径,直线l切O于点E,过点E作E

18、FAB于点F求证: 2 EFAC BD; (2) 如图 9-2,AB是O的弦, 直线l切O于点E, 过点E作EFAB于点F, 此时EF、AC、BD有什么关系? (3)如图 9-3,AB是O的弦,直线l交O于 1 E、 2 E两点,过 1 E、 2 E分别作 11 E FAB于点 1 F, 22 E FAB 于点 2 F,此时直接写出 11 E F、 22 E F、AC、BD有什么关系? A l F B C E D O 图 9-1 图 9-2 图 9-3 【解析】【解析】(1)如图,连接AE、EB A B C D E OO E D C B A l OF E D C BA O E2 E1 A B

19、C D l F2 F1 例题 8 例题 9 9 CD切O于E, CEAEBA , 又90CEFB , ACEEFB, EFBE ACEA 同理可得AEFBDE BDBE EFAE , 2 EFAC BD (2)连接AE、BE CD切O于E, CEAEBA , 90CEFB , ACEEFB, EFBE ACEA 同理可得AEFBDE BDBE EFAE , 2 EFAC BD (3) 1222 E FE FAC BD具体证明同上题 【教师备课提示教师备课提示】例 8 和例 9 主要考查弦切角定理的应用 如图,已知AB为O的弦,C为O上一点,C=BAD,且BDAB于B (1)求证:AD是O的切线

20、 (2)若O的半径为 3,4AB ,求AD的长 C B AD O C B AD O E 【解析】【解析】(1)证明:如图,连接AO并延长交O于点E, 连接BE,则90ABE 90EABE EC ,CBAD , 90EABBAD AD是O的切线 (2)在RtABE中, 222 EBAEAB,所以 22 642 5EB 易知BADAEB,EABADB, 例题 10 l O F E D C BA l OF E D C B A 10 AEEB ADAB ,即 62 5 4AD ,解得 12 5 5 AD 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题是弦切角定理的逆应用,主要用于证明直线是圆的切线 模块一 切

21、线的性质和判定 (1)如图 1-1,PA切O于A,PO交O于B,若6cmPA,4cmPB ,则O的半径是_ (2)如图 1-2,半径为 3 的O切直线AC于B,3AB ,3BC ,则AOC的度数是_ (3) 如图1-3,AB是O的直径, 点C在AB的延长线上,CD与O相切于点D 若18C, 则C D A_ O A B P O A B C C D BO A 图 1-1 图 1-2 图 1-3 【解析】【解析】(1) 5 2 cm; (2)75; (3)126 已知:如图,在RtABC中,90C,点E在斜边AB上,以AE为直径的O与BC边相切于点D,连接AD (1)求证:AD是BAC的平分线; (

22、2)若3AC , 3 tan 4 B ,求O的半径 B DC A E O B DC A E O 1 2 3 演练 1 演练 2 11 【解析】【解析】(1)连接OD,ODOA,12 , BC为O的切线, 90ODB, 90C,ODBC , /OD AC, 32 ,13 , AD是BAC的平分线 (2)在RtABC中,90C, 3 tan 4 B ,3AC , 4BC ,5AB , 在RtODB中, 3 tan 4 OD B BD , 设3ODOAx,则4BDx,5OBx, 8ABx,85x ,解得 5 8 x , 半径 15 = 8 OA 如图,ABBC,以AB为直径的O交AC于点D,过D作D

23、EBC,垂足为E (1)求证:DE是O的切线; (2)作DGAB交O于G,垂足为F,若30A ,8AB ,求弦DG的长 【解析】【解析】(1)连接OD, ABBC, AC OAOD, AADO ADOC , /DO BC DEBC, ODDE, OD半径,DE是O的切线 (2)连接BD, AB是直径,90ADB, 30A , 4 3AD , DGAB, 90AFD,2DGDF, 2 3DF , 24 3DGDF 演练 3 C A O G F B E D 12 如图,在RtABC中,90ABC,以AB为直径的O交AC于点D,E是BC的中点,连接DE (1)求证:DE与O相切; (2)连接OE,若

24、 3 os 5 cBAD , 28 3 BE ,求OE的长 【解析】【解析】(1)证明:如图所示,连接OD,BD,AB是O的直径,90ADBBDC 在RtBDC中, E是BC的中点, 1 2 DEBC; D E B E , 12 O D O B , 34 ; 2490ABC ,1390ODE ,即ODDE,DE是O的切线; (2) 3 cos 5 AB BAD AC ,设3ABk,5ACk, 在RtABC中, 222 ABBCAC, 222 9(2)25kBEk,得 7 3 k , 35 3 AC,OE是中位线, 135 26 OEAC 模块二 切线长定理 (1)如图,O是ABC的内切圆,D、

25、E、F是切点,18cmAB ,20cmBC ,12cmAC ,又直线MN切 O于G,交AB、BC于M、N,则BMN的周长为_ (2)RtABC中,90C,6AC ,8BC , 则ABC的内切圆半径r _ 【解析】【解析】(1)26cm; (2)2 模块三 弦切角定理 O E D C B A 4 32 1 O E D C B A 演练 4 演练 5 演练 6 A B F M G NDC E O 13 已知:如图,C为O上一点,DA交O于B,连接AC、BC,且DCBCAB 求证: (1)DC为O的切线; (2) 2 CDAD BD A C O BD A C O BD E 【解析】【解析】(1)连接CO并延长交O于E,连接BE 可知CE是O的直径,90CBE,90EBCE CABE ,DCBCAB ,DCBE , 90DCBBCE, CE是直径,CE是O的切线 (2)DCBCAB,D是公共角, BDCCDA, CDBD ADDC ,即 2 CDAD BD 设圆半径为r,则 3 23 2 rr,得2r , 外接圆的面积为4 14